广东省湛江市2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试卷

请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效! 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效! 1 姓 名： 班 级： 考场号： 座位号： 贴 条形码区 考生号： 准考证号 1.答题前，考生须认真核对条形码上的个人信息，然 后将本人姓名、班级、考场号、座位号和考生号填写 回-⋯回-⋯⋯凹日 0 -⋯回⋯⋯凹日 -—⋯⋯日⋯⋯日 0 0 在相应位置。填写样例：012345⑥7⑧90 0 同⋯⋯凹日 c⋯⋯□— 1 1 注 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将对应题目的答案 标号涂黑，修改时用橡皮擦干净，再选涂其他答案。 2 2 2 2 3 L3 意3.答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色字迹签字 6 7 7 8 8 9 9 - 冈⋯. g—⋯u⋯- 34 4 事 笔书写，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米的黑色字迹签字笔描清楚，选做题必须用2B铅笔56-□9 9 -□⋯. 项 将所选题号涂黑。要求字体工整，笔迹清晰。严格按题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上答题无效。4.保持答题卡清洁、完整。严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带。 正确填涂 错误填涂?O 考生 缺考考生由监考员贴条形 区 禁填 码，并用2B铅笔填涂右面 缺考标记 的缺考标记。 选择题(须用2B铅笔填涂) 1 A B C D 5 A B C D] 9 A B c D] 2 A B C D 6 A B C D] 10 A B C D] 3 A B C D 7 A B C D] 11 A] B C D] 4 A B C D 8 A B C D 非选择题(须用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写) 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效! 15.(13分) 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效! 16.(15分) 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效! 12. （5分） 13. (5分) 14. （5分） 2025年湛江市普通高中高一年级期末调研测试 数学答题卡 【高一数学答题卡 （第1页，共2页）】 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效! 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效! 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效! 17.(15分) 18.(17分) 19.(17分) 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效! 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效! 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效! 【高一数学答题卡 （第1页，共2页）】 湛江市 2024—2025学年度第二学期期末调研考试高一数学参考答案及评分标准 第 1 页 （共 6 页） 湛江市 2024—2025学年度第二学期期末调研考试 高一数学参考答案与评分标准 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C A C B D D 8．当点 P在半圆CD或半圆 AD的弧上时，  AP在  AB方向上的投影的数量为非正数； 当点 P在半圆 AB的弧上时， AP在  AB方向上的投影的数量在[0, 4]内， 16  APAB ； 当点 P在半圆 BC的弧上时， AP在  AB方向上的投影的数量不小于 2， 因此当   APAB 取最大值时，点 P在半圆 BC的弧上，取 BC中点O，则   OPAOAP ， 而 π2 3, 6 AO BAO    ， ( )AB AP AB AO OP AB AO AB OP                 2(2 3) 8cos , 20AB OP       ，当且仅当 , 0AB OP     时取等号， 所以 AB AP   的最大值是 20.故选：D 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选 对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 题号 9 10 11 答案 ABD AB ACD 11．解：由正弦边角关系有 sin sin sin( ) sin 2sin cosC B A B B A B     ， 所以 sin sin cos cos sin sin( )B A B A B A B    ，又 0 πA B   且 π0 , 2 A B  ，所以 2B A B A B    ，A对； 由上 π0 2 π0 2 2 π0 π 3 2 B B B             ，可得 π 6 π 4 B  ，B错； 湛江市 2024—2025学年度第二学期期末调研考试高一数学参考答案及评分标准 第 2 页 （共 6 页） 对于 C，如下图示，设 B BAD CAD       ，则 2ADC   ， π 3ACD    ， 由 2AD  ，则 2 cos 4cosc AB AD     ，且 2 2 sin 2 sin(π 3 ) sin 3 b       ，则 2sin 2 sin 3 b    ， 所以 1 1 sin3 1 sin cos2 cos sin 2 1 2sin 2 4cos 2sin 2 4cosb c                22cos 1 cos 1 cos 4cos 2 4cos           ， 而 3sin 5   ，且 π π 6 4   ，则 4cos 5   ，所以 1 1 4 5b c   ，C对； 由 sin sin(π 3 ) sin3 sin cos2 cos sin 2 sin sin 2 sin 2 sin 2 c C B B B B B B a A B B B       22cos 1 cos 2cos B B B    12cos 2cos B B   ， 而 2 3cos ( , ) 2 2 t B  ，且 12 2 y t t   在 2 3( , ) 2 2 上单调递增，则值域为 2 2 3, 2 3        ，D对. 故选：ACD 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分． 12． 22 13． 3 17 14． 28 14．解：如图，取 ABC 的外接圆圆心 H ，过点H 作平面 ABC的垂线， 则三棱锥 P ABC 的外接球的球心O在该垂线上，且 1OH  ， 在 ABC 中， 1 3 3 3sin 2 4 2ABC S ac B ac   ，即 6ac  ， 所以 2 2 2 12 cos 2 2 18 2 b a c ac B ac ac             ， 即 3 2b  （当且仅当 a c 时取等号）， 设 ABCV 外接圆半径为 r，由正弦定理得 2 2 6 sin br B   ，即 6r  ， 所以外接球的半径 2 1 7R r   ，则 24π 28πS R  ， 故三棱锥 P ABC 的外接球表面积的最小值为 28π . 故答案为： 28π . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分） 解：（1）由题意可知  0.01 0.015 0.015 0.025 0.005 10 1a       ，解得 0.03a  ，…………………………1分 成绩位于      70,80 , 80,90 , 90,100 的频率之比为0.03: 0.025 : 0.005 6 :5 :1 ，…………………………………2分 故 24人中成绩不低于 90分的人数为 1 24 2 6 5 1     .……………………………………………………………4分 湛江市 2024—2025学年度第二学期期末调研考试高一数学参考答案及评分标准 第 3 页 （共 6 页） （2）由于  0.01 0.015 0.015 10 0.4 0.5     ，……………………………………………………………………5分  0.01 0.015 0.015 0.03 10 0.7 0.5      ，………………………………………………………………………6分 故中位数位于  70,80 ，………………………………………………………………………………………………7分 设中位数为m，则  70 0.03 0.1m    ，解得 73.33m  ，………………………………………………………9分 （3）甲乙两个人都未复赛获一等奖的概率为 2 1 21 1 5 3 5           ，………………………………………………11分 故至少有一位同学复赛获一等奖的概率为 2 31 5 5   .……………………………………………………………13分 16．（15分） 解：（1）当 π 2 x  时， (sin ,1) (1,1)a x   ， (cos ,1) (0,1)b x   ，…………………………………………………2分 则 (1 0,1 1) (1,2)a b       ．…………………………………………………………………………………………4分 （2）若 a b   ∥ ，则 sin 1 1 cos 0x x    ，即 sin cosx x ，………………………………………………………6分 所以 ππ 4 x k  ， kZ．……………………………………………………………………………………………9分 （3）因为 (sin ,1)a x  ， (cos ,1)b x  ， 所以 1( ) sin cos 1 1 sin 2 1 2 f x a b x x x         ．…………………………………………………………………11分 因为 1 sin 2 1x   ， 所以当 sin 2 1x  时， ( )f x 取得最大值， max 1 3( ) 1 1 2 2 f x     ，………………………………………………13分 当 sin 2 1x   时， ( )f x 取得最小值， min 1 1( ) ( 1) 1 2 2 f x      ．…………………………………………………15分 17．（15分） （1）证明：在直角梯形 BCDE中，由 1DE BE  ， 2CD  ，得 2BD BC  ，………………………………1分 由 2AC  ， 2AB  得 2 2 2AB AC BC  ，即 AC BC ，…………………………………………………………2分 又平面 ABC 平面 BCDE，从而 AC 平面 BCDE，……………………………………………………………4分 所以 AC DE ，又 DE DC ， AC DC C  ，从而DE 平面 ACD；…………………………………………6分 （2）作 BF AD ，与 AD交于点 F ， BO CD ，与CD交于点O，连接OF， BD……………………………7分 因为DE 平面 ACD， //OB DE，所以OB 平面 ACD，所以OB AD ，所以 AD 平面 FOB，所以OF AD ， 所以 BFO 就是二面角 B AD C  的平面角，………………………………………………………………………8分 湛江市 2024—2025学年度第二学期期末调研考试高一数学参考答案及评分标准 第 4 页 （共 6 页） 在直角梯形 BCDE中，由 2 2 2CD BC BD  ，得 BD BC ，………………………………………………………9分 又平面 ABC 平面 BCDE，得 BD 平面 ABC，从而 BD AB ，………………10分 由于 AC 平面 BCDE，得 AC CD ．……………………………………………11分 在Rt ACD△ 中，由 2DC  ， 2AC  ，得 6AD  ； 在Rt ABD△ 中，由 2BD  ， 2AB  ， 6AD  ，得 2 3 3 BF  ，…………13分 1BO DE  ， 3 3 OF  tan 3BFO   ， 所以二面角 B AD C  的正切值为 3．……………………………………15分 18．（17分） 解：（1）由题意知  π2 sin 3sin cos6a b C b C C         ，……………………1分 又由正弦定理得 sin sin a b A B  ，所以  sin sin 3sin cosA B C C  .…………2分 又 πA B C   ，所以 π  A B C，所以  sin sin sin cos cos sinA B C B C B C    ， 所以 cos sin 3sin sinB C B C ，………………………………………………………………………………………3分 因为  0, πC ，所以 sin 0C  ，所以 3tan 3 B  ，…………………………………………………………………4分 又因为  0, πB ，所以 π 6 B  .………………………………………………………………………………………5分 （2）（ⅰ）因为 π2 3, 1, 6 BC BD B    ， 根据余弦定理得 2 2 2 2 cosCD BC BD BC BD B     31 12 2 1 2 3 7 2        ，所以 7CD  ，…………7分 因为 π 2 BDC A   ，所以 πsin sin cos 2 BDC A A        ，………………………………………………………8分 在 BDC 中，由正弦定理知， sin sin BC CD BDC B   ，即 2 3 7 1cos 2 A  ，所以 21cos 7 A  ， 进而 2 2sin = 1 cos 7 A A  ,所以 2 3tan , 3 CDA AC   故 21 2 AC  ，……………………………………………10分 （ⅱ）因为 π π, 6 2 B ACD   ，所以 π ππ 2 3 BCD ACB ACD A B A          ，………………………11分 在 BCD△ 中，由正弦定理得 sin sin BD CD BCD B  ，所以 π2 sin 3 BD CD A      ；…………………………………12分 又在 ACD 中， sin CDAD A  ； 湛江市 2024—2025学年度第二学期期末调研考试高一数学参考答案及评分标准 第 5 页 （共 6 页） 所以 2π 3 1 3 1 12sin sin 2sin cos sin = 3 sin cos sin = sin 2 cos2 3 2 2 2 2 2 BD A A A A A A A A A A AD                 1=cos 2 3 2 A       ，因为 0BCD  ，所以 π π π π0, , 2 , 3 3 3 3 A A              ，所以 π 1cos 2 ,1 3 2 A           ，……14分 所以 BD AD 的取值范围是 10, 2      .………………………………………………………………………………………15分 19．解：（1）根据离散曲率的定义得  11 2πP APB BPC APC      ，……………………………………1分    1 11 , 1 2π 2πA B PAB BAC PAC PBA ABC PBC           ，  11 2πC PCA BCA PCB      ，………………………………………………………………………………2分 又因为 APB BPC APC PAB BAC PAC       PBA ABC PBC   4πPCA BCA PCB    ，……………………………………………………………………………………3分 所以 14 4π 2 2πP A B C           ．……………………………………………………………………………4分 （2）∵ PA 平面 ,ABC BC 平面 ABC，∴PA BC ，…………………………………………………………5分 又∵ ,AC BC PA AC A  ， ,PA AC 平面 PAC，∴ BC 平面 PAC， ∵ PC 平面 PAC，∴BC PC ， ∵  1 31 2π 8C PCA BCA PCB       ，即 1 π π 31 2π 2 2 8 PCA         ∴ π 4 PCA  ，∴ 4  PA AC BC ，………………………………………………………………………………7分 过点 A作 AM PC 于点M ， 由 BC 平面 ,PAC AM 平面 PAC，得 BC AM ， 又 , ,BC PC C BC PC  平面 PCB，则 AM 平面 PCB， 因此点 A到平面 PBC的距离为线段 AM 的长，……………………………………………………………………9分 在Rt ACM 中， 2sin 4 2 2 2 AM AC PCA     ， ∴点A到平面 PBC 的距离为 2 2 .………………………………………………10分 （3）过点Q作QG PA∥ 交 AB于G，连结CG， ∵ PA 平面 ABC，∴QG 平面 ABC， ∴ GCQ 为直线CQ与平面 ABC所成的角，……………………………………11分 依题意可得， 2 2 2 24, 4 4 4 2PA AB AC BC      ， 湛江市 2024—2025学年度第二学期期末调研考试高一数学参考答案及评分标准 第 6 页 （共 6 页）  22 2 24 4 2 4 3PB PA AB     ， 3sin 3 PAPBA PB    ， 6cos 3 ABPBA PB    ，……………………………………………………………………12分 设 (0 4 3)BQ x x   ，则 3 6sin , cos 3 3 QG BQ PBA x BG BQ PBA x       ，………………………………………………………13分 在 BCG 中， 2 2 2 cosCG BC BG BC BG CBG      2 22 6 2 2 8 316 2 4 16 3 3 2 3 3 x x x x         ， 又 30cos 6 GCQ  ，所以 2 6sin 1 cos 6 GCQ GCQ     ， 则 sin 5tan cos 5 GCQGCQ GCQ      ，…………………………………………………………………………………15分 ∴ 2 3 53tan 52 8 316 3 3 xQGGCQ CG x x       ，解得： 4 3 3 x  或 4 3x   （舍）……………………………16分 故 4 3 3 BQ  .…………………………………………………………………………………………………………17分 注:如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分. 湛江市 2024—2025学年度第二学期期末调研考试 高一数学试卷 第 1 页 （共 4 页） 湛江市 2024—2025学年度第二学期期末调研考试 高一数学 说明：本卷满分 150分．考试用时 120分钟． 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．若复数 1 1z i  ， 2 3 2z i  ，则 1 2=z z A． i4 B． i32  C．4 i D． 2 3i  2．袋中装有 6 个白球，5个黄球，4 个红球，从中任取一球，则取到红球的概率为 A． 5 2 B． 15 4 C． 5 3 D． 3 1 3．若正方形 CBAO  的边长为 2，它是水平放置的一个平面图形 的直观图（如图），则原图形的周长是 A．12 B． 24 C．16 D． 28 4．已知一个圆台母线长为 2，侧面展开图是一个圆心角为 3 2 的扇环，则圆台上下底面圆周 长之差的绝对值为 A． 3 4 B．2 C．3 D．4 5．如图，两座山峰的高度 200mAM CN  ，为测量峰顶M 和 峰顶 N之间的距离，测量队在 B点（ A， B，C在同一水平面上） 测得M 点的仰角为 45，N点的仰角为30，且 45MBN  ， 则两座山峰峰顶之间的距离MN  A. 200m B. 400m C. 200 2m D. 400 2m 6．在平行四边形 ABCD中， 3DE EC    ，若 AE交 BD于点 M，则 AM   A．   ADAB 3 2 3 1 B．   ADAB 7 4 7 3 C．   ADAB 3 1 3 2 D．   ADAB 7 5 7 2 7．如图，棱长为 2的正方体 1111 DCBAABCD  中， 点 E，F，G分别是棱 AD， 1DD ，CD的中点， 则下列说法错误的是 A．直线 GA1 与 EC1 共面 B． 3 1 1 BEFDV 湛江市 2024—2025学年度第二学期期末调研考试 高一数学试卷 第 2 页 （共 4 页） C．直线 GA1 与平面 11AADD 所成角的正切值为 4 2 D．过点 B，E，F的平面截正方体的截面面积为9 8．如图，以边长为 4的菱形 ABCD的四条边为直径向外 作四个半圆， P是这四个半圆弧上的一动点， 60ABC ， 则   APAB 的最大值是 A．16 B． 216 C．18 D． 20 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9．在一次比赛中，7名裁判员对运动员甲的评分分别为 8.0，8.5，9.0，8.0，8.5，5.5，8.5， 关于这组数据，下列说法正确的有 A．这组数据的中位数大于平均数 B．这组数据的 %80 分位数为 8.5 C．这组数据的众数为 8.0 D．去掉一个最低分和一个最高分后，新的一组数据的平均数会变大 10．一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为 1，2，3，4的 4个小球，从 中依次不放回摸出两个球.设事件 A “第一次摸出球的编号为奇数”，事件 B “摸出的两 个球的编号之和为 5”，事件 C “摸出的两个球中有编号为 2的球”，则 A． 2 1)( CP B．事件 A与事件B为独立事件 C． 12 5)(  BAP D．事件 B与事件C为互斥事件 11．在锐角 ABC 中，角 A，B，C对应的边分别为 a，b，c，且 Babc cos2 . 则下列 说法正确的是 A． BA 2 B．角 B的范围是 ）（ 6 0 , C．若 BAC 的平分线交 BC于D， 2AD ， 5 3sin B ，则 5 411  cb D． a c 的取值范围是 ) 3 32, 2 2( 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共计 15分． 12．已知 iz  2 ，则  || iz _________． 13．若 4个数据的平均值为6，方差为5，现加入数据 8和 10，则这 6个数据的方差为_______． 14．在三棱锥 ABCP  中， PA 底面 ABC， 2PA ， 120ABC ， ABC 的面积 为 2 33 ，则三棱锥 ABCP  的外接球表面积的最小值为________． 湛江市 2024—2025学年度第二学期期末调研考试 高一数学试卷 第 3 页 （共 4 页） 四、解答题：本题共 5小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某中学为提升学生的数学素养，激发大家学习 数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”， 分为初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现 从参加初赛的全体学生中随机地抽取 300人的成绩作 为样本，得到如下频率分布直方图，根据图形，请回 答下列问题： （1）求频率分布直方图中 a的值，若从成绩不低 于 70分的学生中，按分层抽样方法抽取 24人的成绩， 求 24人中成绩不低于 90分的人数; （2）用样本估计总体，估计该校学生数学文化素养知识初赛成绩的中位数;（保留小数 点后两位） （3）若甲、乙两位同学均进入复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为 5 2 ，乙复赛获一等 奖的概率为 3 1 ，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率． 16.（15分） 已知向量 )1,sin( xa   ， )1,cos( xb   ． （1）当 2  x 时，求向量   ba 的坐标； （2）若  ba // ，求实数 x的值； （3）求函数   baxf )( 的最大值和最小值． 17.（15分） 如图，在四棱锥 BCDEA 中，平面 ABC 平面 BCDE ， 90 BEDCDE ， 2 CDAB ， 1 BEDE ， 2AC ． （1）证明： DE 平面 ACD； （2）求二面角 CADB  的正切值． 湛江市 2024—2025学年度第二学期期末调研考试 高一数学试卷 第 4 页 （共 4 页） 18．（17分） 在 ABC 中，角 A， B，C所对应的边分别为a，b， c，且 ) 6 sin(2  Cba . （1）求 B； （2）已知D为边 AB上一点，且 2  ACD . （i）若 32BC ， 1BD ，求 AC的长； （ii）求 AD BD 的取值范围. 19.（17分） 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设 P为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点 P处的离散曲率为 )( 2 11 113221 PQQPQQPQQPQQ kkkp    ， 其中 )3,,2,1(  kkiQi ， 为多面体M 的所有与点 P相邻的顶点，且平面 21PQQ ，平 面 32PQQ ，…，平面 kk PQQ 1 和平面 1PQQk 为多面体M 的所有以 P为公共点的面. 已知 三棱锥 ABCP  如图所示. （1）求三棱锥 ABCP  在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若 PA 平面 ABC， BCAC  ， 4 BCAC ，三棱锥 ABCP  在顶点C处 的离散曲率为 8 3 ，求点 A到平面 PBC 的距离； （3）在（2）的前提下，又知点Q在棱 PB上， 直线CQ与平面 ABC所成角的余弦值为 6 30 ，求 BQ的长度.