第四章 指数与对数综合测试-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第四章 指数与对数 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．计算：（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由对数的运算公式及换底公式，计算即可. 【详解】. 故选：D. 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由根式和指数的运算法则计算即可. 【详解】原式． 故选：C． 3．若，求=（    ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用换底公式得到，再根据指数对数恒等式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 4．若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据式子有意义及可得，进而结合指数幂运算性质求解即可. 【详解】由题可得，解得，又，所以， 则． 故选：B. 5．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数运算可得，利用基本不等式可求的最小值. 【详解】由，可得，所以，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解. 【详解】由题意，. 故选：B． 7．若，，则不能满足的条件为（    ） A．为奇数，为偶数 B．为偶数，为奇数 C．均为奇数 D．均为偶数 【答案】A 【分析】根据分数指数幂的定义判断即可. 【详解】对于A：因为，当为奇数，为偶数时，，此时无意义，不合题意，故A错误； 对于B：因为，当为偶数，为奇数时，，此时，符合题意，故B正确； 对于C：因为，当为奇数，为奇数时，，此时，符合题意，故C正确； 对于D：因为，当为偶数，为偶数时，，此时，符合题意，故D正确； 故选：A 8．对任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，.已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用取整函数的性质得到的取值情况，即可得到答案. 【详解】设，若是整数，则. 若不是整数，则，从而，故，这就得到. 而原式为，在中恰有是整数，所以其中有个不是整数. 故. 故选：C. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．若实数，，，且，，，则下列各式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数幂的运算判断A；根据对数的运算性质判断BCD. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 10．已知正实数满足，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据指数与对数的互化，设，得，，，然后根据对数的运算性质以及换底公式对各个选项逐个化简即可判断求解． 【详解】已知正实数，则设，所以，，， 对于A，因为 ， 又，所以，所以，即，故A正确； 对于B，因为，，所以，即，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D， ， 又因为，故等号不成立，所以，即，故D正确， 故选：ACD． 11．已知，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最大值为1 【答案】BC 【分析】由已知得，且，利用基本不等式逐项判断可得答案. 【详解】对于A，由，且， 所以，可得 ， 当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，，且，，可得 ，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，由，所以 ，当且仅当取得等号，结合， 解得，故C正确； 对于D，由选项A，，， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故D错误. 故选：BC 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．我们在语文课上学过《劝学》，其中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过 天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：）. 【答案】 【分析】设大约经过天，“进步值”大约是“退步值”的100倍.进步值为，退步值为，由对数的运算计算求解即可. 【详解】设大约经过天，“进步值”大约是“退步值”的100倍. 此时进步值为，退步值为， 即，则， 故答案为：. 13．若正实数是关于的方程的根，则 . 【答案】0 【分析】令，由条件可得，从而，根据的单调性可求得结果． 【详解】令，则在上单调递增， ，即，故， ∵正实数是关于的方程的根， ∴，又在上单调递增， ∴，即， ∴． 故答案为：0． 14．实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】借助指数与对数的关系，可令，， 则由可得，即可用表示出，再利用基本不等式计算即可得解. 【详解】令，，即，， 由，则，即， 则， 当且仅当，时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令，，从而得到，再用表示出. 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由得，进而根据分数指数幂的运算性质求解即可； （2）根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】（1）由，得， 则． （2）因为，则， 则． 16．计算： (1) (2) (3)，，试用，表示 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可. （2）根据对数的运算性质计算即可. （3）根据给定条件，利用对数换底公式，结合对数运算法则计算即得. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）由，得， 则. 17．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么tmin后茶水的温度θ（单位：℃）可由公式求得，其中k是常数.为了求出这个k的值，某数学建模兴趣小组在25℃室温下进行了数学实验，先用95℃的水泡制成95℃的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据： tmin 0 1 2 3 4 5 （℃） 95.00 89.19 84.75 81.19 78.19 75.00 (1)请你仅利用表中的一组数据，，求k的值，并求出此时的解析式； (2)在25℃室温环境下，王老师用95℃的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至45℃时再饮用，根据（1）的结果，王老师要等待多长时间？ （参考数据：，，，e是自然对数的底数.） 【答案】(1)， (2)王老师大约等待20min 【分析】（1）由题意得，结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质求解即可； （2）令，进而结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）由题意，得， 即，即，解得， 此时. （2）令，即， 即，解得， 所以王老师大约等待20min. 18．设、、为正数，且满足. （1）求证：； （2）若，，求、、的值. 【答案】（1）证明见解析；（2），，． 【分析】（1）由，利用对数的运算法则证明. （2）由，得，由，得 ，结合 求解. 【详解】（1）左边，右边； （2）由，即，得，① 由，得 ，② 由题设知 ，③ 由①②③及、、为正数， 解得，，． 【点睛】本题主要考查对数的运算法则，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19．（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）解对数方程，其中；（2）有意义，要求真数大于0；（3）通过化简变为有且仅有一个解，对进行分类讨论，注意变形中的真数要始终成立，所以要检验. 【详解】（1）∵ ∴ ∴ （2）对数有意义，则，解得：或， 所以实数x的取值范围为或； （3） 即 =① 方程两边同乘x得： 即② 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当且时方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即 若是方程①的解，则，即 则要使方程①有且仅有一个解，则 综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 指数与对数 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．计算：（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 2．（    ） A． B． C． D． 3．若，求=（    ） A．3 B．2 C． D．4 4．若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．若，，则不能满足的条件为（    ） A．为奇数，为偶数 B．为偶数，为奇数 C．均为奇数 D．均为偶数 8．对任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，.已知，则为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．若实数，，，且，，，则下列各式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 10．已知正实数满足，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最大值为1 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．我们在语文课上学过《劝学》，其中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过 天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：）. 13．若正实数是关于的方程的根，则 . 14．实数满足，则的最小值为 . 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 16．计算： (1) (2) (3)，，试用，表示 17．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么tmin后茶水的温度θ（单位：℃）可由公式求得，其中k是常数.为了求出这个k的值，某数学建模兴趣小组在25℃室温下进行了数学实验，先用95℃的水泡制成95℃的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据： tmin 0 1 2 3 4 5 （℃） 95.00 89.19 84.75 81.19 78.19 75.00 (1)请你仅利用表中的一组数据，，求k的值，并求出此时的解析式； (2)在25℃室温环境下，王老师用95℃的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至45℃时再饮用，根据（1）的结果，王老师要等待多长时间？ （参考数据：，，，e是自然对数的底数.） 18．设、、为正数，且满足. （1）求证：； （2）若，，求、、的值. 19．（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$