1.1 第2课时 三角形中的重要线段-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（浙教版2024）

55 第2课时 三角形中的重要线段 1. 三角形的角平分线:在三角形中,一个内角 的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点 与交点之间的 叫作三角形的角平 分线. 2. 三角形的中线:连结三角形的一个顶点与该 顶点的对边 的线段,叫作三角形的 中线. 3. 三角形的高线:从三角形的一个 向 它的对边所在的直线作 , 与 之间的 叫作三角形的 高线. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 如图,AD 是△ABC 的角平分线,DM∥ AC 交AB 于点M,DN∥AB 交AC 于点N,试 说明:DA 平分∠MDN. 典例1图 要证明两角相等,可利用平行线的“等角 转化”功能进行等量代换. 解答: 解有所悟:直接说明两个量相等有困难时,常常通 过等量代换进行间接说明. 典例2 如图,在△ABC 中(AC>AB),AC= 2BC,BC 边上的中线AD 把△ABC 的周长分 成60和40这两部分,求AC 和AB 的长. 典例2图 设法列出与边长有关的二元一次方程组, 要注意AD 把三角形的周长分成的两部分,每 一部分均不包含分割线AD 的长. 解答: 解有所悟:题意中有明显的等量关系时,可考虑列 方程(组)求解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 56 典例3 如图,在直角三角形ABC 中,∠ACB= 90°,CD 是AB 边上的高线,AB=10cm,BC= 8cm,AC=6cm. (1) 求CD 的长. (2) 若AE 是BC 边上的中线,求△ABE 的 面积. 典例3图 (1) 利用等面积法求解.(2) 利用三角形 的中线均分三角形的面积求解. 解答: 解有所悟:由于三角形的面积是不变的,则当题目 中需求出高线的长时,常利用等面积法求解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 如图,△ABC 的边AC 上的高是 ( ) A. AF B. DB C. CF D. BE 第1题 第3题 2. 下列说法中,正确的是 ( ) A. 三角形的高、中线是线段,角平分线是 射线 B. 三角形的三条高中,至少有一条在三角形 的内部 C. 钝角三角形的三条角平分线在三角形的 外部 D. 在三角形中,连结一个顶点和它对边中 点的直线叫作三角形的中线 3. 如图,AD,AE,AF分别是△ABC的中线、角平 分线、高线,则下列结论中,错误的是 ( ) A. CD=12BC B. 2∠BAE=∠BAC C. ∠C+∠CAF=90° D. AE=AC 4. (教材P12作业题第3题变式)如图,AD 是 △ABC 的中线,AB=4,AC=3.若△ACD 的周长为8,则△ABD 的周长为 . 第4题 第5题 5. 如图,在△ABC 中,∠BAC=60°,∠B= 45°,AD 是△ABC 的 一 条 角 平 分 线,则 ∠ADB= . 答案讲解 6. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,则 以 AD 为 高 的 三 角 形 有 个. 第6题 7. 如图,BE 是△ABC 的角平分线,D 为AB 边上 一 点,连 结 ED,DC.若 ∠DEB = ∠DBE,∠EDC=∠ECD,则CD 是△ABC 的角平分线吗? 请判断并说明理由. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 57 8. 如图,AD 和BF 分别是△ABC 的高和角平 分线,AE 是边BC 的中线. (1) 若△ABE 的面积为6,则△ABC 的面积 为 . (2) 若∠C=70°,∠BAC=60°,求∠DAC 和 ∠AFB 的度数. 第8题 [综合提升] 9. 如图,在△ABC中,D,E,F 分别为BC,AD, CE的中点.若△ABC的面积为60cm2,则涂 色部分的面积为 ( ) 第9题 A. 10cm2 B. 12cm2 C. 15cm2 D. 20cm2 答案讲解 10. 如图,AD 是△ABC 的中线,E 是 AD 的中点,连结EB,EC,过点C 作CF⊥BE 于点F.若BE=9, CF=8,求△ACE 的面积. 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 17 分别为BD,DF,BF.(3) 以AB 为边的三角形有△ABC, △ABF,△ABE,△ABD.(4) 以F 为顶点的三角形有 △ABF,△AEF,△BDF. 预学训练 1. B 2. C 3. C 解析:如图①,沿三角形一边上的高剪开即可得到 两个直角三角形.如图②,将一个钝角三角形沿虚线剪开 即可得到两个钝角三角形.如图③,将一个直角三角形沿 虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形.由 于剪开的边上的两个角互补,不可能都是锐角,故这两个三 角形不可能都是锐角三角形.综上所述,将一个三角形剪成 两个三角形,则这两个三角形不可能都是锐角三角形. 第3题 4. △ACE 4 5. 30 6. (1) < (2) > 7. (1) △ABC,△AEC,△ABD.(2) △ABC,△BOC, △BDC,△BEC. 8. 有两种选法.选法一:9cm,12cm,16cm;选法二: 12cm,16cm,25cm. 9. D 10. (1) 3 解析:以 AB 为一边的三角形有△ABC, △ABD,△ABE,共3个. (2) 6 解析:以C 为顶点的三角形有△ABC,△BEC, △BCD,△ACE,△ACD,△CDE,共6个. 11. 2c-2a 12. 因为10a2+4b2+4=12ab+4a,所以10a2-12ab+ 4b2-4a+4=0.所以9a2-12ab+4b2+a2-4a+4=0, 即(3a-2b)2+(a-2)2=0.所以 3a-2b=0, a-2=0, 解得 a=2, b=3. 所以3-2<c<3+2,即1<c<5.又c是奇数,所 以c=3. 13. 7个.这些三角形各边的长如下:① 8,8,2;② 7,7,4; ③ 6,6,6;④ 5,5,8;⑤ 3,7,8;⑥ 4,6,8;⑦ 5,6,7. 第2课时　三角形中的重要线段 知识梳理 1. 线段 2. 中点 3. 顶点 垂线 顶点 垂足 线段 典例演练 典例1 因为AD 是△ABC 的角平分线,所以∠BAD= ∠CAD.因 为 DM ∥AC,DN∥AB,所 以 ∠ADM = ∠DAN,∠ADN=∠DAM.所以∠ADM=∠ADN.所 以DA 平分∠MDN. 典例2 设BD=CD=x,AB=y,则BC=BD+CD= 2x.所以AC=2BC=4x.因为边BC 上的中线AD 把 △ABC的周长分成60和40这两部分,AC>AB,所以 AC+CD=60,AB+BD=40,即 4x+x=60, x+y=40, 解得 x=12, y=28. 所以AB=28,AC=4×12=48,BC=2×12= 24.当AB=28,BC=24,AC=48时,符合三角形的三边 关系,能组成三角形.所以AC=48,AB=28. 典例3 (1) 由题意,得S△ABC= 1 2AC ·BC=12AB · CD.所以CD=AC ·BC AB =4.8cm. (2) 因为S△ABC= 1 2AC ·BC=12×6×8=24 (cm2),且AE 是BC 边上的 中线,所以S△ABE= 1 2S△ABC=12cm 2. 预学训练 1. D 2. B 3. D 4. 9 5. 105° 6. 6 7. CD 是△ABC 的角平分线.理由:因为BE 是△ABC 的角 平 分 线,所 以∠DBE=∠EBC.因 为∠DEB= ∠DBE,所以∠DEB=∠EBC.所 以 DE∥BC.所 以 ∠EDC=∠DCB.因为∠EDC=∠ECD,所以∠ECD = ∠DCB.所以CD 是△ABC的角平分线. 8. (1) 12. 解析:因为AE 是△ABC 的边BC 的中线, 所以BE=CE.所以S△ACE=S△ABE=6.所以S△ABC=12. (2) 因为AD 是△ABC 的高,所以∠ADC=90°.因为 ∠C=70°,所以∠DAC=90°-∠C=90°-70°=20°.因为 ∠C=70°,∠BAC=60°,所以∠ABC=180°-∠C- ∠BAC=180°-70°-60°=50°.因为BF 是△ABC 的角 平分线,所以∠CBF=12∠ABC=25°. 所以∠AFB= ∠CBF+∠C=25°+70°=95°. 9. C 10. 因为CF⊥BE,所以S△BCE= 1 2BE ·CF=12×9× 8=36.因为 AD 是△ABC 的中线,所以 BD=CD. 所以S△CDE= 1 2S△BCE= 1 2×36=18. 因为E 是AD 的中 点,所以S△ACE=S△CDE=18. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈