第5章 分式-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（浙教版2024）

16 第5章　分　式 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 下列代数式中,是分式的为 ( ) A. 1 2 B. x+1 2 C. 2 x+1 D. x-1 2. 无论x 取何值,下列式子中,一定有意义 的是 ( ) A. 2x-4 x+1 B. x2-1 x2+1 C. x2+1 x3+1 D. |x|+1 |x|-1 3. 甲、乙两地相距skm,李明原计划骑车从甲 地到乙地,需用时th,后因天气原因,改乘公 交车前往,结果提前1h到达乙地,则公交车 的速度是 ( ) A. s tkm /h B. st t-1km /h C. s t+1km /h D. s t-1km /h 4. 如果分式 xy 2x-3y 中的x,y都扩大为原来的 2倍,那么分式的值 ( ) A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍D. 缩小为原来的1 2 5. 下列计算正确的是 ( ) A. 3b x+ b x= 2b x B. a a-b- a b-a=0 C. bc a2 ·2a b2c= 2 ab D. (a2-a)÷ aa-1=a 2 6. 以下是四名同学解方程 2 x-1+ x 1-x=1 的 过程中去分母的步骤,其中正确的是 ( ) A. 2+x=x-1 B. 2-x=1 C. 2+x=1-x D. 2-x=x-1 7. 某校为满足学生课外活动多样化的需求,欲 购买排球和足球若干个.已知足球的单价比 排球的单价高60%,用500元购买的排球数 量比用720元购买的足球数量多1个,则排 球和足球的单价各是多少元? 小宇同学根 据题意得到方程500 x - 720 (1+60%)x=1 ,则方 程中未知数x所表示的是 ( ) A. 足球的单价 B. 排球的单价 C. 足球的数量 D. 排球的数量 答案讲解 8. 若分式方程 5 x-2= a x+ 4 x(x-2) 有 增根,则增根可能为 ( ) A. x=0 B. x=2 C. x=0或x=2 D. x=1 9. 若x 是整数,则使分式8x+22x-1 的值为整数的 x有 ( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 对于非零实数a,b,规定a⊕b=1b- 1 a ,如 1⊕2=12- 1 1=- 1 2. 若2⊕(2x-1)=1, 则x的值为 ( ) A. 5 6 B. 5 4 C. 3 2 D. -16 二、 填空题(每小题3分,共18分) 11. 分式x 3 xy ,3a+1 3a+b ,m+n m2+n2 ,2-4x 6x 中,最简分 式的个数是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 拍 照 批 改 17 12. 已知x= y1-y (y≠1).若用含x 的代数式 表示y,则y= . 13. 整体思想 若1 x+ 1 y=2 ,则2x+xy+2y 3x+5xy+3y= . 14. (青岛中考)某校组织学生进行劳动实践活 动,用1000元购买甲种劳动工具,用2400元 购买乙种劳动工具,乙种劳动工具购买数 量是甲种的2倍,但单价贵了4元.设甲种 劳动工具的单价为x 元,则x 满足的分式 方程为 . 答案讲解 15. ★已知a,b为实数,且ab=1,a≠-1, 设M= aa+1+ b b+1 ,N= 1a+1+ 1 b+1 ,则M,N 的大小关系为 . 16. 新考向 代数推理 (眉山中考)已知a1= x+1(x≠0且x≠-1),a2= 1 1-a1 ,a3= 1 1-a2 ,…,an= 1 1-an-1 ,则a2025 的值为 . 三、 解答题(共52分) 17. (12分)计算: (1) m+1 m2 ÷ 1+m (-m)3. (2) 2x x2-9+ 1 3-x. (3) ★ 4a-5 a-1-a-1 ÷ 1a-1- 2a2-a . 18. (10分)解方程: (1) (内蒙古中考)3 x-1=5+ 3x 1-x. (2) ★2 3+ x 3x-1= 1 9x-3. 答案讲解 19. (8分)(广安中考)先化简: a+ 1- 3a-1 ÷ a2+4a+4 a-1 ,再从-2, 0,1,2中选取一个适合的数作为a的值代 入求值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 18 20. (10分)列方程解应用题: 某商场用4000元购进某种服装销售,由于 销售状况良好,超市又调拨9000元资金购 进该种服装,但这次的进价比第一次的进 价降低了10%,购进的数量比第一次的 2倍还多25件. (1) 这种服装第一次的进价是每件多少元? (2) 若该种服装均以每件100元的售价销 售,则全部售完这种服装时,该商场可以盈 利多少元? 答案讲解 21. (12分)新考法 新定义题 若A 与B 的差为常数,且这个常数为正 数,则称A 是B 的“雅中式”,这个 常数称为A 关于B 的“雅中值”.如A= 2x x+1 ,B= -2x+1 ,A-B=2xx+1- -2 x+1 = 2x+2 x+1= 2(x+1) x+1 =2 ,则A 是B 的“雅中 式”,A 关于B 的“雅中值”为2. (1) 已知C=2+2xx-2 ,D= 3xx-2 ,判断C 是 否为D 的“雅中式”.若不是,请说明理由, 若是,请证明并求出C 关于D 的“雅中值”. (2) 已知P= E9-x2 ,Q= x3-x ,P 是Q 的 “雅中式”,且P 关于Q 的“雅中值”是1,x 为整数,且P 的值也为整数,求E 所代表的 代数式及所有符合条件的x的值. (3) 已知M= (x-b)(x-1) x ,N=x (x-a) x (a,b为整数),M 是N 的“雅中式”,且M 关 于N 的“雅中值”是1,求ab 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 5 9. B 解析:因为a2(b+c)=b2(a+c),所以a2b+a2c- ab2-b2c=0.所以ab(a-b)+c(a+b)(a-b)=0.所以 (a-b)(ab+ac+bc)=0.由a≠b可知,ab+ac+bc= 0.所以ab+ac=-bc.由a2(b+c)=2025,可得a(ab+ ac)=2025.所以a(-bc)= 2025,即abc=-2025. 运用分组分解法分解因式 分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的 因式分解,分组有两个目的,一是分组后能出现公因 式,二是分组后能运用公式. 对于常见的四项式,一般的分组分解法有两种形 式:① 二二分法;② 三一分法.例如:ax+ay+bx+ by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y);2xy-x2+ 1-y2=-(x2-2xy+y2)+1=1-(x-y)2=(1+ x-y)(1-x+y). 10. D 解析:因为a-2b+c=0,a+2b+c<0.所以a+ c=2b,b=a+c2 . 所以a+2b+c=(a+c)+2b=4b< 0.所 以 b<0.所 以 b2 -ac= a+c2 2 -ac= a2+2ac+c2 4 -ac= a2-2ac+c2 4 = a-c 2 2 ≥0. 二、 11. (5x+4y)(5x-4y) 12. 3m2n 3m2n(n- 2)(n+2) 13. 103,97 14. 2x2-12x+18 2(x-3)2 15. 3 解析:因为a2+b2+c2-ab-bc-ac=12 (2a2+ 2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)=12 [(a-b)2+(b-c)2+ (a-c)2],且a=2026x+2023,b=2026x+2024,c= 2026x+2025,所以原式=12× [(-1)2+(-1)2+ (-2)2]=12×6=3. 用因式分解法求代数式的值 因式分解是研究代数式的基础,通过因式分解将 多项式合理变形,是求代数式的值的常用解题方法,具 体做法是根据题目的特点,先通过因式分解将代数式 变形,再进行整体代入. 用因式分解的方法将代数式变形时,根据已知条 件,变形的可以是整个代数式,也可以是其中的一部 分.例如本题中先将代数式变形,再将其分组,构造出 完全平方式的结构形式,最后将每一组分解因式. 16. 36 三、 17. (1) (x-y)(a-b).(2) 2a(a-5)2.(3) (a+ 2)2(a-2)2. 18. 因为m2=n+5,n2=m+5,所以m2-n2=n-m,即 (m+n)(m-n)=-(m-n).因为m≠n,即m-n≠0,所 以m+n=-1.所以m2+2mn+n2=(m+n)2=1. 19. (1) (x+y+3)2.(2) (x-y+z)(x-y-z). (3) (n+1)(n+4)(n2+5n)+4=(n2+5n+4)(n2+5n)+ 4.设M=n2+5n,则原式=(M+4)M+4=M2+4M+4= (M+2)2.将 M=n2+5n 代入,可得原式=(n2+5n+ 2)2.因为n为正整数,所以n2+5n+2也是正整数.所以 (n+1)(n+4)(n2+5n)+4的值是某一个正整数的平方. 20. (1) x2-4x+2的不同形式的配方为(x-2)2-2, (x+2)2-(22+4)x 或(x- 2)2+(22-4)x, (2x- 2)2-x2.(2) 因为x2+4y2+4x+12y+29= (x+2)2+4y+ 3 2 2 +16,且(x+2)2≥0,4y+ 3 2 2 ≥ 0,所以代数式x2+4y2+4x+12y+29的最小值为16. 21. (1) 画出图形不唯一,如图①所示.2a2+5ab+ 2b2.(2) 画出图形不唯一,如图②所示.① 12.② (a+ 2b)(a+3b). 第21题 第5章　分　式 一、 1. C 2. B 3. D 4. B 5. C 6. D 7. B 8. A 解析:原分式方程的最简公分母为x(x-2),由原 分式方程有增根,得x(x-2)=0,解得x=0或x=2.原 分式方程去分母,得5x=a(x-2)+4.由此,可知x= 2不是这个整式方程的解,所以增根可能为x=0. 9. C 10. A 解析:因为2⊕(2x-1)=1,所以 12x-1- 1 2= 1.去分母,得2-(2x-1)=2(2x-1),解得x=56 ,检验: 当x=56 时,2(2x-1)≠0,故分式方程的解为x=56. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 二、 11. 2 12. x 1+x 13. 5 11 14. 2400 x+4=2× 1 000 x 15. M=N 解析:由题意,得 M-N= aa+1+ b b+1- 1 a+1 - 1 b+1 = a-1 a+1 + b-1 b+1 = (a-1)(b+1)+(b-1)(a+1) (a+1)(b+1) = 2ab-2(a+1)(b+1). 又因为 ab=1,所以M-N=0.所以M=N. 运用作差法比较两个数的大小 (1) 作差法是比较两个数的大小的常用方法:若比 较两个数 M,N 的大小,则判断 M-N 的正负即可. ① 若M-N>0,则M>N;② 若M-N<0,则M< N;③ 若M-N=0,则M=N. (2) 若两个数作差的计算结果为常数,则直接判断 该常数的正负即可;若两个数作差的计算结果为代数 式,则需要判断该代数式的正负,常见的方法是利用完 全平方式的非负性或根据题目的条件进行判断. 16. x x+1 解析:因为a1=x+1,所以a2= 1 1-a1= 1 1-(x+1)=- 1 x ,a3= 1 1-a2= 1 1- -1x = xx+1. 所 以a4= 1 1-a3= 1 1- xx+1 = 11 x+1 =x+1.所以a5=- 1 x , a6= x x+1 ,….由上可得,每三个为一个 循 环.因 为 2 025÷3=675,所以a2 025= x x+1. 三、 17. (1) -m.(2) 1 x+3. (3) -a2+2a. 分式的混合运算应注意的几个方面 ① 注意运算顺序:分式的混合运算,先乘方,再乘 除,最后加减,有括号的先算括号里面的.② 注意化简 结果:运算的结果要化成最简分式或整式.③ 注意运算 律的运用:分式的混合运算,一般按常规运算顺序,但 有时应先根据题目的特点,运用运算律运算,可以简化 运算过程. 18. (1) 原方程两边同乘x-1,得3=5(x-1)-3x,去括 号,得3=5x-5-3x,移项,合并同类项,得-2x=-8, 系数化为1,得x=4.检验:将x=4代入x-1,得4-1= 3≠0,则原分式方程的解为x=4. (2) 方程两边同乘9x-3,得2(3x-1)+3x=1,去括号, 得6x-2+3x=1,移项、合并同类项,得9x=3,解得x= 1 3. 经检验,x=13 是原方程的增根.所以原方程无解. 解分式方程忘记检验导致错误 一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的 解有可能使原分式方程中的分母或除数为0,因此要将 整式方程的解代入最简公分母和除数,若最简公分母 或除数的值不为0,则是原方程的解. 19. 原式= a 2-1 a-1- 3 a-1 · a-1a2+4a+4=(a+2)(a-2)a-1 · a-1 (a+2)2= a-2 a+2. 由题意,得a≠1且a≠-2.当a=0时, 原式=0-20+2=-1 ;当a=2时,原式=2-22+2=0. 20. (1) 设这种服装第一次的进价是每件x元,则第二次 的进 价 是 每 件 (1-10%)x 元.根 据 题 意,得 9000 (1-10%)x= 4000 x ×2+25 ,解得x=80.经检验,x= 80是原分式方程的解,且符合题意.所以这种服装第一次 的进价是每件80元.(2) 这种服装第一次购进的数量为 4000÷80=50(件),则第二次购进的数量为50×2+25= 125(件),所以共盈利(50+125)×100-4000-9000= 4500(元).所以全部售完这种服装时,该商场可以盈利 4500元. 21. (1) C 不是D 的“雅中式”.理由:因为C=2+2xx-2 , D= 3xx-2 ,所以C-D=2+2xx-2- 3x x-2= 2+2x-3x x-2 = 2-x x-2=-1. 因为-1<0,所以C 不是D 的“雅中式”. (2) 因为P 是Q 的“雅中式”,且P 关于Q 的“雅中值”是 1,所以 P-Q=1.因为 P= E9-x2 ,Q= x3-x ,所以 E 9-x2- x 3-x=1. 所以E-x(3+x) 9-x2 =1. 所以E-3x- x2=9-x2.所以E=9-x2+3x+x2=3x+9.所以P= 3x+9 9-x2= 3 3-x. 因为x 为整数,且P 的值也为整数,所以 3-x为±1或±3.所以x的值为0或2或4或6.(3) 因 为M 是N 的“雅中式”,且M 关于N 的“雅中值”是1,所 以M-N=1.因为 M= (x-b)(x-1) x ,N=x (x-a) x (a,b为整数),所以 (x-b)(x-1) x - x(x-a) x =1. 所以 x2-bx-x+b-(x2-ax) x =1. 所以ax-bx-x+b x = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 1.所以 (a-b-1)x+b x =1. 所以a-b-1=1,b=0.所以 a=2,b=0.所以ab=20=1. 第6章　数据与统计图表 一、 1. C 2. B 3. C 4. C 5. D 6. B 7. B 8. D 解析:根据题意,得该班共有5÷10%=50(人),所 以喜欢红色的人数是50×28%=14.因为50-16-5- 14=15(人),且柱的高度从高到低排列,所以题图②中 “( )”内应填的颜色是红色. 二、 9. 条形 折线 扇形 根据各统计图的特征选择合适的统计图 常用的几种统计图反映数据的不同特征:(1) 扇形 统计图的特点:① 用扇形的面积表示部分在总体中所 占的百分比;② 易于显示每组数据相对于总体的大 小.(2) 条形统计图的特点:① 条形统计图能清楚地 表示出每个项目的具体数目;② 易于比较数据之间 的差别.(3) 折线统计图的特点:能清楚地反映数据 的变化趋势. 10. 5 正确分组绘制频数直方图 绘制频数直方图时,需要先对数据进行分组,分组 时应注意:① 根据“组距=(最大值-最小值)÷组数” 来计算组距,注意小数部分要进位;② 组数与数据多少 有关,一般来说数据的个数越多,分组就越多. 11. 20 12. 5 3 三、 13. (1) 8÷20%=40(名),所以在这次调查中,一共 抽取了40名学生.(2) 最喜欢规划馆的人数为40-14- 10-8=8,补全条形统计图如图所示.(3) 800×1440= 280(名),所以估计最喜欢科技馆的学生共有280名. 第13题 14. (1) 在此次调查中,生活垃圾的总质量为25÷25%= 100(吨),所以表示“其他垃圾(D)”部分的扇形的圆心角 度数为360°×10100=36°. (2) “厨余垃圾(B)”的质量为 100-25-5-10=60(吨).补全条形统计图如图所示. (3) 由题意,得4000×25%×15%×0.8=120(吨),所以 该企业每天利用回收的废纸可以生产120吨纸. 第14题 15. (1) a=360-(48+96+72)=144.(2) 补全频数直方 图如图所示.(3) 因为72 360×100%=20% ,所以该年级一 分钟跳绳次数大于190的学生人数占该年级学生总人数 的20%. 第15题 16. (1) 宣传活动前,在抽取的市民中,偶尔戴头盔的人 数最多,占抽取人数的百分比为 510 1000×100%=51%. (2) 估计宣传活动前全市骑电瓶车都不戴头盔的人数为 30×1771000=5.31 (万).(3) 小明分析数据的方法不合 理.宣传活动后骑电瓶车都不戴头盔的人数所占的百分比 为 178 896+702+224+178×100%=8.9% ,宣传活动前骑电 瓶车都不戴头盔的人数所占的百分比为177 1000×100%= 17.7%.因为8.9%<17.7%,所以交通管理部门开展的宣 传活动有效果,即小明分析数据的方法不合理(言之有理 即可). 复习进阶自主检测 一、 1. C 2. A 3. C 4. D 5. C 6. A 7. A 8. D 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈