模型02 小船渡河问题-2025-2026学年新高二物理暑假复习常考模型专题训练（人教版2019必修二）

模型二：小船渡河问题 训练目标： 通过运动合成与分解的实践，考察学生对小船渡河这一基本模型的综合应用，培养学生利用平行四边形定则解决实际问题的能力，提升物理建模与空间推理能力。 模型建构： 1.区别三个速度: (1)船速:船在静水的速度，方向与船头的指向相同; (2)水速:水流速度，方向沿河岸; (3)船的实际速度:小船在河流中实际运动速度，为船速和水速的合速度。 2.各物理量的决定因素: (1)过河时间由垂直于河岸的分速度决定 (2)沿河岸漂流的距离由沿河岸的分速度决定; (3)船的实际运动路径由合速度决定。 3.两类最值问题： (1)渡河时间问题 ①渡河时间t取决于 及船沿垂直河岸方向上的 大小，即t＝. ②若要渡河时间最短，只要使船头 航行即可，如图1所示，此时最短时间tmin＝ (2)最短位移问题 ①若v水<v船，可以垂直渡河，当船头与上游河岸夹角满足= 时，位移最短，且最短的位移为河宽d， ②若v水>v船，如图乙所示，从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向.这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝，最短位移x短＝. 典例分析 一艘船的船头始终正对河岸方向行驶，如图所示。已知：船在静水中行驶的速度为v1 ，水流速度为 v2，河宽为d。则下列判断正确的是（　　） A．船渡河时间为 B．船渡河时间为 C．船渡河过程被冲到下游的距离为 D．船渡河过程被冲到下游的距离为 【答案】C 【详解】AB．船渡河时间为 【答案】 选项AB错误； CD．船渡河过程被冲到下游的距离为 选项C正确，D错误； 故选C。 　如图，小船从河岸处A点出发渡河。若河宽为100m，河水流速，方向平行于河岸指向河的下游，船在静水中速度，船头方向与河岸垂直，船视为质点，则下列说法正确的是（　　） A．小船从A点出发经过20s到达对岸 B．小船到达对岸的位置在河正对岸下游125m处 C．若河水流速变慢，小船从A点到对岸的时间可能低于20s D．若小船行驶到河中央时水流变快，小船过河时间不变 【答案】　D 【详解】AB．船头方向与河岸垂直，所以小船过河时间为 小船到达对岸的位置在河正对岸下游 故AB错误； CD．小船过河时间由垂直河岸的速度和河宽决定，与水流速度无关；若河水流速变慢，小船从A点到对岸的时间仍为；若小船行驶到河中央时水流变快，小船过河时间不变，故C错误，D正确。 故选D。 一、单选题 1． 同学们讨论消防员如何驾驶小船救援被困于礁石上的学生，如图，为岸边距离礁石最近位置，A、B为河岸上间距适当的两点，假设河水各处流速相同，小船在静水中的运动速率不变。若讨论消防员如何在更短时间内抵达礁石进行救援，下列说法正确的是（　　） A．应在河岸A处，船头朝着方向航行 B．应在河岸处，船头朝着方向航行 C．应在河岸处，船头朝着方向航行 D．应在河岸处，船头朝着方向航行 2．小船甲、乙分别从河岸的A、B两点同时与河岸成60°角沿如图所示方向渡河，小船甲、乙刚好在B点正对岸的C点相遇，小船甲、乙在静水中速度与水流速度大小恒定，乙船在静水中速度，下列说法正确的是（　　） A．小船甲、乙相对河岸做曲线运动 B．水流的速度是m/s C．小船甲在静水中的速度是4m/s D．若水流速度加倍，小船到达对岸时间减半 3．如图甲是河水中的漩涡，漩涡边沿水的流速相对中心处的流速较慢，压强较大，从而形成压力差，导致周边物体易被“吸入”漩涡。如图乙所示的河道水流速度大小恒为，M处的下游O处有一个半径为r的漩涡危险圆区，其与河岸相切于N点，MN两点距离为。若一小船（可视为质点）从河岸的M处沿直线到对岸，为了能避开危险区小船相对静水的最小速度为（　　） A．1.2m/s B．1.5m/s C．1.8m/s D．2.5m/s 4．小船在静水中的速度为3m/s，它在一条宽为150m，水流速度为5m/s的河中渡河，下列说法正确的是（sin 53°=0.8，cos 53°=0.6）（　　） A．小船能到达到正对岸 B．渡河的最短时间为30s C．以最短位移渡河，小船的渡河时间为62.5s D．以最短时间渡河，小船的渡河位移为250m 5．河水流速恒定，河宽300m，小船在静水中的速度为15m/s，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，下列说法正确的是（　　） A．河水流速为12m/s时，小船驶到对岸的最短时间为19s B．河水流速为12m/s时，若船头垂直对岸，则小船在正对岸上游240m处靠岸 C．河水流速为12m/s时，若船头与河岸上游夹角成53°，则小船以最小位移到达对岸 D．河水流速为25m/s时，若船头与河岸上游夹角成53°，则小船以最小位移到达对岸 6．有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，有一条宽为的河道，一小船从岸边的某点渡河，渡河过程中保持船头指向与河岸始终垂直。已知小船在静水中的速度大小为，水流速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．小船渡河过程中的位移大小为 B．小船渡河的时间是 C．小船在河水中航行的轨迹是曲线 D．小船在河水中的速度是 8．如图所示，小船船头始终垂直于河岸行驶，且船速保持不变。从A点出发行驶至B点，小船轨迹如图所示。则下列说法正确的是（　　） A．河岸中心水速最大 B．船可能做匀速运动 C．水速将影响渡河时间，水速越大，渡河时间越短 D．改变船速方向不会影响渡河时间 二、多选题 9．骑马射箭是蒙古族传统的体育项目，如图甲所示，选手骑马沿如图乙所示直线匀速前进，速度大小为，运动员静止时射出的箭速度大小为，且有，靶中心P到的距离为d，垂足为D，忽略箭在竖直方向的运动，下列说法正确的是（　　） A．为保证箭能命中靶心，选手应瞄准靶心放箭 B．为保证箭能命中靶心，选手必须在到达D点之前某处把箭射出 C．为保证箭能命中靶心，且运动时间最短，箭射中靶心的最短时间为 D．为保证箭能命中靶心，且运动位移最短，箭射中靶心的时间为 10．河水的流速随离河岸一侧的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示。若要使船以最短时间渡河，则下列说法正确的是（　　） A．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 B．船渡河的最短时间是50s C．船在河水中航行的轨迹是一条直线 D．船在河水中航行的最大速度是2.5m/s 三、解答题 11．冲锋舟在100m宽的河中横渡，当冲锋舟船头垂直河岸行驶渡河时，经过20s时间，冲锋舟到达正对岸下游60m的位置。已知，，假设河岸平直。求： （1）河水流动的速度大小； （2）若调整冲锋舟船头方向能使之到达正对岸，求冲锋舟渡河时间。 12．小船要横渡一条d=200m宽的河，水流速度为，船在静水中的航速是，求： （1）要使小船渡河时间最短，最短渡河时间是多少？ （2）要使小船渡河位移最短，船头应指向何处？多长时间能到达对岸？ （3）如果水流速度变为10m/s，要使小船航程最短，则最短航程为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模型二：小船渡河问题解析版 训练目标： 通过运动合成与分解的实践，考察学生对小船渡河这一基本模型的综合应用，培养学生利用平行四边形定则解决实际问题的能力，提升物理建模与空间推理能力。 模型建构： 1.区别三个速度: (1)船速:船在静水的速度，方向与船头的指向相同; (2)水速:水流速度，方向沿河岸; (3)船的实际速度:小船在河流中实际运动速度，为船速和水速的合速度。 2.各物理量的决定因素: (1)过河时间由垂直于河岸的分速度决定 (2)沿河岸漂流的距离由沿河岸的分速度决定; (3)船的实际运动路径由合速度决定。 3.两类最值问题： (1)渡河时间问题 ①渡河时间t取决于 河宽 及船沿垂直河岸方向上的 速度 大小，即t＝. ②若要渡河时间最短，只要使船头 垂直于河岸 航行即可，如图1所示，此时最短时间tmin＝ (2)最短位移问题 ①若v水<v船，可以垂直渡河，当船头与上游河岸夹角满足= 时，位移最短，且最短的位移为河宽d， ②若v水>v船，如图乙所示，从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向.这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝，最短位移x短＝. 典例分析 一艘船的船头始终正对河岸方向行驶，如图所示。已知：船在静水中行驶的速度为v1 ，水流速度为 v2，河宽为d。则下列判断正确的是（　　） A．船渡河时间为 B．船渡河时间为 C．船渡河过程被冲到下游的距离为 D．船渡河过程被冲到下游的距离为 【答案】C 【详解】AB．船渡河时间为 【答案】 选项AB错误； CD．船渡河过程被冲到下游的距离为 选项C正确，D错误； 故选C。 　如图，小船从河岸处A点出发渡河。若河宽为100m，河水流速，方向平行于河岸指向河的下游，船在静水中速度，船头方向与河岸垂直，船视为质点，则下列说法正确的是（　　） A．小船从A点出发经过20s到达对岸 B．小船到达对岸的位置在河正对岸下游125m处 C．若河水流速变慢，小船从A点到对岸的时间可能低于20s D．若小船行驶到河中央时水流变快，小船过河时间不变 【答案】　D 【详解】AB．船头方向与河岸垂直，所以小船过河时间为 小船到达对岸的位置在河正对岸下游 故AB错误； CD．小船过河时间由垂直河岸的速度和河宽决定，与水流速度无关；若河水流速变慢，小船从A点到对岸的时间仍为；若小船行驶到河中央时水流变快，小船过河时间不变，故C错误，D正确。 故选D。 一、单选题 1． 同学们讨论消防员如何驾驶小船救援被困于礁石上的学生，如图，为岸边距离礁石最近位置，A、B为河岸上间距适当的两点，假设河水各处流速相同，小船在静水中的运动速率不变。若讨论消防员如何在更短时间内抵达礁石进行救援，下列说法正确的是（　　） A．应在河岸A处，船头朝着方向航行 B．应在河岸处，船头朝着方向航行 C．应在河岸处，船头朝着方向航行 D．应在河岸处，船头朝着方向航行 【答案】A 【详解】根据运动的合成与分解，若救援所用时间最短，则消防员的速度应与河岸垂直，且出发点应位于礁石上游，使合速度方向指向被困于礁石上的学生，故A正确，BCD错误。 故选A。 2．小船甲、乙分别从河岸的A、B两点同时与河岸成60°角沿如图所示方向渡河，小船甲、乙刚好在B点正对岸的C点相遇，小船甲、乙在静水中速度与水流速度大小恒定，乙船在静水中速度，下列说法正确的是（　　） A．小船甲、乙相对河岸做曲线运动 B．水流的速度是m/s C．小船甲在静水中的速度是4m/s D．若水流速度加倍，小船到达对岸时间减半 【答案】C 【详解】A．小船甲、乙在静水中速度与水流速度恒定，小船相对河岸的合速度恒定，小船甲、乙相对河岸做匀速直线运动，故A错误； B．小船乙刚好到B点的正对岸的C点，则小船乙的合速度垂直河岸，由几何关系 故B错误； C．小船甲、乙刚好在B点的正对岸的C点相遇，则 故 小船甲在静水的速度是4m/s，故C正确； D．水流速度加倍，使小船随水漂流的距离加倍，小船到达对岸的时间不变，故D错误。 故选C。 3．如图甲是河水中的漩涡，漩涡边沿水的流速相对中心处的流速较慢，压强较大，从而形成压力差，导致周边物体易被“吸入”漩涡。如图乙所示的河道水流速度大小恒为，M处的下游O处有一个半径为r的漩涡危险圆区，其与河岸相切于N点，MN两点距离为。若一小船（可视为质点）从河岸的M处沿直线到对岸，为了能避开危险区小船相对静水的最小速度为（　　） A．1.2m/s B．1.5m/s C．1.8m/s D．2.5m/s 【答案】B 【详解】小船速度最小且避开危险圆区沿直线运动到对岸时，合速度方向恰好与危险圆区相切，如图所示 由于水流速度不变，合速度与危险圆区相切，小船相对静水的速度为船速末端矢量到合速度上任一点的连线。可知当小船相对河岸与合速度垂直时速度最小。所以有，， 联立解得 故选B。 4．小船在静水中的速度为3m/s，它在一条宽为150m，水流速度为5m/s的河中渡河，下列说法正确的是（sin 53°=0.8，cos 53°=0.6）（　　） A．小船能到达到正对岸 B．渡河的最短时间为30s C．以最短位移渡河，小船的渡河时间为62.5s D．以最短时间渡河，小船的渡河位移为250m 【答案】C 【详解】A．由于小船在静水中的速度小于水流速度，所以小船不能到达到正对岸，故A错误； BD．当船头垂直河岸渡河时，所用时间最短，则有 小船沿河岸方向的位移大小为 小船的渡河位移大小为 故BD错误； C．以最短位移渡河，此时小船在静水中的速度方向与合速度方向垂直，设合速度与河岸的夹角为，则有 则合速度大小为 合位移大小为 则小船的渡河时间为 故C正确。 故选C。 5．河水流速恒定，河宽300m，小船在静水中的速度为15m/s，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，下列说法正确的是（　　） A．河水流速为12m/s时，小船驶到对岸的最短时间为19s B．河水流速为12m/s时，若船头垂直对岸，则小船在正对岸上游240m处靠岸 C．河水流速为12m/s时，若船头与河岸上游夹角成53°，则小船以最小位移到达对岸 D．河水流速为25m/s时，若船头与河岸上游夹角成53°，则小船以最小位移到达对岸 【答案】．D 【详解】A．小船在静水中的速度垂直河岸，此方向的运动时间最短，则合运动的时间最短 故A错误； B．若船头垂直对岸，即用最短时间过河，小船到对岸的时间为20s，沿河水流动方向位移 即在下游240 m处靠岸，故B错误； C．因船速大于水速，小船与河岸垂直时位移最小，设船头与上游夹角为，有 解得 θ=37° 故C错误； D．船速小于水速，船头与实际运动方向垂直时最小位移，设与上游夹角，有 解得 θ=53° 故D正确。 故选D。 6．有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设河宽为d，小船相对静水的速度为，去程时过河的时间为 回程的时间 由题意知 解得 故选B。 7．如图所示，有一条宽为的河道，一小船从岸边的某点渡河，渡河过程中保持船头指向与河岸始终垂直。已知小船在静水中的速度大小为，水流速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．小船渡河过程中的位移大小为 B．小船渡河的时间是 C．小船在河水中航行的轨迹是曲线 D．小船在河水中的速度是 【答案】B 【详解】A．小船参与了两个方向的运动，一个是垂直于河岸的运动，一个是沿着河岸的运动，小船到达河对岸时，垂直于河岸的位移为，总位移大于，A错误； B．由于渡河过程中保持船头指向与河岸始终垂直，故 解得 选项B正确； C．小船垂直于河岸方向做匀速直线运动，沿河岸方向也做匀速直线运动，所以小船的实际运动为匀速直线运动，C错误； D．小船在河水中的速度为 D错误。 故选B。 8．如图所示，小船船头始终垂直于河岸行驶，且船速保持不变。从A点出发行驶至B点，小船轨迹如图所示。则下列说法正确的是（　　） A．河岸中心水速最大 B．船可能做匀速运动 C．水速将影响渡河时间，水速越大，渡河时间越短 D．改变船速方向不会影响渡河时间 【答案】A 【详解】AB．根据轨迹，船在中心合速度方向接近水速方向，说明河中心水速较大。因为距河岸不同水速不同，所以小船的合速度大小变化，不可能做匀速运动。A正确，B错误； C．过河时间只与垂直河岸的分速度有关，而水速不影响该分速度，所以水速不影响过河时间，只影响到达对岸的位置。C错误； D．改变船速方向，将会改变垂直河岸的分速度大小，会影响过河时间。D错误。 故选A。 二、多选题 9．骑马射箭是蒙古族传统的体育项目，如图甲所示，选手骑马沿如图乙所示直线匀速前进，速度大小为，运动员静止时射出的箭速度大小为，且有，靶中心P到的距离为d，垂足为D，忽略箭在竖直方向的运动，下列说法正确的是（　　） A．为保证箭能命中靶心，选手应瞄准靶心放箭 B．为保证箭能命中靶心，选手必须在到达D点之前某处把箭射出 C．为保证箭能命中靶心，且运动时间最短，箭射中靶心的最短时间为 D．为保证箭能命中靶心，且运动位移最短，箭射中靶心的时间为 【答案】CD 【详解】A．箭射出的同时，箭也要参与沿直线方向的匀速运动，若运动员瞄准靶心放箭，根据矢量合成可知，箭的合速度方向不会指向靶心，即箭不能命中靶心，故A错误； B．箭射出的同时，箭有沿直线匀速前进的速度和沿射出方向的匀速运动的速度，根据运动的合成可知，只要箭的合速度方向指向P点，均能射中靶心，由于大于，根据矢量合成规律，可知，选手在到达D点之后某处把箭射出，也可能使箭的合速度方向指向P点，即不一定必须在到达D点之前某处把箭射出，故B错误； C．根据分运动的独立性与等时性可知，当箭垂直直线方向射出时用时最短，则箭运动的最短时间为 故C正确； D．由于大于，可知，当箭的实际位移垂直直线时位移最短，最短位移大小为d，此时的时间为 故D正确。 故选CD。 10．河水的流速随离河岸一侧的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示。若要使船以最短时间渡河，则下列说法正确的是（　　） A．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 B．船渡河的最短时间是50s C．船在河水中航行的轨迹是一条直线 D．船在河水中航行的最大速度是2.5m/s 【答案】ACD 【详解】ABC．当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，由乙图可知河宽为300m；则时间为 s=100s 当取最大值4m/s时，合速度最大；为 m/s=5m/s 故AC正确，B错误； D．因为船在垂直河岸方向上做匀速直线运动，所以小船离河岸的距离和时间成正比，即河流的速度可看做前50s做匀加速直线运动，后50s做匀减速直线运动，故有船渡河的位移为 mm 故D正确。 故选ACD。 三、解答题 11．冲锋舟在100m宽的河中横渡，当冲锋舟船头垂直河岸行驶渡河时，经过20s时间，冲锋舟到达正对岸下游60m的位置。已知，，假设河岸平直。求： （1）河水流动的速度大小； （2）若调整冲锋舟船头方向能使之到达正对岸，求冲锋舟渡河时间。 【答案】（1）3m/s；（2）25s 【详解】（1）冲锋舟船头正对河岸行驶渡河时，船顺流而下的位移 时间 所以水速为 小船在静水中的速度是 当合速度的方向与河岸垂直时，渡河位移最短，此时船沿河岸方向的分速度与水流速度相等，则垂直于河岸方向的分速度 所以渡河时间是 12．小船要横渡一条d=200m宽的河，水流速度为，船在静水中的航速是，求： （1）要使小船渡河时间最短，最短渡河时间是多少？ （2）要使小船渡河位移最短，船头应指向何处？多长时间能到达对岸？ （3）如果水流速度变为10m/s，要使小船航程最短，则最短航程为多少？ 【答案】（1）40s；（2）船头指向与岸的上游所成角度为53°；；（3）400m 【详解】（1）要使渡河时间最短船头应垂直于河岸，渡河时间 解得 （2）小船位移垂直于河岸时渡河位移最短为d，则、的合运动应垂直于河岸，如图甲所示 则 经历时间 得 又 可知船头指向与岸的上游所成角度为 （3）如果水流速度变为10m/s，如图乙所示 应使的方向垂直于，故船头应偏向上游，与河岸与θ'角，有 解得 可得最短航程 学科网（北京）股份有限公司 $$