第4章 指数与对数综合检测卷（提高篇）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第4章 指数与对数综合检测卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一上·四川成都·期末）（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指对数运算公式计算即可. 【解答过程】原式. 故选：A. 2．（5分）（24-25高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由对数的真数大于0列式即可求. 【解答过程】由题可得，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D. 3．（5分）（24-25高一上·天津蓟州·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用根式的运算性质及指数，对数的运算性质即可判断. 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 4．（5分）（24-25高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据式子有意义及可得，进而结合指数幂运算性质求解即可. 【解答过程】由题可得，解得，又，所以， 则． 故选：B. 5．（5分）（24-25高一上·河北唐山·阶段练习）下列根式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】应用分母有理化、指数幂运算、平方差公式判断各项正误. 【解答过程】由，A正确； 由，B正确； 由，C正确； 由，D错误． 故选：D. 6．（5分）（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【解答过程】． 故选：D. 7．（5分）（24-25高一上·贵州六盘水·期末）星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，则（   ） A．2等星的亮度是7等星亮度的100倍 B．7等星的亮度是2等星亮度的100倍 C．2等星的亮度是7等星亮度的10倍 D．7等星的亮度是2等星亮度的10倍 【解题思路】设2等星的亮度是x，7等星亮度是y，由题中所给信息结合对数运算性质可得答案. 【解答过程】设2等星的亮度是x，7等星亮度是y，则，即2等星的亮度是7等星亮度的100倍. 故选：A. 8．（5分）（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，，，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 【解题思路】首先利用对数的运算性质得到，再利用基本不等式求解即可. 【解答过程】因为， 所以，则， 所以. 因为， 所以， 当且仅当时取等号． 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一上·安徽·期中）设，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数幂的运算以及根式与指数的互化逐项计算并判断. 【解答过程】A：，故正确； B：，故错误； C：，故正确； D：，故正确； 故选：ACD. 10．（6分）（24-25高一上·河北保定·阶段练习）若实数，，，且，，，则下列各式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数幂的运算判断A；根据对数的运算性质判断BCD. 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 11．（6分）（24-25高一上·福建南平·期中）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则下列说法正确的是（   ） A．地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级为七级 B．八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的倍 C．八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的2000倍 D．记地震里氏震级为（，2，…，9），地震释放的能量为，则 【解题思路】由地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系可得答案. 【解答过程】A因地震释放的能量为，则，故A正确； B八级地震释放的能量满足， 七级地震释放的能量满足， 则八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的倍，故B正确； C六级地震释放的能量满足， 则八级地震释放的能量为六级地震释放能量的倍，故C错误； D.，则，则，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习） . 【解题思路】根据指数幂运算、对数运算法则化简求值即可得到结果. 【解答过程】 . 故答案为：. 13．（5分）（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 9 . 【解题思路】先根据指数运算求出，代入中，再利用基本不等式可得最小值. 【解答过程】，可得，又，所以， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一上·河北保定·阶段练习）一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21个月（假设没有捕杀与其他损耗）、那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要 23 年.（） 【解题思路】设经过年后的一万只兔子有只,依题可得，令，求解即可. 【解答过程】设经过年后的一万只兔子有只， 根据倍增期为21个月，可得， 令，则，则， 则，故大约需要23年， 故答案为：23. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·天津南开·期中）计算： (1)； (2)若，，求的值. 【解题思路】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果； （2）利用根式的性质和分数指数幂的运算性质化简式子，再代值计算即可. 【解答过程】（1）原式 . （2）原式 ， 因为，， 所以原式. 16．（15分）（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 【解题思路】（1）根据根式与分数指数幂的转化化简； （2）根据实数指数幂的运算法则化简； （3）由根式与分数指数幂的转化及实数指数幂运算法则化简. 【解答过程】（1）; （2）； （3）. 17．（15分）（24-25高一上·黑龙江鹤岗·阶段练习）计算下列各式的值： (1) (2)设，，用a，b表示； (3)已知，试求的值. 【解题思路】（1）根据对数的运算法则及换底公式求解即可； （2）根据对数的运算性质结合换底公式运算求解； （3）根据指对互化、对数的运算性质及换底公式运算求解. 【解答过程】（1）原式 . （2）. （3）因为，所以，则，， 则，，所以. 18．（17分）（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）求下列各式的值： (1)（其中，．注意：结果用分数指数幂表示）； (2)； (3)已知，，试用，表示． 【解题思路】（1）根据根式与分数指数幂的转化以及指数幂的运算法则进行求解； （2）利用指数的运算法则、对数恒等式以及对数的运算法则进行求解； （3）利用换底公式求解即可. 【解答过程】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）， ，，， （或）. 19．（17分）（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 【解题思路】（1）利用对数的运算性质计算即可； （2）令，则，根据对数与指数的互化可得，利用对数的换底公式化简原式即可； （3）利用对数的运算性质可得，结合位数的定义即可得出结果. 【解答过程】（1）原式； （2）由题意知，令，则， 所以， 所以； （3）设，则，又， 所以， 所以，则， 所以的位数为610． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 指数与对数综合检测卷（提高篇） 【苏教版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一上·四川成都·期末）（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高一上·天津蓟州·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（5分）（24-25高一上·河北唐山·阶段练习）下列根式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高一上·贵州六盘水·期末）星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，则（   ） A．2等星的亮度是7等星亮度的100倍 B．7等星的亮度是2等星亮度的100倍 C．2等星的亮度是7等星亮度的10倍 D．7等星的亮度是2等星亮度的10倍 8．（5分）（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，，，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一上·安徽·期中）设，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（24-25高一上·河北保定·阶段练习）若实数，，，且，，，则下列各式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 11．（6分）（24-25高一上·福建南平·期中）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则下列说法正确的是（   ） A．地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级为七级 B．八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的倍 C．八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的2000倍 D．记地震里氏震级为（，2，…，9），地震释放的能量为，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习） . 13．（5分）（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 . 14．（5分）（24-25高一上·河北保定·阶段练习）一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21个月（假设没有捕杀与其他损耗）、那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要 年.（） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·天津南开·期中）计算： (1)； (2)若，，求的值. 16．（15分）（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 17．（15分）（24-25高一上·黑龙江鹤岗·阶段练习）计算下列各式的值： (1) (2)设，，用a，b表示； (3)已知，试求的值. 18．（17分）（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）求下列各式的值： (1)（其中，．注意：结果用分数指数幂表示）； (2)； (3)已知，，试用，表示． 19．（17分）（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$