导数同构所有套路 讲义-2026届高三数学一轮复习

( 第 1 页 共 4 页 ) 一、近期两道同构小题 二、何谓同构？ 三、对称轮换式同构 四、指对同构型 1、指对同构基础恒等式 2、指对同构常用恒等式 3、指对同构找外函数三种方式 （1）对于积型： （2）对于商型： （3）对于和差型： 4、隐蔽性指对同构 5、指对同构常见10种外函数图像 五、朗博不等式型 1、朗博W函数(Lambert W Function)背景 2、朗博不等式 3、拓展的一些不等式 六、高考中的同构 七、模考中的同构 一、近期两道同构小题 【江南十校25届高三一检T8】 已知 为函数 的零点，则 解析： 【浙南名校联盟25届高三一联T8】 对于 ， 恒成立，则正数 的范围是 解析： 图 1 二、何谓同构？ 同构的本质就是函数复合的逆向过程，也即逆运算罢了！ 函数复合过程： 设 是 的函数 ， 是 的函数 ，如果 的值全部或部分在 的定义域内，则把变量 通过中间变量 成为变量 的函数，即 ，称为由函数 与 复合而成的复合函数，其中 称为自变量， 为中间变量，为因变量（即函数）。 例如，函数 可看做函数 与函数 复合而成，应为函数 可化为 . 函数同构过程： 将一不等式 ，通过等价变形，比如移项、取对数、同乘以某个因式等等，转化成 的复合函数的形式，然后利用复合函数的外层函数 的单调性，去掉外函数 ，转化为解不等式 . 函数同构过程可以看作是找出函数 是由哪两个函数复合而成的过程，但需要注意的是，在找之前需要有意识的把 分成两部分，并使这两部分的外函数相同。 三、对称轮换式同构 这种同构多见于双变量中，并且两个变量在等式或不等式中地位等价。例如，对于不等式 ，将 、交换位置（轮换）后不改变原不等式，即 . 另外，这两个变量不能含有隐藏等式关系，虽然要证明的式子是对称结构 ，但是因为 并不是毫无关联的，它们都是方程 的根，通过方程联系起来。如果通过构造单调性证明，就相当于忽略了这个条件，很有可能证明失败。 这种同构形式主要有两种常见模型， （1） 为增函数；当原不等式符号相反时，增函数变为减函数即可。（2） 为增函数；当原不等式符号相反时，增函数变为减函数即可。 对于含有地位等价的两个变量的方程进行变形，是常见变形，通过变形整理后的不等式两边具有相同结构（函数同构），往往通过函数的单调性进行求解。 四、指对同构型 1、指对同构基础恒等式 指对同构的基础是高中刚开始时，指数函数与对数函数中的两个恒等式： 当 且 时， 其中， 时，便是指对同构中两个最常用的指对恒等式：， 2、指对同构常用恒等式 下面再归纳一下常用于指对同构，变形转化用的恒等式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 3、指对同构找外函数三种方式 指对同构找外函数三种方式，左同构、右同构、取对数 （1）对于积型： ① 式（1）外函数为 ，内函数为 ，式（1）可写为： ② 式（1）外函数为 ，内函数为 ，式（1）可写为： ③ 式（1）取对数后有： ，外函数为 ，内函数为 ，式（1）可写为： （2）对于商型： ① 式（2）外函数为 ，内函数为 ，式（2）可写为： ② 式（2）外函数为 ，内函数为 ，式（2）可写为： ③ 式（2）取对数后有： ，外函数为 ，内函数为 ，式（2）可写为： （3）对于和差型： ① 式（3）外函数为 ，内函数为 ，式（3）可写为： ② 式（3）外函数为 ，内函数为 ，式（3）可写为： 4、隐蔽性指对同构 对于隐蔽性指对同构，需要补因式，例如， （1） 对于 ，两边需同乘以 ，转化为积型 （2） 对于 两边需同加上 ，转化为和型 ， （3） 反函数型 5、指对同构常见10种外函数图像 ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 （1） ，过定点 （2） ，极大值点 （3） ，极大值点 （4） ，极小值点 （5） ，极小值点 （6） ，极小值点 （7） ，过定点 （8） ，极小值点 （9） ，极小值点 （10） ，极大值点 五、朗博不等式型 1、朗博W函数(Lambert W Function)背景 【定义】 朗博W函数(Lambert W Function)， 又称欧米伽函数或乘积对数函数，是复变函数 的反函数 ． 如果把朗博函数的定义域限制在 上，取其在 上的函数值，那么就定义了一个单调递增的函数 ；同时将定义域在 时，取其在 上的函数值，那么就定义了一个单调递减的函数 ，如下图 11 所示 . 图 11 在中学阶段通常用以解形如 的方程（往往是超越方程），将其实数根记为 ．当 时，方程有两个实根 ，如图 12 . 图 12 性质： 需要注意的是将 代入 ，可以得到下面的朗博函数性质 另外，很多包含对数函数的超越方程也可以利用朗博函数求解，如 其中 . 解释： 将 代入 得 等号两边同时除以 ，即可得 另外， ① 对于方程 ， 因为 ，所以 因为函数 ，在 时单调递增，所以 ② 对于方程 ， 因为 ，所以 ， 所以 ③ 对于方程 ， 因为 ，所以 因为函数 ，在 时单调递增，所以 【典例1】 若 ， ，求实数 的取值范围 ． 解析： 注： 从 【典例1】 可以看出利用利用朗博W函数是处理隐零点问题的非常好用的工具，但是这种方法有点超纲，不适合在答题卡中出现。 朗博W函数的根 本身就是设的隐零点，而且其性质和衍生对数函数的超越方程的根都是为了利用设出的中间量 而存在的，而且在转化过程中都用到了函数同构。因此可以直接利用同构和放缩函数导出 朗博不等式，而不借助设出中间量“隐零点”. 2、朗博不等式 朗博不等式： （ 处取等） 此不等式是结合指对恒等式与常见放缩不等式复合而来的，即上小节中的指对恒等式 （1） 与上一期中的常见放缩不等式 注： 朗博不等式，经常出现在导数压轴中，不过现在已经烂大街了。 3、拓展的一些不等式 基于朗博不等构造过程拓展的一些不等式 （1） （由于 ，所以不等式取不到等号） （2） （由于 ，所以不等式取不到等号） （3） （仅当 时取等号） （4） （仅当 时取等号） （5） （仅当 时取等号） （6） （由于 ，所以不等式取不到等号） （7） （仅当 时取等号） （8） （仅当 时取等号） （9） （由于 ，所以不等式取不到等号） （10） （仅当 时取等号） （11） （仅当 时取等号） …… 注：这种不等式还可以构造很多，基本构型都是指对恒等式+常见放缩不等式 六、高考中的同构 【2024年天津高考T20】 设函数 . （1） 求 图像上点 处切线方程； （2） 若 在 时恒成立，求 的取值范围； （3） 若 ，证明： 解析： （1） （2） （3） 七、模考中的同构 【湖南25届新高三联考T19】 已知函数 （1） 求函数 的单调区间； （2） 证明 时， ； （3） 若对于任意的 ，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围 . 解析： （1） （2） （3） 注： 该小问其实就是试卷结构改革前模考常考的朗博同构（朗博不等式），上文有详细介绍 【24届台州二模T14】 已知关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是____ . 解析： 图 13 【24届高三湖北十一校一联T16】 对 ，当 时 ，则 的范围为____ . 解析： 【24届 T8 联考 T22】 已知函数 ， ， ， 的导函数记为 ， 为自然对数的底数，约为 . （1） 判断函数 的零点个数； （2） 设 是函数 的一个零点， 是函数 的一个极值点，证明： （i） （ii） 解析： （1） （2） （i） （ii） 此外，第 （2） ② 中， 可以利用放缩不等式 、 （都在 取等号） 直接看出 ，即 （仅当在 取等号） 【24届江西高三金太阳10月联考T16】 已知函数 的最小值为 ，则 的取值范围为__. 解析： 【24届湖北鄂东南高三11月期中联考T16】 已知实数 ，对于 ， 恒成立，则 的取值范围为__. 解析： 【24届绵阳一诊理T21】 已知函数 . （1） 当 时，求 的单调性； （2） 若 ，求实数 的取值范围 . 解析： （1） （2） 【THUSSAT 23年9月诊断性测试】 已知函数 （1） 当 时，求函数 的单调区间； （2） 证明：当 时，不等式 恒成立． 解析： （1） （2） 图 14 学科网（北京）股份有限公司 $$导数同构所有套路 一、近期两道同构小题 二、何谓同构？ 三、对称轮换式同构 四、指对同构型 1、指对同构基础恒等式 2、指对同构常用恒等式 3、指对同构找外函数三种方式 （1）对于积型： （2）对于商型： （3）对于和差型： 4、隐蔽性指对同构 5、指对同构常见10种外函数图像 五、朗博不等式型 1、朗博W函数(Lambert W Function)背景 2、朗博不等式 3、拓展的一些不等式 六、高考中的同构 七、模考中的同构 一、近期两道同构小题 【江南十校25届高三一检T8】 已知 为函数 的零点，则 解析： 由题意得 由 得 令 （ ） 在 上 ，在 上 因此若 ，则 即 ，故选 【浙南名校联盟25届高三一联T8】 对于 ， 恒成立，则正数 的范围是 解析： 由题意得 ，由选项得 构造函数 ，图像如下所示 图 1 则不等式等价于 ① 当 时， 恒成立 ② 当 ，即 时， 在 单调递增，则 即 令 ，则 所以 在 单调递增，在 单调递减 故 因此实数 的取值范围是 二、何谓同构？ 同构的本质就是函数复合的逆向过程，也即逆运算罢了！ 函数复合过程： 设 是 的函数 ， 是 的函数 ，如果 的值全部或部分在 的定义域内，则把变量 通过中间变量 成为变量 的函数，即 ，称为由函数 与 复合而成的复合函数，其中 称为自变量， 为中间变量，为因变量（即函数）。 例如，函数 可看做函数 与函数 复合而成，应为函数 可化为 . 函数同构过程： 将一不等式 ，通过等价变形，比如移项、取对数、同乘以某个因式等等，转化成 的复合函数的形式，然后利用复合函数的外层函数 的单调性，去掉外函数 ，转化为解不等式 . 函数同构过程可以看作是找出函数 是由哪两个函数复合而成的过程，但需要注意的是，在找之前需要有意识的把 分成两部分，并使这两部分的外函数相同。 三、对称轮换式同构 这种同构多见于双变量中，并且两个变量在等式或不等式中地位等价。例如，对于不等式 ，将 、交换位置（轮换）后不改变原不等式，即 . 另外，这两个变量不能含有隐藏等式关系，虽然要证明的式子是对称结构 ，但是因为 并不是毫无关联的，它们都是方程 的根，通过方程联系起来。如果通过构造单调性证明，就相当于忽略了这个条件，很有可能证明失败。 这种同构形式主要有两种常见模型， （1） 为增函数；当原不等式符号相反时，增函数变为减函数即可。（2） 为增函数；当原不等式符号相反时，增函数变为减函数即可。 对于含有地位等价的两个变量的方程进行变形，是常见变形，通过变形整理后的不等式两边具有相同结构（函数同构），往往通过函数的单调性进行求解。 四、指对同构型 1、指对同构基础恒等式 指对同构的基础是高中刚开始时，指数函数与对数函数中的两个恒等式： 当 且 时， 其中， 时，便是指对同构中两个最常用的指对恒等式：， 2、指对同构常用恒等式 下面再归纳一下常用于指对同构，变形转化用的恒等式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 3、指对同构找外函数三种方式 指对同构找外函数三种方式，左同构、右同构、取对数 （1）对于积型： ① 式（1）外函数为 ，内函数为 ，式（1）可写为： ② 式（1）外函数为 ，内函数为 ，式（1）可写为： ③ 式（1）取对数后有： ，外函数为 ，内函数为 ，式（1）可写为： （2）对于商型： ① 式（2）外函数为 ，内函数为 ，式（2）可写为： ② 式（2）外函数为 ，内函数为 ，式（2）可写为： ③ 式（2）取对数后有： ，外函数为 ，内函数为 ，式（2）可写为： （3）对于和差型： ① 式（3）外函数为 ，内函数为 ，式（3）可写为： ② 式（3）外函数为 ，内函数为 ，式（3）可写为： 4、隐蔽性指对同构 对于隐蔽性指对同构，需要补因式，例如， （1） 对于 ，两边需同乘以 ，转化为积型 （2） 对于 两边需同加上 ，转化为和型 ， （3） 反函数型 5、指对同构常见10种外函数图像 ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 （1） ，过定点 （2） ，极大值点 （3） ，极大值点 （4） ，极小值点 （5） ，极小值点 （6） ，极小值点 （7） ，过定点 （8） ，极小值点 （9） ，极小值点 （10） ，极大值点 五、朗博不等式型 1、朗博W函数(Lambert W Function)背景 【定义】 朗博W函数(Lambert W Function)， 又称欧米伽函数或乘积对数函数，是复变函数 的反函数 ． 如果把朗博函数的定义域限制在 上，取其在 上的函数值，那么就定义了一个单调递增的函数 ；同时将定义域在 时，取其在 上的函数值，那么就定义了一个单调递减的函数 ，如下图 11 所示 . 图 11 在中学阶段通常用以解形如 的方程（往往是超越方程），将其实数根记为 ．当 时，方程有两个实根 ，如图 12 . 图 12 性质： 需要注意的是将 代入 ，可以得到下面的朗博函数性质 另外，很多包含对数函数的超越方程也可以利用朗博函数求解，如 其中 . 解释： 将 代入 得 等号两边同时除以 ，即可得 另外， ① 对于方程 ， 因为 ，所以 因为函数 ，在 时单调递增，所以 ② 对于方程 ， 因为 ，所以 ， 所以 ③ 对于方程 ， 因为 ，所以 因为函数 ，在 时单调递增，所以 【典例1】 若 ， ，求实数 的取值范围 ． 解析： 分离变量得 记函数 则问题的转化为求 的最小值．函数 的导函数为 则 令 则解得 于是 ，且极小值点为 ，因此函数 的极小值，亦为最小值是 因此 的取值范围是． 注： 从 【典例1】 可以看出利用利用朗博W函数是处理隐零点问题的非常好用的工具，但是这种方法有点超纲，不适合在答题卡中出现。 朗博W函数的根 本身就是设的隐零点，而且其性质和衍生对数函数的超越方程的根都是为了利用设出的中间量 而存在的，而且在转化过程中都用到了函数同构。因此可以直接利用同构和放缩函数导出 朗博不等式，而不借助设出中间量“隐零点”. 2、朗博不等式 朗博不等式： （ 处取等） 此不等式是结合指对恒等式与常见放缩不等式复合而来的，即上小节中的指对恒等式 （1） 与上一期中的常见放缩不等式 注： 朗博不等式，经常出现在导数压轴中，不过现在已经烂大街了。。。 3、拓展的一些不等式 基于朗博不等构造过程拓展的一些不等式 （1） （由于 ，所以不等式取不到等号） （2） （由于 ，所以不等式取不到等号） （3） （仅当 时取等号） （4） （仅当 时取等号） （5） （仅当 时取等号） （6） （由于 ，所以不等式取不到等号） （7） （仅当 时取等号） （8） （仅当 时取等号） （9） （由于 ，所以不等式取不到等号） （10） （仅当 时取等号） （11） （仅当 时取等号） …… 六、高考中的同构 【2024年天津高考T20】 设函数 . （1） 求 图像上点 处切线方程； （2） 若 在 时恒成立，求 的取值范围； （3） 若 ，证明： 解析： （1） （2） 令 ， 在 上 ，在 上 ① 当 时， 在 上 ， ，不符合题意 ② 当 时， 在 上 ，在 上 ，符合题意 ③ 当 时， 在 上 ， ，不符合题意 综上所述， ， 的取值范围为 （3） 可以看出原不等式是对称轮换式，也就是改变 的位置，式子等价不变，即 也就是 的地位等价，不妨设 ，则 ① 对于左边不等式： 易知当 时， ，则 即 要证 只需证 即证 令 ， 得证 ② 对于右边不等式： 易知当 时， 要证 只需证 即证 令 ，， ，， 在 得证 七、模考中的同构 【湖南25届新高三联考T19】 已知函数 （1） 求函数 的单调区间； （2） 证明 时， ； （3） 若对于任意的 ，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围 . 解析： （1） 当 时， ；当 时， 的增区间为 ，减区间为 . （2） ， 由放缩不等式 （仅当 时取等号）可得 由 （1） 可知 在 单调递减 所以只需证明 即证明 由放缩不等式 （仅当 时取等号）可知上式成立 注： 关于以上两个放缩不等式的证明在答题时需要写出来，很简单，移项求导即可 （3） ，所以 若对于任意的 ，关于 的不等式 恒成立，所以 由 （2） 可知 所以 所以实数 的取值范围为 注： 该小问其实就是试卷结构改革前模考常考的朗博同构（朗博不等式），上文有详细介绍 【24届台州二模T14】 已知关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是____ . 解析： 由题可知定义域为 ，也易知 构造函数 ，图像如下所示 图 13 则不等式等价于 ① 当 时， 恒成立 ② 当 ，即 时， 在 单调递增，则 即 ，即 令 ， 所以 在 单调递增，在 单调递减 故 因此实数 的取值范围是 【24届高三湖北十一校一联T16】 对 ，当 时 ，则 的范围为____ . 解析： 两边取对数得 构造函数 ，则 需要在 上单调递减， 即 在 上恒成立， 所以 在 上恒成立， 则 【24届 T8 联考 T22】 已知函数 ， ， ， 的导函数记为 ， 为自然对数的底数，约为 . （1） 判断函数 的零点个数； （2） 设 是函数 的一个零点， 是函数 的一个极值点，证明： （i） （ii） 解析： （1） 令 ，解得 当 时， 当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减 令 ， 时，可今 此时 ，易知 时， 当 时， ， ，即 在区间 上无零点 又 使得 即 在区间 上有一个零点， 函数 的零点个数为 （2） （i） 由 （1） 可知，函数 有唯一零点 ，且 下面判断函数 的极值点情况 ，令 当 时， 在区 上单调递增 当 时， 在区间 上单调递增 综上，当 时， 在区间 上单调递增 令 ， 令 ，解得 ， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增 ，， 使得 ，即 且当 时， ；当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增 当 时，函数 存在唯一的极值点 ，且 . 综上， . （ii） 要证 即证 令 下证 在区间 上单调递增，即证 恒成立 ， 今 则 在区间 上单调递增 令 则 在区间 上单调递增，且 故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增 当 时， 恒成立 在区间 上单调递增， ， ，原命题得证 . 此外，第 （2） ② 中， 可以利用放缩不等式 、 （都在 取等号） 直接看出 ，即 （仅当在 取等号） 【24届江西高三金太阳10月联考T16】 已知函数 的最小值为 ，则 的取值范围为__. 解析： 令 ，则 由于 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 则 因为函数 的最小值为 所以 有解 当 时， 在 内无解，故 不符合题意， 当 时，取对数 ，即 有解， 令 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减 所以 解得 或 综上， 的取值范围为 【24届湖北鄂东南高三11月期中联考T16】 已知实数 ，对于 ， 恒成立，则 的取值范围为__. 解析： 右边是以 为自变量的，不妨两边同时添加 同构函数 ，显然该函数单调递增 故 则 恒成立 由放缩不等式可知 ，当且仅当 即 取等号 ， 则 所以 的取值范围为 . 【24届绵阳一诊理T21】 已知函数 . （1） 当 时，求 的单调性； （2） 若 ，求实数 的取值范围 . 解析： （1） 在 单调递减， 单调递增， 单调递减（详解略）. （2） 记 ，由放缩不等式可知 ，当且仅当 时取等号。 所以 等价于 ， ① 当 时， 恒成立， ② 当 时， ，所以 记 由于 时， 所以 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减； 因此 所以 综上所述，实数 的取值范围为 . 【THUSSAT 23年9月诊断性测试】 已知函数 （1） 当 时，求函数 的单调区间； （2） 证明：当 时，不等式 恒成立． 解析： （1） 函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间，详解略 . （2） 不等式 等价于 当且仅当 时取等号（${e^{x}$ $\geq x$ $+1}$， 时取等号）. 但是原不等式 并取不到等号，所以 无解. 即 无解. 由函数 的图像可知，当 时无解， 图 14 所以当 时，不等式 恒成立． $$