专题7 方程(组)在实际问题中的应用-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（浙教版2024）

45 专题七　方程（组）在实际问题中的应用 我们在七年级学过的解决实际问题的数学模型主要有一元一次方程、二元一次方程组和分 式方程.解答相关问题时要做到:先准确理解题意,善于挖掘隐含的等量关系,然后正确合理地设 未知数,列出方程(组)求解,最后检验.由于时代飞速发展,此类题目往往具有鲜明的时代特色, 因此要关注市场经济、环境保护、传统文化等问题,提高应用意识. 类型一 与一元一次方程相关的实际应用 1. 新情境 热点信息 (福建中考)某年我国第 一季度社会消费品的零售总额为120327亿 元,比上一年第一季度增长了4.7%,求上一 年第一季度社会消费品的零售总额.若将上 一年第一季度社会消费品的零售总额设为 x亿元,则符合题意的方程是 ( ) A. (1+4.7%)x=120327 B. (1-4.7%)x=120327 C. x 1+4.7%=120327 D. x 1-4.7%=120327 2. 书店举行购书优惠活动:① 一次性购书不超 过100元,不享受打折优惠;② 一次性购书 超过100元但不超过250元,一律打8折; ③ 一次性购书超过250元,一律打7折.小 华在 这 次 活 动 中,两 次 购 书 总 共 付 款 263.5元,第二次购书的原价是第一次购书 的原价的3倍,那么小华这两次购书的原价 的总和是 元. 第3题 3. 如图,两根铁棒直立于桶底水平的 木桶中,在桶中加入水后,一根露出 水面的长度是它的1 3 ,另一根露出 水面的长度是它的1 5. 两根铁棒的 长度之和为55cm,此时木桶中水的深度是 cm. 答案讲解 4. 新考向 传统文化 (北京中考)对 联是中华传统文化的瑰宝,对联装 裱后如图所示,上、下空白处分别称 为天头和地头,左、右空白处统称为边.一般 情况下,天头长与地头长的比是6∶4,左、右 边的宽相等,均为天头长与地头长之和的 1 10. 某 人 要 装 裱 一 副 对 联,对 联 的 长 为 100cm,宽为27cm.若要求装裱后的长是装 裱后的宽的4倍,求边的宽和天头长.(书法 作品选自《启功法书》) 第4题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 46 类型二 与二元一次方程组相关的实际应用 5. 新考向 数学文化 (兰州中考)数学家朱世 杰所著的《四元玉鉴》是我国元代重要的数 学著作之一,书中记载着一个问题,大意如 下:999文钱买了甜果和苦果共1000个, 11文钱可买9个甜果,4文钱可买7个苦果, 问:甜果,苦果各买了多少个? 设买了甜果 x个,苦果y个,则可列方程组为 ( ) A. x+y=1000, 11 9x+ 4 7y=999 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 B. x-y=1000, 11 9x+ 4 7y=999 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 C. x-y=1000, 4 7x+ 11 9y=999 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 D. x+y=999, 4 7x+ 11 9y=1000 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 6. (巴中中考)某学校课后兴趣小组在开展的 手工制作活动中,美术老师要求用14张卡 纸制作圆柱体包装盒,准备把这些卡纸分成 两部分,一部分做侧面,另一部分做底面.已 知每张卡纸可以裁出2个侧面或3个底面, 1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒, 则这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为 ( ) A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 7. 端午节是我国的传统节日,人们有吃粽子的 习俗.某商场从6月12日起打折促销,肉粽 打6折,白粽打7折,打折前购买4盒肉粽和 5盒白粽需350元,打折后购买5盒肉粽和 10盒白粽需360元.轩轩同学想在该商场打 折期间购买肉粽和白粽各5盒,则他购买的 花费比在打折前购买节省 元. 8. (西藏中考)列方程(组)解应用题. 如图,巴桑家客厅的电视背景墙是由10块 形状大小相同的长方形墙砖砌成的.求: (1) 一块长方形墙砖的长和宽. (2) 电视背景墙的面积. 第8题 答案讲解 9. 为了让市民树立起“珍惜水、保护 水”的用水概念,某市从2024年 6月起,居民生活用水按阶梯式水 价计费,下表是该市居民“一户一表”生活用 水计费价格表的部分信息: 每户每月用水量 居民生活用水 价格/(元/吨) 污水处理 价格/(元/吨) 20吨及以下 a 0.8 超过20吨但不超 过30吨的部分 b 0.8 超过30吨的部分 3.3 0.8 注:① 每户产生的污水量等于该户生活用水 量;② 水费=生活用水费用+污水处理 费用. 已知小李家2024年6月用水20吨,缴水费 49元,7月用水25吨,缴水费65.4元. (1) 求表中a,b的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 47 (2) 小李家8月的水费正好是小李家月收入 的2%,已知小李家的月收入为8190元,试 求小李家8月的用水量. 类型三 与分式方程相关的实际应用 10. 某医疗器械公司计划生产一批医用防护服 42万件,由于一线医护人员急需,于是决定 增加生产线,实际每天生产量是原计划每 天生产量的2.5倍,结果比原计划提前8天 完成,则原计划每天生产多少件? 设原计 划每天生产x件,则可列方程为 ( ) A. 42 x- 42 2.5x=8 B. 420000 x - 420000 2.5x =8 C. 42 2.5x- 42 x=8 D. 420000 2.5x - 420000 x =8 11. 甲、乙两名同学的家与学校的距离均为 3000m.甲同学先步行600m,然后乘公交 车去学校,乙同学骑自行车去学校.已知甲 同学的步行速度是乙同学骑自行车速度的 1 2 ,甲同学乘坐的公交车的速度是乙同学 骑自行车速度的2倍.甲、乙两名同学同时 从家出发去学校,结果甲同学比乙同学早 到2min,则乙同学骑自行车的速度是 m/min. 答案讲解 12. 某工程若由甲工程队单独施工,则 刚好如期完成;若由乙工程队单独 施工,则要比甲工程队多用16天 才能完成.若甲、乙两工程队一起施工 8天,余下的工程由乙工程队单独施工,也 正好能如期完成. (1) 甲、乙两工程队单独完成该工程各需多 少天? (2) 已知甲工程队施工一天,工程款为 1.2万元;乙工程队施工一天,工程款为 0.5万元. ① 若甲工程队单独完成该工程,则总工程 款为 万元;若甲、乙两工程队一起 施工8天,余下的工程由乙工程队单独完 成,则总工程款为 万元. ② 实际施工中,甲、乙两工程队一起施工 m 天后,乙工程队又单独施工n 天完成余 下的工程.已知整个工期小于15天,总工 程款不超过18.2万元,求m 和n的值(m, n均为正整数). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 15 x-2)=(x-3)(x+2)(x-1). 7. (1) (2a+b)(a+2b).(2) 由题意,得ab=4,2a2+ 2b2=34,所以a2+b2=17.所以(a+b)2=a2+b2+ 2ab=25.因为a>0,b>0,所以a+b=5.所以所有裁剪 线(虚线部分)长之和为2(2a+b)+2(a+2b)=6a+6b= 6×5=30.(3) 因为拼接过程中新长方体的体积不变,所 以x3-4x=x(x+2)(x-2). 专题七　方程（组）在实际问题 中的应用 1. A 2. 310或 340 3. 20 4. 设天头长为xcm.由题意,得地头长为23xcm ,边的宽 为1 10x+ 2 3x =16x(cm).所以装裱后的长为23x+ x+100= 53x+100 cm,装裱后的宽为16x+16x+ 27= 13x+27 cm.由题意,得53x+100= 13x+27 ×4, 解得x=24.所以16x=4. 所以边的宽为4cm,天头长为 24cm. 5. A 6. C 7. 145 8. (1) 设一块长方形墙砖的长为xm,宽为ym.依题意, 得 x+y=1.5, 2x=x+4y, 解得 x=1.2 , y=0.3. 所以一块长方形墙砖的长 为1.2m,宽为0.3m.(2) 电视背景墙的面积为2×1.2× 1.5=3.6(m2).所以电视背景墙的面积为3.6m2. 9. (1) 由题意,得 20a+0.8×20=49, 20a+0.8×20+(25-20)b+0.8×(25-20)=65.4, 解 得 a=1.65, b=2.48. (2) 当用水量为30吨时,水费为49+(30- 20)×(2.48+0.8)=81.8(元),8190×2%=163.8(元).因 为81.8<163.8,所以小李家8月的用水量超过30吨. (163.8-81.8)÷(3.3+0.8)+30=50(吨),故小李家 8月的用水量是50吨. 10. B 11. 300 12. (1) 设甲工程队单独完成该工程需x天,则乙工程队 单独完成该工程需(x+16)天.由题意,得8x+ x x+16=1 , 解得x=16.经检验,x=16是原分式方程的根,且符合题 意.所以x+16=32.所以甲工程队单独完成该工程需 16天,乙工程队单独完成该工程需32天.(2) ① 19.2; 17.6.② 由题意,得m 16+ m+n 32 =1. 所以3m+n=32. 因为m+n<15且 m,n 均为正整数,所以 m=10, n=2 或 m=9, n=5. 因为1.2m+0.5(m+n)≤18.2,即17m+5n≤ 182,所以 m=10, n=2 与 m=9 , n=5 均符合.所以m 的值为10,n 的值为2或m 的值为9,n的值为5. 整合提优自主检测 一、 1. C 2. B 3. C 4. D 5. A 6. D 7. B 8. A 9. A 10. B 解析:如图,延长BC 至点F.因为纸带的对边互 相平行,且CD∥BE,所以利用平行线的性质以及翻折的 性质,可得∠5=∠DCF=∠4=∠3=∠1.因为∠2+ ∠5+∠DCF=180°,所以66°+2∠5=180°.所以∠5= 57°.所以∠1=57°. 第10题 二、 11. 2025 12. 4 解析:联立 x2-2y=20232①, y2-2x=20232②. 由①-②,得x2- y2+2x-2y=0.所以(x+y)(x-y)+2(x-y)=0,即 (x-y)(x+y+2)=0.由x≠y,可得x+y+2=0,即 x+y=-2.所以x2+2xy+y2=(x+y)2=(-2)2=4. 13. 48 14. 1 15. ∠1+12∠BEH=90° 解析:如图,过点O 作OM∥ AB,所以∠1=∠EOM.因为AB∥CD,所以OM∥CD.所 以∠2=∠FOM.因为OE⊥OF,所以∠EOF=90°.因为 ∠EOF=∠EOM+∠FOM,所以∠1+∠2=90°.因为 AB∥CD,所以∠BEH=∠EHC.因为FG∥EH,所以 ∠EHC=∠CFG.所以∠BEH=∠CFG.因为FO 平分 ∠CFG,所以∠2=12∠CFG. 所以∠2=12∠BEH. 所以 ∠1+12∠BEH=90°. 第15题 16. (1) (6k+9) (2) 1或5 解析:(1) 由题意,得裁去 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈