1.6 线段垂直平分线的性质-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（浙教版2024）

75 1.6　线段垂直平分线的性质 1. 线段的垂直平分线:垂直于一条线段,并且 这条线段的直线叫作这条线段的 垂直平分线,简称 . 2. 线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分 线上的点到 的距离相等. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 如图,直线l与线段AB 交于点O,点P 在直线l上,且PA=PB.小明说:“直线l是 AB 的垂直平分线.”小亮说:“需再添加一个条 件,小明的结论才正确.”下列判断中,正确的是 ( ) 典例1图 A. 小明说得对 B. 小亮说得对,可添加的条件 为“∠A=∠B” C. 小亮说得对,可添加的条件 为“PO⊥AB” D. 两人说得都不对 当PO⊥AB 时,结合已知得出△PAO≌ △PBO,从而得到AO=BO. 解答: 解有所悟: 本题主要考查垂直平分线的知识,熟练 掌握线段垂直平分线的定义是解题的关键. 典例2 如图,D,F 分别为△ABC 的边AB,AC 的中点,过点D 作DE⊥AB 交BC 边于点E, 垂足为D,过点F 作GF⊥AC 交BC 边于点G, 垂足为F,连结AE,AG.若△AGE 的周长为 15,BC=10,求EG 的长. 典例2图 找出△AGE 的周长与BC 的长的关系. 解答: 解有所悟:线段垂直平分线的性质定理是证明两条 线段相等的依据之一.解题时,遇见线段的垂直平 分线,常常需要连结垂直平分线上一点与线段的两 个端点,从而得到两条相等的线段. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 76 [基础过关] 第1题 1. 如图,在△ABD 中,AC⊥ BD,BC=CD.若AB=4, 则AD 的长是 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 如图,线段AC 的垂直平分线交AB 于点D, ∠A=48°,则∠BDC 的度数为 ( ) A. 48° B. 96° C. 90° D. 84° 第2题 第3题 3. 如图,在△ABC 中,AB=10,AD 垂直平分 线段BC,垂足为D,E 是AC 的中点,则EC 的长为 . 4. 如图,DE 是AB 的垂直平分线,点F 在DE 上,BF=12,CF=3,则AC= . 第4题 第5题 5. 如图,在△ABC 中,点D 在BC 边上,点E 在AC 边上,且DE 垂直平分AC,连结AD. 若△ABC 的周长为21cm,△ABD 的周长 为13cm,则AE 的长为 . 6. 尺规作图:如图,有三家公司A,B,C,现要 建个健身中心到三家公司的距离相同,请找 出健身中心P 的位置. 第6题 7. 如图,在△ABC中,∠B=40°,AC的垂直平分 线交AC 于点D,交BC 于点E,且∠EAB= 3∠CAE,求∠C的度数. 第7题 答案讲解 8. (教材P41作业题第2题变式) 如 图,在△ABC 中,边AB 的垂直平 分线l1 与边BC 相交于点D,边 AC 的垂直平分线l2 与边BC 相交于点E (点D 在点E 的左侧).若△ADE 的周长为 8,∠DAE=60°,求: (1) BC 的长. (2) ∠BAC 的度数. 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 77 9. 如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E,交AB 于点F,H 为EC 的中 点,BE=AC. (1) 求证:AH⊥BC. (2) 若∠B=36°,求∠BAC 的度数. 第9题 [综合提升] 答案讲解 10. 如图,在△ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点N,交 AC 于点M,P 是直线MN 上一动 点,H 为BC 的中点.若BC=5,△ABC 的 面积是30,则BP+PH 的最小值为 ( ) 第10题 A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 答案讲解 11. OF 是∠MON 的平分线,点A 在 射线OM 上,P,Q 是直线ON 上 两动点,点Q 在点P 的右侧,且 PQ=OA,作线段OQ 的垂直平分线,分别 交直线OF,ON 于点B,C,连结AB,PB. (1) 如图①,当P,Q 两点都在射线ON 上 时,线段AB与PB的数量关系是 . (2) 如图②,当P,Q 两点都在射线ON 的 反向延长线上时,线段AB,PB 是否还存 在(1)中的数量关系? 若存在,请写出证明 过程;若不存在,请说明理由. 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 21 △AEF 中,因 为 ∠C=∠F, ∠BAC=∠EAF, AB=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 △ABC ≌ △AEF.所以AC=AF. 7. 因为CB⊥AD,AE⊥CD,所以∠ABF=∠CBD=90°, ∠FEC=90°.所以∠A+∠AFB=90°,∠C+∠EFC= 90°.又因为∠AFB=∠EFC,所以∠A=∠C.在△ABF 和 △CBD 中,因 为 ∠ABF=∠CBD, AB=CB, ∠A=∠C, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 △ABF ≌ △CBD.所以BF=BD.因为BF=BC-CF=8-2=6,所 以BD=6.所以题图中涂色部分的面积=12 ·CF·BD= 1 2×2×6=6. 8. (1) 由题意,得AB=BD,∠ABD=90°,AC⊥CE, DE⊥CE,所以∠BED=∠ACB=90°.所以∠BDE+ ∠DBE=90°,∠DBE+∠ABC=90°.所以∠BDE= ∠ABC. 在 △ACB 和 △BED 中, 因 为 ∠ABC=∠BDE, ∠ACB=∠BED, AB=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△ACB≌△BED(AAS).(2) 由 题意,得AC=5×3=15(cm),DE=7×5=35(cm).因为 △ACB≌△BED,所以BC=DE=35cm,AC=BE= 15cm.所以CE=BE+BC=15+35=50(cm).所以两堵 木墙之间的距离为50cm. 9. B 解析:如图,取BC 的中点H,连结AH.因为H 为 BC 的中点,所以BH=CH.在△ABH 和△ACH 中,因 为 AB=AC, AH=AH, BH=CH, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 △ABH ≌ △ACH (SSS).所 以 ∠BAH = ∠CAH,∠BHA = ∠CHA =90°.所 以 ∠BAC=2∠CAH.因为BD⊥AC,所以∠CBD+∠C= ∠CAH + ∠C =90°.所 以 ∠CAH = ∠CBD.所 以 ∠BAC=2∠CBD.因 为 ∠BAC =2∠DEF,所 以 ∠DEF=∠CBD.故①正确.因为BE 平分∠ABD,所以 ∠ABE= 12 ∠ABD. 因 为∠CBD= 12 ∠BAC ,所 以 ∠ABE+∠CBD=12 (∠ABD+∠BAC).因为∠BDC= ∠ABD+∠BAC=90°,所以∠ABE+∠CBD=12× 90°=45°.故②正确.因为∠FBG=∠CEG,∠BFG= ∠EFD,所以∠FGB=∠EDF=90°.所以EG⊥BC.故③ 正确.因为 EG⊥BC,所以∠BGF=∠EGC=90°.在 △BFG 和 △ECG 中,因 为 ∠BGF=∠EGC, BG=EG, ∠FBG=∠CEG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 △BFG≌△ECG(ASA).所以BF=EC.故④正确.综上 所述,正确的结论有4个. 第9题 10. (1) 因为BF∥AE,所以∠EAM=∠FBM.在△AME 和△BMF 中,因为 ∠EAM=∠FBM, ∠AME=∠BMF, EM=FM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△AME≌ △BMF(AAS).所以 AE=BF.(2) 因 为△AME≌ △BMF,所以AE=BF,EM=FM,∠AEM=∠BFM= 90°.所以∠AEC=∠BFD=90°.在△AEC 和△BFD 中, 因为 ∠AEC=∠BFD, AE=BF, ∠CAE=∠DBF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△AEC≌△BFD(ASA).所 以EC=FD.所以EC-CF=FD-CF,即EF=CD= 4.因为EM=FM,所以EM=12EF=2. 1.6 线段垂直平分线的性质 知识梳理 1. 平分 中垂线 2. 线段两端 典例演练 典例1 C 典例2 因为△AGE 的周长为15,所以GA+EA+EG= 15.因为D,F 分别为△ABC 的边AB,AC 的中点,DE⊥ AB,FG⊥AC,所以EA=EB,GA=GC.所以GC+EB+ EG=GA+EA+EG=15,即BC+2EG=15.因为BC= 10,所以2EG=5.所以EG=2.5. 预学训练 1. B 2. B 3. 5 4. 15 5. 4cm 6. 如图,分别作线段AB,BC 的垂直平分线,相交于点 P,则点P 即为所求. 第6题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 7. 设∠CAE=x,则∠EAB=3x.因为AC 的垂直平分线 交AC于点D,交BC 于点E,所以AE=CE.所以∠C= ∠CAE=x.所以∠BAC=∠EAB+∠CAE=4x.根据三 角形的内角和定理,得∠C+∠BAC=180°-∠B,即x+ 4x=180°-40°,解得x=28°,则∠C=28°.所以∠C 的度 数为28°. 8. (1) 因为l1 垂直平分AB,所以DB=DA.同理可得, EA=EC.因为△ADE 的周长=DA+EA+DE=8,所以 BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=8.(2) 因为 ∠DAE=60°,所 以∠ADE+∠AED=180°-60°= 120°.因为DA=DB,EA=EC,所以∠BAD=∠ABC, ∠EAC= ∠ACB.因 为 ∠ADE = ∠BAD + ∠ABC, ∠AED=∠EAC+∠ACB,所以∠BAD+∠EAC= 1 2 (∠ADE+∠AED)=60°.所以∠BAC=60°+60°= 120°. 9. (1) 如图,连结AE.因为AB的垂直平分线EF交BC于 点E,交AB 于点F,所以AE=BE.因为BE=AC,所以 AE=AC.因为H 为EC 的中点,所以CH=EH.又因为 AC=AE,AH=AH,所以△ACH≌△AEH.所以易得 ∠AHC=∠AHE=90°.所以AH⊥BC.(2) 因为AE=BE, ∠B=36°,所以∠EAB=∠B=36°.所以∠AEC=∠EAB+ ∠B=72°.因为△ACH≌△AEH,所以∠C=∠AEC= 72°.所以∠BAC=180°-∠C-∠B=72°. 第9题 10. A 解析:如图,连结AP,AH.因为AB=AC,H 为 BC 的中点,所以易得AH⊥BC.因为△ABC 的面积是 30,所以12BC ·AH=30.因为BC=5,所以AH=12.因 为MN 是线段AB 的垂直平分线,所以AP=BP.所以 BP+PH=AP+PH≥AH.所以AH 的长为BP+PH 的最小值.所以BP+PH 的最小值为12. 第10题 11. (1) AB=PB.(2) 存在.连结BQ.因为BC垂直平分 OQ,所以BO=BQ,CO=CQ,∠BCO=∠BCQ=90°.所 以∠BOQ = ∠BQO.因 为 ∠BOQ = ∠FON,所 以 ∠BQO=∠FON.因为OF 平分∠MON,所以∠AOF= ∠FON=∠BQO.所以易得∠AOB=∠PQB.在△AOB 和△PQB 中,因 为 OA=QP, ∠AOB=∠PQB, BO=BQ, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以△AOB≌ △PQB(SAS).所以AB=PB. 1.7 角平分线的性质 知识梳理 相等 典例演练 典例1 5 典例2 过点D 作DF⊥BC 于点F.因为BD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,所以DE=DF.所以 S△ABC=S△ABD +S△BDC = 1 2×16DE+ 1 2×12DF= 70.所以14DE=70.所以DE=5. 预学训练 1. C 2. 1 3. 4 解析:因为AB∥CD,OG⊥CD,所以OF⊥AB.因 为AO 是∠BAC 的平分线,OF⊥AB,OE⊥AC,OE=2, 所以OF=OE=2.因为CO 是∠ACD 的平分线,OE⊥ AC,OG⊥CD,所以 OG=OE=2.所以 FG=OF+ OG=4. 4. 如图,点P 就是银杏树的位置. 第4题 5. 过点E 作EI⊥AB 于点I,过点D 作DH⊥AB 于点 H,作DF⊥BC 于点F,则∠EIA=∠DFC=∠DHK= 90°.在△EAI和△DCF 中,因为 ∠EIA=∠DFC, ∠EAI=∠C, EA=DC. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以 △EAI≌△DCF(AAS).所以EI=DF.因为 BD 是 ∠ABC 的平分线,DH ⊥AB,DF⊥BC,所以 DH = DF.所 以 DH =EI.在 △EKI 和 △DKH 中,因 为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈