1.3 证明-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（浙教版2024）

18 1.2 定义与命题 知识梳理 1. 意义 2. 判断 条件 结论 条件 结论 3. 正确 不正确 举反例 条件 结论 4. 正确 5. 推理 判断其他命题真假 典例演练 典例1 B 典例2 (1) 如果两条直线被第三条直线所截得的同旁内 角互补,那么这两条直线平行.是真命题.(2) 如果一个角 是另一个角的补角,那么这个角一定是钝角.是假命题.如 ∠1=60°,∠2=120°,满足∠1是∠2的补角,但∠1不是 钝角.(3) 如果两个角是两个相等的角的余角,那么这两 个角相等.是真命题. 预学训练 1. D 2. B 3. D 4. B 5. D 6. D 7. 由两个一次 方程组成,并且含有两个未知数的方程组,叫作二元一次 方程组 8. 如果两个数互为相反数,那么这两个数的和 为零 9. 假 10. (1) ① 是命题,写成“如果……那么……”的形式如 下:如果两条直线被第三条直线所截得的同位角相等,那 么这两条直线平行.是真命题.② 不是命题.(2) 答案不 唯一,如① 反例:对顶角相等,但不是同位角.② 反例: 180°的角不是钝角. 11. 选择不唯一,如条件是①②,结论是③.因为BE 是 ∠ABC的平分线,所以∠2=∠CBE.因为∠E=∠2,所 以∠CBE=∠E.所以AE∥BC.所以∠A+∠ABC= 180°.因为∠1+∠ABC=180°,所以∠A=∠1.所以DF∥ AB. 1.3 证 明 知识梳理 1. 条件 基本事实 定理 推论 2. 延长线 不相邻 和 3. (1) 画出图形 (2) 已知 求证 (3) 证明 4. 虚线 典例演练 典例1 因为BD 平分∠ABC,EF 平分∠AED(已知), 所以∠2=12∠ABC ,∠1=12∠AED (角平分线的定 义).因为BC∥ED(已知),所以∠ABC=∠AED(两直线 平行,同位角相等).所以∠2=∠1(等量代换).所以BD∥ EF(同位角相等,两直线平行). 典例2 原命题改写为“如果两条线段是等腰三角形两腰 上的高线,那么这两条线段相等”.已知:如图,在等腰三角 形ABC中,AB=AC,BD,CE 分别是AC,AB 边上的高 线.求证:BD=CE. 典例2图 证明:因为在△ABC 中,BD,CE 分别是AC,AB 边上的 高线,所以S△ABC= 1 2AC ·BD=12AB ·CE.因为 AB=AC,所以BD=CE. 典例3 (1) ∠BOC=∠BAC+∠B+∠C.理由:如图, 连结AO 并延长.因为∠3是△ABO 的外角,所以∠1+ ∠B=∠3①.因为∠4是△AOC 的外角,所以∠2+ ∠C=∠4②.由①+②,得∠1+∠B+∠2+∠C=∠3+ ∠4,即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C.(2) 由(1)中的结 论,可得∠A+∠B+∠E=∠BFE.因 为∠DFC= ∠BFE,所以∠A+∠B+∠E=∠DFC.所以∠A+ ∠B+∠C+∠D+∠E=∠DFC+∠C+∠D=180°. 典例3图 预学训练 1. C 2. A 3. C 4. MN AB 内错角相等,两直线 平行 EF AB 同位角相等,两直线平行 如果两条直 线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行 5. 因 为 ∠B =50°,∠ANC =80°,所 以 ∠BAN = ∠ANC-∠B=80°-50°=30°.因为AN 是∠BAC 的平 分线,所以∠BAC=2∠BAN=60°.所以∠C=180°- ∠BAC-∠B=70°. 6. 因为∠1=∠2,所以EC∥BF.所以∠C=∠BFD.因为 ∠B=∠C,所以∠B=∠BFD.所以 AB∥CD.所以 ∠A=∠D. 7. (1) 因为EF∥AD,所以∠2+∠3=180°.因为∠1+ ∠2=180°,所以∠1=∠3.所以DG∥AB.(2) 因为DG 平 分∠ADC,所以∠ADC=2∠4.由(1),知DG∥AB,所以 ∠4=∠B=32°.所以∠ADC=2∠4=64°. 8. B 9. 连结 AP.因为 PE⊥AB,PF⊥AC,CH ⊥AB, 所以S△ABP= 1 2AB ·PE,S△ACP= 1 2AC ·PF,S△ABC= 1 2AB ·CH.因为S△ABP+S△ACP=S△ABC,所以 1 2AB · 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 19 PE+12AC ·PF=12AB ·CH.又因为 AB=AC, 所以PE+PF=CH. 1.4 全等三角形 知识梳理 1. 重合 2. 重合 对应顶点 对应边 对应角 3. 相 等 相等 典例演练 典例1 A 典例2 (1) 其他对应角为∠BAF 和∠DCE,∠AFB 和 ∠CED;其他对应边为AB 和CD,BF 和DE.(2) 因为 △ABF≌△CDE,∠B=30°,所以∠B=∠D=30°.因为 ∠DCF=40°,所以∠EFC=∠D+∠DCF=30°+40°= 70°.(3) 因为△ABF≌△CDE,所以 BF=DE.所以 BF-EF=DE-EF.所以BE=DF.因为BD=10, EF=2,所以BE=DF=4.所以BF=BE+EF=4+ 2=6. 预学训练 1. C 2. D 3. A 4. B 5. (1) 8 (2) 79° 6. 3 7. ④ 8. 因为△ABC≌△DEF,BC=7,所以BC=EF=7.因为 EC=4,所以CF=EF-EC=7-4=3. 9. (1) 因为AD⊥BC,所以∠CDF=90°.因为△ABD≌ △CFD,所以∠BAD=∠FCD.因为∠AFE=∠CFD,所 以∠AEF=∠CDF=90°.所以 CE⊥AB.(2) 因为 △ABD≌△CFD,所以AD=CD,BD=FD.因为BC= 7,AD=CD=5,所以BD=BC-CD=2.所以FD=2.所 以AF=AD-FD=5-2=3. 10. 20° 11. (1) EF+ AF= BE.因为△ACF≌△CBE,所以 CF= BE,AF=CE.所以EF+ AF= EF+ CE=CF= BE.(2) 因为△ACF≌△CBE,所以∠ACF=∠CBE. 因为∠BCF= ∠BCA + ∠ACF= ∠BEC+ ∠CBE, 所以∠BCA=∠BEC=120°. 1.5 三角形全等的判定 第1课时　“边边边” 知识梳理 1. 相等 边边边 SSS 2. 稳定性 典例演练 典例1 D 典例2 在△ADB 和△BCA 中,因为 AD=BC, BD=AC, AB=BA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以 △ADB≌△BCA(SSS).所以∠D=∠C. 预学训练 1. C 2. B 3. 2 4. AB=CD 5. 100° 解析:在△BDA 和△BDE 中,因为 BA=BE, BD=BD, DA=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△BDA≌△BDE(SSS).所以∠A=∠BED.因为 ∠A=80°,所 以∠BED=∠A=80°.因 为∠CED+ ∠BED=180°,所以∠CED=100°. 6. EF SSS 全等三角形对应角相等 内错角相等,两 直线平行 7. 在 △ABC 和 △DEB 中,因 为 AC=DB, AB=DE, BC=EB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 △ABC≌△DEB.所以∠ACB=∠DBE.因为∠AFB 是 △BCF 的外角,所以∠AFB=∠ACB+∠DBE.所以 ∠AFB=2∠ACB. 8. 这种做法合理.理由:因为a=b,所以DE=FG.在 △BDE 和△CFG 中,因为 BE=CG, BD=CF, DE=FG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△BDE≌ △CFG(SSS).所以∠B=∠C.所以这种做法合理. 9. 如图,连结AC.在△ADC 和△CBA 中,因为AD= CB, AC=CA,CD=AB,所以△ADC≌△CBA.所以 ∠DCA = ∠BAC.所 以 AB ∥CD.所 以 ∠BAD + ∠ADC=180°. 第9题 10. 因为△AOB≌△DOC,所以AB=DC,OA=OD, OB=OC.所以OA+OC=OD+OB,即AC=DB.在 △ABC 和△DCB 中,因为 AB=DC, BC=CB, AC=DB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△ABC≌ △DCB (SSS).所 以 ∠ACB = ∠DBC.同 理 可 证, ∠CAD=∠BDA.因为∠CAD+∠BDA=∠AOB= ∠ACB+∠DBC,即2∠CAD=2∠ACB,所以∠CAD= ∠ACB.所以AD∥BC. 第2课时　“边角边” 知识梳理 夹角 边角边 SAS 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 60 1.3　证　明 1. 证明:要判断一个命题是真命题,往往需要 从命题的 出发,根据已知的定义、 、 (包括 ), 一步一步推得结论成立.这样的推理过程叫 作证明. 2. 三角形的外角:由三角形的一条边的 和另一条相邻的边组成的角,叫作该三角形 的外角.三角形的内角和定理的推论:三角 形的外角等于与它 的两个内角的 . 3. 证明几何命题时,表述格式一般是:(1) 按题 意 .(2) 分清命题的条件和结论,结 合图形,在“ ”中写出条件,在 “ ”中写出结论.(3) 在“ ” 中写出推理过程. 4. 解决几何问题时,有时需要添加辅助线.添 加辅助线的过程要写入证明中.辅助线通常 画成 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 如图,BC∥ED,BD 平分∠ABC,EF 平 分∠AED.求证:BD∥EF. 典例1图 利用“三线八角”证出同位角相等后,即可 证明BD∥EF. 解答: 解有所悟:利用“三线八角”可使证明简洁明了. 典例2 求证:等腰三角形两腰上的高线长相等. 按证明几何命题的一般步骤证题,详见知 识梳理3.如果第一步有困难,可先将原命题改 写成“如果……那么……”的形式,便于理解.证 题的思路是等面积法. 解答: 解有所悟:遇到高线或垂直时,利用等面积法建立 等量关系. 典例3 如图①所示的图形像我们常见的学习用 品———圆规,我们不妨把这样的图形叫作“规 形图”. (1) 如图①,观察“规形图”,试探究∠BOC 与 ∠A,∠B,∠C 之间的关系,并说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 拍 照 批 改 61 (2) 如图②,在五角星中,利用(1)中的结论,求 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数. 典例3图 (1) 连结AO 并延长,为利用三角形内角 或外角的性质创造条件.(2) 利用(1)中的结论 和对顶角相等,把5个角的和转化成三角形的 内角和. 解答: 解有所悟:本题中的基本图形是“规形图”和“三角 形”,复杂的图形是由基本图形构建成的. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 一副含30°角和45°角的直角三角尺按如图 所示的位置摆放,则∠1的度数为 ( ) A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° 第1题 第2题 2. 如图,将△ABC 的边BC 对折,使点B 与点 C 重合.若∠A=65°,∠ACD=25°,则∠B 的度数为 ( ) A. 45° B. 60° C. 35° D. 40° 3. 试说明“若∠A+∠B=180°,∠C+∠D= 180°,∠A=∠C,则∠B=∠D”是真命题. 下列是排乱的推理过程:① 因为∠A=∠C (已知);② 因为∠A+∠B=180°,∠C+ ∠D=180°(已知);③ 所以∠B=180°- ∠A,∠D=180°-∠C(等式的性质);④ 所 以∠B=∠D(等量代换);⑤ 所以∠B= 180°-∠C(等量代换).正确的顺序是 ( ) A. ①→③→②→⑤→④ B. ②→③→⑤→①→④ C. ②→③→①→⑤→④ D. ②→⑤→①→③→④ 4. 如图,∠1=∠A,∠2=∠B,求证:MN∥ EF. 第4题 证明:因为 ∠1=∠A(已知), 所以 ∥ ( ). 因为∠2=∠B(已知), 所以 ∥ ( ). 所以MN∥EF( ). 5. 如图,在△ABC 中,AN 是∠BAC 的平分 线,∠B=50°,∠ANC=80°.求∠BAC 和 ∠C 的度数. 第5题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 62 6. 如图,直线AD 分别与直线BE,CE,BF,CF 相交于点A,G,H,D,且∠1=∠2,∠B= ∠C.求证:∠A=∠D. 第6题 7. 如图,在△ABC 中,点D 在边BC 上,EF∥ AD,且EF 分别交AB,BC 于点E,F,DG 平分∠ADC,交 AC 于点G,∠1+∠2= 180°. (1) 求证:DG∥AB. (2) 若∠B=32°,求∠ADC 的度数. 第7题 [综合提升] 答案讲解 8. 如图,D 是∠ACB 内一点.若∠1= 35°,∠2=40°,∠ADB=145°,则 ∠ACB 的大小为 ( ) 第8题 A. 75° B. 70° C. 65° D. 60° 答案讲解 9. 如图,在△ABC 中,AB=AC,P 为 底边BC 上一点,PE⊥AB 于点E, PF⊥AC 于点F,CH⊥AB 于点 H.求证:PE+PF=CH. 第9题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级