专题4 活学活用乘法公式-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（浙教版2024）

36 专题四　活学活用乘法公式 乘法公式主要是指最基本、最常见的两数和(或差)的完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2 和平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.它们是多项式乘多项式的特殊情况.乘法公式中的字母的 含义是广泛的,它可以是数,也可以是代数式(如单项式、多项式).乘法公式及其变形的应用广 泛,是整式乘法和因式分解的重点.运用乘法公式时,要灵活运用数形结合、转化与化归、整体代 换等数学思想方法. 类型一 完全平方公式的变形应用 1. 已知x2+y2=9,x+y=4,求下列代数式 的值: (1) xy. (2) (x-3)(y-3). 2. 已知x=a-2024,y=2020-a,xy=2.求: (1) x2+y2的值. (2) (x-y)2的值. 类型二 逆向运用完全平方公式 3. 若x2+2(a+4)x+25是完全平方式,则a 的值为 ( ) A. 1 B. -9 C. 1或-9 D. 5 答案讲解 4. 若x2+2xy+y2-a(x+y)+25 为完全平方式,求a的值. 5. 王老师在讲完乘法公式(a±b)2=a2±2ab+ b2的多种应用后,要求同学们运用所学知识 求代数式x2+4x+5的最小值.同学们经过 交流讨论,最后总结出如下解答方法: x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1. 因为(x+2)2≥0,所以当x=-2时,(x+ 2)2的值最小,最小值是0.所以(x+2)2+ 1≥1.所以当(x+2)2=0时,(x+2)2+1的 值最小,最小值是1.所以x2+4x+5的最小 值是1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 拍 照 批 改 37 依据上述方法,解决下列问题: (1) 当x= 时,x2+6x-15有最小 值,最小值是 . (2) 多项式-x2+2x+18有最 (填 “大”或“小”)值,该值为 . (3) 已知-x2+5x+y+20=0,求y+x 的 最值. 类型三 利用乘法公式计算 6. 2×(3+1)×(32+1)×(34+1)×(38+1)× (316+1)+1的计算结果是 ( ) A. 332+1 B. 332-1 C. 331 D. 332 7. 计算: (1) 103×97×10009. (2) 20232+4 20252+20212. (3) 1-122 × 1-132 × 1-142 ×…× 1-1192 . (4) 12 12-20+200+ 22 22-40+200+ … + 192 192-380+200. 类型四 乘法公式的几何背景 8. 从边长为a 的大正方形纸板正中央挖去一 个边长为b的小正方形后,将其裁成四个大 小和形状完全相同的四边形(如图①),然后 拼成一个平行四边形(如图②),那么通过计 算两个图形涂色部分的面积,可以验证成立 的等式为 ( ) 第8题 A. a2-b2=(a-b)2 B. (a+b)2=a2+2ab+b2 C. (a-b)2=a2-2ab+b2 D. a2-b2=(a+b)(a-b) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 38 答案讲解 9. 如图①所示为一个长为2a、宽为2b 的长方形,沿图中虚线用剪刀均分 成四个小长方形,然后按图②的形 状拼成一个正方形. (1) 请观察图①和图②的面积关系,直接写 出代数式(a+b)2,(a-b)2,ab之间的等量 关系: . (2) 根据(1)中的等量关系,解决如下问题: ① 已知m+n=5,mn=-14,求(m-n)2 的值. ② 已知x>0,x-2x=1 ,求x+2x 的值. 第9题 答案讲解 10. 用等式表示图①中图形的面积为 (a+b)2=a2+2ab+b2. (1) 用等式表示图②中涂色部分 的面积和为 . (2) 根据图②所得的公式,若a+b=15, ab=4,则a2+b2= . (3) 若x 满足(5-x)(x-1)=2,求(5- x)2+(x-1)2的值. (4) 如 图③,某 学 校 有 一 块 梯 形 空 地 ABCD,AC⊥BD 于点E,AE=DE,BE= CE.该校计划在三角形 AED 和三角形 BEC 区域内种花,在三角形CDE 和三角形 ABE 区域内种草.经测量,种花区域的面 积和为109平方米,AC=18米,求种草区 域的面积和. 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 12 9x2+1+5x2+5x=x+2.选取的数不唯一,如当x= 1时,原式=1+2=3. 2. 因为|x|=2y,y= 1 2 ,且xy<0,所以x=-1.原式= 8x2y-4xy2-4xy2-6x2y=2x2y-8xy2.当x=-1, y= 1 2 时,原式=2×(-1)2×12-8× (-1)× 12 2 = 1+2=3. 3. 因为|a-3|+(b+1)2=0,所以a-3=0,b+1=0.所 以a=3,b=-1.原式=3a2+2ab-9ab-6b2-10ab+ 6b2=3a2-17ab.当a=3,b=-1时,原式=3×32-17× 3×(-1)=78. 4. 原式=6m2-2m3-2m2+2m3+1=4m2+1.因为单 项式-2xm+4y2 和x3y 的积与7x6y3 是同类项,且 -2xm+4y2·x3y=-2xm+7y3,所以 m+7=6,解得 m=-1.所以原式=4×(-1)2+1=4+1=5. 5. (1) M-3N=3a2+4ab-1-3(a2-2ab-1)=3a2+ 4ab-1-3a2+6ab+3=10ab+2.(2) 因为(a-1)2+ |b-2|=0,所以a-1=0,b-2=0,解得a=1,b=2.所 以M-3N=10×1×2+2=22. 6. (1) 原式=(2k-2)x2+4y2+1.因为化简后不含x2 项,所以2k-2=0,解得 k=1.(2) 2k3-[3k3-(5k- 5)+k]=-k3+4k-5.当k=1时,原式=-1+4- 5=-2. 7. 原式=a2-4a+4+b2-2ab+4a-4=a2+b2- 2ab.因为(a-b)2=2,即a2+b2-2ab=2,所以原式=2. 8. 因为 mn=2,m-3n=-1,所以3mn(m+n)- 12mn2=3mn(m+n-4n)=3mn(m-3n)=3×2× (-1)=-6. 9. 原式=x2+5x-3x-15+x2-x-3x+3=2x2- 2x-12.因为x2-x-2=0,所以x2-x=2.所以原式= 2(x2-x)-12=2×2-12=-8. 10. 原式=(x2-4y2-4x2+4xy-y2-x2+5y2)÷ (-2x)=(-4x2+4xy)÷(-2x)=2x-2y.因为23x÷ 23y=8,即23x-3y=23,所以3x-3y=3.所以x-y=1.所 以原式=2(x-y)=2×1=2. 11. (1) 当a=3,b=2时,这个多项式可化简为x2+4y- 7.当x=y=1时,多项式的值为-2.(2) 多项式可化简为 (a-2)x2+(b+2)y-7.由题意,得a-2=0,b+2=0, 解得a=2,b=-2.所以存在实数a,b,且当a=2,b= -2时,不管x,y 取何值,该多项式的值始终是常数-7. 12. P=(x+2)2+x(1-x)-9=x2+4x+4+x-x2- 9=5x-5=5(x-1).因为x为整数,且x≠1,所以多项 式P 能被5整除. 证明整数倍问题的方法 解决一个整式是某个数的整数倍问题时,一般将 这个整式通过化简或计算变成这个数与一个整式的乘 积的形式. 13. (1) 因为7a3+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3- 6a3b-1=(7+3-10)a3+(3-3)a2b+(6-6)a3b- 1=-1,所以该多项式的值为常数,与a 和b的取值无 关.所以小阳的说法正确.(2) 2x2+ax-5y+b- 2bx2-32x- 5 2y-3 =2x2+ax-5y+b-2bx2+ 3x+5y+6=(2-2b)x2+(a+3)x+(b+6).因为无论 x,y 取 何 值,多 项 式 2x2 +ax - 5y +b - 2bx2-32x- 5 2y-3 的值都不变,所以2-2b=0,a+ 3=0.所以a=-3,b=1. 有关整式化简求值说理型问题的常见结论 对多项式进行化简后,若代入求值时,代入的某字 母的值是多余的,则说明化简后不含该字母;若某字母 不论取何值,代入后的结果都不变,则说明化简后不含 该字母. 专题四　活学活用乘法公式 1. (1) 因 为 x2 +y2 =9,x+y=4,所 以 xy= (x+y)2-(x2+y2) 2 = 42-9 2 = 7 2. (2) (x-3)(y-3)= xy-3x-3y+9=xy-3(x+y)+9= 7 2-3×4+ 9=12. 2. (1) 因为x=a-2024,y=2020-a,xy=2,所以x+ y=a-2024+2020-a=-4.所以x2+y2=(x+y)2- 2xy=(-4)2-2×2=12.(2) 由(1)知,x2+y2=12,所以 (x-y)2=x2+y2-2xy=12-2×2=8. 3. C 解析:因为x2+2(a+4)x+25是完全平方式,所 以a+4=±5,解得a=-9或a=1. 4. 原式=(x+y)2-a(x+y)+52.因为原式为完全平方 式,所以-a(x+y)=±2×5(x+y).所以-a=±10. 所以a=±10. 5. (1) -3;-24.(2) 大;19.(3) 因为-x2+5x+y+ 20=0,所以y=x2-5x-20.所以y+x=x2-5x-20+ x=x2-4x-20=(x-2)2-24.因为(x-2)2≥0,所以 当x=2时,(x-2)2 的值最小,最小值是0.所以(x- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 2)2-24≥-24.所以当(x-2)2=0时,(x-2)2-24的 值最小,最小值是-24.所以y+x的最小值是-24. 6. D 解析:原式=(3-1)×(3+1)×(32+1)×(34+ 1)×(38+1)×(316+1)+1=(32-1)×(32+1)×(34+ 1)×(38+1)×(316+1)+1=(332-1)+1=332. 7. (1) 原式=(100+3)×(100-3)×10009=(10000- 9)×(10000+9)=100002-92=99999919.(2) 原式= 20232+4 (2023+2)2+(2023-2)2 = 20232+4 2×(20232+4)= 1 2. (3) 原式= 1-12 × 1+12 × 1-13 × 1+ 1 3 × 1-14 × 1+14 ×…× 1-119 × 1+ 1 19 =12×32×23×43×34×54×…×1819×2019=12× 20 19= 10 19. (4) 原式= 1 2 12-20+200+ 192 192-380+200 + 2 2 22-40+200 + 182 182-360+200 + … + 9 2 92-180+200+ 112 112-220+200 + 10 2 102-200+200= 1 2 (1-10)2+100 + 192 (19-10)2+100 + 2 2 (2-10)2+100 + 182 (18-10)2+100 + … + 9 2 (9-10)2+100+ 112 (11-10)2+100 +1=1 2+192 92+100+ 22+182 82+100+ …+9 2+112 12+100+1= (10-9)2+(10+9)2 92+102 + (10-8)2+(10+8)2 82+102 + …+ (10-1)2+(10+1)2 12+102 +1= 2×(92+102) 92+102 + 2×(82+102) 82+102 + …+2× (12+102) 12+102 +1= 2×9+1=19. 8. D 9. (1) 4ab=(a+b)2-(a-b)2.(2) ① (m-n)2=(m+ n)2 -4mn=25+56=81.② 因 为 x+2x 2 = x-2x 2 +8=1+8=9,而x>0,所以x+2x=3. 10. (1) a2+b2=(a+b)2-2ab.(2) 217.(3) 设m=5- x,n=x-1,则m+n=4,mn=(5-x)(x-1)=2.所以 (5-x)2+(x-1)2=m2+n2=(m+n)2-2mn=16- 4=12.(4) 设AE=DE=a米,BE=CE=b米.由题意, 得a+b=18,S三角形AED +S三角形BEC = 1 2a 2+ 12b 2= 109(平方 米),即 a2 +b2 =218,所 以 S三角形CDE + S三角形ABE= 1 2ab+ 1 2ab=ab= (a+b)2-(a2+b2) 2 = 324-218 2 =53 (平方米),即种草区域的面积和为53平 方米. 专题五　不定方程的整数解 及其实际应用 1. C 2. C 3. (1) 5.(2) 因为a=5,所以2x+y=5.因为x,y是自 然数,所以 x=0, y=5, x=1 , y=3, x=2 , y=1. 4. 原方程可化为(x+3)(y+2)=6.由x,y均为整数,可 列表如下: x+3 1 6 -1 -6 2 3 -2 -3 y+2 6 1 -6 -1 3 2 -3 -2 所以原不定方程的所有整数解为 x1=-2, y1=4, x2=3, y2=-1, x3=-4, y3=-8, x4=-9, y4=-3, x5=-1, y5=1, x6=0, y6=0, x7=-5, y7=-5, x8=-6, y8=-4. 5. 由x=5-y+z=1+y+3z,得2y+2z-4=0,即y+ z=2.直接枚举z的值,使x,y,z的值符合题意.当z= 0时,x=3,y=2;当z=1时,x=5,y=1;当z=2时,x= 7,y=0.所以整数z的值为0,1,2. 6. C 解析:设截取10cm的导线x 根,截取20cm的导 线y 根.根据题意,得10x+20y=150,所以x=15- 2y.因为x,y是正整数,所以y 的值为1,2,3,4,5,6,7, 即截取方案共有7种. 7. B 解析:设需要小圈舍x间,大圈舍y间.由题意,得 4x+6y=50.因为x,y 均为非负整数,所以 x=11, y=1 或 x=8, y=3 或 x=5 , y=5 或 x=2 , y=7. 所以求得的结果有4种. 8. B 解析:当购买5本A 种图书时,设购买x本B 种图 书,y本C 种图书.根据题意,得30×5+25x+20y=500, 所以x=14- 45y. 又因为x,y 均为正整数,所以 x=10, y=5 或 x=6 , y=10 或 x=2 , y=15. 所以当购买5本A 种图书 时,有3种采购方案.当购买6本A 种图书时,设购买 m 本B 种图书,n 本C 种图书.根据题意,得30×6+ 25m+20n=500,所以n=16-54m. 又因为m,n均为正 整数,所以 m=4, n=11 或 m=8 , n=6 或 m=12 , n=1. 所以当购买6本 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈