湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

试卷第1页，共 4 页 明德中学 2025 年上学期期末考试 高一年级数学试卷 2025 年 7 月 时量：120 分钟 满分：150 分 命题：高一数学备课组 审定：高一数学备课组 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求. 1．复数 5 2 i = − + （ ） A．2 i+ B． 2 i− + C． 2 i− − D．2 i− 2.下列命题是假命题的为( ) A.若𝑎𝑐2 > 𝑏𝑐2，则𝑎 > 𝑏; B.若𝑎 > 𝑏且 1 𝑎 > 1 𝑏 ,则𝑎𝑏 < 0; C. 若𝑎 > 𝑏 > 0且𝑐 < 0则 𝑐 𝑎2 > 𝑐 𝑏2 ; D.若𝑎 > 𝑏 > 0 > 𝑐 > 𝑑，则𝑎𝑏 > 𝑐𝑑. 3．已知 为锐角， π 1 cos 6 3    + =    ，则 π sin 2 3    + =    （ ） A． 4 9 B． 4 9 − C． 4 2 9 D． 4 2 9 − 4．已知函数 ( ) lg sinf x x x= − ，则 ( )f x 在 (0, )+ 上的零点有（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．无数个 5．若将函数 ( ) sin2 3cos2f x x x= + 的图象向右平移 π 12 个单位长度后，得到函数 ( )g x 的图 象，则 π 3 g   =    （ ） A． 3 2 B． 3 C．1 D．2 6．甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分 别为 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的 概率为（ ） A． 1 4 B． 7 24 C． 11 24 D． 17 24 7．在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D− 中，P为棱 1AA 的中点，则点 B到直线 1C P的距离 为（ ） A．2 B． 3 C． 2 D．1 8．一个正四棱台的上底面边长为 1，下底面边长为 2，若一个球与该正四棱台的各面均相切， 则该球的体积为（ ） A．2π B． 2 2 π 3 C． 2 π 3 D． 2 6 π 试卷第2页，共 4 页 二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合 题目要求.全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分. 9．下列说法正确的是（ ） A．某人掷骰子 1 次，“掷出 5”与“掷出 6”是互斥事件 B．甲、乙、丙三种个体按1: 2 :3的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为 3，则抽取的 丙个体数为 9 C．数据4 ，3， 4 ，6 ，8，7 ，8，9的60%分位数是 8 D．数据 1a ， 2a ， 3a ，…， na 的方差为 2s ，则数据 13a ， 23a ， 33a ，…，3 na 的方差为 29s 10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．若对空间中任意一点O，有 1 1 1 2 3 4 OP OA OB OC= + + ，则 P、A 、 B、C四点共面 B．已知两个向量 ( )1, ,3a m= ， ( )5, 1,b n= − ，且 //a b，则 3= −mn C．若a b⊥ ，且 ( )1 1 1, ,a x y z= ， ( )2 2 2, ,b x y z= ，则 1 2 1 2 1 2 0x x y y z z+ + = D． ( )0,1,1a = ， ( )0, 0, 1b = − ，则a在b上的投影向量为 1 1 0, , 2 2   − −    11．如图，矩形 ABCD中， 2, 1,AB AD E= = 为 AB的中点，将 ADE沿DE翻折成 1ADE△ ， 得到四棱锥 1A BCDE− ，点M 在线段 1AC上，则（ ） A． 1DE AC⊥ B．存在M ，使 / /BM 平面 1ADE C．不存在M ，使BM ⊥平面 1ADC D．当四棱锥 1A BCDE− 的体积最大时，点D到平面 1A BE的距离是 6 3 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 12．已知 :p x a 是 :1 3q x  的必要不充分条件，则实数 a的取值范围是 ． 13．连续抛掷一颗质地均匀的正方体骰子两次（正方体六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6 ）， 试卷第3页，共 4 页 记录抛掷结果向上的点数 .设事件 A ：第一次点数为 1，事件 B ：两次点数之和为 ( )*, 2 12t t t  N ，若事件A 与事件 B互斥，则 t的最小值为 ；若事件A 与事件 B相 互独立，则 t的值为 . 14．已知函数 ( ) 3f x x= ，若 ( ) ( )1 2 2f x f x− = ，则 1 2x x− 的最大值为 . 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13 分） 已知在 ABC中，角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，若sin sin 2C B= ， 3b = ， 4c = ， 且a b . (1)求 tan B的值； (2)求 a的值； 16.（15 分） DeepSeek 是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校 学生在某日使用DeepSeek 的时间（单位：小时），整理数据后，得到如图所示的频率分布直 方图. (1)求 a的值，并估计该校学生当日使用DeepSeek 的时间的平均值（同一组中的数据用 该组区间的中点值为代表）； (2)若使用时间不小于 2 小时的用户称为“ DeepSeek 资深用户”，其中使用时间在 )2,2.5 内的用户称为“青铜用户”，使用时间在  )2.5,3 内的用户称为“铂金用户”.为了进一步了解 DeepSeek 对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“ DeepSeek 资深用户”中 抽取了 6 名学生进行问卷调查，并从这 6 名学生中随机选择 2 名学生进行访谈，求这 2 名学 生中恰好有一名是“青铜用户”的概率. 试卷第4页，共 4 页 17.（15 分） 如图，直角梯形 ABCD中， / /BC AD， AB AD⊥ ， 8BC = ， 9AD = ， 2 3AB = ，点E为 线段 BC不在端点上的一点，过 E作 AB的平行线交 AD于 F ，将矩形 ABEF翻折至与梯形 ECDF垂直，得到六面体 ABCDEF． (1)若CF BD⊥ ，求 BE的长； (2)求异面直线BC与 AD所成角余弦值的最小值． 18．（17 分） 已知 ( ) ( ) exf x g x+ = ，其中 ( )f x 为奇函数， ( )g x 为偶函数． (1)求 ( )f x 的解析式并指出 ( )f x 的单调性（无需证明）； (2)若对于任意的实数 0x  ，都有 ( ) ( )2 3f x mx f m− +  成立，求实数m的取值范围； (3)若对于任意的实数  )1 0,x  + ，总存在实数  2 1,3x  ，使得 ( ) ( ) 2 1 1 24 2 1g x f x nx−  +   成立，求实数n的取值范围． 19．（17 分） 如图，三棱锥P ABC− 的体积为 2 3 ，二面角P BC A− − 为锐角，D为BC的中点，平面 PAD ⊥平面 ABC， , 2 2, 5PB PC BC PD AD= = = = . (1)证明： ⊥BC 平面PAD； (2)求二面角P BC A− − 的正弦值； (3)若 ,Q R分别是直线 ,AB AC上一点，且 / /BC 平面PQR，记平面PBC 平面PQR l= ， l与CQ所成角的正弦值为 5 3 ，求 AQ BQ 的值. 高一数学期末考试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B C C A C ABD BC 题号 11 答案 BCD 1．C 【详解】.故选：C. 2.D 对于A;由，可知，所以，故A正确; 对于B;由可得，因为，所以，故B正确; 对于C;由可得，,又因为c<0,所以，故C正确; 对于D;，则.故D错误;故选:D. 3．C 【详解】因为为锐角，即，则， 又，则，且， 所以．故选：C． 4．B 【详解】求函数在上的零点个数，即求函数的图象与函数的图象在上的交点的个数．如图所示，显然函数的图象与函数的图象在上的交点的个数为3． 5．C 【详解】， 将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象， 所以.故选：C 6．C 【详解】记甲、乙、丙获得一等奖分别为事件，，，则，，， 则，，， 则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为 .故选:C. 7．A 【详解】 如图，因P为棱的中点，则， 由余弦定理，， 则， 设点B到直线的距离为，则， 解得.故选：A. 8．B 【详解】如图所示，作出正四棱台的过切点的轴截面，可知这个等腰梯形的内切圆就是内切球的截面圆中最大的圆， 因为正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2， 且球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，所以， 设球的半径为，在直角中，可得， 又由切线长定理可得，所以， 故球的体积为． 故选：B.    9．ABD 【详解】对于A，由 “掷出5”与“掷出6”不可能同时发生，得它们为互斥事件，A正确； 对于B，设抽取的丙个体数为，由，解得，B正确； 对于C，数据,,,,,,,从小到大排列为：,,,,,,,， 由，得该组数据的分位数是，C错误； 对于D，数据,,,…,的方差为，则数据,,,…,的方差为，D正确. 故选：ABD 10．BC 【详解】对于A选项，若、、、四点共面，则存在、，使得， 即， 所以，，且， 因为对空间中任意一点，有，且， 故、、、四点不共面，A错； 对于B选项，已知两个向量，，且， 设，即，则，解得，故，B对； 对于C选项，若，且，，则，C对； 对于D选项，若，，则在上的投影向量为 ，D错.故选：BC. 11．BCD 【详解】 对于A，假设，如图取中点，连接， 因为，则，又平面， 则平面，因为平面，则， 在中，又，显然不成立， 所以不可能有，故A错误； 对于B，如图，存在为中点时，取中点，连接， 因为为的中点，所以，又平面平面， 所以平面，又，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 又平面，所以平面，故B正确； 对于C，假设存在点，使得平面成立，因为平面，所以， 又因为且平面，所以平面， 又因为平面，那么，又因为，则直角边大于斜边， 显然矛盾，所以不存在，使平面，故C正确； 对于D，因为 是腰为1的等腰直角三角形，则到的距离是， 当平面平面时，因，平面，平面平面， 故平面，此时四棱锥体积最大. 因，由余弦定理，， 解得，所以，又， 所以，， 设点到平面的距离，则由可得， 则，故D正确． 12． 【详解】因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集，所以，故答案为：. 13． 8 7 【详解】因为事件与事件互斥，所以它们不能同时发生，所以两次点数之和为至少为8，才能保证第一次点数不为1，所以的最小值为8； 因为事件与事件相互独立，所以，当时，第一次点数不可能为1，此时，当时，，又，所以， 又时，对应概率分别为，所以的值为7. 14．2 【详解】因为为增函数，不妨设， 则，即， 变形得. 若异号，则， 即， 解得，当且仅当时，等号成立. 若同号或中有一个为0，则，解得. 综上，的最大值为2. 15．(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：，所以， 所以，故. （2）由余弦定理可得：， 所以，解得：或，因为，所以. 16．(1)，平均值为1.73； (2). 【详解】（1）因为，所以. 平均值：.    （2）抽取的6名学生中，“青铜用户”选4名，记为，“铂金用户”选2名，记为， 样本空间， 设事件“这2名学生中恰好有一名是“青铜用户””，则. 因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型. 所以. 17．(1)5 (2) 【详解】（1）连接，平面平面，交线为， 由，有平面，又平面，所以, 当，，所以平面， 又平面，所以， 此时与相似，故， 设，由，解得，所以. （2）过作的平行线交于点，连接， 由，且， 得四边形是平行四边形，故， 所以即为异面直线与所成的角， 设， ， 所以锐角正切值的最大值为，此时余弦值有最小值， 所以异面直线与所成角余弦值的最小值为. 18．(1)，在上单调递增 (2) (3) 【详解】（1）因为①，为奇函数，为偶函数， 则，即②， 联立①②，得，， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上单调递增. （2）由（1）得单调递增， 因为，所以， 整理得对于任意的成立，则， 令，则， 当且仅当时，即时取等号，所以. （3）由（1）知，，， 则 ， 令，则， 则原题目转化为存在，使得成立， 当，成立，当时，，综上，. 19．(1)证明见解析 (2) (3)或 【详解】（1）如图，过点作于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为，为的中点，所以， 又因为，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面，所以， 又因为，所以为二面角的平面角， 由三棱锥的体积， 解得，在中，， 所以二面角的正弦值为； （3）因为平面，平面，平面平面， 所以，故与所成的角即与所成的角，易知， 依题意，不可能为钝角，所以有， ①当点在线段上时，如图所示， 因为， 所以 ， 在中，由正弦定理得， 解得，所以； ②当点在线段的延长线上时，如图所示 则， 在中，由正弦定理得， 解得，所以. 综上，或 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$