专题5 不定方程的整数解及其实际应用-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（浙教版2024）

39 专题五　不定方程的整数解及其实际应用 不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组),其特点是往往有无数个解,不 能唯一确定.对于不定方程(组),初中阶段往往只求其特殊解(整数解、自然数解、正整数解等), 并利用这些特殊解解决与生活相关的实际问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些复 杂的不定方程(组)问题常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决. 类型一 不定方程的特殊解(整数解、自然数解) 1. 方程(x+1)2+(y-2)2=1的整数解的个 数是 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答案讲解 2. 二元一次方程2x+5y=40的非负 整数解有 ( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 3. 已知 x=12 , y=4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 是二元一次方程2x+y=a的 一个解. (1) a= . (2) 试直接写出二元一次方程2x+y=a的 所有自然数解. 4. 求不定方程xy+2x+3y=0的所有整 数解. 5. 已知x,y,z均为非负实数,且满足x=5- y+z=1+y+3z,求整数z的值. 类型二 不定方程在实际问题中的应用 6. (齐齐哈尔中考)为提高学生的学习兴趣,增 强动手实践能力,某校为物理兴趣小组的同 学购买了一根长度为150cm的导线,将其全 部截成10cm和20cm两种长度的导线用于 实验操作(每种长度的导线至少一根),则截 取方案共有 ( ) A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 40 7. 新考向 数学文化 “今有五十鹿进舍,小舍 容四鹿,大舍容六鹿,需舍几何?”(改编自 《缉古算经》)大意如下:今有50只鹿进圈舍, 小圈舍可以容纳4只鹿,大圈舍可以容纳 6只鹿,求所需圈舍的间数.若恰好每间圈舍 都能住满鹿,则求得的结果有 ( ) A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 8. (龙东地区中考)某社区为了打造“书香社区”, 丰富小区居民的业余文化生活,计划出资 500元全部用于采购A,B,C 三种图书,A 种 每本30元,B 种每本25元,C 种每本20元, 其中A 种图书至少买5本,最多买6本(三种 图书都要买),则此次采购的方案有 ( ) A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 答案讲解 9. ★阅读材料,然后解答问题: 我们知道,任何一个二元一次方程 都有无数个解.但在实际问题中,我 们常常只需要知道二元一次方程的非负整 数解,即两个未知数均为非负整数的解. 例如:求2x+3y=12的非负整数解时,由 2x+3y=12,得y= 12-2x 3 =4- 2 3x. 因为 x,y为非负整数,所以当x=0时,y=4;当 x=3时,y=2;当x=6时,y=0.所以2x+ 3y=12的 非 负 整 数 解 为 x=0, y=4, x=3 , y=2, x=6, y=0. (1) 已知 x=-2, y=7 和x=6 , y=-5 是关于x,y的 二元一次方程mx+ny=8的2个解. ① 求m,n的值. ② 请根据材料求出方程mx+ny=8的所有 非负整数解. (2) 盒子里有若干个大小相同的白球和红 球,从中摸到1个红球得3分,摸到1个白球 得5分.某人摸球共得20分,那么摸到红球 和白球的组合方式有 种. 10. 某校七、八、九年级某月课外兴趣小组活动 总时间统计如下表: 年 级 课外兴趣小组活动总时间/h 七年级 12.5 八年级 12 九年级 8.5 其中,各年级文艺小组每次活动时间为 2h,各年级科技小组每次活动时间为1.5h (每个年级两种兴趣小组都有,且仅有这两 种兴趣小组). (1) 若七年级科技小组的活动次数比文艺 小组的活动次数少1,请你用一元一次方程 的知识分别求七年级科技小组与文艺小组 的活动次数. (2) 八年级科技小组的活动次数为 . (3) 分别求九年级科技小组与文艺小组的 活动次数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 41 11. 要将240吨新鲜蔬菜由A 地运往B 地.现 有甲、乙、丙三种车供选择,每辆车的运载 能力和运费如下表(假设每辆车均满载且 只运输一次): 车 型 甲 乙 丙 运载量/(吨/辆) 10 16 20 运费/(元/辆) 800 1000 1200 (1) 同时用甲、乙、丙三种车运送全部蔬菜, 甲种车8辆,乙种车5辆,则丙种车需要多 少辆? (2) 若全部蔬菜用甲、乙两种车运送完,需 运费16400元,则分别需甲、乙两种车各 几辆? (3) 若全部蔬菜用甲、乙、丙三种车同时参 与并运送完,已知它们的总辆数为16,请你 列出全部运输方案,并说明哪种运输方案 总费用最少,最少总费用为多少元? 答案讲解 12. 为了奖励优秀学生,李老师用W 元 购买奖品.若3支钢笔和4本笔记 本为一份奖品,则可购买60份奖 品;若4支钢笔和7本笔记本为一份奖品, 则可购买40份 奖品.设钢笔的单价为 x元,笔记本的单价为y元. (1) 请用含y的代数式表示x. (2) 若W 元全部用来购买笔记本,则总共 可以买多少本? (3) 若李老师用这笔钱恰好买了75份同样 的奖品,每份奖品中有a 支钢笔和b本笔 记本(钢笔和笔记本都要有),请求出所有 可能的a,b的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 13 2)2-24≥-24.所以当(x-2)2=0时,(x-2)2-24的 值最小,最小值是-24.所以y+x的最小值是-24. 6. D 解析:原式=(3-1)×(3+1)×(32+1)×(34+ 1)×(38+1)×(316+1)+1=(32-1)×(32+1)×(34+ 1)×(38+1)×(316+1)+1=(332-1)+1=332. 7. (1) 原式=(100+3)×(100-3)×10009=(10000- 9)×(10000+9)=100002-92=99999919.(2) 原式= 20232+4 (2023+2)2+(2023-2)2 = 20232+4 2×(20232+4)= 1 2. (3) 原式= 1-12 × 1+12 × 1-13 × 1+ 1 3 × 1-14 × 1+14 ×…× 1-119 × 1+ 1 19 =12×32×23×43×34×54×…×1819×2019=12× 20 19= 10 19. (4) 原式= 1 2 12-20+200+ 192 192-380+200 + 2 2 22-40+200 + 182 182-360+200 + … + 9 2 92-180+200+ 112 112-220+200 + 10 2 102-200+200= 1 2 (1-10)2+100 + 192 (19-10)2+100 + 2 2 (2-10)2+100 + 182 (18-10)2+100 + … + 9 2 (9-10)2+100+ 112 (11-10)2+100 +1=1 2+192 92+100+ 22+182 82+100+ …+9 2+112 12+100+1= (10-9)2+(10+9)2 92+102 + (10-8)2+(10+8)2 82+102 + …+ (10-1)2+(10+1)2 12+102 +1= 2×(92+102) 92+102 + 2×(82+102) 82+102 + …+2× (12+102) 12+102 +1= 2×9+1=19. 8. D 9. (1) 4ab=(a+b)2-(a-b)2.(2) ① (m-n)2=(m+ n)2 -4mn=25+56=81.② 因 为 x+2x 2 = x-2x 2 +8=1+8=9,而x>0,所以x+2x=3. 10. (1) a2+b2=(a+b)2-2ab.(2) 217.(3) 设m=5- x,n=x-1,则m+n=4,mn=(5-x)(x-1)=2.所以 (5-x)2+(x-1)2=m2+n2=(m+n)2-2mn=16- 4=12.(4) 设AE=DE=a米,BE=CE=b米.由题意, 得a+b=18,S三角形AED +S三角形BEC = 1 2a 2+ 12b 2= 109(平方 米),即 a2 +b2 =218,所 以 S三角形CDE + S三角形ABE= 1 2ab+ 1 2ab=ab= (a+b)2-(a2+b2) 2 = 324-218 2 =53 (平方米),即种草区域的面积和为53平 方米. 专题五　不定方程的整数解 及其实际应用 1. C 2. C 3. (1) 5.(2) 因为a=5,所以2x+y=5.因为x,y是自 然数,所以 x=0, y=5, x=1 , y=3, x=2 , y=1. 4. 原方程可化为(x+3)(y+2)=6.由x,y均为整数,可 列表如下: x+3 1 6 -1 -6 2 3 -2 -3 y+2 6 1 -6 -1 3 2 -3 -2 所以原不定方程的所有整数解为 x1=-2, y1=4, x2=3, y2=-1, x3=-4, y3=-8, x4=-9, y4=-3, x5=-1, y5=1, x6=0, y6=0, x7=-5, y7=-5, x8=-6, y8=-4. 5. 由x=5-y+z=1+y+3z,得2y+2z-4=0,即y+ z=2.直接枚举z的值,使x,y,z的值符合题意.当z= 0时,x=3,y=2;当z=1时,x=5,y=1;当z=2时,x= 7,y=0.所以整数z的值为0,1,2. 6. C 解析:设截取10cm的导线x 根,截取20cm的导 线y 根.根据题意,得10x+20y=150,所以x=15- 2y.因为x,y是正整数,所以y 的值为1,2,3,4,5,6,7, 即截取方案共有7种. 7. B 解析:设需要小圈舍x间,大圈舍y间.由题意,得 4x+6y=50.因为x,y 均为非负整数,所以 x=11, y=1 或 x=8, y=3 或 x=5 , y=5 或 x=2 , y=7. 所以求得的结果有4种. 8. B 解析:当购买5本A 种图书时,设购买x本B 种图 书,y本C 种图书.根据题意,得30×5+25x+20y=500, 所以x=14- 45y. 又因为x,y 均为正整数,所以 x=10, y=5 或 x=6 , y=10 或 x=2 , y=15. 所以当购买5本A 种图书 时,有3种采购方案.当购买6本A 种图书时,设购买 m 本B 种图书,n 本C 种图书.根据题意,得30×6+ 25m+20n=500,所以n=16-54m. 又因为m,n均为正 整数,所以 m=4, n=11 或 m=8 , n=6 或 m=12 , n=1. 所以当购买6本 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 14 A 种图书时,有3种采购方案.所以此次采购的方案有 3+3=6(种). 9. (1) ① 将 x=-2, y=7 和 x=6 , y=-5 代 入 原 方 程,得 -2m+7n=8, 6m-5n=8, 解得 m=3 , n=2. 所以m 的值为3,n 的值为 2.② 因为3x+2y=8,所以y=4- 3 2x. 因为x,y为非 负整数,所以当x=0时,y=4;当x=2时,y=1.所以 3x+2y=8的非负整数解为 x=0, y=4 或 x=2 , y=1. (2) 2. 解析:设摸到a 个红球,b个白球.根据题意,得 3a+5b=20,所以b=4-35a. 因为a,b为非负整数,所 以当a=0时,b=4;当a=5时,b=1.所以摸到红球和白 球的组合方式有2种. 解二元一次不定方程的一般步骤 (1) 将其中一个未知数用另一个未知数表示. (2) 利用整除的性质,枚举符合方程的特殊解,或者先 将表示后的代数式分离整数,再对剩余部分是整数的 情况进行枚举讨论. 10. (1) 设七年级科技小组的活动次数为x,则文艺小组 的活动次数为x+1.由题意,得1.5x+2(x+1)=12.5, 解得x=3.所以x+1=4.所以七年级科技小组与文艺小 组的活动次数分别为3和4.(2) 4.(3) 设九年级文艺小 组的活动次数为a,科技小组的活动次数为b.由题意,得 2a+1.5b=8.5,所以b=17-4a3 . 又因为a,b均为正整 数,所以 a=2, b=3. 所以九年级科技小组与文艺小组的活动 次数分别为3和2. 11. (1) (240-10×8-16×5)÷20=4(辆),所以丙种车 需要4辆.(2) 设需要x辆甲种车,y辆乙种车,则 10x+16y=240, 800x+1000y=16400, 解得 x=8 , y=10. 所以需要8辆甲种 车,10辆乙种车.(3) 设需要m 辆甲种车,n辆乙种车,则 需要(16-m-n)辆丙种车,则10m+16n+20(16-m- n)=240,所以m=8-25n. 因为m,n,16-m-n均为正 整数,所以 m=6, n=5, 或 m=4 , n=10. ① 当m=6,n=5时,16- m-n=5,运费为800×6+1000×5+1 200×5= 15800(元);② 当m=4,n=10时,16-m-n=2,运费为 800×4+1000×10+1200×2=15600(元).因为 15800>15600,所以有两种运输方案:6辆甲种车、5辆乙 种车、5辆丙种车或4辆甲种车、10辆乙种车、2辆丙种 车,其中4辆甲种车、10辆乙种车、2辆丙种车的运输方案 总费用最少,为15600元. 12. (1) 由题意,得60×(3x+4y)=40×(4x+7y).所以 x=2y.(2) 因为60×(3x+4y)÷y=60×(3×2y+ 4y)÷y=600,所以总共可以买600本笔记本.(3) 由题 意,得75×(ax+by)=60×(3x+4y).因为x=2y,所以 b=8-2a.因 为 a,b 均 为 正 整 数,所 以 a=1, b=6 或 a=2, b=4 或 a=3 , b=2. 专题六　因式分解的技巧及其应用 1. B 解析:因为(x-5)(x+n)=x2+(n-5)x-5n,所 以-5n=-10,m=n-5,解得n=2,m=-3.所以m+ n=-3+2=-1. 2. (1) x2+6x-27=(x+9)(x-3).(2) 6x2-7x-3= (3x+1)(2x-3).(3) 20(x+y)2+7(x+y)-6=[4(x+ y)+3][5(x+y)-2]=(4x+4y+3)(5x+5y-2). 3. C 4. (1) ① 原式=m2(m-2)-4(m-2)=(m2-4)(m- 2)=(m-2)2(m+2).② 原式=(x-y)2-9=(x-y+ 3)(x-y-3).③ 原式=(x2-b2)-2ax+2ab=(x+ b)(x-b)-2a(x-b)=(x-b)(x+b-2a).(2) ① 由题 意,得ab-a-b+1=5,即(a-1)(b-1)=5.因为a,b都 是正整数且a>b,所以 a-1=5, b-1=1, 解得 a=6 , b=2. 所以a+ b=8.② 由题意,得ab=a+b+4.所以s=a2+3ab+ b2+3a-52b=a 2+3(a+b+4)+b2+3a-52b=a 2+ 6a+b2+12b+12= (a+3)2+ b+14 2 +4716. 因为(a+ 3)2≥0, b+14 2 ≥0,所以s≥4716 当且仅当a=-3, b=-14 时,等号成立 .经检验,a=-3,b=-14满足 ab-a-b-4=0.所以s的最小值为4716. 5. (1) 原式=m2+6m+9-1=(m+3)2-12=(m+3+ 1)(m+3-1)=(m+4)(m+2).(2) 原式=a4+2a2b2+ b4-a2b2=(a2+b2)2-(ab)2=(a2+b2+ab)(a2+b2-ab). 6. (1) 原式=x3-x2+x2+9x-10=x2(x-1)+(x- 1)(x+10)=(x-1)(x2+x+10).(2) 原式=x3-3x2+ x2-5x+6=x2(x-3)+(x-2)(x-3)=(x-3)(x2+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈