模型09 圆周运动中的周期性多解问题-2025-2026学年新高二物理暑假复习常考模型专题训练（人教版2019必修二）

模型九：圆周运动中的周期性多解问题 训练目标： 圆周运动的周期性多解问题，考察学生对运动周期性与角度描述的理解，以及运用运动学公式结合整数变量n，求解通解的能力，旨在培养空间想象、逻辑推理、数学建模及多解筛选能力。 方法点拨： 1． 问题特点 （1）研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体． （2）运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动、匀速直线运动等)． （3）运动的关系：根据两物体运动的时间相等建立等式，求解待求物理量． 2． 分析技巧 （1）抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点——时间相等． （2）先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律． （3）分析时注意两个运动是独立的，互不影响． 典例分析 一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘的水平距离为L。将飞镖对准A点以初速度水平抛出，在飞镖抛出的同时，圆盘以角速度绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动.要使飞镖恰好击中A点，则飞镖的初速度和圆盘的角速度应满足（　　） A．， （1，2，3，……） B．， （0，1，2，……） C．， （1，2，3，……） D．只要，就一定能击中圆盘上的A点 【答案】B 【详解】飞镖做平抛运动，则有 解得 飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A点正好在最低点被击中，则A点转动的时间   （0，1，2，……） 联立解得   （0，1，2，……） 故B正确，ACD错误； 故选B。 半径为r=2m的水平圆盘绕过圆心O的竖直轴匀速转动，A为圆盘边缘上一点，在O点的正上方将一个可视为质点的小球以4m/s的速度水平抛出，半径OA方向恰好与该初速度的方向相同，如图所示，若小球与圆盘只碰一次，且落在A点，则圆盘转动的角速度大小可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】小球平抛运动的时间 小球平抛运动的时间和圆盘转动的时间相等，则有 解得 当n=1时，ω=4πrad/s，当n=2时，ω=8πrad/s。 A．与分析不符，故A错误； B．与分析相符，故B正确； C．与分析不符，故C错误； D．与分析相符，故D正确。 故选BD。 一、单选题 1．如图所示，小球自空中自由下落，从绕水平轴匀速转动的圆形纸筒穿过，开始下落时小球离纸筒顶点的高度h=0.8m，纸筒的半径R=0.5m，g取10m/s2，若小球穿过筒壁时能量损失不计，撞破纸的时间也可不计，且小球穿过后纸筒上只留下一个孔，则纸筒绕水平轴匀速转动的角速度可能为（ ） A．rad/s B．rad/s C．rad/s D．rad/s 【答案】D 【详解】撞破纸筒仅留下一个小孔，即所有小球都从一个孔穿过，则有 根据圆周运动的知识得 整理得 当时 当时 当时 当时 故D正确，ABC错误。 故选D。 2．如图所示是某闯关游戏中的一个关卡。一绕过其圆心O的竖直轴顺时针匀速转动的圆形转盘浮在水面上，转盘表面始终保持水平，M为转盘边缘上一点。某时刻，一参赛者从水平跑道边缘P点以速度向右跳出，初速度方向平行于方向，且运动轨迹与此时刻在同一竖直平面内，随后参赛者正好落在M点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若跳出时刻不变，仅增大，参赛者必定落水 B．若跳出时刻不变，仅减小，参赛者一定会落在之间 C．若跳出时刻不变，仅增大转盘的角速度，参赛者仍可能落在M点 D．若跳出时刻不变，仅减小转盘的角速度，参赛者不可能落在M点 【答案】C 【详解】AB．参赛者正好落在M点，则M点可能出现在图示的两个位置。 参赛者在空中所做运动为平抛运动，竖直高度不变，参赛者在空中运动时间不变；仅增大，参赛者的水平位移增大，可能落水，可能在台面上；仅减小，参赛者的水平位移减小，可能落水，可能在台面上，故AB错误； CD．仅增大转盘的角速度，或仅减小转盘的角速度，参赛者的水平位移不变，只要满足M仍在原位置，参赛者就仍可能落在M点，故C正确，D错误。 故选C。 3．为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，盘A、B平行且相距，轴杆的转速为，子弹穿过两盘留下两弹孔，测得两弹孔所在半径的夹角，如图所示。则该子弹的速度可能是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，由公式可得，角速度为 设子弹的传播时间为，则有 解得 该子弹的速度为 当时 当时 当时 故选C。 4．如图所示，一位同学玩飞镖游戏，圆盘最上端有一P点，飞镖抛出时与P等高，且距离P点为，当飞镖以初速度垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘以经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动，忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，则（　　） A．飞镖击中P点所需的时间为 B．圆盘的半径可能为 C．圆盘转动角速度的最小值为 D．P点随圆盘转动的线速度不可能为 【答案】A 【详解】A．飞镖水平抛出做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，因此 故A正确； B．飞镖击中P点时，P恰好在最下方，则 解得圆盘的半径为 故B错误； C．飞镖击中P点，则P点转过的角度满足 1， 故 则圆盘转动角速度的最小值为，故C错误； D．P点随圆盘转动的线速度为 当时 故D错误。 故选A。 5．如图所示，纸质圆桶以角速度ω绕竖直轴高速转动，有一颗子弹沿直径穿过圆桶，若子弹在圆桶转动不到半周时在圆桶上留下两个弹孔a、b，已知Oa与Ob的夹角为θ，圆桶的直径为d，则子弹的速度为(    ) A．dθ／(2πω) B．dωθ C．dω/(2π－θ ) D．dω/(π－θ) 【答案】D 【详解】设子弹的速度为v0， 由题意知，子弹穿过两个孔所需时间为：t=d/v0…① 纸质圆筒在这段时间内转过角度为π−θ，由角速度的公式有：ω=（π−θ）/t…② 由①②两式解得：v0= dω/(π－θ). 故选D 【点睛】本题找出在子弹穿过圆筒的时间内，圆筒转过的角度是解决本题的关键，题中提到是在圆筒转动不到半周的过程中穿过的，故转过的角度是π-θ． 6．如图甲所示，带有一白点的黑色圆盘，绕过其中心且垂直于盘面的轴沿顺时针方向匀速转动，转速为10r/s。现用频闪相机对其拍照，连续两次拍摄的照片如图乙、丙所示，若测得图乙、丙中白点与圆心的连线之间的夹角为120°，则频闪相机的频闪频率可能是（　　） A．7.5Hz B．15Hz C．22.5Hz D．35Hz 【答案】A 【详解】A．夹角120°以弧度表示为，令频闪时间为，圆盘圆周运动的转速为n，根据圆周运动的周期性有（k=0，1，2，3…） 根据角速度与转速关系有 根据频闪频率与周期的关系有 解得（k=0，1，2，3…） 若频率为7.5Hz，解得k=1，符合要求，故A正确； B．结合上述，若频率为15Hz，解得 不符合要求，故B错误； C．结合上述，若频率为22.5Hz，解得 不符合要求，故C错误； D．结合上述，若频率为35Hz，解得 不符合要求，故D错误。 故选A。 二、多选题 7．如图所示，有一竖直圆筒，内壁光滑，上端开口截面水平。一小球沿水平方向由A点切入圆筒内侧，沿着筒壁呈螺旋状滑落，落地点恰好位于A点正下方。已知圆筒高5m，横截面圆环半径1m，，。则（　　） A．小球下落时间为1s B．小球进入圆筒初速度大小可能为3.14m/s C．小球进入圆筒初速度大小可能为6.28m/s D．小球进入圆筒初速度大小可能为12.56m/s 【答案】ACD 【详解】A．小球在竖直方向做自由落体运动，则有 解得小球下落时间为 故A正确； BCD．设小球进入圆筒初速度大小为，小球在水平方向做匀速圆周运动，根据题意有 （，，） 解得 （，，） 当时，可得 当时，可得 故B错误，CD正确。 故选ACD。 8．如图所示，半径为R的水平圆盘绕中心O点做匀速圆周运动，圆盘中心O点正上方H处有一小球被水平抛出，此时半径OB恰好与小球初速度方向垂直，从上向下看圆盘沿顺时针转动，小球恰好落在B点，重力加速度大小为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球的初速度大小为 B．小球的初速度大小为 C．圆盘的角速度大小可能为 D．圆盘的角速度大小可能为 【答案】BD 【详解】AB．由可得小球下落的时间为 小球的初速度大小为 故A错误，B正确； CD．在小球下落的这段时间内，圆盘转过的角度为 所以圆盘的角速度大小为 当时 当时 故C错误，D正确。 故选BD。 9．如图所示，半径为R的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。子弹（可视为质点）以大小为v0的水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上，不计空气阻力及圆筒对子弹运动的影响，重力加速度大小为g，圆筒足够长，下列说法正确的是（　　） A．子弹在圆筒中的运动时间为 B．圆筒转动的周期为 C．两弹孔的高度差为 D．若仅改变圆筒的转速，则子弹不可能在圆筒上只打出一个弹孔 【答案】CD 【详解】A．子弹在圆筒中的运动时间为，A错误； B．根据题意 解得  ，B错误； C．两弹孔的高度差为 ， 解得，C正确； D．因为子弹在竖直方向做自由落体运动，若仅改变圆筒的转速，则子弹在圆筒上一定打出两个弹孔，而且两个弹孔不在同一个水平面上，D正确。 故选CD。 10．如图所示，夜晚电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪12次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角。当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇角速度可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为电扇叶片有三个，相互夹角为，现在观察者感觉扇叶不动，说明在闪光时间里，扇叶转过的角度应为的整数倍，则有 （，，） 闪光灯每秒闪12次，则转动的角速度为 （，，） 当时，可得 当时，可得 故选AD。 三、解答题 11．水平放置的圆筒绕其中心对称轴匀速转动，转动的角速度，筒壁上P处有一小圆孔，筒壁很薄，筒的半径。如图所示，圆孔正上方某高度h处有一小球由静止开始下落，已知圆孔的半径略大于小球的半径，试通过计算求小球恰好落入圆筒小孔时，释放小球的高度h（空气阻力不计，g取）。 【答案】（n=1，2，3，…） 【详解】设小球做自由落体运动下落h高度所用时间为t，则 要使小球恰好落入圆筒小孔，则圆筒的运动应满足 （n=1，2，3，…） 联立以上两式并代入数据，解得释放小球的高度为 （n=1，2，3，…） 12．如图所示，这是小朋友玩游戏的场景：水平圆盘以角速度ω绕通过圆心O的竖直轴匀速转动，其边缘C点处有一个小洞，竖直轴上站定一小朋友（不随圆盘转动），当C转至小朋友正前方时，小朋友立即将球以初速度v0向前水平抛出、抛球点与水平圆盘的高度为h、小球恰好落入圆盘边缘的小洞内。已知重力加速度大小为g，空气阻力不计。求： （1）圆盘的半径R。 （2）圆盘转动的角速度ω。 【答案】（1）；（2）（） 【详解】 （1）小球从B点开始做平抛运动，设时间为t，则有 水平方向 解得 （2）小球恰好落入圆盘边缘的小洞内，则小球恰好落圆盘边缘时，圆盘恰好转过圈，则 圆盘运动的角速度为 （） 13．如图所示，将小球从A点对准竖直放置的空心圆筒的上边缘P点水平抛出，圆盘的半径为0.4m，圆筒绕圆心O逆时针方向匀速转动，小球运动到圆筒的边缘时，从B点穿入，从圆筒最低C穿出，圆筒上只留下一个孔。OB的连线与竖直方向的夹角为60°，取重力加速度大小，不计小球穿过圆筒时的阻力和空气阻力。求： （1）A、B两点间的水平距离； （2）小球从B点运动到C点所用的时间； （3）圆盘转动的角速度大小。    【答案】（1）；（2）0.2s；（3）（、1、2、3……） 【详解】（1）（2）根据 解得 根据从A到C过程 解得 小球从B点运动到C点所用的时间 小球做平抛运动，则A、B两点间的水平距离等于B、C两点间的水平距离，为 （3）根据 （、1、2、3……） 解得 （、1、2、3……） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模型九：圆周运动中的周期性多解问题 训练目标： 圆周运动的周期性多解问题，考察学生对运动周期性与角度描述的理解，以及运用运动学公式结合整数变量n，求解通解的能力，旨在培养空间想象、逻辑推理、数学建模及多解筛选能力。 方法点拨： 1． 问题特点 （1）研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体． （2）运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动、匀速直线运动等)． （3）运动的关系：根据两物体运动的时间相等建立等式，求解待求物理量． 2． 分析技巧 （1）抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点——时间相等． （2）先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律． （3）分析时注意两个运动是独立的，互不影响． 典例分析 一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘的水平距离为L。将飞镖对准A点以初速度水平抛出，在飞镖抛出的同时，圆盘以角速度绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动.要使飞镖恰好击中A点，则飞镖的初速度和圆盘的角速度应满足（　　） A．， （1，2，3，……） B．， （0，1，2，……） C．， （1，2，3，……） D．只要，就一定能击中圆盘上的A点 【答案】B 【详解】飞镖做平抛运动，则有 解得 飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A点正好在最低点被击中，则A点转动的时间   （0，1，2，……） 联立解得   （0，1，2，……） 故B正确，ACD错误； 故选B。 半径为r=2m的水平圆盘绕过圆心O的竖直轴匀速转动，A为圆盘边缘上一点，在O点的正上方将一个可视为质点的小球以4m/s的速度水平抛出，半径OA方向恰好与该初速度的方向相同，如图所示，若小球与圆盘只碰一次，且落在A点，则圆盘转动的角速度大小可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】小球平抛运动的时间 小球平抛运动的时间和圆盘转动的时间相等，则有 解得 当n=1时，ω=4πrad/s，当n=2时，ω=8πrad/s。 A．与分析不符，故A错误； B．与分析相符，故B正确； C．与分析不符，故C错误； D．与分析相符，故D正确。 故选BD。 一、单选题 1．如图所示，小球自空中自由下落，从绕水平轴匀速转动的圆形纸筒穿过，开始下落时小球离纸筒顶点的高度h=0.8m，纸筒的半径R=0.5m，g取10m/s2，若小球穿过筒壁时能量损失不计，撞破纸的时间也可不计，且小球穿过后纸筒上只留下一个孔，则纸筒绕水平轴匀速转动的角速度可能为（ ） A．rad/s B．rad/s C．rad/s D．rad/s 2．如图所示是某闯关游戏中的一个关卡。一绕过其圆心O的竖直轴顺时针匀速转动的圆形转盘浮在水面上，转盘表面始终保持水平，M为转盘边缘上一点。某时刻，一参赛者从水平跑道边缘P点以速度向右跳出，初速度方向平行于方向，且运动轨迹与此时刻在同一竖直平面内，随后参赛者正好落在M点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若跳出时刻不变，仅增大，参赛者必定落水 B．若跳出时刻不变，仅减小，参赛者一定会落在之间 C．若跳出时刻不变，仅增大转盘的角速度，参赛者仍可能落在M点 D．若跳出时刻不变，仅减小转盘的角速度，参赛者不可能落在M点 3．为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，盘A、B平行且相距，轴杆的转速为，子弹穿过两盘留下两弹孔，测得两弹孔所在半径的夹角，如图所示。则该子弹的速度可能是（　　）    A． B． C． D． 4．如图所示，一位同学玩飞镖游戏，圆盘最上端有一P点，飞镖抛出时与P等高，且距离P点为，当飞镖以初速度垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘以经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动，忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，则（　　） A．飞镖击中P点所需的时间为 B．圆盘的半径可能为 C．圆盘转动角速度的最小值为 D．P点随圆盘转动的线速度不可能为 5．如图所示，纸质圆桶以角速度ω绕竖直轴高速转动，有一颗子弹沿直径穿过圆桶，若子弹在圆桶转动不到半周时在圆桶上留下两个弹孔a、b，已知Oa与Ob的夹角为θ，圆桶的直径为d，则子弹的速度为(    ) A．dθ／(2πω) B．dωθ C．dω/(2π－θ ) D．dω/(π－θ) 6．如图甲所示，带有一白点的黑色圆盘，绕过其中心且垂直于盘面的轴沿顺时针方向匀速转动，转速为10r/s。现用频闪相机对其拍照，连续两次拍摄的照片如图乙、丙所示，若测得图乙、丙中白点与圆心的连线之间的夹角为120°，则频闪相机的频闪频率可能是（　　） A．7.5Hz B．15Hz C．22.5Hz D．35Hz 二、多选题 7．如图所示，有一竖直圆筒，内壁光滑，上端开口截面水平。一小球沿水平方向由A点切入圆筒内侧，沿着筒壁呈螺旋状滑落，落地点恰好位于A点正下方。已知圆筒高5m，横截面圆环半径1m，，。则（　　） A．小球下落时间为1s B．小球进入圆筒初速度大小可能为3.14m/s C．小球进入圆筒初速度大小可能为6.28m/s D．小球进入圆筒初速度大小可能为12.56m/s 8．如图所示，半径为R的水平圆盘绕中心O点做匀速圆周运动，圆盘中心O点正上方H处有一小球被水平抛出，此时半径OB恰好与小球初速度方向垂直，从上向下看圆盘沿顺时针转动，小球恰好落在B点，重力加速度大小为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球的初速度大小为 B．小球的初速度大小为 C．圆盘的角速度大小可能为 D．圆盘的角速度大小可能为 9．如图所示，半径为R的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。子弹（可视为质点）以大小为v0的水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上，不计空气阻力及圆筒对子弹运动的影响，重力加速度大小为g，圆筒足够长，下列说法正确的是（　　） A．子弹在圆筒中的运动时间为 B．圆筒转动的周期为 C．两弹孔的高度差为 D．若仅改变圆筒的转速，则子弹不可能在圆筒上只打出一个弹孔 10．如图所示，夜晚电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪12次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角。当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇角速度可能是（　　） A． B． C． D． 三、解答题 11．水平放置的圆筒绕其中心对称轴匀速转动，转动的角速度，筒壁上P处有一小圆孔，筒壁很薄，筒的半径。如图所示，圆孔正上方某高度h处有一小球由静止开始下落，已知圆孔的半径略大于小球的半径，试通过计算求小球恰好落入圆筒小孔时，释放小球的高度h（空气阻力不计，g取）。 12．如图所示，这是小朋友玩游戏的场景：水平圆盘以角速度ω绕通过圆心O的竖直轴匀速转动，其边缘C点处有一个小洞，竖直轴上站定一小朋友（不随圆盘转动），当C转至小朋友正前方时，小朋友立即将球以初速度v0向前水平抛出、抛球点与水平圆盘的高度为h、小球恰好落入圆盘边缘的小洞内。已知重力加速度大小为g，空气阻力不计。求： （1）圆盘的半径R。 （2）圆盘转动的角速度ω。 13．如图所示，将小球从A点对准竖直放置的空心圆筒的上边缘P点水平抛出，圆盘的半径为0.4m，圆筒绕圆心O逆时针方向匀速转动，小球运动到圆筒的边缘时，从B点穿入，从圆筒最低C穿出，圆筒上只留下一个孔。OB的连线与竖直方向的夹角为60°，取重力加速度大小，不计小球穿过圆筒时的阻力和空气阻力。求： （1）A、B两点间的水平距离； （2）小球从B点运动到C点所用的时间； （3）圆盘转动的角速度大小。   试卷第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$