第4章 平行四边形-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

10 第4章　平行四边形 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题3分,共24分) 1. 下列图形中,既属于轴对称图形又属于中心 对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 2. 若一个多边形的内角和等于1260°,则该多 边形的边数是 ( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 3. 用反证法证明“若ab=0,则a,b中至少有一 个为0”时,第一步应假设 ( ) A. a=0,b=0 B. a≠0,b≠0 C. a≠0,b=0 D. a=0,b≠0 4. (泸州中考)如图,在▱ABCD 中,AE 平分 ∠BAD,交BC 于点E,∠D=58°,则∠AEC 的度数是 ( ) A. 61° B. 109° C. 119° D. 122° 第4题 第5题 5. 如图,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交 于点O,OE⊥BD 交AD 于点E,连结BE. 若▱ABCD 的周长为28,则△ABE 的周 长为 ( ) A. 28 B. 24 C. 21 D. 14 6. (达州中考)如图,在△ABC中,D,E分别是边 AB,BC的中点,点F在DE的延长线上,连结 CF.若添加一个条件,使得四边形ADFC 为 平行四边形,则这个条件可以是 ( ) A. ∠B=∠F B. DE=EF C. AC=CF D. AD=CF 第6题 第7题 7. (嘉兴中考)如图,在△ABC 中,AB=AC= 8,点E,F,G 分别在边AB,BC,AC 上,且 EF∥AC,GF∥AB,则四边形AEFG 的周 长是 ( ) A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 答案讲解 8. 如图,分别以Rt△ABC 的斜边AB 和直角边AC 为边向△ABC 外作 等边三角形ABD 和等边三角形 ACE,F 为AB 的中点,DE 与AB 交于点 G,EF 与 AC 交 于 点 H,∠ACB=90°, ∠BAC=30°.给出下列结论:① EF⊥AC; ② BD=4FH;③ 四边形ADFE 为平行四 边形;④ AD=4AG.其中,正确的是 ( ) 第8题 A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、 填空题(每小题4分,共24分) 9. (眉山中考)若一个多边形的外角和是内角 和的2 9 ,则这个多边形的边数为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 拍 照 批 改 11 10. (怀化中考)已知点A(-2,b)与点B(a,3) 关于原点对称,则a-b= . 11. 如图,在△ABC 中,AB=AC,延长CB 至 点E,点D 在边AC 上,以CE,CD 为边作 ▱DCEF.若∠F=70°,则∠A 的度数为 °. 第11题 第12题 答案讲解 12. 如图,O 是▱ABCD 的 对 角 线 AC,BD 的交点,E 为CD 的中 点,AE 交BD 于点F,连结OE. 若S△AOE=3,则S△AOB= . 13. 如图,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交 于点O,BD=12cm,AC=20cm.现点E 从点A 出发,以1cm/s的速度向点C 运 动,同时点F 从点C 出发,以2cm/s的速 度向点A 运动.在点E 与点F 相遇前,四 边形DEBF (填“会”或“不会”)成 为平行四边形. 第13题 14. ★如图,在△ABC 中,M 为BC 的中点,AD 为△ABC 的外角平分线,且AD⊥BD,连 结MD.若AB=6,AC=9,则MD 的长为 . 第14题 三、 解答题(共52分) 15. (8分)如图,在四边形ABCD 中,∠D= 90°,E 是边BC 上一点,连结AE,EF⊥ AE,交CD 于点F. (1) 若∠EAD=60°,求∠DFE 的度数; (2) 若∠AEB=∠CEF,AE 平分∠BAD,求 证:∠B=∠C. 第15题 16. (8分)如图,在▱ABCD 的边AB,CD 上截 取AF,CE,使得AF=CE,连结EF,M,N 是线段EF 上的两点,且EM=FN,连结 AN,CM. (1) 求证:△AFN≌△CEM; (2) 若∠CMF=107°,∠CEM =72°,求 ∠NAF 的度数. 第16题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 12 17. ★(12分)如图,在▱ABCD 中,BD 是它的 一条对角线,过A,C 两点作AE⊥BD, CF⊥BD,垂足分别为E,F,延长AE,CF 分别交CD,AB 于点M,N. (1) 求证:四边形AMCN 是平行四边形; (2) 已知DE=2,FN=1,求MD 的长. 第17题 答案讲解 18. (12分)如图,在四边形ABCD 中, AD∥BC,点E,F 分别在边AD, BC 上,AE=CF,过点A,C 分别 作EF 的垂线,垂足分别为G,H. (1) 求证:△AGE≌△CHF. (2) 连结AC,线段GH 与AC 是否互相平 分? 请说明理由. 第18题 答案讲解 19. (12分)新考法 探究题 分别以 ▱ABCD(∠CDA ≠90°)的 三 边 AB,CD,DA 为斜边作等腰直角 三角形ABE、等腰直角三角形CDG、等腰 直角三角形ADF. (1) 如图①,当三个等腰直角三角形都在该 平行四边形的外部时,连结GF,EF.请判 断GF 与EF 之间的关系,并进行证明. (2) 如图②,当三个等腰直角三角形都在该 平行四边形的内部时,连结GF,EF,问题 (1)中的结论还成立吗? 若成立,请给出证 明;若不成立,请说明理由. 第19题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 4 将一组数据排序后再根据数据的个数是奇数还是偶数 来确定的.如果数据有奇数个,那么正中间的数据即为 所求;如果数据有偶数个,那么找中间两个数据的平均 数.因此解答与中位数相关的题目时,必须正确理解中 位数的定义,否则容易出现错误. 14. ②③ 解析:∵ 一组数据:-6,-3,x,2,-1,3,且中 位数为-1,∴ x=-1.∴ 平均数=(-6-3-1+2-1+ 3)÷6=-1,方差=16× [(-6+1)2+(-3+1)2+ (-1+1)2+(2+1)2+(-1+1)2+(3+1)2]=9.故③正 确,①错误.∵ 数据-1出现两次,出现的次数最多,∴ 众 数为-1.故②正确.∴ 正确的是②③. 三、 15. (1) 40;30.(2) ∵ 在这组数据中,“50”出现了 12次,出现的次数最多,∴ 学生捐款数目的众数是 50元.∵ 将这组数据按照从小到大的顺序排列,处于中 间位置的两个数据都是“50”,∴ 中位数为50元.捐款数 目的平均数为(20×4+50×12+100×9+150×3+200× 2)÷(4+12+9+3+2)=81(元). 16. (1) 平均数是1 15× (1400+880+270×3+150×6+ 130×3+120)=300(件).(2) 不合理.∵ 15人中有13人 的月销售量不到300件,300件虽是这15人的销售量的 平均数,但它不能很好地反映营销人员的一般水平,∴ 销 售部负责人把月销售基础额定为300件不合理.把月销售 基础额定为150件比较合理.理由:150件既是中位数,又 是众数,是大部分营销人员能达到的月销售基础额. 理解平均数、中位数、众数的特征是合理选择 代表性数据的关键 为了描述一组数据的集中趋势,可以用平均数、中 位数和众数来代表,这三个统计量各有特点:(1) 平均 数的大小与一组数据里的每一个数据均有关系,易受 数据中个别极端值的影响,此时平均数就不能代表这 组数据的集中趋势.(2) 当一组数据按从小到大(或从 大到小)的顺序排列时,最中间的数据(或最中间的两 个数据的平均数)即为中位数.因此,某些数据的变动 对这组数据的中位数影响较小,当一组数据的个别数 据变动较大时,可用中位数来描述数据的集中趋势. (3) 众数着眼于对数据出现次数的考查,众数的大小只 与这组数据中的部分数据相关,当一组数据中有不少 数据多次重复出现时,其众数往往被关注,但是众数不 一定是唯一的,当一组数据中出现多个众数时,众数就 不具备代表性了. 17. (1) 4.5首.(2) 估计大赛结束后一个月该校学生一 周的诗 词 背 诵 量 为6首 及 以 上 的 人 数 是1200× 40+25+20 10+10+15+40+25+20=850. (3) 活动启动之初的中 位数是4.5首,众数是4首,大赛结束后一个月时的中位 数是6首,众数是6首,从大赛前和大赛后的中位数和众 数看,大赛后学生背诵诗词的积极性明显提高,这次活动 的效果比较理想(合理即可). 18. (1) 甲的成绩(单位:个)按从小到大的顺序排列为 160,165,165,175,180,185,185,185,∴ 甲的成绩的中位 数=175+1802 =177.5 (个).∴ a=177.5.∵ 185出现了 3次,出现的次数最多,∴ 众数为185个.∴ b=185.∵ 乙 的成绩的方差=18× [2×(175-175)2+2×(180- 175)2+2×(170-175)2+(185-175)2+(165- 175)2]=37.5(个2),∴ c=37.5.(2) 应选乙.理由: ∵ 175=175,93.75>37.5,∴ 甲和乙的成绩的平均数相 等,但乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差.∴ 乙的成绩 比甲的稳定.∴ 应选乙.(3) 答案不唯一,如从众数和中 位数相结合看,甲的成绩的中位数、众数都比乙高,∴ 甲 的一分钟跳绳成绩更好. 第4章　平行四边形 一、 1. C 2. B 3. B 4. C 5. D 6. B 7. B 解析:∵ EF∥AC,GF∥AB,∴ 四边形AEFG 是平 行四边形,∠B=∠GFC,∠C=∠EFB.∵ AB=AC, ∴ ∠B=∠C.∴ ∠B=∠EFB,∠GFC=∠C.∴ EB= EF,FG=GC.∵ 四边形AEFG 的周长=AE+EF+ FG+AG,∴ 四边形AEFG 的周长=AE+EB+GC+ AG=AB+AC.∵ AB=AC=8,∴ 四边形AEFG 的周 长=AB+AC=8+8=16. 8. D 解析:∵ △ACE 是等边三角形,∴ ∠EAC=60°, AE=AC.∵ ∠BAC=30°,∴ ∠EAF=90°.∵ ∠ACB= 90°,∠BAC=30°,∴ 易得AB=2BC.∵ F 为AB 的中 点,∴ AB=2FA.∴ BC=FA.在△ABC 和△EFA 中, ∵ AC=EA, ∠ACB=∠EAF=90° BC=FA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,∴ △ABC≌△EFA.∴ AB= EF,∠BAC = ∠FEA =30°.∴ ∠AHE =180°- ∠EAC-∠FEA=180°-60°-30°=90°.∴ EF⊥AC.故 ①正确.∵ △ACE 为等边三角形,EF⊥AC,∴ H 为AC 的中点.又∵ F 为AB 的中点,∴ FH 是△ABC 的中位 线.∴ FH = 12BC.∵ BC= 12AB ,∴ AB=4FH. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 ∵ △ABD 是等边三角形,∴ AB=BD=AD.∴ BD= 4FH.故 ② 正 确.∵ AD =BD,BF=FA,∴ 易 得 ∠DFB = 90°,∠BDF = 30°.∵ ∠EAF = 90°, ∴ ∠DFB=∠EAF.∵ ∠FEA =30°,∴ ∠BDF = ∠FEA.在△DBF 和△EFA 中,∵ ∠BDF=∠FEA, ∠DFB=∠EAF, BF=FA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DBF≌△EFA.∴ DF=EA.∵ EF=AB=AD, ∴ 四边形ADFE 为平行四边形.故③正确.∵ 四边形 ADFE 为 平 行 四 边 形,∴ AG = 12AF.∴ AG = 1 4AB.∵ AD=AB,∴ AD=4AG.故④正确.综上所述, 正确的是①②③④. 二、 9. 11 10. 5 11. 40 12. 6 13. 不会 解析:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ OA=OC,OB=OD.∵ 点E 从点A 出发,以1cm/s 的速度向点C 运动,同时点F 从点C 出发,以2cm/s的 速度向点A 运动,∴ 2AE=CF.∴ 易知OE≠OF.∴ 四 边形DEBF 不会成为平行四边形. 14. 7.5 解析:延长BD 交CA 的延长线于点E,则AD 为∠BAE 的平分线.∴ ∠EAD=∠BAD.∵ AD⊥BD, ∴ ∠ADE=∠ADB=90°.又∵ AD=AD,∴ △ADE≌ △ADB.∴ DE=DB,AE=AB=6.∴ CE=AC+AE= 9+6=15.∵ M 为BC 的中点,D 为BE 的中点,∴ MD 是△BCE 的中位线.∴ MD=12CE= 1 2×15=7.5. 巧构中位线解题 三角形的中位线具有两方面的性质:一是位置上 的平行关系,二是数量上的倍分关系.因此当题目中给 出三角形的两边的中点时,可以直接连出中位线,利用 中位线的性质解题;当题目中只给出一边的中点时,往 往需要找另一边的中点,作出三角形的中位线.例如本 题中由已知M 为BC 的中点,构造以MD 为中位线的 三角形是解题的关键. 三、 15. (1) ∵ EF⊥AE,∴ ∠AEF=90°.∵ 四边形 AEFD 的 内 角 和 是 360°,∠D =90°,∠EAD =60°, ∴ ∠DFE=360°- ∠D - ∠EAD - ∠AEF =120°. (2) ∵ 四边形AEFD 的内角和是360°,∠AEF=90°, ∠D=90°,∴ ∠EAD+∠DFE=180°.∵ ∠DFE+ ∠CFE=180°,∴ ∠EAD=∠CFE.∵ AE 平分∠BAD, ∴ ∠BAE=∠EAD.∴ ∠BAE=∠CFE.又∵ ∠B+ ∠BAE+∠AEB=180°,∠C+∠CFE+∠CEF=180°, ∠AEB=∠CEF,∴ ∠B=∠C. 16. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ CD∥AB. ∴ ∠AFN = ∠CEM.在 △AFN 和 △CEM 中, ∵ AF=CE, ∠AFN=∠CEM, FN=EM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AFN≌△CEM.(2) 由(1), 得 △AFN≌△CEM,∴ ∠NAF=∠MCE.∵ ∠CMF= ∠CEM + ∠MCE,∠CMF =107°,∠CEM =72°, ∴ ∠MCE=35°.∴ ∠NAF=35°. 17. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ CD∥AB. ∵ AM⊥BD,CN⊥BD,∴ ∠AED=∠NFD=90°. ∴ AM∥CN.又∵ CM∥AN,∴ 四边形AMCN 是平行四 边形.(2) ∵ 四边形AMCN 是平行四边形,∴ CM= AN.∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ CD=AB,CD∥ AB.∴ MD =NB,∠MDE=∠NBF.在△MDE 和 △NBF 中,∵ ∠DEM=∠BFN=90°, ∠MDE=∠NBF, MD=NB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △MDE≌ △NBF.∴ ME=NF=1.在Rt△DME 中,∵ ∠DEM= 90°,DE =2,ME =1,∴ 由 勾 股 定 理,得 MD = DE2+ME2= 22+12=5. 判断一个四边形为平行四边形的常见思路 若已知(或易证)一组对边平行,则可以考虑证明 这组对边相等或证明另一组对边平行;若已知(或易 证)一组对边相等,则可以考虑证明这组对边平行或证 明另一组对边相等;若已知(或易证)一条对角线平分 另一条对角线,则可以考虑证明另一条对角线也平分 这条对角线. 18. (1) ∵ AD∥BC,∴ ∠AEF=∠CFE.∴ ∠AEG= ∠CFH.∵ AG⊥EF,CH⊥EF,∴ ∠AGE=∠CHF= 90°.又∵ AE=CF,∴ △AGE≌△CHF.(2) 线段GH 与AC 互相平分.理由:如图,连结CG,AH.由(1),知 △AGE≌△CHF,∴ AG=CH.∵ ∠AGE=∠CHF= 90°,∴ AG∥CH.∴ 四边形AHCG 为平行四边形.∴ 线 段GH 与AC互相平分. 第18题 19. (1) GF⊥EF,GF=EF.∵ 四边形ABCD 是平行四 边形,∴ AB=CD,∠DAB+∠ADC=180°.∵ △ABE, △CDG,△ADF 都是等腰直角三角形,∴ 易得 DG= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 CG=AE=BE,DF=AF,∠AFD=90°,∠CDG= ∠ADF=∠DAF=∠BAE=45°.∴ ∠FDG=∠CDG+ ∠CDA+ ∠ADF =90°+ ∠CDA,∠FAE =360°- ∠BAE-∠DAF-∠BAD=270°-(180°-∠CDA)= 90°+∠CDA.∴ ∠FAE=∠FDG.在△EAF 和△GDF 中,∵ AF=DF, ∠FAE=∠FDG, AE=DG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EAF≌△GDF.∴ EF= GF,∠EFA=∠GFD.∴ ∠GFD+∠GFA=∠EFA+ ∠GFA,即∠AFD=∠GFE=90°.∴ GF⊥EF.(2) 问题 (1)中的结论还成立.∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AB =DC,∠DAB + ∠ADC=180°.∵ △ABE, △CDG,△ADF 都是等腰直角三角形,∴ ∠DFA=90°, DF=AF,∠CDG=∠ADF=∠DAF=∠BAE=45°,易 得 DG =AE.又 ∵ ∠BAE + ∠DAF + ∠EAF + ∠ADF+∠CDF=180°,∴ ∠EAF+∠CDF=45°.又 ∵ ∠CDF + ∠GDF =45°,∴ ∠GDF = ∠EAF. ∴ △GDF≌△EAF.∴ GF=EF,∠GFD=∠EFA. ∴ ∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA,即∠DFA= ∠GFE=90°.∴ GF⊥EF.综上所述,问题(1)中的结论 还成立. 第5章　特殊平行四边形 一、 1. A 2. C 3. D 4. B 5. D 6. C 解析:由勾股定理,易得AC=5,再根据矩形的对 角线相等且互相平分,可知BO=CO=12AC= 5 2. 根据 S△BOC=S△BOM+S△MOC,且S△BOC= 1 2×3×4× 1 2=3 , 可得1 2BO ·MN+12CO ·OM=3,从而可得OM+ MN=125. 7. C 解析:∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ AD=DC= BC=AB=10,∠ADC=∠C=∠B=90°.又∵ DM= CN,∴ △ADM ≌ △DCN.∴ ∠DAM = ∠CDN. ∴ ∠APN=∠DAM+∠ADP=∠CDN+∠ADP= ∠ADC=90°,即△ANP 为直角三角形.∵ CN=DM= 4,BC=10,∴ BN=6.在Rt△ABN 中,由勾股定理,得 AN= AB2+BN2=2 34.再由直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半,得PQ=12AN= 34. 8. C 解析:当BD=CE 时,四边形FGHI 是正方形. ∵ F,G,H,I分别是DE,BE,BC,DC 的中点,∴ FG∥ BD,FG=12BD ,IH∥BD,IH=12BD.∴ FG∥IH, FG=IH.∴ 四边形FGHI 是平行四边形.同理,可得 FI∥CE,FI=12CE ,∴ ∠FID=∠ACD.∵ BD∥IH, ∴ ∠ADC=∠DIH.∵ ∠BAC =90°,∴ ∠ADC + ∠ACD=90°.∴ ∠DIH +∠FID=90°,即∠FIH = 90°.∴ 四边形FGHI 是矩形.∵ BD=CE,∴ FG= FI.∴ 四边形FGHI是正方形. 二、 9. 2.5 10. 12 5 11. 25° 12. 9.6 解析:如图,连结 AC,交 BD 于点G,连结 AO.∵ 四边形ABCD 是菱形,BD=16,∴ AC⊥BD, AB=AD=10,BG=12BD=8. 根据勾股定理,得AG= AB2-BG2 = 102-82 =6.∵ S△ABD =S△AOB + S△AOD,即 1 2BD ·AG=12AB ·OE+12AD ·OF, ∴ 1 2×16×6= 1 2 ×10OE+ 1 2 ×10OF.∴ OE+ OF=9.6. 第12题 13. 60° 解析:连结BF.∵ E 为AB 的中点,∴ AB= 2AE.∵ AF=2AE,∴ AB=AF.∵ FE⊥AB,E 为AB 的中点,∴ AF=BF.∴ AF=AB=BF.∴ △ABF 为等 边三角形.∴ ∠AFB=60°.∵ AF=FB,EF⊥AB, ∴ ∠AFE=∠EFB=30°.∵ 四边形ABCD 为正方形, ∴ ∠ABC =90°,AB =BC.∵ BD 为 其 对 角 线, ∴ ∠DBC=45°.∵ FE ⊥AB,∴ ∠FEB =90°= ∠EBC.∴ EF∥BC.∴ ∠BCF=∠CFE.∵ BF=AB= BC,∴ ∠BFC=∠BCF.∴ ∠BCF=∠BFC=∠CFE= 1 2∠EFB=15°.∴ ∠DOC=∠DBC+∠BCF=45°+ 15°=60°. 14. 4 解析:过点B 向右上作BF⊥BP,在BF 上截取 BE=BP,连结CE,则易证△APB≌△CEB.∴ BP= BE=2,AP=CE=23,∠APB=∠CEB=135°.连结 PE,易知△PBE 为等腰直角三角形.∴ 由勾股定理,得 PE= BP2+BE2 =2,且∠PEB=45°.∴ ∠PEC= 135°-45°=90°.在Rt△PEC 中,由勾股定理,得PC= PE2+CE2= 22+(23)2=4. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈