专题3.1 导数的概念及其意义、导数的运算（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题3.1 导数的概念及其意义、导数的运算（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 导数的定义及其应用】 2 【题型2 （复合）函数的运算】 3 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 4 【题型4 求曲线的切线方程】 4 【题型5 与切线有关的参数问题】 5 【题型6 切线的条数问题】 5 【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】 6 【题型8 与切线有关的最值问题】 6 1、导数的概念及其意义、导数的运算 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数 (2)通过函数图象，理解导数的几何意义 (3)能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数 2023年全国甲卷（文数）：第8题，5分 2024年新课标I卷：第13题，5分 2024年全国甲卷（文数）：第7题，5分 2024年全国甲卷（理数）：第6题，5分 2025年全国一卷：第12题，5分 导数是高考数学的必考内容，导数的概念及其意义、导数的运算是高考常考的热点内容，从近几年的高考情况来看，主要涉及导数的运算及几何意义，一般以选择题、填空题的形式考察导数的运算、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档. 知识点1 导数的运算的方法技巧 1．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 知识点2 复合函数的导数 1．复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). 2．复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 3．求复合函数导数的步骤 第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步：相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步：变量回代：把中间变量代回. 知识点3 切线问题及其解题策略 1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略： (1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). 2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法： (1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； (2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； (3)将已知条件代入②中的切线方程求解. 3．与切线有关的参数问题的解题策略： (1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率； ②切点在切线上，故满足切线方程； ③切点在曲线上，故满足曲线方程. (2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法. 4．公切线问题的解题思路 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法. 【题型1 导数的定义及其应用】 【例1】（24-25高二下·河南·期末）已知函数，则从1到的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二下·海南海口·期中）一物体做直线运动，其位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系是，则物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·湖北十堰·期末）已知函数在处可导，若，则（   ） A．4 B．6 C． D． 【变式1-3】（24-25高二下·北京·期中）物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【题型2 （复合）函数的运算】 【例2】（2025·湖北·模拟预测）已知函数和它的导函数的定义域均为，且，为奇函数．若，则（   ） A．1 B．2 C．2025 D．2026 【变式2-1】（2025·陕西安康·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B．101 C．0 D． 【变式2-2】（2025·山东潍坊·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·江西·一模）已知可导函数的定义域为，是的导函数，且为偶函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例3】（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·福建泉州·模拟预测）如图是函数的部分图象，记的导数为，则下列选项中值最大的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·福建福州·期中）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【变式3-3】（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 求曲线的切线方程】 【例4】（2025·广东肇庆·一模）曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·重庆·模拟预测）已知抛物线和圆在第一象限内的交点为P，则以P为切点的C的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【题型5 与切线有关的参数问题】 【例5】（2025·重庆·三模）已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（    ） A．0 B． C． D． 【变式5-1】（2025·山西·模拟预测）已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 . 【变式5-3】（2025·山东泰安·二模）若函数与直线相切，则实数的值为 . 【题型6 切线的条数问题】 【例6】（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式6-1】（2025·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·全国·一模）函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-3】（24-25高三上·陕西·阶段练习）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】 【例7】（2025·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式7-1】（2025·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式7-2】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【变式7-3】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 【题型8 与切线有关的最值问题】 【例8】（24-25高二下·山东枣庄·阶段练习）点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式8-1】（2025·广东佛山·一模）若直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式8-2】（2025·全国·模拟预测）若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·陕西汉中·模拟预测）已知为曲线上两个不同的点，曲线在点处的切线相交于点，且这两条切线的斜率之积为1，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 2．（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（   ） A．(a为常数) B． C． D． 3．（2025·湖南郴州·三模）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东聊城·三模）已知是定义域为的可导函数，设其导函数为．若为偶函数，且，则（ ） A．60 B．40 C．20 D．8 6．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 7．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数是定义在上的可导函数，且满足，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·甘肃·二模）若函数的图象上存在两个不同点，使得在这两点的切线与直线垂直，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·甘肃庆阳·三模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．当时，曲线在点处的切线方程为 C．当时，曲线上不存在斜率为0的切线 D．当时，曲线在点处的切线斜率为0 10．（2025·山东烟台·三模）已知定义在上的函数的导函数为，若对任意，都有，且．则（    ） A．为偶函数 B． C．的周期为4 D． 11．（2025·四川巴中·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若与均为偶函数，则下列选项正确的是（   ） A． B．和是周期为4的周期函数 C．为奇函数 D．图象关于点对称 三、填空题 12．（2025·四川乐山·三模）曲线与在点处的切线方程为 . 13．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 14．（2025·四川遂宁·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则的值为 . 四、解答题 15．（2025高二·全国·专题练习）已知某物体的运动方程为（位移的单位：m，时间的单位：s）． (1)求该物体在内的平均速度； (2)求该物体的初速度； (3)求该物体在时的瞬时速度． 16．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数与满足，，，.对于下列函数，求和. (1)； (2). 17．（24-25高二下·青海西宁·期中）已知函数. (1)直线为曲线在点处的切线，求直线的方程； (2)求过原点且与曲线相切的切线方程及切点坐标. 18．（24-25高二下·辽宁抚顺·期中）已知是函数的导函数，且． (1)求； (2)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积． 19．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数. (1)若函数的图象恒过定点，且在定点处的切线方程与直线平行，求定点的坐标和实数的值； (2)若函数的图象存在与直线垂直的切线，求实数的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 导数的概念及其意义、导数的运算（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 导数的定义及其应用】 2 【题型2 （复合）函数的运算】 4 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 6 【题型4 求曲线的切线方程】 8 【题型5 与切线有关的参数问题】 9 【题型6 切线的条数问题】 11 【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】 13 【题型8 与切线有关的最值问题】 15 1、导数的概念及其意义、导数的运算 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数 (2)通过函数图象，理解导数的几何意义 (3)能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数 2023年全国甲卷（文数）：第8题，5分 2024年新课标I卷：第13题，5分 2024年全国甲卷（文数）：第7题，5分 2024年全国甲卷（理数）：第6题，5分 2025年全国一卷：第12题，5分 导数是高考数学的必考内容，导数的概念及其意义、导数的运算是高考常考的热点内容，从近几年的高考情况来看，主要涉及导数的运算及几何意义，一般以选择题、填空题的形式考察导数的运算、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档. 知识点1 导数的运算的方法技巧 1．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 知识点2 复合函数的导数 1．复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). 2．复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 3．求复合函数导数的步骤 第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步：相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步：变量回代：把中间变量代回. 知识点3 切线问题及其解题策略 1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略： (1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). 2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法： (1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； (2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； (3)将已知条件代入②中的切线方程求解. 3．与切线有关的参数问题的解题策略： (1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率； ②切点在切线上，故满足切线方程； ③切点在曲线上，故满足曲线方程. (2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法. 4．公切线问题的解题思路 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法. 【题型1 导数的定义及其应用】 【例1】（24-25高二下·河南·期末）已知函数，则从1到的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据平均变化率的定义计算可得. 【解答过程】. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高二下·海南海口·期中）一物体做直线运动，其位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系是，则物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据导数的运算公式，求得，得到的值，即可求解. 【解答过程】由题意知，位移与时间的关系是，可得， 可得. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高二下·湖北十堰·期末）已知函数在处可导，若，则（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】A 【解题思路】应用导数定义计算求解. 【解答过程】因为 ，所以. 故选：A. 【变式1-3】（24-25高二下·北京·期中）物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【答案】C 【解题思路】利用平均速度、瞬时速度的定义逐项判断即可. 【解答过程】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A、B错误； 因为甲对应的曲线在处的切线的斜率大于乙对应的曲线在处的切线的斜率 故在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C正确，D错误. 故选：C. 【题型2 （复合）函数的运算】 【例2】（2025·湖北·模拟预测）已知函数和它的导函数的定义域均为，且，为奇函数．若，则（   ） A．1 B．2 C．2025 D．2026 【答案】C 【解题思路】根据虚拟函数的对称性，可知函数关于中心对称，，得出函数的规律，分别求出为整数是函数的值，求出前2025项的和即可. 【解答过程】，，即关于中心对称， 为奇函数，且定义域为, 关于所中心对称，根据换元法则有关于中心对称， 则关于直线轴对称，则有， 可知,作差得，换元得 再作差，化简得， 即，函数周期为4. 当时，，解得， 当时，，解得， 由，可知，结合 可知，又， 故， 故选：C. 【变式2-1】（2025·陕西安康·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B．101 C．0 D． 【答案】A 【解题思路】由已知可得，，求导得，进而可得，累加可求得. 【解答过程】因为函数及其导函数为奇函数，所以， 又函数为偶函数，所以， 对两边求导，得，所以， 又，所以， 所以，所以， 所以，，，， 所以，又，所以，所以，所以. 故选：A. 【变式2-2】（2025·山东潍坊·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先应用赋值法计算，再结合复合函数求导得出 ，最后赋值计算即可. 【解答过程】因为，且，令，得. 对两边同时求导，得，即. 令，得. 令，得，故. 故选：C. 【变式2-3】（2025·江西·一模）已知可导函数的定义域为，是的导函数，且为偶函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得，由函数奇偶性的定义得出，求导得出，进而可推出函数是周期为的周期函数，以及函数的对称中心为，求出、的值，结合函数周期性可求得的值. 【解答过程】因为函数为奇函数，则， 即，令，则， 所以，函数的对称中心为，且，① 在等式①中，令可得，解得， 在等式①中，令可得, 因为函数为偶函数，则， 令，可得，求导得， 则，② 由①②可得，令，则， 所以，函数是周期为的周期函数， 所以，. 故选：C. 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例3】（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角. 【解答过程】由，则，即直线的斜率为， 根据倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为. 故选：C. 【变式3-1】（2025·福建泉州·模拟预测）如图是函数的部分图象，记的导数为，则下列选项中值最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由函数的图象，结合导数的几何意义，即可判断. 【解答过程】 由图可知，为负数，为正数，故不选， 设在处的点为，显然的斜率大于， 则，可转化为， 所以的值最大. 故选：A． 【变式3-2】（24-25高二下·福建福州·期中）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】利用导数定义以及导数的几何意义计算即可. 【解答过程】易知曲线在点处的切线斜率为， 所以. 故选：D. 【变式3-3】（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据导数的几何意义，结合图象即可求解. 【解答过程】根据导数的几何意义，结合图象可得， 所以. 故选：A. 【题型4 求曲线的切线方程】 【例4】（2025·广东肇庆·一模）曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数的几何意义求出斜率，再代入直线的点斜式方程化简即可 【解答过程】令，则，即，， 所以曲线在处的切线方程为，即， 故选：D. 【变式4-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对求导，注意是常数，令代入导函数中，可求得，进而可求，可得在处的切线方程. 【解答过程】，令，可得， ， 所以在处的切线方程为. 故选：B. 【变式4-2】（2025·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程. 【解答过程】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：． 【变式4-3】（2025·重庆·模拟预测）已知抛物线和圆在第一象限内的交点为P，则以P为切点的C的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据联立得出点P，再求导函数得出切线斜率，最后点斜式写出直线方程. 【解答过程】联立抛物线和圆，可得，（舍），则， 在第一象限内的交点为， 由抛物线，则，所以在处切线斜率为， 所以切线方程为，即得. 故选：A. 【题型5 与切线有关的参数问题】 【例5】（2025·重庆·三模）已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据导数的几何意义可得，求解即可. 【解答过程】由且x不为0，得 设切点为，则，即， 所以，可得. 故选：C. 【变式5-1】（2025·山西·模拟预测）已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数的几何意义，列方程组求解即可. 【解答过程】由题意知， 所以，解得， 又 ， 所以 ，解得，所以. 故选：C. 【变式5-2】（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 . 【答案】 【解题思路】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【解答过程】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 【变式5-3】（2025·山东泰安·二模）若函数与直线相切，则实数的值为 . 【答案】 【解题思路】设切点坐标，求导数表示斜率，结合切线过原点可计算切点横坐标，进而算出的值. 【解答过程】设切点为， 由得，，故切线斜率， 由直线可知切线过，故， ∴，解得， ∴. 故答案为：. 【题型6 切线的条数问题】 【例6】（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解题思路】先求出导函数，再设切点，根据导函数得出切线斜率再应用两点求斜率计算求参进而得出切线即可. 【解答过程】设切点，因为曲线，所以， 所以，所以， 所以或， 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 所以切线有3条. 故选：C. 【变式6-1】（2025·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】设切点为，由已知得，则切线斜率， 切线方程为． ∵直线过点，∴， 化简得．∵切线有2条， ∴，则的取值范围是， 故选：D. 【变式6-2】（2025·全国·一模）函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用二倍角的正弦公式变形后设切点为，利用导数的意义得到切线方程，再对解的情况进行讨论可得. 【解答过程】， ， 设切点为，切线方程为， 将原点代入切线方程可得， 所以， 化简可得，解得或， 当时，，，切线方程为； 当时，解得，当为偶数时，对应的切线方程为；当为奇数时，对应的切线方程为； 所以共有3条不同的切线. 故选：C. 【变式6-3】（24-25高三上·陕西·阶段练习）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由导数的几何意义求解即可. 【解答过程】设切点横坐标为，所作切线斜率为，则， 当时，，故不存在； 当时，满足：. 所以：. 故选：C. 【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】 【例7】（2025·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】设直线的方程为，先根据直线和圆相切算出，在根据导数的几何意义算. 【解答过程】依题意得，设直线的方程为， 由直线和圆相切可得，，解得， 当时，和相切， 设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得， 即和相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位， 和仍会保持相切状态，即时，， 综上所述，或. 故选：A. 【变式7-1】（2025·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可. 【解答过程】设直线与曲线的切点为且， 与曲线的切点为且， 又，， 则直线与曲线的切线方程为，即， 直线与曲线的切线方程为，即， 则，解得，故， 故选：A. 【变式7-2】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【解题思路】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【解答过程】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为：. 【变式7-3】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 【答案】 【解题思路】设公共点为 ，即可得到，再由导数的几何意义得到，从而求出，即可求出切点坐标，从而求出，再求出切线方程. 【解答过程】设公共点为 ，则，即， 所以，所以， 由，，所以，， 又在公共点处有相同的切线，所以，即， 所以，则，所以， 所以公共点坐标为. 故答案为：. 【题型8 与切线有关的最值问题】 【例8】（24-25高二下·山东枣庄·阶段练习）点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】问题转化为过点的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，利用导数的几何意义求得点的坐标，再用点到直线的距离公式即可求得答案. 【解答过程】因为点是曲线上任意一点， 所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小． 因为直线的斜率等于1，曲线的导数， 令，可得或(舍去)， 所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为， 所以点P到直线的最小距离为. 故选：D. 【变式8-1】（2025·广东佛山·一模）若直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解题思路】通过设切点，利用导数的几何意义列出等式，再利用二次函数的性质求其最小值. 【解答过程】设直线与曲线的切点为. 对求导，根据，可得. 因为直线的斜率为，由导数的几何意义可知， 在切点处，即. 又因为切点既在直线上又在曲线上， 所以且，即. 将代入可得：，即. 将代入可得： ， 所以当，时，取得最小值为. 故选：A. 【变式8-2】（2025·全国·模拟预测）若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数的几何意义求出与直线平行且与曲线相切的直线与曲线相切的切点坐标，利用点到直线的距离公式即可求解. 【解答过程】的定义域为， 由函数，可得， 令，可得，负值舍去， 又， 所以平行于直线且与曲线相切的直线与曲线的切点坐标为． 点到直线的距离，即点到直线的距离的最小值为. 故选：C． 【变式8-3】（2025·陕西汉中·模拟预测）已知为曲线上两个不同的点，曲线在点处的切线相交于点，且这两条切线的斜率之积为1，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意设，表示出切线方程，由两条切线的斜率之积为1，得到，联立求出，，对化简，利用基本不等式可求其最小值. 【解答过程】设， ∵，∴在处的切线方程， 在处的切线方程， ∵这两条切线的斜率之积为1，∴， ∵切线相交于点， ∴联立解得，， ， 即， 当时取等， 故选：B. 一、单选题 1．（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 【答案】B 【解题思路】利用瞬时变化率的定义即可求得该质点在2s末的瞬时速度. 【解答过程】， 则质点在2s末的瞬时速度为7m/s. 故选：B. 2．（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（   ） A．(a为常数) B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据求导公式和简单复合函数的求导，依次计算即可判断选项. 【解答过程】A：因为a为常数，所以，故A错误； B：，故B正确； C：，故C错误； D：，故D错误. 故选：B. 3．（2025·湖南郴州·三模）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由导数的几何意义求解即可. 【解答过程】根据题意可得，所以所求切线的斜率， 所以所求切线的方程为，即. 故选：B. 4．（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出切点，利用在切点处的斜率等于0即可求得结果. 【解答过程】设切点坐标为，函数，所以， 因为切线与x轴平行，所以，解得，，故切点坐标为 故选：B. 5．（2025·山东聊城·三模）已知是定义域为的可导函数，设其导函数为．若为偶函数，且，则（ ） A．60 B．40 C．20 D．8 【答案】B 【解题思路】根据函数的奇偶性结合求导数，得出函数周期，应用周期计算求解函数值即可. 【解答过程】因为为偶函数，所以， 所以，所以， 所以，且， 所以，，所以， 所以，所以的周期为4， 因为，令，可得， 令， 所以 所以. 故选：B. 6．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【解题思路】解法一：先对求导得，设与直线切点为，写出切线方程，根据直线得到关于和的方程组，求出. 再对求导，设其与直线切点为，根据导数等于切线斜率以及切点在切线上列方程，求出. 解法二：设两条曲线的切点分别为，，分别根据切点在曲线上、在切线上以及切线斜率列出方程组，求解得到，，再同理求出，进而得到. 【解答过程】解法一：令，，则， 设直线与的切点为， 则切线方程为，即， 又因为，所以，解得，，所以切线方程为， 令，则， 设直线与的切点为，所以  ①， 又因为切点在直线上，所以，即  ②， 由①和②可得，所以，解得． 解法二：设切点分别为，， ．∴，． 同理．∴，∴，∴． 故选：B． 7．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数是定义在上的可导函数，且满足，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先判断函数的周期性，从而得到导数的周期性，再根据导函数的对称性和周期性可求 . 【解答过程】由可得， 所以函数周期是，且的周期也是. 因为，故， 故的图象关于直线对称. 对求导得，. 则 故选：B. 8．（2025·甘肃·二模）若函数的图象上存在两个不同点，使得在这两点的切线与直线垂直，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由存在两个不同的点满足条件，可得出存在两个大于1的解，结合根的分布讨论得出的取值范围. 【解答过程】由题意，函数的定义域为，． 因为函数图象上存在两点处的切线与直线垂直， 故有两个不同的大于1的解， 即有两个不同的大于1的根． 令， 则，即， 所以． 故选：A. 二、多选题 9．（2025·甘肃庆阳·三模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．当时，曲线在点处的切线方程为 C．当时，曲线上不存在斜率为0的切线 D．当时，曲线在点处的切线斜率为0 【答案】BD 【解题思路】对于选项A，B，当时，，求出导函数，利用导数的几何意义求出点处切线斜率，即可求出切线方程，即可判断；对于选项C，D，当时，，求出导函数，利用导数几何意义求出在点处的切线斜率，即可判断. 【解答过程】对于选项A，B，当时，，，有， 又，故曲线在点处的切线方程为，故选项B正确，A错误； 对于选项C，D，当时，，则， 显然，即曲线在点处的切线斜率为0，故选项C错误，选项D正确. 故选：BD. 10．（2025·山东烟台·三模）已知定义在上的函数的导函数为，若对任意，都有，且．则（    ） A．为偶函数 B． C．的周期为4 D． 【答案】BCD 【解题思路】令,判断的奇偶性,判断选项A;令，求出的对称性，判断选项B;然后再由对称性和奇偶性求解周期，判断选项C;再赋值进行求解，判断选项D. 【解答过程】根据题意，且， 令，则，故， 故是奇函数，故A错误； 由A选项可得，令，则， 则，故， 即，因此，故B正确； 由，则， 再由，故,故最小正周期为,故C正确； 令，则，即， 令，则， 则， 故,故D正确. 故选：BCD. 11．（2025·四川巴中·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若与均为偶函数，则下列选项正确的是（   ） A． B．和是周期为4的周期函数 C．为奇函数 D．图象关于点对称 【答案】ABC 【解题思路】根据函数奇偶性，得到对称性和周期性，逐个计算判断即可. 【解答过程】因为为偶函数，所以，即， 所以函数的图象关于对称，则， 又为偶函数，所以，即， 两边求导得，，即，的图象关于对称， 则的图象关于原点对称，为奇函数，故C正确， ，， 由以上分析得，即有 即，且， 所以是周期为4的函数，， 故，故A正确： 对于B，由于，则， 由于，故， 所以，因此以4为周期的周期函数，B正确. 对于D，由于，则，故图象关于对称，由于不一定为0，故D错误， 故选：ABC. 三、填空题 12．（2025·四川乐山·三模）曲线与在点处的切线方程为 . 【答案】 【解题思路】根据题意求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解. 【解答过程】由，可得，可得 所以曲线在点处的切线方程. 故答案为：. 13．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 【答案】 【解题思路】首先根据题意求出切线方程，然后对求导，根据斜率值和切点的函数值求出的值. 【解答过程】因为，所以. 所以曲线在点的切线方程为：. 因为，设曲线与该切线的切点为. 所以，所以，即. 又， 所以. 故答案为：. 14．（2025·四川遂宁·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则的值为 . 【答案】0 【解题思路】根据为偶函数，得出关于中心对称，再根据为偶函数，得出关于对称，两者结合得出周期，再利用对称性和周期性，结合赋值法计算即可. 【解答过程】为偶函数，则，左右两边同时求导得， ，将看作整体得①， 将图象向右平移个单位得到， 因为为偶函数，则图象关于对称，即②， ①②两式联立得，即， 用代替得，故， 即的周期为， 因，则①式中令有，令有， ②式中令有，令有， 则 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高二·全国·专题练习）已知某物体的运动方程为（位移的单位：m，时间的单位：s）． (1)求该物体在内的平均速度； (2)求该物体的初速度； (3)求该物体在时的瞬时速度． 【答案】(1) (2) (3)． 【解题思路】（1）根据平均速度的概念求平均速度. （2）根据求初速度. （3）根据求该物体在时的瞬时速度. 【解答过程】（1）因为该物体在内的时间变化量， 该物体在内的位移变化量， 所以该物体在内的平均速度为． （2）求该物体的初速度即求该物体在时的瞬时速度． 因为该物体的位移在附近的平均变化率． 当无限趋近于0时，无限趋近于， 所以该物体的初速度为． （3）该物体在时的瞬时速度即为位移在处的瞬时变化率． 因为该物体的位移在附近的平均变化率， 当无限趋近于0时，无限趋近于， 所以该物体在时的瞬时速度为． 16．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数与满足，，，.对于下列函数，求和. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求赋值代入计算即可，求需要先求出的导数然后赋值代入计算即可. （2）求赋值代入计算即可，求需要先应用复合函数求导及分式求导求出的导数然后赋值代入计算即可. 【解答过程】（1）因为， 所以. 因为， 所以. （2）因为， 所以. 因为， 所以. 17．（24-25高二下·青海西宁·期中）已知函数. (1)直线为曲线在点处的切线，求直线的方程； (2)求过原点且与曲线相切的切线方程及切点坐标. 【答案】(1) (2)， 【解题思路】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程/. （2）设出过原点的切线与函数图象相切的切点坐标，表示出切线方程，进而求出切点坐标即可得解. 【解答过程】（1）由，得点在曲线上， 求导得，则， 所以所求切线的方程为，即. （2）设切点为，则切线的斜率为， 切线的方程为：， 由切线过点，得，整理得， 解得，，切线的斜率， 所以切线的方程为，切点坐标为. 18．（24-25高二下·辽宁抚顺·期中）已知是函数的导函数，且． (1)求； (2)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)2 【解题思路】（1）求导，通过赋值即可求出，进而可求的值； （2）根据导数的几何意义求出切线方程，再求出切线与两坐标轴的交点即可求出三角形面积. 【解答过程】（1）由题可知， 令，则，解得． 因为，所以． （2）由（1）可知，， 则所求的切线方程为，即 ， 所以该切线与坐标轴的交点为和， 则所求三角形的面积为． 19．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数. (1)若函数的图象恒过定点，且在定点处的切线方程与直线平行，求定点的坐标和实数的值； (2)若函数的图象存在与直线垂直的切线，求实数的取值范围. 【答案】(1),的值为; (2). 【解题思路】（1）令可求出定点的坐标，由导数的几何意义可得，根据两直线平行对应的斜率相等列方程可求实数的值； （2）由题意可得有解，分离参数即可求解. 【解答过程】（1）令，可得， 所以函数的图象恒过定点. 因为，所以. 因为在定点处的切线方程与直线平行，且直线的斜率为， 所以，解得. 验证，点不在直线上，故成立. 所以定点的坐标为，的值为. （2），直线的斜率为， 若函数的图象存在与直线垂直的切线， 所以有解，即有解. 因为，所以，即， 所以实数的取值范围是. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$