专题3 整式的化简求值-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（浙教版2024）

11 ∠MOC = 12 ∠AOC ,∠NOC = 12 ∠BOC. 所 以 ∠MON=∠MOC+∠NOC=12 (∠AOC+∠BOC)= 1 2∠AOB=80°. 所以∠MOC=10°.所以∠AOC=20°. ② 当∠NOC+∠MON=90°时,由①,知∠NOC=10°, ∠BOC=20°,所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=140°.综 上所述,∠AOC的度数为20°或140°. 利用分类讨论思想求角的度数 分类讨论思想是中学数学的重要思想方法之一, 在图形问题中,如果图形中的某些元素的位置是不确 定的,那么需要根据某一位置关系进行分类讨论.如果 图形中的各元素的数量关系或对应关系是不确定的, 那么需要根据数量关系或对应关系进行分类讨论. 7. (1) 因为M,N 分别为AC,BC 的中点,AC=10cm, BC=8cm,所以CM=12AC=5cm ,CN=12BC= 4cm.所以MN=CM+CN=9cm.(2) MN=12acm. 理 由:因为M,N 分别为AC,BC的中点,所以CM=12AC , CN=12BC. 所以 MN=CM+CN=12AC+ 1 2BC= 1 2 (AC+BC)=12acm. (3) 如图所示.MN=12bcm. 理 由:因为M,N 分别为AC,BC 的中点,所以AM=MC= 1 2AC ,CN=BN= 12BC. 所以 MN=MC-CN= 1 2AC- 1 2BC= 1 2 (AC-BC)=12bcm. 第7题 8. (1) ① 45;135.② ∠ACB+∠DCE=180°.理由:因为 ∠ACD=∠BCE=90°,所以∠DCE=90°-∠BCD.所以 ∠ACB+∠DCE=∠ACD+∠BCD+(90°-∠BCD)= 90°+90°=180°.(2) 由题意,得∠BCE=90°,∠ACD= 60°,所以∠DCE=60°-∠ACE.所以∠ACB+∠DCE= ∠BCE+∠ACE+∠DCE=∠BCE+∠ACE+(60°- ∠ACE)=90°+60°=150°.(3) ∠AOD+∠BOC=α+ β.理由:因为∠AOB=α,∠COD=β,所以∠AOC=α- ∠BOC.所 以 ∠AOD = ∠COD + ∠AOC=β+α- ∠BOC.所以∠AOD+∠BOC=α+β. 9. (1) 当点C,D 运动了2 s时,CM=2cm,BD= 6cm.因为AB=10cm,所以AC+MD=AB-CM- BD=10-2-6=2(cm).(2) 因为C,D 两点的运动速度 分别为1cm/s,3cm/s,所以BD=3CM.又因为 MD= 3AC,所以BD+MD=3CM+3AC,即BM=3AM.所以 AM=14AB. (3) 如图①,当点N 在线段AB 上时,因为 AN-BN=MN,AN-AM=MN,所以BN=AM= 1 4AB. 所以MN= 1-14- 1 4 AB=12AB,即MNAB = 1 2. 如图②,当点 N 在线段AB 的延长线上时,因为 AN-BN=MN,AN-BN=AB,所以 MN=AB,即 MN AB=1. 综上所述,MN AB 的值为1 2 或1. 第9题 线段动态问题的解决方法 解决线段上的动点问题时,需要明确点的运动方 向和速度,考虑点的运动会带来哪些线段长度的变化 或对应位置的变化;对于一些图形位置不固定的问题, 要将所有情况都一一列举出来,并利用线段的和差倍 分关系进行计算. 专题三　整式的化简求值 1. (1) 原式=5m2-(3m-3m-3+4m2)=5m2-(-3+ 4m2)=5m2+3-4m2=m2+3.当m=-3时,原式= (-3)2+3=12.(2) 原式=5a2+2a-1-12+32a- 8a2=-3a2+34a-13.因为a 是最大的负整数,所以 a=-1.当a=-1时,原式=-3×(-1)2+34×(-1)- 13=-50.(3) 原式=32m- 5 2m+1+12-3m=-4m+ 13.因为m 的倒数等于它本身,所以m=±1.当m=1 时,原式=-4×1+13=-4+13=9;当m=-1时,原 式=-4×(-1)+13=4+13=17.(4) 原式=a2-4b2+ a2+4ab+4b2-2a2+3ab=7ab.当a=15 ,b=3时,原 式=7×15×3= 21 5. (5) 原式=4(x-y)2-(4x2- 3xy)=4x2-8xy+4y2-4x2+3xy=4y2-5xy.当 x=-2,y=- 1 2 时,原式=4× -12 2 -5×(-2)× -12 =4×14-5×2×12=1-5=-4.(6) 原式= 4x2-4x+1-(9x2-1)+5x2+5x=4x2-4x+1- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 9x2+1+5x2+5x=x+2.选取的数不唯一,如当x= 1时,原式=1+2=3. 2. 因为|x|=2y,y= 1 2 ,且xy<0,所以x=-1.原式= 8x2y-4xy2-4xy2-6x2y=2x2y-8xy2.当x=-1, y= 1 2 时,原式=2×(-1)2×12-8× (-1)× 12 2 = 1+2=3. 3. 因为|a-3|+(b+1)2=0,所以a-3=0,b+1=0.所 以a=3,b=-1.原式=3a2+2ab-9ab-6b2-10ab+ 6b2=3a2-17ab.当a=3,b=-1时,原式=3×32-17× 3×(-1)=78. 4. 原式=6m2-2m3-2m2+2m3+1=4m2+1.因为单 项式-2xm+4y2 和x3y 的积与7x6y3 是同类项,且 -2xm+4y2·x3y=-2xm+7y3,所以 m+7=6,解得 m=-1.所以原式=4×(-1)2+1=4+1=5. 5. (1) M-3N=3a2+4ab-1-3(a2-2ab-1)=3a2+ 4ab-1-3a2+6ab+3=10ab+2.(2) 因为(a-1)2+ |b-2|=0,所以a-1=0,b-2=0,解得a=1,b=2.所 以M-3N=10×1×2+2=22. 6. (1) 原式=(2k-2)x2+4y2+1.因为化简后不含x2 项,所以2k-2=0,解得 k=1.(2) 2k3-[3k3-(5k- 5)+k]=-k3+4k-5.当k=1时,原式=-1+4- 5=-2. 7. 原式=a2-4a+4+b2-2ab+4a-4=a2+b2- 2ab.因为(a-b)2=2,即a2+b2-2ab=2,所以原式=2. 8. 因为 mn=2,m-3n=-1,所以3mn(m+n)- 12mn2=3mn(m+n-4n)=3mn(m-3n)=3×2× (-1)=-6. 9. 原式=x2+5x-3x-15+x2-x-3x+3=2x2- 2x-12.因为x2-x-2=0,所以x2-x=2.所以原式= 2(x2-x)-12=2×2-12=-8. 10. 原式=(x2-4y2-4x2+4xy-y2-x2+5y2)÷ (-2x)=(-4x2+4xy)÷(-2x)=2x-2y.因为23x÷ 23y=8,即23x-3y=23,所以3x-3y=3.所以x-y=1.所 以原式=2(x-y)=2×1=2. 11. (1) 当a=3,b=2时,这个多项式可化简为x2+4y- 7.当x=y=1时,多项式的值为-2.(2) 多项式可化简为 (a-2)x2+(b+2)y-7.由题意,得a-2=0,b+2=0, 解得a=2,b=-2.所以存在实数a,b,且当a=2,b= -2时,不管x,y 取何值,该多项式的值始终是常数-7. 12. P=(x+2)2+x(1-x)-9=x2+4x+4+x-x2- 9=5x-5=5(x-1).因为x为整数,且x≠1,所以多项 式P 能被5整除. 证明整数倍问题的方法 解决一个整式是某个数的整数倍问题时,一般将 这个整式通过化简或计算变成这个数与一个整式的乘 积的形式. 13. (1) 因为7a3+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3- 6a3b-1=(7+3-10)a3+(3-3)a2b+(6-6)a3b- 1=-1,所以该多项式的值为常数,与a 和b的取值无 关.所以小阳的说法正确.(2) 2x2+ax-5y+b- 2bx2-32x- 5 2y-3 =2x2+ax-5y+b-2bx2+ 3x+5y+6=(2-2b)x2+(a+3)x+(b+6).因为无论 x,y 取 何 值,多 项 式 2x2 +ax - 5y +b - 2bx2-32x- 5 2y-3 的值都不变,所以2-2b=0,a+ 3=0.所以a=-3,b=1. 有关整式化简求值说理型问题的常见结论 对多项式进行化简后,若代入求值时,代入的某字 母的值是多余的,则说明化简后不含该字母;若某字母 不论取何值,代入后的结果都不变,则说明化简后不含 该字母. 专题四　活学活用乘法公式 1. (1) 因 为 x2 +y2 =9,x+y=4,所 以 xy= (x+y)2-(x2+y2) 2 = 42-9 2 = 7 2. (2) (x-3)(y-3)= xy-3x-3y+9=xy-3(x+y)+9= 7 2-3×4+ 9=12. 2. (1) 因为x=a-2024,y=2020-a,xy=2,所以x+ y=a-2024+2020-a=-4.所以x2+y2=(x+y)2- 2xy=(-4)2-2×2=12.(2) 由(1)知,x2+y2=12,所以 (x-y)2=x2+y2-2xy=12-2×2=8. 3. C 解析:因为x2+2(a+4)x+25是完全平方式,所 以a+4=±5,解得a=-9或a=1. 4. 原式=(x+y)2-a(x+y)+52.因为原式为完全平方 式,所以-a(x+y)=±2×5(x+y).所以-a=±10. 所以a=±10. 5. (1) -3;-24.(2) 大;19.(3) 因为-x2+5x+y+ 20=0,所以y=x2-5x-20.所以y+x=x2-5x-20+ x=x2-4x-20=(x-2)2-24.因为(x-2)2≥0,所以 当x=2时,(x-2)2 的值最小,最小值是0.所以(x- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33 专题三　整式的化简求值 整式的化简求值题,一律要先化简,再代值.代值时,若是直接给定字母的值,则直接代入;若 是给定某个式子的值,则往往需整体代值;有时,需要将整式的化简结果变形后,再直接或整体代 入求值. 类型一 先化简、再直接代入求值 1. 先化简,再求值: (1) 5m2-[3m-(3m+3)+4m2],其中 m=-3. (2) (5a2+2a-1)-4(3-8a+2a2),其中a 是最大的负整数. (3) 3 2m- 5 2m-1 +3(4-m),其中m 的 倒数等于它本身. (4) (a+2b)(a-2b)+(a+2b)2-a(2a- 3b),其中a=15 ,b=3. (5) [2(x-y)]2-(12x3y2-9x2y3)÷ (3xy2),其中x=-2,y=- 1 2. (6) (2x-1)2-(3x+1)(3x-1)+5x(x+ 1),选取一个你喜欢的数作为x 的值代入 求值. 2. 已知|x|=2y,y= 1 2 ,且xy<0,求代数式 4(2x2y-xy2)-2(2xy2+3x2y)的值. 3. 已知|a-3|+(b+1)2=0,求代数式(a- 3b)(3a+2b)-2b(5a-3b)的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 34 4. 已知单项式-2xm+4y2和x3y的积与7x6y3 是同类项,求2m2(3-m)-2(m2-m3)+1 的值. 答案讲解 5. 已知M=3a2+4ab-1,N=a2- 2ab-1. (1) 用含a,b 的代数式表示M- 3N. (2) 若a,b满足(a-1)2+|b-2|=0,求 M-3N 的值. 6. 已知多项式(2kx2+4x2+3x+1)-(6x2- 4y2+3x)化简后不含x2项. (1) 求k 的值. (2) 化简并求多项式2k3-[3k3-(5k- 5)+k]的值. 类型二 先化简、再整体代入求值 7. 先化简,再求值:(a-2)2+b(b-2a)+ 4(a-1),其中(a-b)2=2. 8. 已知mn=2,m-3n=-1,求3mn(m+n)- 12mn2的值. 9. 已知x2-x-2=0,求代数式(x-3)(x+5)+ (x-3)(x-1)的值. 答案讲解 10. 先化简,再求值:[(x+2y)(x- 2y)-(2x-y)2-(x2-5y2)]÷ (-2x),其中x,y满足23x÷23y=8. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 35 类型三 化简说理 11. 已知关于x,y 的多项式(ax2-3x+by- 1)-23-y- 3 2x+x 2 . (1) 给定a=3,b=2,当x=y=1时,求这 个多项式的值. (2) 是否存在实数a,b,不管x,y 取何值, 该多项式的值始终是一个常数? 如果存 在,请求出a,b的值;如果不存在,请说明 理由. 12. ★已知多项式P=(x+2)2+x(1-x)-9(x 为整数,且x≠1).试说明:多项式P 能被5 整除. 答案讲解 13. ★数学课上,老师出了这样一道题 目:当a=12 ,b=-2时,求多项式 7a3+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3- 6a3b-1的值.解完这道题后,小阳指出: a=12 ,b=-2是多余的条件.师生讨论后, 一致认为小阳的说法是正确的. (1) 请你证明小阳的说法. (2) 无论x,y 取何值,多项式2x2+ax- 5y+b-2bx2-32x- 5 2y-3 的值都不 变,求系数a,b的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优