广东省大湾区2024-2025学年高二下学期期末统一测试数学试卷

★启用前注意保密 大湾区2024一2025学年高二年级第二学期期末统一测试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写 在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答 案信息，点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试 卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使 用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.已知随机变量X~N(2,o2),P(X≤4)=0.8，则P(X≤0) A.0.2 B.0.32 C.0.4 D.0.8 2.若函数f(x)=2+cos2x,则 A.f(x)=1 -+2sin 2x B.f(x)=2*In 2+sin 2x xIn C.f(x)=-2sin2x D.f(x)=2*In 2-2sin 2x 3.设随机变量X~B(3,p),若D(X)=子，则P(X22)= A B.4 2-3 D.1 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,'则S3>0”是“{n}为递增数列”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D:既不充分也不必要条件 5.已知变量x与变量y线性相关，x与y的样本相关系数为一0.8，且由观测数据算得样本平均 数x=5,少=6，则由该观测数据算得经验回归方程可能是 A.)=0.8x+2 B.少=x+1 C.y=-0.8x+9 D.y=-x+11 6.设A,B是一个随机试验中的两个事件，若P(⑧)=P(B)=了，则P(4B)= A c D.3 高二数学第1.页共4页 7.下列在同一坐标系中的图象，有可能是三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)及其导函数 图象的是 8.如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有A, B B,C,D,E五个水闸，若上游有充足的水源但下游没 有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有 A.24种 B.23种 C.15种 D.7种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.两个具有相关关系的变量x,y的一组数据为（化，y),(x2y2),,(xn,y),其经验回 归方指为了c+a,让万-空，了-习快定系数为：若将数据调整为5，+) (片+)，，(k,以.+0，其经验回归方程为=+a,记少-之y+1),决定系 数为R2,则 。(x-(y- 2y.- 附：6=近 ，a=y-6,R2=1- ∑x-习2 (,-列 A.=y' B.6= C.a<a D.R2<R'2 10. 已知(2x+a)=a+a,(x+1)+a2(x+l)2+…+a,(x+l)°，若a=1，则 3-1 A.a=3 B.ao+az +as+ao+as 2 C.a3=84 D.a+2a1+3a2+4a3+…+10a,=7×39 1.设函数f)=e(2x+D,则 A.函数f()的单调递减区间为(-，宁 B.曲线y=f(x)在点(L,3)处的切线方程为y=e(2x+1) C,函数∫(x)既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值 D.若方程f(x)=k有两个不等实根，则实数k的取值范围为(0，一U(4V,+∞) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在等比数列{an}中，若a4,a是方程x2+11x+9=0的两根，则a6的值为 13.函数f(x)=xln(-x)的单调递减区间是 14.甲，乙，丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将 球传给另外两个人中的任何一人，则n次传球后球在甲手中的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知在 2+2x司 (n∈N)的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的 比值为2. (1)求n的值； (2)求展开式中含x4的项. 16.(15分) 已知数列{an}的前n项和为S4,a=l,an>0,S好=a1-Sn1,其中元为常数. (1)证明：Sn1=2Sn+元； (2)是否存在实数入，使得数列{an}为等比数列？若存在，求出2的值：若不存在，说明理 由. 17.(15分) 某学校为了解该校学生对人工智能相关知识是否感兴趣，随机对该校的100位学生进行了问 卷调查，已知被调查学生中男生占调查人数的55%，其中感兴趣的有45人，其余人不感兴趣； 在被调查的女生中，感兴趣的有20人，其余人不感兴趣 (1)请补充完整2×2列联表，并依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为对人工智 能相关知识感兴趣与学生的性别有关联？ 对人工智能相关知识的兴趣 性别 合计 感兴趣 不感兴趣 男生 女生 合计 (2)从这100位学生中任选1人，A表示事件“选到的人是男生”，B表示事件“选到的人 对人工智能相关知识不感兴趣”，求P(BA: (3)从这100名学生中随机抽取4名男生和3名女生，组成一个容量为7的样本，再从这7 人中随机抽取3人，随机变量X表示3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望。 附：参考公式：X= n(ad-be) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 其中n=a+b+c+d, 小概率值和相应的临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.01 0.005 Xa 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 18.(17分) 已知函数f)-4c-2x(>0,函数g)=-+3ax-a2-3a(aeR). (1)若过点O(0,0)的直线1与曲线y=f(x)相切于点P,与曲线y=g(x)相切于点2 ①求a的值： ②当P,Q两点不重合时，求线段PQ的长： (2)若3x>1,使得不等式f(x)≤g(x)成立，求a的最小值. 19.(17分) 圆周上有2个不同的点，现将这些点两两连线，要求每点只和其它一个点连线，且这些连 线在圆内无交点.例如：n=2时，共有4个点，以1,2,3,4表示，共有两种正确连线方式， 如图1,2所示，而图3为错误连接方式（连线在圆内有交点，不合要求）· 图1 图2 (1)当n=3时，求满足要求的连线方法总数； (2)己知满足要求的每一种连线方法出现的概率都相等，如n=2时，出现图1和图2所示 连线方法的概率均为)，记一次连线方法中，共有Y对相邻的两个点连在一起， ①当n=4时，求Y的分布列和期望； ②已知：对任意随机变量X,=1,2,m,m∈N)，有 满足条件的连线方法总数为an,Y的期望为E·求B,B,(佣n和a2n表示)】 大湾区2024一2025学年高二年级第二学期期末统一测试 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求的， 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D D B D A C B 1.【答案】A 【详解】已知随机变量X~N(2,σ2)，P(X≤4)=0.8，则P(X≥4)=0.2， 根据正态密度曲线的对称性得出P(X≤0)=P(X≥4)=0.2 2.【答案】D 【详解】由f(x)=2*+cos2x→f'(x)=2*lnx-2sin2x, 3.【答案】D 【详解】由题意知，3p1-p)-},解得p 所以P(x≥2)=Px=2+P(x==G引C-3 故选：D 4.【答案】B 【详解】由{an}是等差数列，S>0,得S=4+a2+a=3a2>0,所以a2>0, S4=a+a2+a3+a4,不能判断a的正负，所以不能判断S3,S4的大小， 所以不能确定{S}是否递增数列： 若{Sn}为递增数列，则Sn-Sn1>0(n≥2)，即n≥2时an>0, 所以a2>0,S3=4+a2+4=3a2,所以S3>0, 所以S,>0是{Sn}为递增数列的必要不充分条件.故选：B 5.【答案】D 高二数学参考答案第1页（共12页） 【详解】因为x与y的样本相关系数为-0.8<0，可知x与y为负相关，故A,B错误： 又因为经验回归方程过样本中心点(5,6)，对于y=0.8x+9,则-0.8×5+9=5≠6，故C 错误：对于y=-x+11,则-5+11=6，故D正确. 6.【答案】A 【详解】因为画-了所以P()=1-P(=1-背号又因为P倒=A+P(4)-子 PB)=5,所以P(B)=号所以P(4B)-PS3*22 P(AB)131 7.【答案】C 【详解】因为f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则f'(x)=3ax2+2bx+c,则f'(x)的图象为 抛物线，对于A选项，如下图所示： 当x<x,或x>x时，'(x)<0,则函数f(x)在区间(-o,x)、(x2,+∞)上均为减函数， 不合乎题意，A错： 对于B选项，由图可知，x∈R,f'(x)>0,则函数f(x)在(-o,+o)上为增函数， 不合乎题意，B错； 对于C选项，由图可知，x∈R,f'(x)>0,则函数f(x)在(-o,+o)上为增函数， 合乎题意，C对： 对于D选项，如下图所示： 当x<x或x>时，f'(x)<0,则函数f(x)在区间(-o,x)、 (x2,+o)上均为减函数， 不合乎题意，D错 高二数学参考答案第2页（共12页） 8.【答案】B 【详解】①A水闸关闭时，满足要求，此时B,C,D,E打开或关闭时均可，此时有24=16种 情况， ②若A水闸打开时，同时关闭B,C时，满足要求，此时D,E打开或关闭时均可，此时有 22=4种情况， ③若A水闸打开时，同时关闭D,E时，满足要求，此时B,C打开或关闭时均可，此时有 2=4种情况， 上面②③两种情况有重复的1种情况，就是A水闸打开，B,C,D,E同时关闭的情况， 故共有16+4+4-1=23种情况， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 BC ABD BCD 9.【答案】BC 【详解】了=+1+为+1+为+1+少+1=+⅓+y+少+1=万+1，A错误： n 6的计算中，x数据不变，y-=(y+)-y也不变，所以6不变，B正确： a=y-b标=+1-标=à+1>a,C正确： 20y-护 由于R2=1- y,变成了y+1,y=+1,=bx+a=bx,+a+1=y+1,从 20y-列 而y-,y-y都不变，所以R2=R2,D错误.故选：BC 10.【答案】ABD 【详解】令x=-1,得(-2+a)°=a。=1,解得a=3,故A正确； 所以(2x+3)°=a。+a(x+1)+a2(x+1)2+…+a(x+1), 高二数学参考答案第3页（共12页） 令x=0,得a+a+a2+…+a,=3°， 令x=-2,得a-41+a2--a4,=-1, 所以a+a2+a4+a6+as= 9-,故B正确： 21 (2x+3)9=[1+2(x+)了展开式的第r+1项T,+1=Cg[2(x+1=2.Cg·(x+1)y(0≤r≤9且 r∈N), 所以a=2×C=672,故C错误： 令1=x+1,则(1+2t)°=a。+a,t+a,f2+…+a,f, 设f(t)=(1+2)=a+a,t+a,+…+af°， 则f'(t)=181+2t)8=a,+2a,t+…+9a,18, 令1=1，得4+2a2+…+9a,=18×38=2×310, 又a+a1+4+…+a,=3”, 所以a+2a+3a2+4a3+…+10a) =(a,+2a2+…+9a)+(a+a+a2+…+4,)=2×30+3°=7×3°，故D正确 故选：ABD ll.【答案】BCD 【详解】对A:由题意可知f(x)的定义域为(-o,0)U(0,+∞)， fW-[e2+]x-[e2x+]-g2x-wx+D x 令f)=0,即2-1+=0，解得x=-1或x 当e(au经时，e>0,当xe(loo》时，a<0, 所以了)在（一-）利3)上单调递指，在(-10)和0》上单调递减，故A铝误： 高二数学参考答案第4页（共12页） 对B:切线斜率k=f'()=2e,曲线y=f(x)在点(1,3e)处的切线方程为y-3e=2e(x-1), 即y=e(2x+l),故B正确； 对C,当x-1时，树收得授大直为-2-。当，句取 (-1) e e 2 得极小值为 2 =4,因为<4， 1 2 所以极大值小于极小值，故C正确： Y=k 对D:由上分析可作出f(x)的图象如图所示，要使方程f(x)=k有 两个不等实根，只需要y=k与f(x)有两个交点， 由图可知， k∈Q日4e,+,故D正确故选：BcD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共5分 12.-3 13.←10 4。 12.【答案】-3 【详解】由题意可知，a4·a=a62=9,且a4+ag=-11<0,即a6<0,故有a6=-3 13.【答案】(，0) 【详解】函数f(x)=xn(-x)的定义域为(-oo,0),f(x)=l+ln(-x), 由∫()=1+(-x)<0,解得-<x<0,所以函数f)=xInx的单调递减区间是(-1,0). 14.【答案】-（←-少2 【详解】记A,表示事件“经过n次传球后，球在甲的手中”， 设n次传球后球在甲手中的概率为pn,n=1,2,3,…,n,则有乃=0，A1=An·A+1+An·An1, 所以pn1=P(An·An1+An·A+i)=P(An·Ani)+P(An·Ani) 高二数学参考答案第5页（共12页） =P(A)P(AA)+(A)P(AA)=(1-p)+p(-p.). 11 即p1=2P.+2n=l,2,3… 所以A写具A号号 111 所以数列和，}表示以-为首项，弓为公比的等比数列， r,以=r+却-（r门 33 即n次传球后球在甲手中的概率是-（方门. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分) 解：(1)由题知： ；nm-10n-2x2x1-n=2-=2, n(n-1）3 …5分 3×2×1 解得n=8 …6分 2-c〔2.-2c，0ss8eN …9分 =4,得=3， 令8- …11分 所以展开式中含有x4的项为：T=223-8Cx4=14x4 …13分 16.(15分) 解：(1)因为a1=Sn1-Sn,S=a1-2Sn1, …1分 所以S房=(Sn1-Sn)2-S+1, …3分 即S+1(Sn+1-2Sn-2)=0, …5分 因为an>0,所以Sn1>0,所以Sn1-2Sn-元=0，所以Snt1=2Sn+.…7分 (2)存在