1.2 定义与命题-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（浙教版2024）

18 1.2 定义与命题 知识梳理 1. 意义 2. 判断 条件 结论 条件 结论 3. 正确 不正确 举反例 条件 结论 4. 正确 5. 推理 判断其他命题真假 典例演练 典例1 B 典例2 (1) 如果两条直线被第三条直线所截得的同旁内 角互补,那么这两条直线平行.是真命题.(2) 如果一个角 是另一个角的补角,那么这个角一定是钝角.是假命题.如 ∠1=60°,∠2=120°,满足∠1是∠2的补角,但∠1不是 钝角.(3) 如果两个角是两个相等的角的余角,那么这两 个角相等.是真命题. 预学训练 1. D 2. B 3. D 4. B 5. D 6. D 7. 由两个一次 方程组成,并且含有两个未知数的方程组,叫作二元一次 方程组 8. 如果两个数互为相反数,那么这两个数的和 为零 9. 假 10. (1) ① 是命题,写成“如果……那么……”的形式如 下:如果两条直线被第三条直线所截得的同位角相等,那 么这两条直线平行.是真命题.② 不是命题.(2) 答案不 唯一,如① 反例:对顶角相等,但不是同位角.② 反例: 180°的角不是钝角. 11. 选择不唯一,如条件是①②,结论是③.因为BE 是 ∠ABC的平分线,所以∠2=∠CBE.因为∠E=∠2,所 以∠CBE=∠E.所以AE∥BC.所以∠A+∠ABC= 180°.因为∠1+∠ABC=180°,所以∠A=∠1.所以DF∥ AB. 1.3 证 明 知识梳理 1. 条件 基本事实 定理 推论 2. 延长线 不相邻 和 3. (1) 画出图形 (2) 已知 求证 (3) 证明 4. 虚线 典例演练 典例1 因为BD 平分∠ABC,EF 平分∠AED(已知), 所以∠2=12∠ABC ,∠1=12∠AED (角平分线的定 义).因为BC∥ED(已知),所以∠ABC=∠AED(两直线 平行,同位角相等).所以∠2=∠1(等量代换).所以BD∥ EF(同位角相等,两直线平行). 典例2 原命题改写为“如果两条线段是等腰三角形两腰 上的高线,那么这两条线段相等”.已知:如图,在等腰三角 形ABC中,AB=AC,BD,CE 分别是AC,AB 边上的高 线.求证:BD=CE. 典例2图 证明:因为在△ABC 中,BD,CE 分别是AC,AB 边上的 高线,所以S△ABC= 1 2AC ·BD=12AB ·CE.因为 AB=AC,所以BD=CE. 典例3 (1) ∠BOC=∠BAC+∠B+∠C.理由:如图, 连结AO 并延长.因为∠3是△ABO 的外角,所以∠1+ ∠B=∠3①.因为∠4是△AOC 的外角,所以∠2+ ∠C=∠4②.由①+②,得∠1+∠B+∠2+∠C=∠3+ ∠4,即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C.(2) 由(1)中的结 论,可得∠A+∠B+∠E=∠BFE.因 为∠DFC= ∠BFE,所以∠A+∠B+∠E=∠DFC.所以∠A+ ∠B+∠C+∠D+∠E=∠DFC+∠C+∠D=180°. 典例3图 预学训练 1. C 2. A 3. C 4. MN AB 内错角相等,两直线 平行 EF AB 同位角相等,两直线平行 如果两条直 线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行 5. 因 为 ∠B =50°,∠ANC =80°,所 以 ∠BAN = ∠ANC-∠B=80°-50°=30°.因为AN 是∠BAC 的平 分线,所以∠BAC=2∠BAN=60°.所以∠C=180°- ∠BAC-∠B=70°. 6. 因为∠1=∠2,所以EC∥BF.所以∠C=∠BFD.因为 ∠B=∠C,所以∠B=∠BFD.所以 AB∥CD.所以 ∠A=∠D. 7. (1) 因为EF∥AD,所以∠2+∠3=180°.因为∠1+ ∠2=180°,所以∠1=∠3.所以DG∥AB.(2) 因为DG 平 分∠ADC,所以∠ADC=2∠4.由(1),知DG∥AB,所以 ∠4=∠B=32°.所以∠ADC=2∠4=64°. 8. B 9. 连结 AP.因为 PE⊥AB,PF⊥AC,CH ⊥AB, 所以S△ABP= 1 2AB ·PE,S△ACP= 1 2AC ·PF,S△ABC= 1 2AB ·CH.因为S△ABP+S△ACP=S△ABC,所以 1 2AB · 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 58 1.2　定义与命题 1. 定义:一般地,能明确说明某一名称或术语 的 的句子,叫作该名称或术语的 定义. 2. 命题:一般地, 某一件事情的句子 叫作命题.我们在数学上学习的命题一般由 和 两部分组成. 是已知事项, 是由已知事项得到的 事项. 3. 真、假命题: 的命题称为真命题; 的命题称为假命题.要说明一个命 题是假命题,通常可以用 的方法. 命题的反例是指具备命题的 ,但不 具备命题的 的实例. 4. 基本事实:人们经过长期实践后公认为 的命题,作为判断其他命题的依 据,这些命题称为基本事实. 5. 定理:用 的方法判断为正确的命题 叫作定理.定理也可以作为 的依据. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 下列描述中,不属于定义的是 ( ) A. 无限不循环小数叫作无理数 B. 三角形任何两边的和大于第三边 C. 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次 相接所组成的图形叫作三角形 D. 单项式和多项式统称为整式 既然是定义,就一定有一个名称或术语. 解答: 解有所悟:有“叫作”或“统称为”的字样的描述是定义. 典例2 先把命题分别改写成“如 果……那 么……”的形式,再判断该命题是真命题还是假 命题.如果是假命题,请举出一个反例. (1) 同旁内角互补,两直线平行. (2) 一个角的补角一定是钝角. (3) 等角的余角相等. 命题都是由条件和结论两部分组成的,把 命题写成“如果……那么……”的形式,要把条 件写在“如果”后面,把结论写在“那么”后面,需 要注意的是条件和结论都有一个主语.对假命 题举的反例是指符合命题条件,但得不出命题 结论的例子. 解答: 解有所悟:把命题写成“如果……那么……”的形 式,便于理解命题的条件和结论. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 拍 照 批 改 59 [基础过关] 1. 下列语句中,属于定义的是 ( ) A. 直线a和b垂直吗 B. 两点确定一条直线 C. 两直线平行,内错角相等 D. 整数与分数统称为有理数 2. 给出下列语句:① 两直线相交,只有一个交 点;② 过点P 画直线AB 的垂线;③ 延长线 段AB 到点C;④ 整数都能被2整除.其中, 命题的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下列四个命题中,属于真命题的是 ( ) A. 两直线平行,同旁内角相等 B. 如果x2>0,那么x>0 C. 若两条直线不平行,则这两条直线一定 垂直 D. 81的平方根是±3 4. 下列说法中,正确的是 ( ) A. 命题是定理,但定理未必是命题 B. 基本事实和定理都是真命题 C. 定理和命题一样,有真有假 D. “取线段AB 的中点C”是一个真命题 5. 命题“垂直于同一条直线的两条直线平行” 的条件是 ( ) A. 垂直 B. 两条直线 C. 同一条直线 D. 两条直线垂直于同一条直线 6. 要说明命题“两个数相加,和一定大于其中 一个加数”是假命题,能够作为反例的是 ( ) A. 1+3=4 B. -1+3=2 C. 0+3=3 D. -1+(-3)=-4 7. (教材P15作业题第2题变式)写出二元一 次方程组的定义: . 8. (教材P15作业题第5题变式)把命题“互为 相反数的两 个 数 的 和 为 零”改 写 成“如 果……那么……”的形式: . 9. 命题“若ab=0,则a=b=0”是 命 题(填“真”或“假”). 10. (1) 判断下列语句是不是命题,若是,写成 “如果……那么……”的形式,并判断其是 真命题还是假命题. ① 同位角相等,两直线平行. ② 画两条相等的线. (2) 举反例说明下列命题是假命题: ① 相等的角是同位角. ② 大于90°的角为钝角. [综合提升] 答案讲解 11. 如图,∠1+∠ABC=180°,给出下 列三个条件:① BE 是∠ABC 的 平分线;② ∠E=∠2;③ DF∥ AB.请你从中选出两个作为已知条件,另 一个作为结论,组成一个真命题,并加以 证明. 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备