专题6 因式分解的技巧及其应用-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（浙教版2024）

42 专题六　因式分解的技巧及其应用 因式分解在代数式恒等变形、解方程以及代数式的运算等方面经常用到,因而尤为重要.初 中阶段因式分解的方法除了有提取公因式法、公式法外,还有十字相乘法、分组分解法、添项分解 法、拆项分解法等. 类型一 用十字相乘法分解因式 1. 若x2+mx-10=(x-5)(x+n),则m+n 的值为 ( ) A. 5 B. -1 C. -5 D. 1 答案讲解 2. 利用整式的乘法运算法则推导得 出:(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+ bc)x+bd.我们知道因式分解是与 整式乘法方向相反的变形,利用这种关系可 得acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d). 通过观察可把acx2+(ad+bc)x+bd 看作 以x为未知数,a,b,c,d为常数的二次三项 式,此种因式分解是把二次三项式的二次项 系数ac与常数项bd 分别进行适当的分解 来凑一次项的系数,分解过程可形象地表述 为“竖乘得首、尾,叉乘凑中项”,如图①,这 种分解的方法称为十字相乘法.例如:将二 次三项式2x2+11x+12的二次项系数2与 常数项12分别进行适当的分解,如图②,则 2x2+11x+12=(x+4)(2x+3). 第2题 解决下列问题: (1) 用十字相乘法分解因式:x2+6x-27. (2) 用十字相乘法分解因式:6x2-7x-3. (3) 结合本题知识,分解因式:20(x+y)2+ 7(x+y)-6. 类型二 用分组分解法分解因式 3. 把多项式x2-4xy-2y+x+4y2分解因式 后有一个因式为x-2y,则另一个因式为 ( ) A. x+2y+1 B. x+2y-1 C. x-2y+1 D. x-2y-1 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 拍 照 批 改 43 答案讲解 4. 观察探究性学习小组的甲、乙两名 同学因式分解的过程: 甲:x2-xy+4x-4y =(x2-xy)+(4x-4y) =x(x-y)+4(x-y) =(x-y)(x+4). 乙:a2-b2-c2+2bc =a2-(b2+c2-2bc) =a2-(b-c)2 =(a+b-c)(a-b+c). (1) 请你在他们解法的启发下,把下列各式 分解因式: ① m3-2m2-4m+8. ② x2-2xy+y2-9. ③ x2-2ax-b2+2ab. (2) 拓展应用: ① 若a,b(a>b)都是正整数且满足ab- a-b-4=0,求a+b的值. ② 若a,b为实数且满足ab-a-b-4=0, s=a2+3ab+b2+3a-52b ,求s的最小值. 类型三 用添项、拆项法分解因式 5. 阅读材料: 二次三项式a2+2ab+b2 可以用公式直接分 解为(a+b)2,但对于二次三项式a2+2ab- 8b2,就不能直接用公式了,我们可以将-8b2 拆成b2和-9b2,构造完全平方式.于是有 a2+2ab-8b2 =a2+2ab+b2-9b2 =(a+b)2-(3b)2 =[(a+b)+3b][(a+b)-3b] =(a+4b)(a-2b). 像这样将二次三项式分解因式的方法叫作 拆项分解法. 请你根据材料中提供的因式分解的方法,将 下列多项式分解因式: (1) m2+6m+8. (2) a4+a2b2+b4. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 44 答案讲解 6. 我们面对没有学过的数学题时,方 法可以创新,但在创新中要遵循法 则和运算律,才能正确解答.下面介 绍一种分解因式的新方法—拆项补项法:把 多项式的某一项拆开或填补上互为相反数 的两项(或几项),使原式转化为已学过的知 识进行分解. 例题:用拆项补项法分解因式:x3-9x+8. 解:原式=x3-x2+x2-9x+8 =x3-x2+x2-x-8x+8 =x2(x-1)+x(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x2+x-8). 请你结合自己的思考和理解分解因式: (1) x3+9x-10. (2) x3-2x2-5x+6. 类型四 因式分解的应用 7. 如图甲,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪 成9块,若图中①②都是边长为a的大正方 形,③④都是边长为b的小正方形,剩下的 都是边长分别为a,b的小长方形. 第7题 (1) 观察图甲,可以发现多项式2a2+5ab+ 2b2因式分解为 . (2) 若图甲中每个小长方形的面积为4,四 个正方形的面积之和为34,试求图甲中所有 裁剪线(虚线部分)长之和. (3) 如图乙所示的为一个棱长是x的正方体 切去一个小长方体后重新拼成一个新长方 体,请你根据图形的体积变化关系,直接写 出一个因式分解形式的等式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 14 A 种图书时,有3种采购方案.所以此次采购的方案有 3+3=6(种). 9. (1) ① 将 x=-2, y=7 和 x=6 , y=-5 代 入 原 方 程,得 -2m+7n=8, 6m-5n=8, 解得 m=3 , n=2. 所以m 的值为3,n 的值为 2.② 因为3x+2y=8,所以y=4- 3 2x. 因为x,y为非 负整数,所以当x=0时,y=4;当x=2时,y=1.所以 3x+2y=8的非负整数解为 x=0, y=4 或 x=2 , y=1. (2) 2. 解析:设摸到a 个红球,b个白球.根据题意,得 3a+5b=20,所以b=4-35a. 因为a,b为非负整数,所 以当a=0时,b=4;当a=5时,b=1.所以摸到红球和白 球的组合方式有2种. 解二元一次不定方程的一般步骤 (1) 将其中一个未知数用另一个未知数表示. (2) 利用整除的性质,枚举符合方程的特殊解,或者先 将表示后的代数式分离整数,再对剩余部分是整数的 情况进行枚举讨论. 10. (1) 设七年级科技小组的活动次数为x,则文艺小组 的活动次数为x+1.由题意,得1.5x+2(x+1)=12.5, 解得x=3.所以x+1=4.所以七年级科技小组与文艺小 组的活动次数分别为3和4.(2) 4.(3) 设九年级文艺小 组的活动次数为a,科技小组的活动次数为b.由题意,得 2a+1.5b=8.5,所以b=17-4a3 . 又因为a,b均为正整 数,所以 a=2, b=3. 所以九年级科技小组与文艺小组的活动 次数分别为3和2. 11. (1) (240-10×8-16×5)÷20=4(辆),所以丙种车 需要4辆.(2) 设需要x辆甲种车,y辆乙种车,则 10x+16y=240, 800x+1000y=16400, 解得 x=8 , y=10. 所以需要8辆甲种 车,10辆乙种车.(3) 设需要m 辆甲种车,n辆乙种车,则 需要(16-m-n)辆丙种车,则10m+16n+20(16-m- n)=240,所以m=8-25n. 因为m,n,16-m-n均为正 整数,所以 m=6, n=5, 或 m=4 , n=10. ① 当m=6,n=5时,16- m-n=5,运费为800×6+1000×5+1 200×5= 15800(元);② 当m=4,n=10时,16-m-n=2,运费为 800×4+1000×10+1200×2=15600(元).因为 15800>15600,所以有两种运输方案:6辆甲种车、5辆乙 种车、5辆丙种车或4辆甲种车、10辆乙种车、2辆丙种 车,其中4辆甲种车、10辆乙种车、2辆丙种车的运输方案 总费用最少,为15600元. 12. (1) 由题意,得60×(3x+4y)=40×(4x+7y).所以 x=2y.(2) 因为60×(3x+4y)÷y=60×(3×2y+ 4y)÷y=600,所以总共可以买600本笔记本.(3) 由题 意,得75×(ax+by)=60×(3x+4y).因为x=2y,所以 b=8-2a.因 为 a,b 均 为 正 整 数,所 以 a=1, b=6 或 a=2, b=4 或 a=3 , b=2. 专题六　因式分解的技巧及其应用 1. B 解析:因为(x-5)(x+n)=x2+(n-5)x-5n,所 以-5n=-10,m=n-5,解得n=2,m=-3.所以m+ n=-3+2=-1. 2. (1) x2+6x-27=(x+9)(x-3).(2) 6x2-7x-3= (3x+1)(2x-3).(3) 20(x+y)2+7(x+y)-6=[4(x+ y)+3][5(x+y)-2]=(4x+4y+3)(5x+5y-2). 3. C 4. (1) ① 原式=m2(m-2)-4(m-2)=(m2-4)(m- 2)=(m-2)2(m+2).② 原式=(x-y)2-9=(x-y+ 3)(x-y-3).③ 原式=(x2-b2)-2ax+2ab=(x+ b)(x-b)-2a(x-b)=(x-b)(x+b-2a).(2) ① 由题 意,得ab-a-b+1=5,即(a-1)(b-1)=5.因为a,b都 是正整数且a>b,所以 a-1=5, b-1=1, 解得 a=6 , b=2. 所以a+ b=8.② 由题意,得ab=a+b+4.所以s=a2+3ab+ b2+3a-52b=a 2+3(a+b+4)+b2+3a-52b=a 2+ 6a+b2+12b+12= (a+3)2+ b+14 2 +4716. 因为(a+ 3)2≥0, b+14 2 ≥0,所以s≥4716 当且仅当a=-3, b=-14 时,等号成立 .经检验,a=-3,b=-14满足 ab-a-b-4=0.所以s的最小值为4716. 5. (1) 原式=m2+6m+9-1=(m+3)2-12=(m+3+ 1)(m+3-1)=(m+4)(m+2).(2) 原式=a4+2a2b2+ b4-a2b2=(a2+b2)2-(ab)2=(a2+b2+ab)(a2+b2-ab). 6. (1) 原式=x3-x2+x2+9x-10=x2(x-1)+(x- 1)(x+10)=(x-1)(x2+x+10).(2) 原式=x3-3x2+ x2-5x+6=x2(x-3)+(x-2)(x-3)=(x-3)(x2+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15 x-2)=(x-3)(x+2)(x-1). 7. (1) (2a+b)(a+2b).(2) 由题意,得ab=4,2a2+ 2b2=34,所以a2+b2=17.所以(a+b)2=a2+b2+ 2ab=25.因为a>0,b>0,所以a+b=5.所以所有裁剪 线(虚线部分)长之和为2(2a+b)+2(a+2b)=6a+6b= 6×5=30.(3) 因为拼接过程中新长方体的体积不变,所 以x3-4x=x(x+2)(x-2). 专题七　方程（组）在实际问题 中的应用 1. A 2. 310或 340 3. 20 4. 设天头长为xcm.由题意,得地头长为23xcm ,边的宽 为1 10x+ 2 3x =16x(cm).所以装裱后的长为23x+ x+100= 53x+100 cm,装裱后的宽为16x+16x+ 27= 13x+27 cm.由题意,得53x+100= 13x+27 ×4, 解得x=24.所以16x=4. 所以边的宽为4cm,天头长为 24cm. 5. A 6. C 7. 145 8. (1) 设一块长方形墙砖的长为xm,宽为ym.依题意, 得 x+y=1.5, 2x=x+4y, 解得 x=1.2 , y=0.3. 所以一块长方形墙砖的长 为1.2m,宽为0.3m.(2) 电视背景墙的面积为2×1.2× 1.5=3.6(m2).所以电视背景墙的面积为3.6m2. 9. (1) 由题意,得 20a+0.8×20=49, 20a+0.8×20+(25-20)b+0.8×(25-20)=65.4, 解 得 a=1.65, b=2.48. (2) 当用水量为30吨时,水费为49+(30- 20)×(2.48+0.8)=81.8(元),8190×2%=163.8(元).因 为81.8<163.8,所以小李家8月的用水量超过30吨. (163.8-81.8)÷(3.3+0.8)+30=50(吨),故小李家 8月的用水量是50吨. 10. B 11. 300 12. (1) 设甲工程队单独完成该工程需x天,则乙工程队 单独完成该工程需(x+16)天.由题意,得8x+ x x+16=1 , 解得x=16.经检验,x=16是原分式方程的根,且符合题 意.所以x+16=32.所以甲工程队单独完成该工程需 16天,乙工程队单独完成该工程需32天.(2) ① 19.2; 17.6.② 由题意,得m 16+ m+n 32 =1. 所以3m+n=32. 因为m+n<15且 m,n 均为正整数,所以 m=10, n=2 或 m=9, n=5. 因为1.2m+0.5(m+n)≤18.2,即17m+5n≤ 182,所以 m=10, n=2 与 m=9 , n=5 均符合.所以m 的值为10,n 的值为2或m 的值为9,n的值为5. 整合提优自主检测 一、 1. C 2. B 3. C 4. D 5. A 6. D 7. B 8. A 9. A 10. B 解析:如图,延长BC 至点F.因为纸带的对边互 相平行,且CD∥BE,所以利用平行线的性质以及翻折的 性质,可得∠5=∠DCF=∠4=∠3=∠1.因为∠2+ ∠5+∠DCF=180°,所以66°+2∠5=180°.所以∠5= 57°.所以∠1=57°. 第10题 二、 11. 2025 12. 4 解析:联立 x2-2y=20232①, y2-2x=20232②. 由①-②,得x2- y2+2x-2y=0.所以(x+y)(x-y)+2(x-y)=0,即 (x-y)(x+y+2)=0.由x≠y,可得x+y+2=0,即 x+y=-2.所以x2+2xy+y2=(x+y)2=(-2)2=4. 13. 48 14. 1 15. ∠1+12∠BEH=90° 解析:如图,过点O 作OM∥ AB,所以∠1=∠EOM.因为AB∥CD,所以OM∥CD.所 以∠2=∠FOM.因为OE⊥OF,所以∠EOF=90°.因为 ∠EOF=∠EOM+∠FOM,所以∠1+∠2=90°.因为 AB∥CD,所以∠BEH=∠EHC.因为FG∥EH,所以 ∠EHC=∠CFG.所以∠BEH=∠CFG.因为FO 平分 ∠CFG,所以∠2=12∠CFG. 所以∠2=12∠BEH. 所以 ∠1+12∠BEH=90°. 第15题 16. (1) (6k+9) (2) 1或5 解析:(1) 由题意,得裁去 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈