精品解析：北京市丰台区2024-2025学年下学期八年级期末数学试题

八年级数学 考生须知 1．本试卷共8页，满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考试号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分选择题 一、选择题（本题共24分，每小题3分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，平分．若，则的大小为( ) A. B. C. D. 3. 下列函数图象中，随的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 中，，，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C D. 6. 某校合唱比赛、共有六位评委现场打分，去掉一个最高分和一个最低分后的4个有效分数与6个原始分数相比，一定不变的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 7. 下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（ ） A. 正方形的面积随着边长的变化而变化 B. 圆的周长随着半径的变化而变化 C. 面积为20的三角形的一边，随着这边上的高的变化而变化 D. 矩形的一边长为，比它的邻边短2．矩形的周长随着边长的变化而变化 8. 如图，将四个全等的直角三角形围成大正方形，中间是小正方形．连接大、小正方形的对角线均交于点，连接．若，下面三个结论：①；②；③(表示图形的面积)．其中所有正确结论的序号是( ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第二部分非选择题 二、填空题（本题共18分，第9-13，15题，每小题2分，第14，16题，每小题3分） 9. 计算：___________． 10. 在平面直角坐标系中，将直线向下平移1个单位长度后，得到的直线解析式为___________． 11. 写出一个使式子“”成立的的值，这个值可以是___________． 12. 在平面直角坐标系中，直线经过第一、二、三象限，写出一个满足题意的的值___________． 13. 如图，平面直角坐标系xOy中，A（0，3），B（4，0），点C为AB中点，则线段OC的长为______． 14. 如图是甲、乙两射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图．观察图形，甲、乙这10次射击训练成绩的方差___________（填“>”，“<”或“=”），可知射击成绩更稳定的运动员是___________（填“甲”或“乙”）． 15. 图1是一种常见的倾斜式停车位．将其中一个停车位抽象成，车辆停放区域的轮廓近似看成矩形，如图2所示．已知，，．现有一辆长，宽的轿车，___________（填“能”或“不能”）完全停入矩形内．（参考数值：，） 16. 某工厂安排80名工人在规定时段内全部参与加工三种零件．在该时段内，每名工人只能加工零件2件，或零件1件，或零件4件．工厂要求加工零件的总数至少8件，零件的总数至少11件，零件和零件的总数相等．若加工零件总数不超过20件时，每件获利360元，超过20件时，超过的部分每件少获利30元；加工零件每件获利700元；加工零件每件获利180元． （1）当安排2名工人加工零件时，安排加工零件的工人人数为___________； （2）当安排___________名工人加工零件时，在规定时段内工厂获利最大，最大利润为___________元． 三、解答题（本题共58分，第17，19，20，23题，每小题5分，第18，21，22，24题，每小题6分，第25，26题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 已知：如图，． 求作：的平分线． 作法：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交的两边于点； ②分别以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点P（不与点O重合）； ③作射线． 射线即为所求． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，． ______________________， 四边形是___________（___________）（填推理的依据）． 射线是的平分线（___________）（填推理的依据）． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求两点的坐标； （2）画出一次函数的图象； （3）当___________时，． 20. “勾股容方”记载于《九章算术》，研究了直角三角形的直角边和与它具有公共直角的内接正方形的边长之间的数量关系．与直角三角形具有公共直角的内接正方形指的是如图1所示的正方形，它的一个顶点和直角顶点重合，另外三个顶点在三条边上，数学家刘徽根据图2、图3用出入相补原理证明了“勾股容方”公式：，其中是直角三角形的直角边，是内接正方形的边长． 补全证明过程（用含或的式子表示）：证明： （1）图2是由两个图1拼成的矩形（无缝隙、不重叠），则这个矩形的面积为___________； （2）图3是由图2中的直角三角形及正方形重新组合拼成的新矩形（无缝隙、不重叠），则新矩形的一边长为，另一边长为___________，面积为___________； （3）因为图2和图3中的矩形面积相等，即______________________，从而得到“勾股容方”公式：． 21. 如图，菱形的对角线，相交于点，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接．若，求长． 22. 小明利用数学知识研究浮力的相关问题时，进行了如下操作：将用弹簧测力计悬挂的圆柱体，先置于盛有某种液体的烧杯液面上方，然后缓慢下降，没入液体中不同深度，如下图所示． 在这个过程中，小明记录了圆柱体下表面浸入液体的深度（单位：）与弹簧测力计 读数（单位：）的部分数据，并计算出圆柱体所受浮力（单位：），如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.6 4.2 3.8 3.4 3.0 2.6 2.2 2.2 2.2 2.2 0 0.4 0.8 1.2 2.0 2.4 2.4 24 2.4 （1）表中的值为___________； （2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值对应的点，，并画出的图象； （3）结合以上数据和函数图象，解决下列问题： ①圆柱体下降的过程中，完全浸入前，随着浸入深度的增大，所受浮力___________（填“增大”、“减小”或“不变”）；完全浸入后，随着浸入深度的增大，所受浮力___________（填“增大”、“减小”或“不变”）； ②当弹簧测力计读数与圆柱体所受浮力大小相等时，圆柱体下表面浸入液体的深度约为___________（结果保留小数点后一位）． 23. 某中学组织八年级学生开展了红色研学活动，包含甲、乙两条线路，每名学生选择其中一条线路自愿参与．为了解学生对研学的满意程度，学校分别从参加甲、乙两条线路研学的学生中各随机抽取30人进行了问卷调研，按百分制评分（均为整数），对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙线路评分的频数分布表： 评分分组 甲线路评分频数 7 3 0 乙线路评分频数 9 18 2 1 （说明：当时，非常满意；当时，比较满意；当时，不太满意；当时，非常不满意） b．乙线路在的评分：89，88，87，87，87，87，85，85，84，83，83，82，82，81，81，80，80，80 c．甲、乙线路评分的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 甲线路评分 85.4 85 85 279 乙线路评分 85.1 87 40.1 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中___________，___________； （2）此次调研分别从课程策划、实践体验、服务保障三个方面按照的比确定评分．某位学生对这三方面的评分分别是93，84，77，他对此次研学的评价是___________（填“非常满意”“比较满意”、“不太满意”或“非常不满意”）； （3）学校计划在两条线路中选择一条作为七年级红色研学线路，请你结合调研数据给出建议：选择___________（填“甲”或“乙”）线路，理由是___________． 24. 在平面直角坐标系中．函数与的图象交于点． （1）求，的值： （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围． 25. 如图，在正方形中，点是线段上的一点（不与点重合），于点，且，交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，交于点，连接，，用等式表示与的数量关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，已知点和过点垂直于轴的直线．对于点和图形，给出如下定义：将点关于直线的对称点向上或向下平移个单位长度，得到点，若点在图形上，则称点是图形关于点的“关联点”． （1）已知点，，和点． ①在点中，正方形关于点的“关联点”是___________； ②若点是正方形关于点的“关联点”，直接写出长的最大值； （2）已知点和点．若存在点是正方形关于点的“关联点”，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 考生须知 1．本试卷共8页，满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考试号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分选择题 一、选择题（本题共24分，每小题3分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件.根据函数表达式是二次根式时，被开方数非负，即被开方数大于等于0，据此可列出不等式，解不等式可求出答案． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 故答案为：B． 2. 如图，在中，平分．若，则的大小为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平分求出，再根据邻角互补求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴． 故选：A． 3. 下列函数图象中，随的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数，反比例函数和二次函数的增减性，根据函数图象判断出对应函数的增减性即可得到答案． 【详解】解：A、由函数图象可知，随的增大而减小，不符合题意； B、由函数图象可知，当时，随的增大而增大，符合题意； C、由函数图象可知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，不符合题意； D、由函数图象可得当时，y先随x增大而减小，再随x增大而增大，当时，y先随x增大而增大，再随x增大而减小，不符合题意； 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，需掌握二次根式的加减乘除法则． 根据二次根式的加减法，乘法，除法进行计算，逐项分析即可． 【详解】解：选项A： 无法合并，结果不等于，故错误． 选项B：，不等于，故错误． 选项C：，计算正确． 选项D：，结果不等于，故错误． 故选C． 5. 中，，，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定方法，包括角度和为及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 利用三角形的角度和勾股定理的逆定理逐一验证各选项是否满足条件即可． 【详解】解：选项A：若，则，故为直角三角形，可判定，不符合题意； 选项B：，总份数为6，计算得，故为直角三角形，可判定，不符合题意； 选项C：，验证勾股定理：，即，成立，故为直角三角形，可判定，不符合题意； 选项D：，最长边为，验证勾股定理：，不满足勾股定理，故无法判定为直角三角形，符合题意； 故选：D． 6. 某校合唱比赛、共有六位评委现场打分，去掉一个最高分和一个最低分后的4个有效分数与6个原始分数相比，一定不变的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计量的性质．原始数据去掉最高分和最低分后，分析各统计量是否变化．中位数在去掉对称的两个极值后保持不变，而平均数、众数、方差均可能改变． 【详解】解：平均数：总和减少，故平均数可能变化． 众数：若被去掉的最高分或最低分是原众数，则众数改变． 中位数：原始6个数据的中位数为第3、4位数的平均值；去掉最高和最低分后，剩余4个数据的中位数为第2、3位数的平均值．由于原第3、4位数仍位于剩余数据中间，故中位数不变． 方差：数据分布改变，方差可能变化． 故选C． 7. 下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（ ） A. 正方形的面积随着边长的变化而变化 B. 圆的周长随着半径的变化而变化 C. 面积为20的三角形的一边，随着这边上的高的变化而变化 D. 矩形的一边长为，比它的邻边短2．矩形的周长随着边长的变化而变化 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数的定义．先依据题意列出函数关系式，然后依据正比例函数的定义：一般地，形如的函数叫做正比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A.，是二次函数； B.，是正比例函数； C.，是反比例函数； D.，是一次函数； 故选：B． 8. 如图，将四个全等的直角三角形围成大正方形，中间是小正方形．连接大、小正方形的对角线均交于点，连接．若，下面三个结论：①；②；③(表示图形的面积)．其中所有正确结论的序号是( ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．①设，则，进而得证明是等腰直角三角形得，根据正方形性质得是等腰直角三角形，由勾股定理得，由此可对结论①进行判断； ②根据正方形性质得是等腰直角三角形，的，再根据是等腰直角三角形得，进而得，继而得，由此可对结论②进行判断； ③先由勾股定理求出得，证明，再根据，得，由此可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①设， ∴， 由全等三角形的性质得：， ∴， ∴ ∵是直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 在正方形中，， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ②在正方形中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故结论②正确； ③在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故结论③正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③． 故选：D． 第二部分非选择题 二、填空题（本题共18分，第9-13，15题，每小题2分，第14，16题，每小题3分） 9. 计算：___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法．根据平方差公式和二次根式的乘法法则来计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：4． 10. 在平面直角坐标系中，将直线向下平移1个单位长度后，得到的直线解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换．依据题意，由直线向下平移1个单位长度，从而根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可判断得解． 【详解】解：∵直线向下平移1个单位长度， ∴根据“上加下减，左加右减”的平移规律可得，平移后的直线解析式为． 故答案为：． 11. 写出一个使式子“”成立的的值，这个值可以是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．根据二次根式的性质与化简得出，然后找出一个符合条件的值即可． 【详解】解：若， 则， 所以a的值可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 在平面直角坐标系中，直线经过第一、二、三象限，写出一个满足题意的的值___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质．根据一次函数的性质确定k的符号，然后找到一个满足条件的k的值即可． 【详解】解：∵直线经过第一、二、三象限， ∴， ∴满足条件的k的值可以是1， 故答案为：1（答案不唯一）． 13. 如图，平面直角坐标系xOy中，A（0，3），B（4，0），点C为AB的中点，则线段OC的长为______． 【答案】##2.5 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AB的长后再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点C为AB的中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形的性质，牢记勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键． 14. 如图是甲、乙两射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图．观察图形，甲、乙这10次射击训练成绩的方差___________（填“>”，“<”或“=”），可知射击成绩更稳定的运动员是___________（填“甲”或“乙”）． 【答案】 ①. ②. 甲 【解析】 【分析】本题考查的是方差、折线统计图的有关内容．分析折线统计图，容易看出甲的成绩比较稳定，乙的成绩波动较大． 【详解】解：由图可知，乙的波动大， ∴乙的方差大，即； ∴射击成绩更稳定运动员是甲． 故答案为：；甲． 15. 图1是一种常见的倾斜式停车位．将其中一个停车位抽象成，车辆停放区域的轮廓近似看成矩形，如图2所示．已知，，．现有一辆长，宽的轿车，___________（填“能”或“不能”）完全停入矩形内．（参考数值：，） 【答案】不能 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形，矩形．根据题意，分别计算矩形的长，宽，与轿车的长，宽相比较即可得到结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵现有一辆轿车的长，宽， ， ∴这辆轿车不能完全停入矩形内． 故答案为：不能． 16. 某工厂安排80名工人在规定时段内全部参与加工三种零件．在该时段内，每名工人只能加工零件2件，或零件1件，或零件4件．工厂要求加工零件的总数至少8件，零件的总数至少11件，零件和零件的总数相等．若加工零件总数不超过20件时，每件获利360元，超过20件时，超过的部分每件少获利30元；加工零件每件获利700元；加工零件每件获利180元． （1）当安排2名工人加工零件时，安排加工零件的工人人数为___________； （2）当安排___________名工人加工零件时，在规定时段内工厂获利最大，最大利润为___________元． 【答案】 ①. 74 ②. 5 ③. 56300 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用．设加工C零件的工人为人，则加工A零件的工人为人，则加工B零件的人数为人，设利润为P，根据题意列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：设加工C零件的工人为人，则C零件总数为件，A零件总数也为件，则加工A零件的工人为人，则加工B零件的人数为人， （1）当时，人， 此时B零件总数，符合条件， ∴当安排2名工人加工C零件时，加工B零件的有74人； （2）利润分段计算：当 (即)时，A零件利润为； 当时，A零件利润为：； 设利润为P，则 当时，， ∵， ∴为增函数，最大值在时取得，； 当时， ， ∵， ∴为减函数，最大值在时取得，元； 综上所述，当，即安排5名工人生产C零件时，利润最大，最大利润为56300元． 故答案为：74；5；56300． 三、解答题（本题共58分，第17，19，20，23题，每小题5分，第18，21，22，24题，每小题6分，第25，26题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算．利用二次根式的性质，零指数幂计算后再算加减即可． 【详解】解： ． 18. 已知：如图，． 求作：的平分线． 作法：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交的两边于点； ②分别以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点P（不与点O重合）； ③作射线． 射线即为所求． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，． ______________________， 四边形是___________（___________）（填推理的依据）． 射线是的平分线（___________）（填推理的依据）． 【答案】（1）见解析 （2），，菱形，四边相等的四边形是菱形，菱形的对角线平分一组对角 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）证明四边形是菱形即可． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 证明：连接，． ∵， ∴四边形是菱形（四边相等的四边形是菱形）， ∴射线是的平分线（菱形的对角线平分一组对角）． 故答案为：，，菱形，四边相等的四边形是菱形，菱形的对角线平分一组对角． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求两点的坐标； （2）画出一次函数的图象； （3）当___________时，． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点，的坐标；（2）利用两点法，画出函数图象；（3）利用数形结合，找出结论． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点，的坐标； （2）描点、连线，画出函数图象； （3）观察函数图象，即可得出结论． 【小问1详解】 解：当时，， 解得：， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为； 【小问2详解】 一次函数的图象经过点：，， 描点、连线，画出函数图象； 【小问3详解】 观察函数图象，可得：当时，． 故答案为：． 20. “勾股容方”记载于《九章算术》，研究了直角三角形的直角边和与它具有公共直角的内接正方形的边长之间的数量关系．与直角三角形具有公共直角的内接正方形指的是如图1所示的正方形，它的一个顶点和直角顶点重合，另外三个顶点在三条边上，数学家刘徽根据图2、图3用出入相补原理证明了“勾股容方”公式：，其中是直角三角形的直角边，是内接正方形的边长． 补全证明过程（用含或的式子表示）：证明： （1）图2是由两个图1拼成的矩形（无缝隙、不重叠），则这个矩形的面积为___________； （2）图3是由图2中的直角三角形及正方形重新组合拼成的新矩形（无缝隙、不重叠），则新矩形的一边长为，另一边长为___________，面积为___________； （3）因为图2和图3中的矩形面积相等，即______________________，从而得到“勾股容方”公式：． 【答案】（1） （2），． （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式加减的应用、列代数式等知识点，正确表示出长方形的长和宽是解题的关键． （1）两个直角三角形的面积等于拼成的长方形的面积列出代数式即可； （2）由是内接正方形的边长，则新矩形的一边长为，另一边长为，然后根据矩形的面积公式求解即可． （3）由图2和图3中的矩形面积相等结合（1）（2）的结论即可解答． 【小问1详解】 解：由两个直角三角形的面积等于拼成的长方形的面积，则长方形的面积为：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵内接正方形的边长x， ∴新矩形的一边长为，另一边长为， ∴新矩形的面积为：． 故答案为：，． 【小问3详解】 解：由题意得：，则． 故答案为：，． 21. 如图，菱形的对角线，相交于点，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接．若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形是判定、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得出，即可得出结论； （2）先证△是等边三角形，得出，求出，再由勾股定理求出，然后由矩形得出，，最后由勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）得：四边形是矩形， ，， 在中，由勾股定理得：． 22. 小明利用数学知识研究浮力的相关问题时，进行了如下操作：将用弹簧测力计悬挂的圆柱体，先置于盛有某种液体的烧杯液面上方，然后缓慢下降，没入液体中不同深度，如下图所示． 在这个过程中，小明记录了圆柱体下表面浸入液体的深度（单位：）与弹簧测力计 读数（单位：）的部分数据，并计算出圆柱体所受浮力（单位：），如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.6 4.2 3.8 3.4 3.0 2.6 2.2 2.2 2.2 2.2 0 0.4 0.8 1.2 2.0 2.4 2.4 2.4 2.4 （1）表中的值为___________； （2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值对应的点，，并画出的图象； （3）结合以上数据和函数图象，解决下列问题： ①圆柱体下降的过程中，完全浸入前，随着浸入深度的增大，所受浮力___________（填“增大”、“减小”或“不变”）；完全浸入后，随着浸入深度的增大，所受浮力___________（填“增大”、“减小”或“不变”）； ②当弹簧测力计读数与圆柱体所受浮力大小相等时，圆柱体下表面浸入液体的深度约为___________（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1）1.6 （2）见解析 （3）①增大，不变；② 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，找到变量的变化规律是解题的关键． （1）根据随h的变化规律计算即可； （2）补充点并连线即可； （3）①根据表格或图象填空即可；②观察图象即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，h增加，增加， ∴． 故答案为：1.6； 【小问2详解】 解：补充点及图象如图所示： ； 【小问3详解】 解：①圆柱体下降的过程中，完全浸入前，随着浸入深度h的增大，所受浮力增大；完全浸入后，随着浸入深度h的增大，所受浮力不变． 故答案为：增大，不变； ②当弹簧测力计读数与圆柱体所受浮力大小相等时，圆柱体下表面浸入液体的深度h约为． 故答案为：． 23. 某中学组织八年级学生开展了红色研学活动，包含甲、乙两条线路，每名学生选择其中一条线路自愿参与．为了解学生对研学的满意程度，学校分别从参加甲、乙两条线路研学的学生中各随机抽取30人进行了问卷调研，按百分制评分（均为整数），对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙线路评分的频数分布表： 评分分组 甲线路评分频数 7 3 0 乙线路评分频数 9 18 2 1 （说明：当时，非常满意；当时，比较满意；当时，不太满意；当时，非常不满意） b．乙线路在的评分：89，88，87，87，87，87，85，85，84，83，83，82，82，81，81，80，80，80 c．甲、乙线路评分的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 甲线路评分 85.4 85 85 27.9 乙线路评分 85.1 87 40.1 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中___________，___________； （2）此次调研分别从课程策划、实践体验、服务保障三个方面按照的比确定评分．某位学生对这三方面的评分分别是93，84，77，他对此次研学的评价是___________（填“非常满意”“比较满意”、“不太满意”或“非常不满意”）； （3）学校计划在两条线路中选择一条作为七年级红色研学线路，请你结合调研数据给出建议：选择___________（填“甲”或“乙”）线路，理由是___________． 【答案】（1）， （2）比较满意 （3）甲线路；甲线路评分的平均数、中位数高于乙线路评分 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、众数的意义和频数分布表； （1）运用考查的总人数减去其它组的人数求出m的值；然后利用中位数的定义求出n的值即可； （2）利用加权平均数的计算公式求出平均数，然后判断解答即可； （3）根据平均数、中位数、众数的意义作比较解答即可． 【小问1详解】 解：， 乙线路评分排序后居于中间的两个数是和，则， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， ∴他对此次研学的评价是比较满意， 故答案为：比较满意； 【小问3详解】 选择甲线路，理由为甲线路评分的平均数、中位数高于乙线路评分，故选择甲线路． 24. 在平面直角坐标系中．函数与的图象交于点． （1）求，的值： （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查两直线相交或平行问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）把点的坐标代入先求出的值，然后再代入求出b值即可； （2）借助图象即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入得， 解得， ∴交点坐标， 把代入得； 【小问2详解】 解：直线解析式为， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值， ∴． 25. 如图，在正方形中，点是线段上的一点（不与点重合），于点，且，交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，交于点，连接，，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意得，证明，进而依据判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点N作于点P，连接，，证明四边形是正方形得，进而依据判定和全等得，，再证明得是等腰直角三角形，由勾股定理得，再证明和全等得，由此即可得出与的数量关系． 【小问1详解】 证明：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：与数量关系是：，证明如下： 过点N作于点P，连接，，如图所示： ∴， 在正方形中，，，，， ∴， ∴四边形是矩形， 由（1）可知：， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，已知点和过点垂直于轴的直线．对于点和图形，给出如下定义：将点关于直线的对称点向上或向下平移个单位长度，得到点，若点在图形上，则称点是图形关于点的“关联点”． （1）已知点，，和点． ①在点中，正方形关于点的“关联点”是___________； ②若点是正方形关于点的“关联点”，直接写出长的最大值； （2）已知点和点．若存在点是正方形关于点的“关联点”，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①点，；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①将正方形向下平移2个单位长度，得到正方形，再关于直线作轴对称图形，得到正方形，则正方形关于点的“关联点”P在正方形上．根据平移与轴对称的坐标变换，得到正方形各顶点的坐标，即可判断点，，是否符合； ②由①点D在正方形上，因此当点D在点，即点D为时，的长为最大值，根据两点间距离公式即可求解； （2）同（1）思路，将正方形平移个单位长度，得到正方形，若，则向下平移；若，则向上平移．将正方形关于直线作轴对称图形，得到正方形，根据“关联点”的定义得到点P在正方形上．根据平移与轴对称的坐标变换，得到正方形各顶点的坐标．由是以点为直角顶点的等腰直角三角形，可求出点P（图中的点，）的坐标．再分别讨论点，在正方形上时，t的取值范围即可． 【小问1详解】 解：如图，将正方形向下平移2个单位长度，得到正方形， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴将正方形关于直线作轴对称图形，得到正方形， ∴，，，， 由题意可知，正方形关于点的“关联点”P在正方形上， ∵点与点重合，点在边上， ∴点，是正方形关于点“关联点”． 故答案为：点， ②由①可知正方形关于点的“关联点”在正方形上， ∵点是正方形关于点的“关联点”， ∴点D正方形上， ∴当点D在点，即点D为时，的长为最大值， 最大值为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，将正方形平移个单位长度，得到正方形， 若，则向下平移；若，则向上平移， （ ∵， ∴． ∵， ∴将正方形关于直线作轴对称图形，得到正方形， ∴，，，， ∵点是正方形关于点的“关联点”， ∴点P在正方形上． ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴如图，点，为点P的位置． 过点Q作轴于点M，点作轴于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 同理可得． ①∵， 正方形的各顶点为，，， ∴点在直线上， ∴要使点在正方形上，则， 解得． ②若点在正方形上， 当点在边上时，且， 即且，无解，不合题意，舍去． 当点在边上时，且， 即且，无解，不合题意，舍去． 当点在边上时，且， 即且， ∴． 当点在边上时，且， 即且， ∴． ∴点在正方形上，时． 综上所述，t的取值范围为或． 【点睛】本题考查新定义，平移与轴对称的坐标变换，方程与不等式的应用，通过反向变换，求出符合要求的“关联点”的所有位置是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $