第03讲 平行四边形（7知识点+12大考点+拓展训练+复习提升）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第03讲 平行四边形 （7知识点+12大考点+拓展训练+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 多边形的相关概念 1. 多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2. 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【补充】 1）多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2）把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 3. 正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 【补充】1）正n边形有n条对称轴． 2）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心. 知识点 2 多边形的内角和与外角和 1. 多边形内角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 2. 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 易错易混 多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误： ①n边形内角和＝（n－2）×180°（n≥3）. ②从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，n个顶点可以引出n（n-3）条对角线，但是每条对角线计算了两次，因此n边形共有 条对角线. ③n边形的边数＝（内角和÷180°）＋2. ④n边形的外角和是360°. ⑤n边形的外角和加内角和＝n×180°. ⑥在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点，把n边形分成n个三角形；在n边形的任意一边上任取一点O，连接O点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n－1）个三角形；连接n边形的任一顶点A与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n－2）个三角形． 知识点 3 平行四边形的概念与性质 1.平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 符号表示：平行四边形用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 2. 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 图示 边 平行四边形两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 平行四边形对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 3. 平行线间的距离 定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离 性质：1）两条平行线间的距离处处相等. 2）两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 知识点 4 平行四边形的判定定理 判定 符号语言 定义 一组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形 【解题技巧】 一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路： 1）已知一组对边平行, 首先要考虑证另一组对边平行，再考虑这组对边相等； 2）已知一组对边相等, 首先要考虑证另一组对边相等，再考虑这组对边平行； 3）已知条件与对角线有关，常考虑对角线互相平分； 4) 已知条件与角有关，常考虑两组对角分别相等. 5. 平行四边形边的对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 知识点 5 三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点 6 中点四边形 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. 知识点 7 反证法 反证法，就是首先假定所要证明的命题不成立，然后再在这个假定下进行 逻辑推理，直至得出矛盾的结论，由此推翻假定，从而得出所要证明的结论是正确的，应用 反证法有如下三个步骤： （1）反设——假定原命题的结论不成立，即肯定原命题的反面； （2）归缪——根据反设，进行严密的推理，直到得出矛盾，即或与已知条件相矛盾，或与已知的公理、定理、定义、性质、公式等相矛盾，或与反设相矛盾；或自相矛盾，或甚至可 以与正常生活中的事实相矛盾，等等； （3）结论——肯定原命题正确. 考点一：多边形的相关概念 例1．下列说法错误的是（    ） A．五边形有5条边，5个内角，5个顶点； B．四边形有2条对角线； C．连接对角线，可以把多边形分成三角形； D．六边形的六个角都相等； 【变式1-1】如图，正五边形与正五边形，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】一个多边形每个外角都等于，则从这个多边形的某个顶点画对角线，最多可以画出几条 ． 【变式1-3】我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，如图，有一个正五边形木框，要使五边形木架不变形，至少要钉 根木条．    【变式1-4】探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，经过一个顶点（如点）可以作___________条对角线，它把四边形分为___________个三角形； (2)拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为___________个三角形．（用含的式子表示） (4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形． 考点二：多边形的内角和问题 例2．已知过n边形的一个顶点有5条对角线，一个m边形的内角和是，则（        ）． A．10 B．11 C．12 D．13 【变式2-1】如图1所示的是一把木工使用的六角尺．它能提供常用的几种测量角度，如图2中的六角尺示意图中，x的值应是（　　） A．100 B．112.5 C．120 D．125 【变式2-2】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原多边形的边数是为 ． 【变式2-3】经过查找资料得知目前可以铺满的凸五边形共有15种，如图1为其中一种五边形的密铺图．图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，则的度数为 ． 【变式2-4】一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半． (1)求这个多边形是几边形； (2)求这个多边形的内角和． 考点三：多边形的外角和问题 例3．花窗不仅是建筑的眼睛，更是中式美学的灵魂．如图所示是中国古建筑中的一个正八边形的窗户，则它的一个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在正五边形中，延长，交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】用n个完全相同的正五边形按照如图的方式拼成一圈，相邻的两个正五边形有公共顶点，且相邻两个正五边形外圈的夹角均为，内圈的夹角均为．若x，y均为正整数，且，则所有符合条件的的值为 ． 【变式3-3】如图，用个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则的值为 ． 【变式3-4】按要求回答下列各小题． (1)若一个n边形的内角和的比一个四边形的内角和多360°，求n的值； (2)一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数． 考点四：内角和与外角和的综合 例4．如图，七边形中，的延长线交于点O，若的外角和等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在四边形中，的角平分线与的角平分线相交于点P，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知六边形的每个内角为，其中，，，，且此六边形的周长为2024，则x的值为 ． 【变式4-3】如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若，，，的外角和等于，则的度数为 ． 【变式4-4】问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答． （1）若四边形的一个内角的度数是α． ①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）； ②求其它三个内角的和（用含α的代数式表示）． （2）若一个n边形，除了一个内角，其余内角的和为，求n的值． 深入探究： （3）探索n边形的一个外角与和它不相邻的个内角的和之间满足的等量关系，说明理由． 考点五：平行四边形的性质 例5．如图，在中，对角线交于，已知，，，那么到的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在中，点E在边上，将沿翻折，使点B恰好与边上的点F重合．若的周长为14，，则的周长为（　 　） A．24 B．28 C．38 D．40 【变式5-2】如图，将一副三角板摆在中，若，则的面积为 ． 【变式5-3】如图，在中，对角线与相交于点O，，，，则的面积为 ． 【变式5-4】如图所示，在平行四边形中，对角线与相交于点O，过点O任作一条直线分别交于点E，F． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 考点六：平行四边形的判定 例6．要求只用圆规来验证纸片的两边是否平行，现有甲、乙两种方案如图1和图2． 甲 乙 ①在纸片的一边上取线段； ②用圆规在另一边上截取，使； ③用圆规比较和的长度，若，则． ①沿折叠纸片，使和重合，和重合，交于点F； ②用圆规比较的长度，若，则． 对于两个方案，说法正确的是（   ） A．只有甲方案可行 B．只有乙方案可行 C．甲、乙方案都可行 D．甲、乙方案都不可行 【变式6-1】如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-2】如图，在中，E，F分别在边BC，AD上，有以下条件：①；②；③．若想使四边形AFCE为平行四边形，则还需添加一个条件，这个条件可以是 （填写相应序号）． 【变式6-3】已知平面上有三个点，点，以点，点点为顶点画平行四边形，则第四个顶点的坐标为 ． 【变式6-4】根据所给素材，完成相应任务． 玩转三角板 活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角板，如图1所示，其中，为直角，，，要求两直角顶点重合（A与F重合于点O）进行探究活动．    素材1 小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上．    素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形是平行四边形．    素材3 李老师提出问题，在上述操作过程中，与的面积比是否为定值？    解决问题 任务1 （1）根据图2，计算线段的长度． 任务2 （2）根据图3写出小聪同学判定平行四边形的依据：___________． （3）计算的面积． 任务3 （4）请你解答李老师的问题，并说明理由． 考点七：平行四边形性质与判定的应用 例7．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 【变式7-1】如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作EFBC，HGAB，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为（  ） A． B． C． D．不能确定 【变式7-2】图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为 cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．    【变式7-3】如图是由边长为1的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段的端点在格点上，要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画 个平行四边形． 【变式7-4】问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 考点八：中心对称与中心对称图形 例8．下列四幅图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式8-2】下列手机手势解锁图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】如图（1）所示，魔术师把4张扑克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180°，魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图（2）所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过，被旋转过的一张牌是 ． 【变式8-4】如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，． (1)四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点； (2)若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______． 考点九：画中心对称 例9．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)与关于原点成中心对称，画出； (2)的面积为_______； (3)以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为________． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于点C成中心对称的，此时点坐标为________； (2)以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，此时点D坐标为________． 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，． (1)画出向左平移4个单位的图形； (2)画出关于原点O成中心对称的图形，并写出，，三点的坐标． 【变式9-3】在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系是格点三角形（顶点在网格线的交点上）； (1)作出关于原点成中心对称的，并写出三个顶点坐标（_____），（_____），（_____）； (2)把向上平移4个单位长度得到，画出． (3)与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标（_____）． 【变式9-4】在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点，的坐标分别是． (1)作出关于原点对称的，其中点的对称点为点； (2)直接写出点，的坐标． 考点十：中心对称的坐标问题 例10．在平面直角坐标系xOy中，一次函数（）的图象经过． (1)一次函数的表达式． (2)如果点关于原点O中心对称的对称点恰好落在一次函数的图象上，求点A的坐标． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上． (1)写出点的坐标． (2)先将向左平移2个单位，再作与所得三角形关于原点成中心对称的图形，得到，请在图中画出． (3)上有一点，经上述变换后所得的对应点为，则点的坐标为（用含的代数式表示）． 【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，请解答下列问题： (1)若向右平移6个单位长度得到，作出并写出其三个顶点的坐标； (2)作出关于原点的中心对称图形并写出其三个顶点的坐标． 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标都在格点上，且与关于原点O成中心对称，C点坐标为． (1)请直接写出的坐标______； (2)是的AC边上一点，将平移后点P的对称点，请画出平移后的； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______． 【变式10-4】如图，在平面直角坐标系内，的顶点坐标分别为，，． (1)画出绕原点旋转后的图形； (2)是边上一点，将平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的； (3)将平移，若（2）小题中，点的对应点的坐标为，平移后的和关于点成中心对称，则的坐标为______．（用含，的式子表示） 考点十一：三角形的中位线 例11．如图，在中，，，．分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，点E为的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，则为（　　） A．3 B． C．4 D． 【变式11-2】如图，是的中位线，作的平分线分别交的延长线，边于点M、N，若点N恰好是的中点，，则的长为 ． 【变式11-3】如图，在中，为边中点，为边中点，为上一点且，连接，取中点并连接，取中点，延长与边交于点，若，则 ． 【变式11-4】如图，在四边形中，是对角线的中点，是的中点，是的中点，． 【用数学的眼光观察】 （1）求的度数． 【用数学的思维思考】 （2）如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求的度数． 【用数学的语言表达】 （3）如图，在中，，点在上，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的度数． 考点十二：反证法 例12．下列说法错误的是（    ） A．用反证法证明“”时，应假设 B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题 C．带根号的数一定是无理数 D．多项式与的公因式为 【变式12-1】用反证法证明：“若，则中至少有一个为0．”应假设（   ） A．都不为0 B．只有一个为0 C．至少有一个为0 D．都为0 【变式12-2】如图，已知E为直线l外一点，求证：过E点，只能有一条直线垂直于 l．用反证法证明这个命题的步骤：①在中，，这与三角形内角和为相矛盾；②假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点；③则，；④故过E点只有一条直线垂直于l．证明步骤正确的是（   ） A．①②③④ B．②③①④ C．①③②④ D．②③④① 【变式12-3】用反证法证明命题“如果，那么”的第一步应假设 ． 【变式12-4】小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序 ． 拓展训练一：多边形内角和与外角和综合 1．如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线AB∥CD，点F在直线AB上，点N在直线CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，则∠GHM＝（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 3．在△ABC中，（），点E，F分别为AC和AB上的动点，BE与CF相交于G点，且BE＋EF＋CF的值最小． 如图1，若AB＝AC，，则∠ABE的大小是 ； 如图2，∠BGC的大小是 （用含的式子表示）． 4．如图，在中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿的平分线折叠，点与点重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称是的好角． （1）若经过次折叠是的好角，则与（设）之间的等量关系为 ． （2）若一个三角形的最小角是4°，且该三角形的三个角均是此三角形的好角．请写出符合要求三角形的另两个角的度数 ．（写出一种即可） 5．【问题背景】如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做为“对角互补四边形”． 【问题解决】 (1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数； (2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”． ①若是等腰三角形，求的度数； ②若，若，求的长（用含m、n的代数式表示）． 拓展训练二：平行四边形的判定与性质综合 1．如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形； ③；④，⑤，其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，中，对角线相交于点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于，下列说法正确的个数为（    ） ；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 4．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点，交于点，若，，，，则下列所有正确结论的序号是 ①平分；②；③；④． 5．如图，在中，，F是中点，，垂足为G，延长线交于点H，，连接． (1)若，求的值； (2)求证：． 拓展训练三：平行四边形的存在性问题 1．如图1，在中，，，，点P，Q分别是上的动点，P从C出发以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，Q从A出发以每秒8个单位长度的速度向终点B运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t秒．过点Q作于点M．    (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)如图2，已知点D为中点，连接，以为邻边作平行四边形． ①当时，求的长； ②在运动过程中，是否存在某一时刻，使得平行四边形的一边落在的某边上？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，在中，，，过点A作，且点D在点A的右侧，点P，Q分别是射线，射线上的一点，点E是线段上的点，且，设，为y，则．当点Q为中点时，． (1)求，的长度； (2)若，求的长； (3)请问是否存在x的值，使得以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，在四边形中，，，，，，动点N从点D出发，以每秒的速度在射线上运动到C点返回，动点M从点A出发，在线段上，以每秒的速度向点B运动，点M，N分别从点A，D同时出发．当点M运动到点B时，点N随之停止运动，设运动时间为t（秒）． （1）当t为何值时，四边形是平行四边形． （2）是否存在点N，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴于，且面积为． （1）求点的坐标及直线的解析式． （2）如图1设点为线段中点，点为轴上一动点，连接，以为边向右侧作以为直角顶点的等腰，在点运动过程中，当点落在直线上时，求点的坐标． （3）如图2，若为线段上一点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒 个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）． (1)当t=3时，求PD的长？ (2)当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的一半？ (3)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 拓展训练四：平行四边形常考的模型问题 1．如图，在中，已知，，，的平分线交于点，点从点开始，沿射线运动． (1)计算的长度； (2)点运动到何处时与点的距离最小，并求出最小距离； (3)点在运动过程中，的最小值是 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点 ，与直线交于点点到轴的距离为，直线交轴于点 ． (1)求直线的函数表达式； (2)如图，点为线段上一点，将沿折叠后，点恰好落在 边上，求点坐标； (3)如图，将绕点逆时针方向旋转，得到，使点与点对应，点与点对应， 将沿着直线平移，点为直线上的动点，是否存在以为顶点的平行四边形？ 若存在，请直接写出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 3．已知：如图，的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)将沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交，于点，． （ⅰ）求证：； （ⅱ）连接，求证：． 4．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形． (2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长． (3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度． 5．已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段上．将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处． (1)求的长及点A，点B的坐标； (2)求的长度； (3)点N在第二象限，若是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标； (4)取的中点M，点P在y轴上，若点Q在直线上，如果存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标． 拓展训练五：三角形的中位线压轴 1．如图，在中，，点D是的一点，延长至点E，使得，过点E作于点F，G为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形中.为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 3．如图，在中，为斜边的中点，点在边上，将沿折叠至．若点在线段上，，，则的长为 ． 4．如图，中，，，，在边上取点使，点为射线上任意一点，以，为邻边作平行四边形，则线段的最小值为 ． 5．【三角形中位线定理】：如图1，是的中位线，则， 【活动一】：证明定理：添加辅助线：如图1，在中，延长（、分别是、的中点）到点，使得，连接，请你补充完整证明过程． 【活动二】：应用定理：如图2，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． 【活动三】深入定理：如图3，在四边形中，，，为的中点，、别为边上的点，若，，，求的长． 1．若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点G B．点H C．点I D．点J 3．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于（　　） A． B． C． D． 4．如图，为的对角线上一点，过点作，的平行线，分别交，，，于四点，连结．若的面积为，则的面积为（　　） A．5 B．2.5 C．2.4 D．1.25 5．如图，在平行四边形中，点将对角线分成两段，且，连接，并延长至点，使得，连接．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，，分别是的边，的中点，将线段沿方向平移得到线段，若，则的长是 ． 7．如图，是的边的中点，平分，于点，延长交于点，已知，，，则的周长为 ． 8．如图，在平行四边形中，，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，F恰好为的中点，则 ，与平行四边形重叠部分的面积为 ． 9．如图，是由，，，无缝拼接而成，，，则四边形的面积为 ． 10．如图，梯形中，，E、F分别是下底边和上底边的中点．若，则的值为 ． 11．如图，在中，点，分别在，的延长线上，且．连结，交于点，连结． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求的度数． 12．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别为，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求线段的长． 13．图1、图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）． (1)在图1中作一个以为腰的等腰． (2)在图2中以为边画一个平行四边形． 14．如图1，在平面直角坐标系中，点，．平移至（点与点对应，点与点对应），连接． (1)点的坐标为______； (2)点，分别是，边上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．当，分别在，上运动时，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图，三角形是等腰直角三角形，为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，试猜想，，三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 15．如图1，在中，，，．是线段上的动点，是射线上的动点，且．设． (1)当在线段上时，用含的代数式表示线段的长． (2)如图2，是的中点，以，为邻边构造． ①当点与点重合时，连结，求的长． ②当点落在的边上时，求的长． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 平行四边形 （7知识点+12大考点+拓展训练+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 多边形的相关概念 1. 多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2. 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【补充】 1）多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2）把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 3. 正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 【补充】1）正n边形有n条对称轴． 2）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心. 知识点 2 多边形的内角和与外角和 1. 多边形内角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 2. 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 易错易混 多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误： ①n边形内角和＝（n－2）×180°（n≥3）. ②从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，n个顶点可以引出n（n-3）条对角线，但是每条对角线计算了两次，因此n边形共有 条对角线. ③n边形的边数＝（内角和÷180°）＋2. ④n边形的外角和是360°. ⑤n边形的外角和加内角和＝n×180°. ⑥在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点，把n边形分成n个三角形；在n边形的任意一边上任取一点O，连接O点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n－1）个三角形；连接n边形的任一顶点A与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n－2）个三角形． 知识点 3 平行四边形的概念与性质 1.平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 符号表示：平行四边形用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 2. 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 图示 边 平行四边形两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 平行四边形对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 3. 平行线间的距离 定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离 性质：1）两条平行线间的距离处处相等. 2）两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 知识点 4 平行四边形的判定定理 判定 符号语言 定义 一组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形 【解题技巧】 一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路： 1）已知一组对边平行, 首先要考虑证另一组对边平行，再考虑这组对边相等； 2）已知一组对边相等, 首先要考虑证另一组对边相等，再考虑这组对边平行； 3）已知条件与对角线有关，常考虑对角线互相平分； 4) 已知条件与角有关，常考虑两组对角分别相等. 5. 平行四边形边的对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 知识点 5 三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点 6 中点四边形 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. 知识点 7 反证法 反证法，就是首先假定所要证明的命题不成立，然后再在这个假定下进行 逻辑推理，直至得出矛盾的结论，由此推翻假定，从而得出所要证明的结论是正确的，应用 反证法有如下三个步骤： （1）反设——假定原命题的结论不成立，即肯定原命题的反面； （2）归缪——根据反设，进行严密的推理，直到得出矛盾，即或与已知条件相矛盾，或与已知的公理、定理、定义、性质、公式等相矛盾，或与反设相矛盾；或自相矛盾，或甚至可 以与正常生活中的事实相矛盾，等等； （3）结论——肯定原命题正确. 考点一：多边形的相关概念 例1．下列说法错误的是（    ） A．五边形有5条边，5个内角，5个顶点； B．四边形有2条对角线； C．连接对角线，可以把多边形分成三角形； D．六边形的六个角都相等； 【答案】D 【分析】运用多边形的定义及其内角、对角线等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、五边形有5条边，5个内角，5个顶点，原选项正确，故不符合题意； B、四边形有2条对角线，原选项正确，故不符合题意；； C、连接对角线，可以把多边形分成三角形，原选项正确，故不符合题意； D、六边形的六个角不一定相等，只有正六边形的六个内角相等，原选项错误，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的定义及其内角、对角线等知识点，解决本题的关键是熟练掌握多边形的定义． 【变式1-1】如图，正五边形与正五边形，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个五边形都是正多边形，得到各边都相等，然后进行等量替换判断正确选项． 【详解】解：五边形和五边形都是正多边形， ，， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查的是正多边形的性质．根据正多边形的性质判断线段之间的关系． 【变式1-2】一个多边形每个外角都等于，则从这个多边形的某个顶点画对角线，最多可以画出几条 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和外角性质，先计算出多边形的边数，再根据边形从一个点的作对角线条计算即可，熟练掌握外角和为是解题的关键． 【详解】解：∵多边形外角和都为， ∴该多边形为边形， ∴从这个多边形的某个顶点画对角线最多可以画出条， 故答案为：． 【变式1-3】我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，如图，有一个正五边形木框，要使五边形木架不变形，至少要钉 根木条．    【答案】2 【分析】根据三角形具有稳定性，五边形可以分成3个三角形，需要两根木条． 【详解】解：∵三角形具有稳定性，其它多边形都不具有稳定性， ∴要使五边形木架不变形，根据同一顶点出发的对角线把五边形分成3个三角形，需连两条对角线，每条对角线用一根木条， ∴至少要钉2根木条； 故答案为：2． 【点睛】本题考查三角形的稳定性．熟练掌握三角形具有稳定性，是解题的关键． 【变式1-4】探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，经过一个顶点（如点）可以作___________条对角线，它把四边形分为___________个三角形； (2)拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为___________个三角形．（用含的式子表示） (4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形． 【答案】(1)1，2； (2)3，4； (3) (4)8 【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案； （2）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答； （3）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答； （4）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答． 【详解】（1）解：如下图： 经过点可以做1条对角线，它把四边形分为2个三角形， 故答案为：1，2； （2）解：拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得： 图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形； 图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形； 故答案为：3，4； （3）解：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为个三角形， 故答案为：； （4）解：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为个三角形， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，正确理解多边形的对角线的条数，与所分成的三角形的个数的关系，是解决本题的关键． 考点二：多边形的内角和问题 例2．已知过n边形的一个顶点有5条对角线，一个m边形的内角和是，则（        ）． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线和多边形的内角和公式，熟记n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解答此题的关键． 根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可得，求出n的值；根据都不行内角和公式即可求出m的值，然后代数求解即可． 【详解】∵过n边形的一个顶点有5条对角线， ∴ ∴； ∵一个m边形的内角和是， ∴ ∴ ∴． 故选：D． 【变式2-1】如图1所示的是一把木工使用的六角尺．它能提供常用的几种测量角度，如图2中的六角尺示意图中，x的值应是（　　） A．100 B．112.5 C．120 D．125 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角和，根据多边形的外角和列出方程式，进而得出答案． 【详解】解： 解得：． 故答案为：B． 【变式2-2】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原多边形的边数是为 ． 【答案】8或9或10 【分析】本题考查多边形的内角和，解题关键是掌握多边形截去一个角后多边形边数可能增加1，减少1或不变．根据多边形内角和公式求出截去一角后的多边形边数，再根据截去一角后多边形的边数变化情况求解． 【详解】解：设截去一个角后，多边形的边数为， 由题意得， 解得． 因为多边形截去一角后边数可能不变，可能增加1，可能减小1， 原多边形可能为8或9或10. 故答案为：8或9或10. 【变式2-3】经过查找资料得知目前可以铺满的凸五边形共有15种，如图1为其中一种五边形的密铺图．图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和定理即可得出，然后再根据题意即可得出答案． 【详解】解：正五边形内角和为：， ∴， 故答案为： 【变式2-4】一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半． (1)求这个多边形是几边形； (2)求这个多边形的内角和． 【答案】(1)六边形 (2) 【分析】本题考查的是多边形的内角与外角的计算，掌握正多边形的定义、多边形的内角与外角的关系是解题的关键． （1）设内角为，根据多边形的内角与外角的关系列出方程，解方程求出 （2）根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】（1）解：设多边形的每一个内角为，则每一个外角为， 由题意得，， 解得，，， 这个多边形的边数为：， 答：这个多边形是六边形； （2）解：由（1）知，该多边形是六边形， 内角和， 答：这个多边形的内角和为． 考点三：多边形的外角和问题 例3．花窗不仅是建筑的眼睛，更是中式美学的灵魂．如图所示是中国古建筑中的一个正八边形的窗户，则它的一个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的外角内容，根据正多边形的每个外角都相等进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意正八边形外角和为， ∴每一个外角为． 故选：B． 【变式3-1】如图，在正五边形中，延长，交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形的外角，三角形的内角和定理，根据正多边形的外角和为360度求出的度数，利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵为正五边形的外角， ∴， ∴； 故选：A． 【变式3-2】用n个完全相同的正五边形按照如图的方式拼成一圈，相邻的两个正五边形有公共顶点，且相邻两个正五边形外圈的夹角均为，内圈的夹角均为．若x，y均为正整数，且，则所有符合条件的的值为 ． 【答案】3或4或5 【分析】根据题意，得正五边形的一个内角为，结合题意，得，结合，确定，根据正多边形的一个内角度数为，得到，于是得到，结合n为正整数，解答即可． 【详解】解：根据题意，得正五边形的一个内角为， 根据题意，得，即 ∵， ∴ ∴， ∵正多边形的一个内角度数为， ∴， ∴， ∴n为正整数， ∴n为1或2或3或4或5， 又一个或2个多边形围不成所需要的图形，故舍去， 故n的可能值为3或4或5． 故答案为：3或4或5． 【点睛】本题考查了正多边形的内角和定理，外角和定理，不等式的整数解，熟练掌握定理和不等式的整数解是解题的关键． 【变式3-3】如图，用个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆、多边形的内角与外角等知识，由完全拼成一个圆环需要的正五边形为个，则围成的多边形为正边形，利用正五边形的内角与夹角计算出正边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到解方程求解即可．熟练掌握多边形内角和和外角和是解题的关键． 【详解】解：∵正五边形的外角和为， ∴正五边形每个外角的度数为：， ∴正五边形每个内角为：， ∴组成的正多边形的每个内角为：， ∵个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形， ∴组成的正多边形为正边形， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式3-4】按要求回答下列各小题． (1)若一个n边形的内角和的比一个四边形的内角和多360°，求n的值； (2)一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数． 【答案】(1)14 (2)该正多边形的边数为9，一个外角的度数是 【分析】（1）n边形的内角和为，结合已知条件，列出关于n的一元一次方程，即可求解； （2）正n边形的内角和为，外角和为，则，解方程即可． 【详解】（1）解：n边形内角和为，四边形的内角和为360°， 由题意得，， 解得， 即n的值为14； （2）解：正n边形的内角和为，所有外角都相等且外角和为， 由题意得，， 解得， ， 即该正多边形的边数为9，一个外角的度数是． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是掌握n边形内角和为，外角和为． 考点四：内角和与外角和的综合 例4．如图，七边形中，的延长线交于点O，若的外角和等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得的和是解题的关键．由外角和内角的关系可求得的和，由多边形的内角和公式求得五边形的内角和，即可求得． 【详解】解：∵的外角和等于， ， ， ∵五边形内角和， ， ， 故选：A． 【变式4-1】如图，在四边形中，的角平分线与的角平分线相交于点P，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理、多边形的内角和外角，利用四边形内角和是，可以求得，然后由角平分线的性质和邻补角的定义求得的度数，所以根据的内角和定理求得的度数即可． 【详解】解：，， ， 又的角平分线与的角平分线相交于点P， ， ， 故选：B． 【变式4-2】已知六边形的每个内角为，其中，，，，且此六边形的周长为2024，则x的值为 ． 【答案】164 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、多边形的内角与外角的关系构造等边三角形、根据等边三角形的三边相等的性质求解成为解题的关键． 延长并反向延长、、，构成一个等边三角形，再利用六边形的各边和周长与各边的关系列出等量关系是，即可解出． 【详解】解：如图，分别延长、，相交于点G，分别延长、，相交于点H，分别延长、，相交于点M． ， ∵六边形的每个内角为，，，，， ∴六边形每个外角为， ∴、、、都是等边三角形， ，，， ， 设，， ， ， 即， ； 故答案为：164． 【变式4-3】如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若，，，的外角和等于，则的度数为 ． 【答案】 【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD． 【详解】、、、的外角的角度和为， ， ， 五边形OAGFE内角和， ， ． 故答案为 【点睛】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键． 【变式4-4】问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答． （1）若四边形的一个内角的度数是α． ①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）； ②求其它三个内角的和（用含α的代数式表示）． （2）若一个n边形，除了一个内角，其余内角的和为，求n的值． 深入探究： （3）探索n边形的一个外角与和它不相邻的个内角的和之间满足的等量关系，说明理由． 【答案】（1）①，②（2）；（3），理由见解析 【分析】（1）①根据一个内角与它相邻的外角的和是进行计算即可；②四边形的内角和是进行计算即可； （2）根据多边形的内角和的计算方法进行计算即可； （3）表示出和它不相邻的个内角的和即可． 【详解】解：（1）①四边形的一个内角的度数是，则与它相邻的外角的度数； ②由于四边形的内角和是其中一个内角为，则其它三个内角的和为； （2）由题意得， ， 的正整数，， ， 即这个多边形为八边形； （3）设边形的一个外角为，它不相邻的个内角的和为， 则有， 即． 考点五：平行四边形的性质 例5．如图，在中，对角线交于，已知，，，那么到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式，首先根据平行四边形的对角线互相平分，可得：，，根据勾股定理的逆定理可得：，利用勾股定理可求，设点到的距离为，根据三角形的面积公式可得：，从而可求点到的距离． 【详解】解：在中，，， ，， ， ， ， ， ， 设点到的距离为， ， ， 解得：． 故选：B． 【变式5-1】如图，在中，点E在边上，将沿翻折，使点B恰好与边上的点F重合．若的周长为14，，则的周长为（　 　） A．24 B．28 C．38 D．40 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、平行四边形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．由翻折可得，进而可得，结合的周长为，可得，进一步即可得出答案． 【详解】解：由翻折可得，， ∵四边形为平行四边形， ， ，，， ∵的周长为14， ， ∵， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 【变式5-2】如图，将一副三角板摆在中，若，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，熟记平行四边形的性质，三角形的面积是解题的关键；设点到的距离为，点到的距离为，根据等等面积法分别求出h与的长，即可推出结果， 【详解】在中，，， ， ，， 设点到的距离为，点到的距离为， ， ， 在等腰中，， ， ， 的面积为， 故答案为：． 【变式5-3】如图，在中，对角线与相交于点O，，，，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查平行四边形的性质，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形，过点作，易得为等腰直角三角形，为含30度角的直角三角形，进而求出的长，得到的长，进而求出的面积，根据的面积为的面积的2倍，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， 过点作，如图： ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：． 【变式5-4】如图所示，在平行四边形中，对角线与相交于点O，过点O任作一条直线分别交于点E，F． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分；全等三角形对应边相等． （1）根据平行四边形的性质得出，则，即可根据求证，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴四边形的周长． 考点六：平行四边形的判定 例6．要求只用圆规来验证纸片的两边是否平行，现有甲、乙两种方案如图1和图2． 甲 乙 ①在纸片的一边上取线段； ②用圆规在另一边上截取，使； ③用圆规比较和的长度，若，则． ①沿折叠纸片，使和重合，和重合，交于点F； ②用圆规比较的长度，若，则． 对于两个方案，说法正确的是（   ） A．只有甲方案可行 B．只有乙方案可行 C．甲、乙方案都可行 D．甲、乙方案都不可行 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判断，解题关键是准确理解题意，选择恰当方法证明，然后判断即可． 【详解】解：甲方案根据两组对边分别相等，可判定四边形是平行四边形，所以，方案可行； 乙方案由折叠可知， ∵， ∴， ∴， ∴； 方案可行； 故选：C． 【变式6-1】如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 结合全等三角形的性质，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故C符合题意， 但是A、B、D条件均不能证明，故不符合题意， 故选：C． 【变式6-2】如图，在中，E，F分别在边BC，AD上，有以下条件：①；②；③．若想使四边形AFCE为平行四边形，则还需添加一个条件，这个条件可以是 （填写相应序号）． 【答案】③ 【分析】①和②都不能证得四边形AFCE是平行四边形；③可以采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证得． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD，AB=CD，∠B=∠D，ADBC，AD=BC， 如果添加①，点E的位置无法确定，无法判定四边形AFCE的形状； 如果添加②，四边形AFCE可能是平行四边形或是等腰梯形； 如果③，则AE//CF， ∵AFCE， ∴四边形AFCE是平行四边形，故③正确， 故答案为：③． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键是选择适宜的证明方法：此题③采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 【变式6-3】已知平面上有三个点，点，以点，点点为顶点画平行四边形，则第四个顶点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】根据平行四边形的性质，分别以AB、AC、BC为对角线画出平行四边形，然后写出第四个顶点D的坐标． 【详解】如图，以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（0，2）或（6，6）或（4，-2）． 故答案为：（0，2）或（6，6）或（4，-2）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质．根据平行四边形的性质，结合坐标画出图形，找出D点坐标的三种情况． 【变式6-4】根据所给素材，完成相应任务． 玩转三角板 活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角板，如图1所示，其中，为直角，，，要求两直角顶点重合（A与F重合于点O）进行探究活动．    素材1 小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上．    素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形是平行四边形．    素材3 李老师提出问题，在上述操作过程中，与的面积比是否为定值？    解决问题 任务1 （1）根据图2，计算线段的长度． 任务2 （2）根据图3写出小聪同学判定平行四边形的依据：___________． （3）计算的面积． 任务3 （4）请你解答李老师的问题，并说明理由． 【答案】（1） （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （3） （4）是定值，理由见解析 【分析】（1）在中，利用直角三角形的性质求得，在中，利用等腰直角三角形和勾股定理求得，即可由求解； （2）根据平行四边形的判定定理解答即可； （3）过点O作于点H，交于点G，利用，求得，利用，求得，从而求得，然后根据平行四边形的面积公式求解即可． （4）作于M，交延长线于N，证明，得到，然后由三角形面积公式计算出，从而得出结论． 【详解】解：（1）在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵(已知)，(已知)， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （3）过点O作于点H，交于点G，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． （4）与的面积比是定值． 理由：作于M，交延长线于N，如图，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴与的面积比是定值． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，本题是三角形综合题目，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 考点七：平行四边形性质与判定的应用 例7．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 【答案】C 【分析】由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，得出的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，得出四边形的面积四边形的面积，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：   ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， 的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，故A，D选项正确 四边形的面积四边形的面积，故B选项正确 ∴A、B、D正确，C不正确； 故选：C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便． 【变式7-1】如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作EFBC，HGAB，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为（  ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】先证明△ABD≌△CDB，△BEP≌△PGB，△HPD≌△FDP，再利用全等三角形的面积相等，得出 ，即． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EFBC，HGAB， ∴AD=BC，AB=CD，ABGHCD，ADEFBC， ∴四边形GBEP、HPFD是平行四边形， ∵在△ABD和△CDB中，AB=CD，BD=BD，AD=BC， ∴△ABD≌△CDB， ∴； 同理可得：，，， ∴ 即，也即． 故选A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，利用全等三角形的面积相等结合面积做差得出结论是解题的关键． 【变式7-2】图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为 cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．    【答案】 12 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可； （2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解． 【详解】解：（1），， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ． 故答案为：； （2）当窗户开到最大时，，， ， ， ，， ； 当关闭状态下，， 窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为， 故答案为：12． 【点睛】本题考查平行四边形的实际应用、勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形的性质，从根据实际情况构建数学模型． 【变式7-3】如图是由边长为1的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段的端点在格点上，要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画 个平行四边形． 【答案】4 【分析】根据平行四边形的判定画出图形即可． 【详解】解：如图，四边形ABCD即为所求． 共能作出4个平行四边形． 故答案为：4． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型． 【变式7-4】问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 【答案】（1）图见解析，；（2）能，图见解析． 【分析】本题考查了作图——基本作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，过点作的平行线，再过点、点分别作的平行线，四条线的交点为、、、，则四边形即为所求，根据平行四边形的性质可得出的值； （2）连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求． 【详解】解（1）如图，即为所求， ，， 四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ； （2）能实现这一设想，如图，连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求， 理由如下： ，， 四边形、四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ． 考点八：中心对称与中心对称图形 例8．下列四幅图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式8-1】下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意； C．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【变式8-2】下列手机手势解锁图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．根据定义作答即可. 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 【变式8-3】如图（1）所示，魔术师把4张扑克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180°，魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图（2）所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过，被旋转过的一张牌是 ． 【答案】方块4． 【分析】4张扑克牌中只有方块4为中心对称图形，根据旋转的特点以及牌的花色进行判断. 【详解】解：4张扑克牌中只有方块4为中心对称图形，故旋转180°后还是原状，而其他3张均不是，观察翻转前后4张牌均为保持原状，据此可知翻转的为方块4， 故答案为方块4. 【点睛】本题结合旋转考查了中心对称. 【变式8-4】如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，． (1)四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点； (2)若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______． 【答案】(1)是中心对称，图见详解 (2) 【分析】本题考查作图旋转变换，中心对称图形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明四边形使得平行四边形可得结论； （2）利用中心对称图形的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：是 ，，，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是中心对称图形， 如图，对角线的交点即为旋转中心． （2）因为平分四边形的面积， 所以点是的中点， 设，则有， ， ． 故答案为：． 考点九：画中心对称 例9．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)与关于原点成中心对称，画出； (2)的面积为_______； (3)以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为________． 【答案】(1)作图见解析 (2)2.5 (3)或或 【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）分别作出，，的对应点，，并依次连接即可． （2）利用分割法求三角形面积即可． （3）根据平行四边形的性质画出图形利用平移法即可解决问题． 【详解】（1）解：即为所作： （2）解：， 故答案为：2.5； （3）解：如图： 当四边形是平行四边形， ∴， ∵，，． ∴可知点向右平移了3个单位，向上平移了1个单位得到点， 则向右平移3个单位，向上平移1个单位得到点， ∴点的坐标为； 同理可得点，， ∴以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为或或， 故答案为：或或． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于点C成中心对称的，此时点坐标为________； (2)以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，此时点D坐标为________． 【答案】(1)作图见解析， (2)或或 【分析】本题主要考查了图形与坐标，中心对称，平行四边形的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． （1）先找出A、B关于点C成中心对称的对称点、，再顺次连接、，即可得到、． （2）分三种情况：①是平行四边形；②是平行四边形；③是平行四边形．根据平移的性质分别求出、、的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图可知，点坐标为， 故答案为：； （2）结合图形可知， ①是平行四边形，此时； ②是平行四边形，此时； ③是平行四边形，此时； 故答案为：或或． 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，． (1)画出向左平移4个单位的图形； (2)画出关于原点O成中心对称的图形，并写出，，三点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，，， 【分析】本题考查了作图—平移变换、画中心对称图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据关于原点O成中心对称的图形的性质作出图形，再写出坐标即可． 【详解】（1）解：即为所求， （2）解：如图，即为所求，，， ． 【变式9-3】在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系是格点三角形（顶点在网格线的交点上）； (1)作出关于原点成中心对称的，并写出三个顶点坐标（_____），（_____），（_____）； (2)把向上平移4个单位长度得到，画出． (3)与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标（_____）． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【分析】此题考查中心对称图形的画法，平移图形的画法，中心对称的性质及平移的性质，对称中心的确定方法，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键. （1）根据中心对称的性质作出点A、B、C的对应点，，，然后顺次连接即可； （2）根据平移特点先作出点，，平移后的对应点，，，然后顺次连接即可； （3）连接两组对称点的交点即为对称中心，然后根据中点坐标公式求出此点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，为所求作的三角形； 根据图可知，，，． （2）解：如图，为所求作的三角形； （3）解：连接、，则、的交点即为对称中心， ∵，， ∴对称中心的坐标为， 即对称中心的坐标为． 故答案为：． 【变式9-4】在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点，的坐标分别是． (1)作出关于原点对称的，其中点的对称点为点； (2)直接写出点，的坐标． 【答案】(1)作图见解析； (2)，． 【分析】本题考查基本作图中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的性质是解答的关键． （）根据网格结构找出点、的对应点、的位置，然后顺次连接即可； （）根据所作图形得出点，坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可得，． 考点十：中心对称的坐标问题 例10．在平面直角坐标系xOy中，一次函数（）的图象经过． (1)一次函数的表达式． (2)如果点关于原点O中心对称的对称点恰好落在一次函数的图象上，求点A的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法即可得出一次函数解析式； （2）先求出点关于原点O中心对称的对称点，然后代入求值． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴． （2）解：点关于原点O中心对称的对称点， 代入中得， 解得， ∴点A的坐标为． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上． (1)写出点的坐标． (2)先将向左平移2个单位，再作与所得三角形关于原点成中心对称的图形，得到，请在图中画出． (3)上有一点，经上述变换后所得的对应点为，则点的坐标为（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移和中心对称，正确画出对应的图形是解题的关键． （1）根据坐标系中点的 位置写出点的坐标即可； （2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律先得到向左平移2个单位后A、B、C的对应点坐标，再根据关于原点成中心对称的点横纵坐标都互为相反数得到的坐标，描出病顺次连接即可； （3）仿照（2）求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：向左平移2个单位后得到的点的坐标为， ∵与关于原点成中心对称图形， ∴． 【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，请解答下列问题： (1)若向右平移6个单位长度得到，作出并写出其三个顶点的坐标； (2)作出关于原点的中心对称图形并写出其三个顶点的坐标． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据平移规律，确定变换后的坐标，画图即可． （2）根据原点对称的要求求出对应坐标，画图即可． 本题考查了坐标的平移，原点对称，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，向右平移6个单位后，得到新坐标为，画图如下： ． 则即为所求． （2）解：根据题意，得，关于原点的中心对称图形，新坐标分别为．画图如下： 则即为所求． 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标都在格点上，且与关于原点O成中心对称，C点坐标为． (1)请直接写出的坐标______； (2)是的AC边上一点，将平移后点P的对称点，请画出平移后的； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了图形的平移、中心对称的性质． （1）直接利用关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得出点的坐标； （2）直接利用平移的性质得出对应点坐标，然后顺次连接即可； （3）连接各对应点，进而得出对称中心的坐标． 【详解】（1）解：∵，与关于原点O成中心对称， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，平移后点的对应点， ∴先向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度， 即：如图所示； （3）解：∵，，， ∴，，； 如图所示， 连接，相交于点， 则为对称中心，即：为的中点， 又∵，， ∴，即， 故答案为：． 【变式10-4】如图，在平面直角坐标系内，的顶点坐标分别为，，． (1)画出绕原点旋转后的图形； (2)是边上一点，将平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的； (3)将平移，若（2）小题中，点的对应点的坐标为，平移后的和关于点成中心对称，则的坐标为______．（用含，的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了图形的平移，中心对称的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质可得到、、关于原点中心对称点、、的坐标，然后依次连接即可； （2）利用点与的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出点、、的对应点、、的坐标，然后依次连接即可； （3）同（2）得到点、、的坐标，再由中心对称的性质，知道点点为和的中点，即可得到的坐标． 【详解】（1）解：根据题意可知和关于原点中心对称， 则可得到，， 关于原点中心对称的对应点分别为、、，描点依次连接， 如图所示，即为所求： （2）解：根据题意可知，点向右平移4个单位，向上平移2个单位得到点，则向右平移4个单位，向上平移2个单位得到 ， 分别将，，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到对应点、、，描点依次连接， 如图所示，即为所求： （3）解：根据题意可知，点向右平移个单位，向上平移个单位得到点，则向右平移个单位，向上平移个单位得到 ， 分别将，，向右平移个单位，向上平移个单位得到对应点、、， 平移后的和关于点成中心对称，且、、， 设对称中心，由题意可知，点为和的中点 那么， ， ． 故答案为：． 考点十一：三角形的中位线 例11．如图，在中，，，．分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接，过点作于，由平行四边形的性质得到，得出求出，求出，由三角形中位线定理得到，当时，有最小值，即有最小值，当点与点重合时，的最小值为，得到 的最小值为，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 分别为的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 【变式11-1】如图，点E为的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，则为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线四边形的性质，三角形中位线定理，关键是证明是的中位线．连接交于O，由平行四边形的性质推出，，证明是的中位线，得到，求出，得到，求出，从而． 【详解】解：连接交于O，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式11-2】如图，是的中位线，作的平分线分别交的延长线，边于点M、N，若点N恰好是的中点，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查三角形中位线的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明是的中位线，推出，结合角平分线的定义得到，再证明，推出，进而求出，即可解答． 【详解】解：∵是的平分线， ∴． ∵是的中位线，， ∴． ∴， ∴， ∴． ∵N是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式11-3】如图，在中，为边中点，为边中点，为上一点且，连接，取中点并连接，取中点，延长与边交于点，若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，连接．求出，即可解决问题．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，连接． 为边中点，，， ，，， 为边中点，取中点并连接， ，， 是的中位线， ，， ， 取中点， ， 又， ， ，， ， 故答案为：1． 【变式11-4】如图，在四边形中，是对角线的中点，是的中点，是的中点，． 【用数学的眼光观察】 （1）求的度数． 【用数学的思维思考】 （2）如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求的度数． 【用数学的语言表达】 （3）如图，在中，，点在上，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据题意易证是的中位线，是的中位线，推出，进而得到，利用三角形内角和定理即可求解； （2）根据题意易证是的中位线，是的中位线，推出，得到．同理，．由（1）可知，即可得到； （3）取的中点，连接，同理（1）（2）得，，，，推出，易证是等边三角形，求出，由即可解答． 【详解】（1）解：是对角线的中点，是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ，， ， ， ， ， ； （2）是对角线的中点，是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ， ， 同理，， 由（1）可知， ， ∵， ∴； （3）如图，取的中点，连接， 同理（1）（2）得，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理. 考点十二：反证法 例12．下列说法错误的是（    ） A．用反证法证明“”时，应假设 B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题 C．带根号的数一定是无理数 D．多项式与的公因式为 【答案】C 【分析】本题考查了逆命题和真命题，反证法，平行线的判定与性质，无理数，因式分解．根据反证法，平行线的判定与性质，无理数的定义，因式分解以及逆命题和真命题的定义求解即可． 【详解】解：A．用反证法证明“”时，应假设，原说法正确，不符合题意； B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题，原说法正确，不符合题意； C．带根号的数不一定是无理数，如是有理数，原说法错误，符合题意； D．多项式与的公因式为，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式12-1】用反证法证明：“若，则中至少有一个为0．”应假设（   ） A．都不为0 B．只有一个为0 C．至少有一个为0 D．都为0 【答案】A 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤； 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答． 【详解】解：反证法的第一步是假设结论的反面成立，即假设结论不成立的情况． 在这个问题中，结论是“a， b 中至少有一个为0”，其反面就是“a， b 都不为0”． 故选：A． 【变式12-2】如图，已知E为直线l外一点，求证：过E点，只能有一条直线垂直于 l．用反证法证明这个命题的步骤：①在中，，这与三角形内角和为相矛盾；②假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点；③则，；④故过E点只有一条直线垂直于l．证明步骤正确的是（   ） A．①②③④ B．②③①④ C．①③②④ D．②③④① 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理以及反证法的应用，理解并掌握反证法的一般步骤是解题关键．反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤： 1、假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点； 2、则，； 3、在中，，这与三角形内角和为相矛盾； 4、因此假设不成立，故过E点只有一条直线垂直于l． 则证明步骤正确的是②③①④， 故选：B． 【变式12-3】用反证法证明命题“如果，那么”的第一步应假设 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法是解题的关键．根据反证法得到第一步假设即可得到答案． 【详解】解：“如果，那么”的第一步应假设， 故答案为：． 【变式12-4】小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序 ． 【答案】（3）（4）（1）（2） 【分析】本题考查的是反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】证明：假设， 那么，由，得，即， 所以，这与三角形内角和定理相矛盾， 所以， 所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2）， 故答案为：（3）（4）（1）（2）． 拓展训练一：多边形内角和与外角和综合 1．如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接，，，，根据全等三角形的判定与性质可得，则当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，分别求出和的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：连接，，，， ∵正五边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小， 过点E作于H，交于， 同理可求， ∴， 即当的值最小时，． 故选：C． 2．如图，直线AB∥CD，点F在直线AB上，点N在直线CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，则∠GHM＝（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【答案】D 【分析】延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S．利用平行线的性质求出∠KSM，利用邻补角求出∠SMH，利用三角形的外角与内角的关系，求出∠SKG，再利用四边形的内角和求出∠GHM． 【详解】解：延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S． ∵AB∥CD， ∴∠KSM＝∠CNP＝30°． ∵∠EFA＝∠KFG＝25°，∠KGF＝180°﹣∠FGH＝90°， ∠SMH＝180°﹣∠HMN＝155°， ∴∠SKH＝∠KFG+∠KGF ＝25°+90° ＝115°． ∵∠SKH+∠GHM+∠SMH+∠KSM＝360°， ∴∠GHM＝360°﹣115°﹣155°﹣30° ＝60°． 故选：D． 【点睛】本题考查了邻补角、平行线的性质、三角形的外角与内角的关系及多边形的内角和定理等知识点．利用平行线、延长线把分散的角集中在四边形中是解决本题的关键． 3．在△ABC中，（），点E，F分别为AC和AB上的动点，BE与CF相交于G点，且BE＋EF＋CF的值最小． 如图1，若AB＝AC，，则∠ABE的大小是 ； 如图2，∠BGC的大小是 （用含的式子表示）． 【答案】 30° 【分析】分别作点C关于AB的对称点，点B关于AC的对称点，连接分别交AB和BC于F和E，此时，BE＋EF＋CF的值最小，再根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到答案；然后根据根据（1）的结论即可得出∠BGC的度数． 【详解】解：如图所示，分别作点C关于AB的对称点，点B关于AC的对称点，连接分别交AB和BC于F和E，此时，BE＋EF＋CF的值最小． ∴，， ∴，，， ∵点C关于AB的对称点，点B关于AC的对称点，， ∴， ∵（）， ∴， ∴，∴， ∴， ∴， ∴， ∵AB＝AC， ∴， ∵，BC=CB ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 如图所示，分别作点C关于AB的对称点，点B关于AC的对称点，连接分别交AB和BC于F和E，此时，BE＋EF＋CF的值最小． ∴，， ∴，，， ∵点C关于AB的对称点，点B关于AC的对称点，， ∴， ∵（）， ∴， ∴，∴， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确作出辅助线，找到四点共线时有最小值是解题的关键． 4．如图，在中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿的平分线折叠，点与点重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称是的好角． （1）若经过次折叠是的好角，则与（设）之间的等量关系为 ． （2）若一个三角形的最小角是4°，且该三角形的三个角均是此三角形的好角．请写出符合要求三角形的另两个角的度数 ．（写出一种即可） 【答案】 ∠B=n∠C 4、172或8、168或16、160或44、132或88°、88° 【分析】（1）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C； 根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C； （2）利用（1）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°． 【详解】解：（1）∠B=n∠C； 如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分； 将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分， 将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合， 则∠BAC是△ABC的好角． 证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2， ∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C； ∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°， 根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴∠B=3∠C； 由展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 由展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 由展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C； 故答案为：∠B=n∠C． （2）由（1）知设∠A=4°，∵∠C是好角， ∴∠B=4n°； ∵∠A是好角， ∴∠C=m∠B=4mn°，其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180， ∴如果一个三角形的最小角是4°， 三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°． 故答案为：4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大． 5．【问题背景】如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做为“对角互补四边形”． 【问题解决】 (1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数； (2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”． ①若是等腰三角形，求的度数； ②若，若，求的长（用含m、n的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)①的度数为或；② 【分析】（1）根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据题意列方程即可得到结论； （2）①根据“对角互补四边形”的定义得到，根据角平分线的定义得到，当时，求得（不符合题意，舍去），当时，求得；当时，求得； ②如图②，过点B作于G，于H，根据已知条件得到，根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据全等三角形的性质得到，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （2）①∵四边形是“对角互补四边形”，， ∴， ∵平分， ∴， 当时， ∴（不符合题意，舍去）， 当时， ∴， ∴； 当时， ∴，， ∴． 综上所述：的度数为或； ②如图②，过点B作于G，于H， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形是综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，角平分线的性质，新定义“对角互补四边形”，正确地找出辅助线是解题的关键． 拓展训练二：平行四边形的判定与性质综合 1．如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形； ③；④，⑤，其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】①延长交于点，根据平行四边形性质和四边形内角和即可得到；②先证明，得，又有，可得，即可得到为等腰直角三角形；③过点作交延长线于点，证明，再根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，可得成立；④过点作于，根据勾股定理即可证明，可知结论不成立，⑤根据平行四边形的性质得到结合，即可得到． 【详解】解：①延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故①正确； 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴为等腰直角三角形， 故②正确； ∵， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 过点作交延长线于点，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，，则为等腰直角三角形， ∴， 由等腰直角三角形可知，， ∴， 故③正确； 由勾股定理可知，，则， 过点作于，则， ∵， ∴， ∴， 则，， ∴， 故④不正确； ，， ， 故⑤正确； 综上所述正确的结论共有4个， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，勾股定理，等腰直角三角形判定和性质，全等三角形判定和性质等知识点，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形和直角三角形． 2．如图，中，对角线相交于点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，过点作于，过点作的延长线于，由可得，由勾股定理得，由平行四边形性质得，，进而得到，，，即可得到，，即得，由勾股定理即可求出的长，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，过点作的延长线于，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于，下列说法正确的个数为（    ） ；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】由的周长等于，可得，即得到，根据等腰三角形三线合一得到，即可判断；过点作，交与，证明，得到，同理可得，，，再由三角形的面积即可判断；过点于，交于，可得，即可判断；过点作的延长线于点，由平行线可得，进而可得，得到，由勾股定理可得，设，则，在中，由勾股定理可得，求出进而可得的长，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵的周长等于， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， 即， ∴，故正确； 过点作于M，交与， ∵， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵，， ∴，故正确； 过点作于，交于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，故正确； ∴说法正确的个数有个， 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理． 4．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点，交于点，若，，，，则下列所有正确结论的序号是 ①平分；②；③；④． 【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线等知识，掌握相关知识是解题的关键． ①根据平行四边形的性质得，则是线段的垂直平分线，进而得是等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质可对结论结论①进行判断；②根据得是等腰直角三角形，由此可对结论②进行判断；③过点作于点，先求出， ，证明是等腰直角三角形，可求出，根据勾股定理求得， ，进而得到，即可得到，据此可对结论③进行判断，④分别求出，进而可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴平分，故①正确； ②∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③过点作于点，如图： ∵，， ∴是等腰直角三角形， 又∵， 由勾股定理得：， ∵， ， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴在中，， ∵在中，， ∴， ∴，故③错误； ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 综上所述：所有正确结论的序号是①②④． 故答案为：①②④． 5．如图，在中，，F是中点，，垂足为G，延长线交于点H，，连接． (1)若，求的值； (2)求证：． 【答案】(1)1 (2)见解析 【分析】（1）证明，推出，可得结论； （2）过点F作于J，交的延长线于K．过点D作交的延长线于T，连接，设交于N．证明是等腰直角三角形，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵F是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点F作于J，交的延长线于K．过点D作交的延长线于T，连接，设交于N． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 拓展训练三：平行四边形的存在性问题 1．如图1，在中，，，，点P，Q分别是上的动点，P从C出发以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，Q从A出发以每秒8个单位长度的速度向终点B运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t秒．过点Q作于点M．    (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)如图2，已知点D为中点，连接，以为邻边作平行四边形． ①当时，求的长； ②在运动过程中，是否存在某一时刻，使得平行四边形的一边落在的某边上？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②存在，或2或3 【分析】（1）先利用含角的直角三角形的性质求出，进而得到，据此求出即可； （2）①根据，求出，则，利用勾股定理分别求出，，进而求出，则；②分图2-1，2-2，2-3三种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∵P从C出发以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，Q从A出发以每秒8个单位长度的速度向终点B运动， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：①∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵点D为中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； ②如图2-1所示，当落在上时，则， ∴， ∴此时点D与点M重合， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）；    如图2-2所示，当落在上时，延长到H使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得；    如图2-3所示，当点Q运动到点B时，此时在上， ∴； 综上所述，t的值为或2或3．    【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 2．如图，在中，，，过点A作，且点D在点A的右侧，点P，Q分别是射线，射线上的一点，点E是线段上的点，且，设，为y，则．当点Q为中点时，． (1)求，的长度； (2)若，求的长； (3)请问是否存在x的值，使得以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或12 【分析】（1）根据题意，由可列方程并求解，可得，进而得到CE、CQ的长，再由求QE的长度即可；由点Q为中点，可知，可计算BC的长； （2）过点A作于点M，PE交AC于点N，由等腰三角形的性质可知，再证明四边形AMEP为平行四边形，推导，由列方程并求解，可依次求得AP、CQ的长度，由计算BQ的长度即可； （3）分两种情况讨论：当点Q、E在线段BC上时以及当点Q、E在线段CB的延长线上时，根据平行四边形的性质可知，根据题意分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：如下图，由题意可知，，即， 解得，即， ∴，， ∴， ∵点Q为中点， ∴； （2）如下图，过点A作于点M，PE交AC于点N， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形AMEP为平行四边形， ∴， ∵， 由可知，， 解得，即， ∴， ∴； （3）存在，理由如下： ①如下图，当点Q、E在线段BC上时，若以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形， 则， ∵， ∴， ∴， 解得； ②如下图，当点Q、E在线段CB的延长线上时，若以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形， 则， ∵， ∴， ∴， 解得． 综上所述，当以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形时，或12． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题关键是用方程的思想解决问题． 3．如图，在四边形中，，，，，，动点N从点D出发，以每秒的速度在射线上运动到C点返回，动点M从点A出发，在线段上，以每秒的速度向点B运动，点M，N分别从点A，D同时出发．当点M运动到点B时，点N随之停止运动，设运动时间为t（秒）． （1）当t为何值时，四边形是平行四边形． （2）是否存在点N，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5秒或秒；（2）存在，秒或秒或秒 【分析】（1）由题意已知，AB∥CD，要使四边形MNBC是平行四边形，则只需要让BM=CN即可，因为M、N点的速度已知，AB、CD的长度已知，要求时间，用时间=路程÷速度，即可求出时间； （2）使△BMN是等腰三角形，可分三种情况，即BM=BN、NM=NB、MN=MB；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t． 【详解】解：（1）设运动时间为t秒． ∵四边形MNCB是平行四边形， ∴MB=NC， 当N从D运动到C时， ∵BC=13cm，CD=21cm， ∴BM=AB-AM=16-t，CN=21-2t， ∴16-t=21-2t， 解得t=5， 当N从C运动到D时， ∵BM=AB-AM=16-t， CN=2t-21 ∴16-t=2t-21， 解得t=， ∴当t=5秒或秒时，四边形MNCB是平行四边形； （2）△NMB是等腰三角形有三种情况， Ⅰ．当NM=NB时， 作NH⊥AB于H，则HM=HB， 当N从D运动到C时， ∵MH=HB=BM=（16-t）， 由AH=DN得2t＝(16−t)+t， 解得t＝秒； 当点N从C向D运动时，观察图象可知，只有由题意：42-2t=（16-t）+t， 解得t=秒． Ⅱ．当MN=MB，当N从D运动到C时， MH=AH-AM=DN-AM=2t-t=t，BM=16-t， ∵MN2=t2+122， ∴（16-t）2=122+t2， 解得t＝（秒）； Ⅲ．当BM=BN，当N从C运动到D时， 则BH=AB-AH=AB-DN=16-2t， ∵BM2=BN2=NH2+BH2=122+（16-2t）2， ∴（16-t）2=122+（16-2t）2， 即3t2-32t+144=0， ∵△＜0， ∴方程无实根， 综上可知，当t=秒或秒或秒时，△BMN是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴于，且面积为． （1）求点的坐标及直线的解析式． （2）如图1设点为线段中点，点为轴上一动点，连接，以为边向右侧作以为直角顶点的等腰，在点运动过程中，当点落在直线上时，求点的坐标． （3）如图2，若为线段上一点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），直线的解析式为．（2）坐标为或．（3）存在，满足条件的点的坐标为或或． 【分析】（1）利用三角形的面积公式求出点C坐标，再利用待定系数法即可解答； （2）分两种情况：①当时，如图，点落在上时，过作直线平行于轴，过点，作该直线的垂线，垂足分别为，，求出点；②当时，如图，同法可得，再将解代入直线解析式求出n值即可解答； （3）利用三角形面积公式求出点M的坐标，求出直线AM的解析式，作BE∥OC交直线于，此时，当时，可得四边形，四边形是平行四边形，可得，，再根据对称性可得即可解答． 【详解】（1）直线与轴交于点，与轴交于点， ，， ，， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 则有， ， 直线的解析式为． （2），，， ，设， ①当时，如图，点落在上时，过作直线平行于轴，过点，作该直线的垂线，垂足分别为，． 是等腰直角三角形，易证， ，， ， 点在直线， ， ， ． ②当时，如图，同法可得， 点在直线上， ， ， ． 综上所述，满足条件的点坐标为或． （3）如图，设， ， ， ， ， ， 直线的解析式为， 作交直线于，此时， 当时，可得四边形，四边形是平行四边形， 可得，， 当点在第三象限，由BC=DE，根据对称性知，点D关于点A对称的点也符合条件， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题考查三角形的面积、待定系数法求直线解析式、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，是一次函数与几何图形的综合题，解答的关键是理解题意，认真分析，结合图形，寻找相关联的信息，利用待定系数法、数形结合等解题方法进行推理、计算． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒 个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）． (1)当t=3时，求PD的长？ (2)当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的一半？ (3)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)4 (2)当 时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半 (3)存在t的值，当t＝2.4时，使四边形PDBQ为平行四边形 【分析】（1）由题意得，AD=5，AP=3，由勾股定理即可求得PD的长；（2）∠C=90°，BC=8，AC=6，得S△ABC=，因为S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD=S△ABC，根据等量关系列出方程即可求得t的值；（3）由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD，可知当BQ=PD时，四边形BQPD为平行四边形，可列 t＝8﹣2t，解方程即可． 【详解】（1）解：当t=3时，AD=5，AP=3， ， ； （2）解：∵由题意可得：CQ＝2t，AP＝t， ， ∴BQ＝8﹣2t，CP＝8﹣t， 又∵PD⊥AC， ， ∵∠C=90°，BC=8，AC=6， 得S△ABC=， ∵S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD= S△ABC， ∴ ， 解得 ， （不合题意，应舍去）， ∴当 时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半； （3）解：存在 ， 由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD， 若BQ与PD相等，则四边形BQPD为平行四边形， 即： t＝8﹣2t 解得t＝2.4． 答：存在t的值，当t＝2.4时，使四边形PDBQ为平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定、勾股定理、动点问题的求解，根据转化思想列面积等式等知识方法，正确用t的代数式表示线段的长度是解题的关键． 拓展训练四：平行四边形常考的模型问题 1．如图，在中，已知，，，的平分线交于点，点从点开始，沿射线运动． (1)计算的长度； (2)点运动到何处时与点的距离最小，并求出最小距离； (3)点在运动过程中，的最小值是 ． 【答案】(1)； (2)过作于，此时点与点的距离最小，最小距离是； (3)． 【分析】（1）过作于，求出，求出、，即可求出答案； （2）过作于，此时点与点的距离最小，求出，根据含度角的直角三角形性质求出即可； （3）作关于的对称点，连接，交直线于，交于，则此时的值最小，且等于长，求出，即可求出的值，得出答案即可． 【详解】（1）解：过作于， ，平分， ， 四边形是平行四边形， ， ∴， ， 在中，，由勾股定理得：， ，， ； （2）解：过作于，此时点与点的距离最小， 则， ，， ， 即最小距离是； （3）解：作关于的对称点，连接，交直线于，交于，则此时的值最小，且等于长， 由（2）知：， ， ， ，平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 即， ， ，， 在中，，，， ，， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、含的直角三角形的特征、勾股定理解直角三角形、轴对称的性质，解题关键是熟练掌握含的直角三角形的特征． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点 ，与直线交于点点到轴的距离为，直线交轴于点 ． (1)求直线的函数表达式； (2)如图，点为线段上一点，将沿折叠后，点恰好落在 边上，求点坐标； (3)如图，将绕点逆时针方向旋转，得到，使点与点对应，点与点对应， 将沿着直线平移，点为直线上的动点，是否存在以为顶点的平行四边形？ 若存在，请直接写出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)点M的坐标为或或 【分析】（1）由题意求得点C的坐标，由直角三角形的性质可求得点A 的坐标，由待定系数法即可求得直线的解析式； （2）由直线的表达式可求得点B的坐标，则由勾股定理逆定理可判定，易得，由折叠的性质及即可求得点P的坐标； （3）易得点G的坐标，得点G所在直线解析式，设点M、点G的坐标，利用平行四边形的对角线互相平分性质、中点坐标公式及分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，点的纵坐标为，点在直线 上， 把代入得，， 解得， ∴，， ∵轴，，， ∴， ， 由勾股定理得, ∴， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴直线 的函数表达式为； （2）解：直线 的表达式为: ， 当 时，，则点 ， ， ，， ， ， ， 沿 折叠后,点 恰好落在 边上， ， ， ； 令 ，则 ， 根据 得：， 解得：， 故点 的坐标为 ； （3）解：由旋转性质知，，则， ∴关于x轴对称，且G与C关于x轴对称， ∴； ∵沿着直线平移， ∴点G在平行于直线的直线（记为）上运动； 设解析式为，把点G坐标代入得：， 得：， 即：； 当点G在上运动时，设其坐标为；设； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得：， ∴， 则； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得：， ∴， 则； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得：， ∴， 则； 综上，点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，平行四边形的性质，平移、旋转及轴对称三大变换的性质，等腰三角形的判定，含30度直角三角形性质，勾股定理及逆定理等知识，涉及的知识点较多，综合性强，分类讨论． 3．已知：如图，的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)将沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交，于点，． （ⅰ）求证：； （ⅱ）连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析 【分析】（1）由平行四边形性质证明，那么，再根据对边平行即可求证； （2）（i）延长，交于点T，由平行得到，再根据折叠的性质以及平行四边形的性质证明，即可证明； （ii）过点作，交于点， 证明四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴， 又∵， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：（i）由（1）得， 延长，交于点T， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠知：， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （ii）过点作，交于点，如图所示： ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是把握折叠的不变性． 4．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形． (2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长． (3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． （3）解：①当时，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴； ②当时，如图，设与交于点，作， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质，是解题的关键． 5．已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段上．将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处． (1)求的长及点A，点B的坐标； (2)求的长度； (3)点N在第二象限，若是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标； (4)取的中点M，点P在y轴上，若点Q在直线上，如果存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)或或 【分析】（1）首先由直线，计算即可得出点A，B的坐标；；将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处，则，即可求解； （2）设，则，在中，利用勾股定理列方程可得答案； （3）当为直角边时，证明，则，，即可求解；当为直角边时， 同理可解； （4）求得，，设，，分当是对角线、是对角线、是对角线时，利用中点坐标公式即可求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：对于直线，令，则， 令，则， ∴； 由勾股定理得，， ∵将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处， ∴，， ∴； （2）解：∵，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴； （3）解：当为直角边时，如下图：过点N作轴于点M，连接， ∵为等腰直角三角形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 点； 如图，当为直角边时， 同理可得：点； 综上，或； （4）解：∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， 设，， 当是对角线时，则有， 解得，， ∴； 当是对角线时，则有， 解得，， ∴； 当是对角线时，则有， 解得，， ∴； 综上，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，折叠性质、坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键熟练掌握相关知识的联系与运用，同时注意分类讨论思想的运用． 拓展训练五：三角形的中位线压轴 1．如图，在中，，点D是的一点，延长至点E，使得，过点E作于点F，G为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．分别延长交于，延长交于点，先证明，再证明是的中位线，可得，可得再证明，可得，再求解即可． 【详解】解：如图，分别延长交于，延长交于点， ， ， ， G为的中点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：B 2．如图，四边形中.为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】根据勾股定理得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，如图：连接并延长交于G，根据全等三角形的性质得到，求得，再根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， 如图：连接并延长交于G ∵ ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是BD的中点， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，根据题意正确的作出辅助线是解题的关键． 3．如图，在中，为斜边的中点，点在边上，将沿折叠至．若点在线段上，，，则的长为 ． 【答案】9 【分析】取中点，连接，得是的中位线，，折叠的性质可得，，依据，得到，进而求得，设，，则，得出，在中，根据勾股定理得：，根据，得出，在中，根据勾股定理得：，得出，证明，得出，在中，根据勾股定理得：，即，整理得：，得出方程，利用平方根定义，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：如图，取中点，连接， ∵为斜边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∵为斜边的中点， ∴， ∴， 即， ∴， 设，，则， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∵为斜边的中点， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 整理得：， ∵， ∴设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 整理得：， ∴， ， ， 开平方得：， 解得：或（舍去）， ∴． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 4．如图，中，，，，在边上取点使，点为射线上任意一点，以，为邻边作平行四边形，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，，与交于点，取的中点，的中点，作射线，过点作，垂足为，根据平行四边形的性质可知点在射线上，当取得最小值时，取得最小值，即当点与点重合时，取得最小值，此时，设，则，根据勾股定理，求出的值，再进一步求出的长，在中，根据勾股定理求出的长，进一步可得的最小值． 【详解】连接，，与交于点，取的中点，的中点，作射线，过点作，垂足为，如图所示： 在平行四边形中，，， 点为射线上任意一点， 点在射线上， 当取得最小值时，取得最小值， 即当点与点重合时，取得最小值， 此时， ，，， 设， 则， 根据勾股定理，得， 解得， ， 为的中点，为的中点， 为的中位线，， ， ， ， ， ， ， ，，， 根据勾股定理，得， ， ， 在中，根据勾股定理，得， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，本题综合性较强，找出点的运动轨迹是解题的关键． 5．【三角形中位线定理】：如图1，是的中位线，则， 【活动一】：证明定理：添加辅助线：如图1，在中，延长（、分别是、的中点）到点，使得，连接，请你补充完整证明过程． 【活动二】：应用定理：如图2，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． 【活动三】深入定理：如图3，在四边形中，，，为的中点，、别为边上的点，若，，，求的长． 【答案】活动一：见解析 活动二：详见解析 活动三： 【分析】活动一：证明，得出，，结合题意得出，再证明四边形为平行四边形，即可得解； 活动二：由中位线定理可得，，，， 结合，得出，即可得证； 活动三：过点向上作的平行线，连接，延长，过作延长线的垂线，垂足为，连接，由题意可得，，，证明，得出，，证明是中垂线，得出，求出的长即可得解． 【详解】活动一 ：解：∵是的中点， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，； 活动二：解：∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ， ， 活动三：解：过点向上作的平行线，连接，延长，过作延长线的垂线，垂足为，连接， ∵是的中点，， ∴，，， ∴， ∴，， ， ∴是中垂线， ， ， ∴，， ∵，， ∴，， ， ∴，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 1．若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”， 第一步应是假设， 故选：A． 2．如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点G B．点H C．点I D．点J 【答案】C 【分析】本题考查中心对称，关键是掌握中心对称的性质． 关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，由此即可解决问题． 【详解】解： ∵与关于某点成中心对称， ∴对应点B和E的连线与对应点C和F的连线的交点I是对称中心． 故选：C． 3．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和为是关键．直接利用多边形的外角和为即可得出答案． 【详解】解：多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．如图，为的对角线上一点，过点作，的平行线，分别交，，，于四点，连结．若的面积为，则的面积为（　　） A．5 B．2.5 C．2.4 D．1.25 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，再证出四边形、四边形、四边形和四边形都是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，，，则，由此即可得． 【详解】解： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形、四边形、四边形和四边形都是平行四边形， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为， 故选：B． 5．如图，在平行四边形中，点将对角线分成两段，且，连接，并延长至点，使得，连接．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．连接，过点作交于点G，连接，证明，则，证明四边形和是平行四边形，可设，则，，得到,即可得到答案． 【详解】解：连接，过点作交于点G，连接， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴是平行四边形， ∴ ∵， ∴可设，则， ∴， ∴, ∴， 故选：A 6．如图，，分别是的边，的中点，将线段沿方向平移得到线段，若，则的长是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，线段中点的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 利用平移的性质得出四边形为平行四边形，然后利用平行四边形的性质和线段中点的性质即可求解． 【详解】解：由平移的性质可得，， ∴四边形为平行四边形， ， ∵点是的边的中点， ， 故答案为：12． 7．如图，是的边的中点，平分，于点，延长交于点，已知，，，则的周长为 ． 【答案】41 【分析】本题考查的是三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，证明，得到，，根据三角形中位线定理求出，计算即可，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：平分，， ， 在和中， ， ， ，， 是的边的中点， 是的中位线， ， 的周长， 故答案为：41． 8．如图，在平行四边形中，，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，F恰好为的中点，则 ，与平行四边形重叠部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质和折叠的性质可证明，则，再根据线段中点的定义可得，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可证明，利用勾股定理求出，再根据重叠部分的面积为的面积，即面积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∵F恰好为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴与平行四边形重叠部分的面积为， 故答案为：；． 9．如图，是由，，，无缝拼接而成，，，则四边形的面积为 ． 【答案】/17.5 【分析】本题主要考查四边形面积公式和比值的应用，设点A、点B到线段的距离分别为和，根据已知面积和四边形面积公式求得和，进一步求得，则，设，，则，，，结合求得，则即可求得． 【详解】解：设点A、点B到线段的距离分别为和， ∵，， ∴，则， ∵，， ∴，则， ∴，则， 那么，， 设，，则，， ∵， ∴， 则 ， 故答案为：． 10．如图，梯形中，，E、F分别是下底边和上底边的中点．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查斜边上的中线，平行四边形的判定和性质，过点分别作，易得四边形均为平行四边形，为直角三角形，点为的中点，根据平行四边形的性质，结合斜边上的中线的性质，得到，即可得出结果． 【详解】解：过点分别作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形均为平行四边形， ∴， ∵E、F分别是下底边和上底边的中点， ∴， ∴，即：， ∴为的中线， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 11．如图，在中，点，分别在，的延长线上，且．连结，交于点，连结． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四变形的判定方法和性质，是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，得到，进而推出，即可得证； （2）根据平行四边形的性质，结合三角形的内角和定理以及对顶角相等，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点，分别在，的延长线上，且， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 12．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别为，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解答过程 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定的定理，直角三角形点的斜边中线定理，再结合点，分别为，的中点，可求得，则可证得四边形为平行四边形； （2）根据勾股定理求出，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，， 点，分别为，的中点， ， 四边形为平行四边形； （2）解：， ， ， ， 点为的中点， ． 13．图1、图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）． (1)在图1中作一个以为腰的等腰． (2)在图2中以为边画一个平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了等腰三角形和平行四边形的定义，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据等腰三角形的定义求解即可； （2）根据平行四边形的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，等腰即为所求； （2）解：如图所示，平行四边形即为所求； 14．如图1，在平面直角坐标系中，点，．平移至（点与点对应，点与点对应），连接． (1)点的坐标为______； (2)点，分别是，边上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．当，分别在，上运动时，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图，三角形是等腰直角三角形，为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，试猜想，，三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)存在最小值，的最小值为； (3)，理由见解析． 【分析】（）根据点平移到点的方式与点平移到点的方式相同，只需要求出点平移到点的方式即可求出点的坐标； （）连接，由中位线定理可得，，当取得最小值时，即时，的值最小，然后通过勾股定理和等面积法即可求解； （）连接，由三角形是等腰直角三角形和三角形是等腰直角三角形得，证明，然后通过全等三角形的性质和勾股定理即可求证． 【详解】（1）解：∵点与点对应，点与点对应，点， ∴向右平移个单位，再向上平移个单位得， ∴向右平移个单位，再向上平移个单位得， 故答案为：； （2）解：存在最小值，的最小值为，理由： 连接，过作轴于点，如图， ∵，分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴取得最小值时，即时，的值最小， 由（）知：， ∴当时，， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：，，三者之间有怎样的数量关系为：，理由： 连接，如图， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形变化—平移，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 15．如图1，在中，，，．是线段上的动点，是射线上的动点，且．设． (1)当在线段上时，用含的代数式表示线段的长． (2)如图2，是的中点，以，为邻边构造． ①当点与点重合时，连结，求的长． ②当点落在的边上时，求的长． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据勾股定理得，由已知得，再代入即可； （2）①根据平行四边形的性质得，，进一步推出，证明四边形是平行四边形，得，继而得到，代入计算即可； ②分两种情况：当点在边上时，当点在边上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即线段的长为； （2）①∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵与重合，， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点在边上时， 延长至点，使，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在边上时， 延长至点，使，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查勾股定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$