第4章 因式分解-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（浙教版2024）

13 第4章　因式分解 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 下列各式由左到右的变形中,属于因式分解 的是 ( ) A. (x+2)(x-2)=x2-4 B. x2-4=(x+2)(x-2) C. x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x D. x2+4x-2=x(x+4)-2 2. 多项式8a3b2+12ab3c的公因式为 ( ) A. abc B. 4ab2 C. ab2 D. 4ab2c 3. 小明在抄分解因式的题目时,不小心漏抄了 x的指数,他只知道该指数为不大于10的正 整数,并且能利用平方差公式分解因式,他 抄在作业本上的式子为x□-4y2(“□”表示 漏抄的指数),则这个指数可能的结果共有 ( ) A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 4. 计算1252-50×125+252的结果是 ( ) A. 100 B. 150 C. 10000 D. 22500 5. 已知xy=3,x-y=-2,则代数式x2y- xy2的值是 ( ) A. 6 B. -1 C. -5 D. -6 6. 新情境 游戏活动 琪琪是一名密码翻译爱 好者,在她的密码手册中,有这样一条信息: a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2,a2-b2分 别对应下列六个字:华、爱、我、中、丽、美.现 将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2分解因式,结果 呈现的密码信息可能是 ( ) A. 我爱美 B. 中华美丽 C. 我爱中华 D. 美我中华 7. (河北中考)若k为任意整数,则(2k+3)2- 4k2的值总能 ( ) A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 8. 如图,有一张边长为b的正方形纸板,先在它 的四角各剪去一个边长为a的正方形,然后 将四周突出的部分折起,制成一个无盖的长 方体纸盒.用 M 表示其底面积与侧面积的 差,则M 可分解因式为 ( ) 第8题 A. (b-6a)(b-2a) B. (b-3a)(b-2a) C. (b-5a)(b-a) D. (b-2a)2 9. ★已知a2(b+c)=b2(a+c)=2025,且a,b, c互不相等,则abc的值为 ( ) A. 2025 B. -2025 C. 1 D. -1 答案讲解 10. 已知三个实数a,b,c 满足a- 2b+c=0,a+2b+c<0,则下列 结论中,正确的是 ( ) A. b>0,b2-ac≤0 B. b<0,b2-ac≤0 C. b>0,b2-ac≥0 D. b<0,b2-ac≥0 二、 填空题(每小题3分,共18分) 11. 分解因式:25x2-16y2= . 12. 将多项式3m2n3-12m2n 分解因式时,应 提取的公因式为 ,该多项式进行 因式分解的最后结果为 . 13. 运用因式分解把9991分解成两个自然数 的积,则这两个自然数为 . 14. 甲、乙两名同学将一个二次三项式因式分 解,甲同学因看错了一次项系数而分解成 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 拍 照 批 改 14 2(x-1)(x-9);乙同学因看错了常数项而 分解成2(x-2)(x-4).原二次三项式为 ,因式分解的正确结果 为 . 15. ★已知a=2026x+2023,b=2026x+ 2024,c=2026x+2025,则a2+b2+c2- ab-bc-ac的值为 . 答案讲解 16. 新考法 新定义题 若一个整数 能表示成两个整数的平方和,则称 这个数为“完美数”.例如:5=22+ 12,5就是一个“完美数”.当k= 时,无论x,y 取何整数,M=x2+4xy+ 5y2-12y+k始终是一个“完美数”. 三、 解答题(共52分) 17. (9分)分解因式: (1) a(x-y)+b(y-x). (2) 2a3-20a2+50a. (3) (a2+4)2-16a2. 18. (8分)已知m2=n+5,n2=m+5,且m≠ n,求m2+2mn+n2 的值. 19. (10分) 整体思想 先阅读材料,再回答 问题: 分解因式:(a-b)2-2(a-b)+1. 解:将“a-b”看成整体,令a-b=M,则原 式=M2-2M+1=(M-1)2,再将a-b= M 还原,得到原式=(a-b-1)2. 上述解题过程中用到了“整体思想”,它是 数学中常用的一种思想方法.请你用整体 思想解决下列问题: (1) 分解因式:9+6(x+y)+(x+y)2= . (2) 分 解 因 式:x2-2xy+y2-z2= . (3) 若n为正整数,请说明(n+1)(n+4)· (n2+5n)+4的值为某一个正整数的平方. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 15 答案讲解 20. (10分)阅读材料: 把形如ax2+bx+c 的二次三项 式(或其一部分)配成完全平方式 的方法叫作配方法,配方法的基本形式为 完全平方公式的逆写,即a2±2ab+b2= (a±b)2.例如:x2-2x+4的三种不同形 式的配方为(x-1)2+3,(x-2)2+2x 或 (x+2)2-6x,12x-2 2 +34x 2(即“余项” 分别是常数项、一次项、二次项). 根据材料中的内容,解答下列问题. (1) 根据材料中的例子,写出x2-4x+2 的不同形式的配方. (2) 利用配方法求代数式x2+4y2+4x+ 12y+29的最小值. 21. (15分)阅读材料,回答问题. 如图①,有足够多的边长为a 的小正方形 纸片(A 类),长为b、宽为a 的长方形纸片 (B 类)及边长为b 的大正方形纸片(C 类),发现利用这三类纸片各若干张可以拼 出一些长方形来解释某些等式,图②可以 解释(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2. (1) 取图①中的若干张纸片(A,B,C 三类 纸片都要取到)拼成一个长方形,使其面积 为(2a+b)(a+2b),画出图形.根据图形可 知,(2a+b)(a+2b)= . (2) 取图①中的若干张纸片(A,B,C 三类 纸片都要取到)拼成一个长方形,使其面积 为a2+5ab+6b2,画出图形. ① 拼成这个长方形需要A 类、B 类、C 类 纸片共 张. ② 根据图形可知,多项式a2+5ab+6b2分 解因式为 . 第21题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 4 5. A 6. A 7. A 8. D 9. B 10. B 解析:设正方形纸片A,B 的边长分别为a,b(a> b).由题图②中涂色部分的面积为1,可得(a-b)2=1,所 以a-b=1.由题图③中涂色部分的面积为12,可得(a+ b)2-(a2+b2)=2ab=12.所以(a+b)2=(a-b)2+ 4ab=1+2×12=25.所以a+b=5.所以题图④中涂色部 分的面积为(2a+b)2-(3a2+2b2)=a2+4ab-b2= (a+b)(a-b)+4ab=5×1+2×12=29. 运用乘法公式的常见变形解题 运用平方差公式和完全平方公式进行计算时,注 意运用它们的变形形式.完全平方公式的常见变形: ① a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;② (a+ b)2+(a-b)2=2a2+2b2;③ ab=12 [(a+b)2- (a2+b2)]=14 [(a+b)2-(a-b)2].平方差公式的常 见变形:① (a+b)(-a+b)=b2-a2;② (-a-b)· (a-b)=b2-a2;③ (a+2b-c)(a-2b+c)=a2- (2b-c)2;④ (a+b)(a-b)(a2+b2)=a4-b4. 二、 11. 0 12. 2a2-54a 13. 4 14. 654383 15. 24 解析:设小正方形的边长为a,大正方形的边长 为b.因为AB=10,两正方形的面积之和为52,所以a+ b=10,a2+b2=52,则涂色部分的面积=(a+b)2-2× 1 2a (a+b)-b2=a2+b2+2ab-a2-ab-b2=ab= (a+b)2-(a2+b2) 2 = 100-52 2 =24. 16. 3∶1 解析:由题意,得S2=4 1 2ab+ 1 2b 2 = 2ab+2b2,S1=(a+b)2-S2=a2+2ab+b2-2ab- 2b2=a2-b2.根据S1=S2 可知,a2-b2=2ab+2b2,从而 得到a2-2ab=3b2.在等号两边同时加上b2,得到(a- b)2=4b2,从而可得a-b=2b或a-b=-2b(不合题意, 舍去).所以a=3b.所以a∶b=3∶1. 三、 17. (1) -9. (2) -3b4x5. (3) x2-2x+1. 18. (1) 原式=[4a2+4ab+b2-(4a2-b2)]÷(2b)= (4a2+4ab+b2-4a2+b2)÷(2b)=(4ab+2b2)÷(2b)= 2a+b.当a=2,b=-1时,原式=2×2-1=3.(2) 原 式=(9a2-6a+1)-8a2+2a=(9a2-8a2)+(-6a+ 2a)+1=a2-4a+1.因为a2-4a+3=0,所以a2-4a= -3.所以原式=-3+1=-2. 19. (1) A·B+13的值不可能为负数.理由:因为A· B+13=(2t+3)(2t-3)+13=4t2-9+13=4t2+4,且 4t2≥0,所以4t2+4>0.所以A·B+13的值不可能为负 数.(2) A2-B2=(2t+3)2-(2t-3)2=24t.因为t是整 数,所以24t一定能被24整除.所以当t是整数时,A2- B2的值一定能被24整除. 20. (1) 因为(2a2b+ab2)÷(ab)=(2a+b)厘米,所以这 张长方形纸板的长为2a+b+a+a=(4a+b)厘米. (2) 因为b(2a+b)+2ab+2a(2a+b)=2ab+b2+2ab+ 4a2+2ab=(b2+4a2+6ab)平方厘米,所以这个纸盒需要 用(b2+4a2+6ab)平方厘米的红色包装纸. 21. (1) 如 图,则(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+ 10a2b3+5ab4+b5.(2) 25-5×24+10×23-10×22+ 5×2-1=25+5×24×(-1)+10×23×(-1)2+10× 22×(-1)3+5×2×(-1)4+(-1)5=(2-1)5=1. 第21题 22. (1) (a+b)2-2ab;a2+b2.(2) (a+b)2-2ab=a2+ b2.(3) ① 因为(a+b)2-2ab=a2+b2,所以ab= (a+b)2-(a2+b2) 2 . 因为m+n=5,m2+n2=20,所以 mn= (m+n)2-(m2+n2) 2 = 52-20 2 = 5 2. 所以(m- n)2=m2-2mn+n2=20-2×52=20-5=15.② 设a= x-2023,b=x-2025,则a+b=2(x-2024).所以x- 2024=a+b2 . 所 以 (x -2024)2 = a+b2 2 = a2+2ab+b 4 2 .因为(a-b)2=[(x-2023)-(x- 2025)]2=22=4,(a-b)2=a2-2ab+b2,所以2ab= (a2+b2)-(a-b)2=(x-2023)2+(x-2025)2-4= 34-4=30.所 以 (x -2024)2 =a 2+2ab+b2 4 = 34+30 4 =16. 第4章　因式分解 一、 1. B 2. B 3. D 4. C 5. D 6. C 7. B 8. A 解析:由题意,得这个长方体纸盒的底面积为(b- 2a)2,侧面积为4a(b-2a),所以M=(b-2a)2-4a(b- 2a).提取公因式b-2a,即可得到M=(b-2a)(b-2a- 4a)=(b-2a)(b-6a). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 9. B 解析:因为a2(b+c)=b2(a+c),所以a2b+a2c- ab2-b2c=0.所以ab(a-b)+c(a+b)(a-b)=0.所以 (a-b)(ab+ac+bc)=0.由a≠b可知,ab+ac+bc= 0.所以ab+ac=-bc.由a2(b+c)=2025,可得a(ab+ ac)=2025.所以a(-bc)= 2025,即abc=-2025. 运用分组分解法分解因式 分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的 因式分解,分组有两个目的,一是分组后能出现公因 式,二是分组后能运用公式. 对于常见的四项式,一般的分组分解法有两种形 式:① 二二分法;② 三一分法.例如:ax+ay+bx+ by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y);2xy-x2+ 1-y2=-(x2-2xy+y2)+1=1-(x-y)2=(1+ x-y)(1-x+y). 10. D 解析:因为a-2b+c=0,a+2b+c<0.所以a+ c=2b,b=a+c2 . 所以a+2b+c=(a+c)+2b=4b< 0.所 以 b<0.所 以 b2 -ac= a+c2 2 -ac= a2+2ac+c2 4 -ac= a2-2ac+c2 4 = a-c 2 2 ≥0. 二、 11. (5x+4y)(5x-4y) 12. 3m2n 3m2n(n- 2)(n+2) 13. 103,97 14. 2x2-12x+18 2(x-3)2 15. 3 解析:因为a2+b2+c2-ab-bc-ac=12 (2a2+ 2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)=12 [(a-b)2+(b-c)2+ (a-c)2],且a=2026x+2023,b=2026x+2024,c= 2026x+2025,所以原式=12× [(-1)2+(-1)2+ (-2)2]=12×6=3. 用因式分解法求代数式的值 因式分解是研究代数式的基础,通过因式分解将 多项式合理变形,是求代数式的值的常用解题方法,具 体做法是根据题目的特点,先通过因式分解将代数式 变形,再进行整体代入. 用因式分解的方法将代数式变形时,根据已知条 件,变形的可以是整个代数式,也可以是其中的一部 分.例如本题中先将代数式变形,再将其分组,构造出 完全平方式的结构形式,最后将每一组分解因式. 16. 36 三、 17. (1) (x-y)(a-b).(2) 2a(a-5)2.(3) (a+ 2)2(a-2)2. 18. 因为m2=n+5,n2=m+5,所以m2-n2=n-m,即 (m+n)(m-n)=-(m-n).因为m≠n,即m-n≠0,所 以m+n=-1.所以m2+2mn+n2=(m+n)2=1. 19. (1) (x+y+3)2.(2) (x-y+z)(x-y-z). (3) (n+1)(n+4)(n2+5n)+4=(n2+5n+4)(n2+5n)+ 4.设M=n2+5n,则原式=(M+4)M+4=M2+4M+4= (M+2)2.将 M=n2+5n 代入,可得原式=(n2+5n+ 2)2.因为n为正整数,所以n2+5n+2也是正整数.所以 (n+1)(n+4)(n2+5n)+4的值是某一个正整数的平方. 20. (1) x2-4x+2的不同形式的配方为(x-2)2-2, (x+2)2-(22+4)x 或(x- 2)2+(22-4)x, (2x- 2)2-x2.(2) 因为x2+4y2+4x+12y+29= (x+2)2+4y+ 3 2 2 +16,且(x+2)2≥0,4y+ 3 2 2 ≥ 0,所以代数式x2+4y2+4x+12y+29的最小值为16. 21. (1) 画出图形不唯一,如图①所示.2a2+5ab+ 2b2.(2) 画出图形不唯一,如图②所示.① 12.② (a+ 2b)(a+3b). 第21题 第5章　分　式 一、 1. C 2. B 3. D 4. B 5. C 6. D 7. B 8. A 解析:原分式方程的最简公分母为x(x-2),由原 分式方程有增根,得x(x-2)=0,解得x=0或x=2.原 分式方程去分母,得5x=a(x-2)+4.由此,可知x= 2不是这个整式方程的解,所以增根可能为x=0. 9. C 10. A 解析:因为2⊕(2x-1)=1,所以 12x-1- 1 2= 1.去分母,得2-(2x-1)=2(2x-1),解得x=56 ,检验: 当x=56 时,2(2x-1)≠0,故分式方程的解为x=56. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈