数轴上的动点问题（一） 2024-2025学年北师大版数学七年级上册

初中数学【综能】--七年级【秋季】 第2讲 数轴上的动点问题（一） 一、数轴 （1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （2）有理数和无理数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上任意一点都表示一个有理数或无理数. （3）数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. （4）正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. （5）正方向上，离原点越远，数越大；负方向上，离原点越近，数越大（负数数字越大，结果反而越小） 注：数轴从负方向向正方向，数值逐渐增大。 （6）数轴上两点距离：数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b|。 二、距离与中点： （1）求A、B两点间的距离：若能确定左右位置：右—左；若无法确定左右位置：； （2）求A、B的中点：； 三、数轴动点问题主要步骤： （1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； （2）写点——根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； （3）表示距离——根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，右-左，若无法判定两点的左右需加绝对值； （4）列式求解——最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（注意：要检验解是否符合动点的运动时间范围）。 注意：要注意动点是否会来回往返运动。 解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。 跳动 折叠 相遇 中点 相距 【例题1】 ①一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（ ） A．159 B．-156 C．158 D．1 【答案】A 【分析】根据数轴，按题目叙述的移动方法即可得到点前五次移动后在数轴上表示的数；根据移动的规律即可得移动第158次后到达的点在数轴上表示的数． 【详解】解：设向右为正，向左为负，则 表示的数为+1， 表示的数为+3 表示的数为0， 表示的数为-4， 表示的数为+1…… 由以上规律可得，每移动四次相当于向左移动4个单位长度．所以当移动156次时，156=39×4相当于向左移动了39次四个单位长度．此时表示的数为．则第157次向右移动157个单位长度，；第158次还是向右，移动了158个单位长度，所以． 故在数轴上表示的数为159．故选A． 【点睛】本题考查了数轴上点的运动规律，正确理解题意，找出点在数轴上的运动次数与对应点所表示的数的规律是解题的关键． ②如图，A点的初始位置在数轴上表示1的点上，先对A做如下移动：第一次向右移动3个单位长度到达点B，第二次从B点出发向左移动6个单位长度到达点C，第三次从C点出发向右移动9个单位长度到达点D，第四次从D点出发向左移动12个单位长度到达点E，……．以此类推，按照以上规律第（       ）次移动到的点到原点的距离为20. A．7 B．10 C．14 D．19 【答案】C 【分析】次数的序号为奇数的点在点A的右边，各点所表示的数依次增加3，序号为偶数的点在点A的左侧，各点所表示的数依次减少3，用n的代数式表示出一般规律，即可解答． 【详解】解：第1次点A向右移动3个单位长度至点B，则B表示的数，1+3=4； 第2次从点B向左移动6个单位长度至点C，则C表示的数为46=2； 第3次从点C向右移动9个单位长度至点D，则D表示的数为2+9=7； 第4次从点D向左移动12个单位长度至点E，则E表示的数为712=5； 第5次移动后表示的数为5+15=10；第6次移动后表示的数为1018=8；…； 当移动次数为奇数时，对应的数是4，7，10，…，第n次移动后表示的数是， 当时，解得，n=（不符合题意，舍去）．当移动次数为偶数时，对应的数是2，5，8，…， 第n次移动后表示的数是，当时，解得，n=14．故选：C． 【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给点的运动关系，探索出对应点所表示数的一般规律是解题的关键． 【练习1】 ①点P从数轴上表示－3的点开始连续移动：第一次先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度；第二次先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度；第三次先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度；……按此规律继续移动，则第n次移动后点P在数轴上表示的数为______________． 【答案】## 【分析】分析题意不难得出，第一次移动，实际上是向右移动1个单位长度，据此可求第n次移动后点P表示的数． 【详解】解：∵第一次先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度；则实际移动的长度为：-1+2=1， 第二次先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度；则实际移动的长度为：-2+3=1， 第三次先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度；则实际移动的长度为：-3+4=1，… ∴第n次移动后点P在数轴上表示的数为：-3+n=n-3．故答案为：n-3． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键明确每一次移动后，实际移动的长度为1个单位长度． ②现有动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度……以此类推，问点P经过________次移动后，距离原点的距离为8个单位。 【例题2】如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式： ，． （1）_____________，_________________; （2）若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合。 【练习2】 ①如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，， （1）_____________，_________________; （2）若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合； ②已知在纸面上有一数轴（如图）折叠纸面． （1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数_____表示的点重合； （2）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①13表示的点与数_____表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 【答案】（1）5；（2）①-17；②A点表示的数为-1013，B点表示的数为1009 【分析】（1）由表示1的点与表示-1的点重合，即可找出与表示-5的点重合的点表示的数； （2）①由表示1的点与表示-5的点重合，即可找出与表示13的点重合的点表示的数； ②设A点表示的数为x，则B点表示的数为x+2022，根据重合两点表示的数之和相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）∵表示1的点与表示-1的点重合， ∴与表示-5的点重合的点表示的数为1+（-1）-（-5）=5．故答案为：5． （2）①∵表示1的点与表示-5的点重合， ∴与表示13的点重合的点表示的数为1-5-13=-17．故答案为：-17． ②设A点表示的数为x，则B点表示的数为x+2022， 根据题意得：1-5=x+x+2022，解得：x=-1013，∴x+2022=1009． 答：A点表示的数为-1013，B点表示的数为1009． 【点睛】本题考查了数轴、折叠的性质以及一元一次方程的应用，根据折叠的性质找出重合两点表示的数之和相等是解题的关键． 【例题3】如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    （1）数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______用含的代数式表示； （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求：当点运动多少秒时，点与点相遇？ 【答案】(1)；． (2)当点运动秒时，点与点相遇． 【分析】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据题意得出各线段之间的等量关系是解题关键． （1）由题意知，，因为点在原点左边，从而得出数轴上点表示的数；动点从点出发沿数轴向左匀速运动，根据题意则得出点表示的数； （2）设点运动秒时追上点，根据题意列方程，解得值． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， 则， 又∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； 点P运动t秒的长度为， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：． （2）设点运动秒时追上点， 根据题意，得，         解得：，                        答：当点运动秒时，点与点相遇． 【练习3】如图，已知数轴上，，三个点表示的数分别是，，，且，若点沿数轴向右移动12个单位长度后到达点，且点，表示的数互为相反数． （1）的值为______，的值为______； （2）动点，分别同时从点，出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动，点以每秒个单位长度的速度向终点移动，点表示的数为． ①若点，在点处相遇，求的值； ②若点的运动速度是点的2倍，当点，相遇时，求此时的值． 【答案】(1)；； (2)①； 【分析】（1）由绝对值的意义，数轴的定义，相反数的定义进行计算，即可求出答案； （2）①利用行程问题，即可求出答案； ②根据题意，进行分类讨论：当P、Q在相遇之前距离为2时；当P、Q在相遇之后距离为2时；分别求出答案即可． 【详解】（1）解：根据题意，则 ∵， ∴， ∵点沿数轴向右移动12个单位长度后到达点，且点，表示的数互为相反数， ∴，解得：， ∴； 故答案为：，； （2）解：①根据题意，则 ，，， ∵点，在点处相遇， ∴运动的时间为：（秒）， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了数轴上表示的数，数轴上的动点问题，绝对值的意义，相反数的定义等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题． 【例题4】如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足． （1）______，______，______． （2）点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度．（注：点O为数轴原点） 【答案】(1)；1；7 (2)点Q的运动速度是每秒个单位长度或者每秒个单位长度 【分析】（1）本题主要考查了非负数的性质，根据有理数的特征、非负数的性质即可解答；掌握几个非负数的和为0，则每个非负数都为0成为解题的关键； （2）本题主要考查了数轴上的动点问题，先求出点Q表示的数是，进而得到，然后分当点P在和上两种情况解答即可；掌握数轴上的动点问题成为解题的关键． 【详解】（1）解：因为b是最小的正整数，所以． 因为，所以，． 故答案为；1；7． （2）解：因为点Q运动到的位置恰好是线段的中点， 所以点Q表示的数是，此时， 由，可分两种情况： ①当点P在上时，得， 此时； 所以点P运动的时间为， 所以点Q的运动速度； ②当点P在上时，得， 此时， 所以点P的运动时间是， 所以点Q的运动速度， 综上，点Q的运动速度是每秒个单位长度或者每秒个单位长度． 【练习4】如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数．    （1）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与______表示的点重合； （2）若点、点和点分别以每秒个单位、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动．若秒钟过后，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值。 【答案】(1)； (2) 或或； 【分析】（）求出的长度和中点，然后求出中点到点的距离即中点到点的重合点的距离，即可求得点的重合点； （）分别以为中点，列出方程求解即可；使的值为定值，列出等式中的含项合并为，从而求出的值． 【详解】（1）， ， ∴的中点表示的数为：， ∵， 点B的重合点为， 故答案为：； （2）解：由题意可知，秒时，点所在的数为：，点所在的数为：，点所在的数为：， （）若为中点， 则 ， 解得； （）若为中点， 则 ， 解得； （）若为中点， 则， 解得； 综上，当或或时，三点中恰有一点为另外两点的中点； 【例题5】如图1，已知线段，点C为线段上的一点，点D、E分别是和的中点． （1）若，则的长为______； （2）若，求的长； （3）动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度沿线段向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿线段向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少秒时P，Q之间的距离为6？ 【答案】(1)的长为12； (2)的长为12； (3)当或时，之间的距离为6； 【分析】（1）由，，则，由点D、E分别是和的中点，则，即可得到答案； （2）由，，则，由点D、E分别是和的中点，则，即可得到答案； （3）由，则或，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ， ∵点D、E分别是和的中点， ， ，即的长为12； （2）解：∵，， ， ∵点D、E分别是和的中点， ， ，即的长为12； （3）解：， 如图，   ， 如图，    ∴， 或， 解得：或， ∴当或时，之间的距离为6； 【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意画出图形，得出线段之间的关系式． 【练习5】已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．    （1）当点运动秒时，______，______，______； （2）当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； （3）经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ （4）当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)，，； (3)； (4)，，，． 【分析】（）根据题意求得时，点的位置，进而求得两点距离； （）先表示出点的位置表示的数，进而求得两点距离； （）根据题意，列一元一次方程，解方程求解即可； （）分点到达点之前，和点到达点之后，两种情形，根据两点距离为，建立一元一次方程解方程求解即可； 此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点距离问题，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． 【详解】（1）∵、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒， ∴时，点表示的数为， ∴当点运动秒时，，，， 故答案为：，，； （2）依题意，当点运动了秒时， 则，点表示的数为， ∴，， 故答案为：，，； （3）∵， ∴， 即或， 解得：， ∴点表示的数为； （4）根据题意，设经过秒后、两点之间的距离为个单位长度，点运动到点需要的时间为：（秒） 当点未到达点，    此时，，则点表示的数为，点表示的数为， 则， 即或， 解得：或， ∴点表示的数为或； 当点从点返回后，    此时，， 则点表示的数为，点表示的数为， 则， 即或， 解得或， ∴点表示的数为或， 综上所述，点表示的数为，，，． 随堂小测 1、下列关于有理数的说法正确的是（　　） A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类 B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合 C．0既不属于整数也不属于分数 D．整数和分数统称为有理数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的分类及定义，根据有理数的分类及定义逐项判断即可． 【详解】解：A、有理数可分为正有理数，0和负有理数，故本选项错误，不符合题意； B、正整数集合，0与负整数集合合在一起构成整数集合，故本选项错误，不符合题意； C、0是整数，但不是分数，故本选项错误，不符合题意； D、整数和分数统称为有理数，正确，符合题意； 故选：D． 2、一个有理数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是（    ） A．正数 B．零 C．负数 D．非正数 【答案】D 【分析】此题主要考查绝对值性质，明确正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数这一知识点，此题在此基础上判断正数、负数的绝对值即可． 【详解】解：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0也是它的相反数， 一个有理数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是负数和0，即非正数， 故选：D． 3、下列数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是数轴．根据数轴定义：规定了正方向、原点、单位长度的直线叫做数轴，我们一般规定，数轴向右为正方向，单位长度必须一致，依据以上标准判断即可． 【详解】解：A、不正确，错误原因：数轴单位长度不一致； B、正确； C、不正确，错误原因：缺少正方向； D、不正确，错误原因：缺少了原点． 故选：B． 4、有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴判断有理数的大小，根据点在数轴上的位置，以及数轴上的数右边比左边的大，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：； 故选C． 5、下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，掌握一个数的前面加上负号就是这个数的相反数成为解题的关键． 根据相反数的定义逐层去括号，然后判断即可解答． 【详解】解；A、，故A选项正确，符合题意； B、，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 6、有理数a，b在数轴上对应的点如图所示．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴的相关知识．根据原点左边的数小于0，原点右边的数大于0，离原点越远，绝对值越大来确定有理数a、b的符号和绝对值的大小即可得到答案． 【详解】解：根据数轴，可知， ∴，， ∴①正确， ②错误， ④正确． ∵ ∴ ∴③正确． 综上，①③④正确， 故选：B． 7、如图，一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是（　　）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据数轴上有理数的表示求解即可． 【详解】解：由数轴可知，墨迹盖住的整数有、、，共个， 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题关键． 8、在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2021次，蚂蚁最后在数轴上对应的数是（       ） A．1011 B． C．505 D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先得到前四次蚂蚁到达的位置，依此类推得到一般性规律，即可得到结果． 【详解】 解：蚂蚁第一次到达的位置为1， 蚂蚁第二次到达的位置为-1， 蚂蚁第三次到达的位置为2， 蚂蚁第四次到达的位置为-2， …… 依此类推，第2n-1次到达n， 第2n次到达-n， 故第2021次到达1011． 故选：A． 【点睛】 本题考查了数轴，数轴上两点间的距离，弄清题中的规律是解本题的关键． 9、如图，点A在数轴上对应的数为-3，点B对应的数为2，点P在数轴上对应的是整数，点P不与A、B重合，且PA+PB=5，则满足条件的P点对应的整数有（       ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】 【分析】 由图可知，到的距离恰好为，故点在点与点之间，找出与之间的整数即可． 【详解】 解：点表示的数是，点表示的数是，且， 点在线段上，不与、重合， 点对应的整数有，，，，共个． 故选：C． 【点睛】 本题考查了数轴的应用，熟练掌握数轴上两点间距离的计算方法是解题的关键． 10、如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、、满足 （1）________，________，________； （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与表示数________的点重合； （3）点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为则________，________，________用含的代数式表示 【答案】(1)，，(2)(3)，， 【分析】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． （1）根据非负数的性质即可得到结论；（2）先求出对称点，即可得出结果； （3）利用题意结合数轴表示出A、B、C三点表示的数，进而可得、、的长． 【详解】（1）， 解得：， 是最小的正整数，故答案为：，， （2）点A与点C的中点对应的数为： 点B到2的距离为1,所以与点B重合的是：故答案为：3 （3）点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动。 秒钟过后，点A表示为，点B表示为，点C表示为， ，，， 故答案为：，，． 课后作业 1、如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2022所对应的点重合的是 　 　． 【分析】因为圆沿着数轴向右滚动，依次与数轴上数字顺序重合的是A、D、C、B，且A点只与4的倍数点重合，即数轴上表示4n的点都与A点重合，表示4n+1的数都与D点重合，依此按序类推． 【解答】解：设数轴上的一个整数为x，由题意可知 当x＝4n时（n为整数），A点与x重合； 当x＝4n+1时（n为整数），D点与x重合； 当x＝4n+2时（n为整数），C点与x重合； 当x＝4n+3时（n为整数），B点与x重合； 而2022＝505×4+2，所以数轴上的2022所对应的点与圆周上字母C重合． 故答案为：C． 2、观察数轴，充分利用数形结合的思想．若点A，在数轴上分别表示数，，则A，两点的距离可表示为．根据以上信息回答下列问题：已知b=6，且与互为相反数，在数轴上，点是数轴原点，点A表示数，点表示数．设点在数轴上对应的数为． （1）由题可知：A，两点之间的距离是　 　． （2）若满足，求． （3）若动点从点A出发第一次向左运动1个单位长度，在此新位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度按照此规律不断地左右运动，当运动了1009次时，求出所对应的数． 【答案】(1)9(2)或(3) 【解析】 【分析】 （1）根据题意可得，，则AB=9； （2）对点M的位置进行分类讨论，并用m表示出MA和MB的长度，利用“MA+MB=12”列出方程即可求解； （3）根据题意得到点M每一次运动后所在的位置，然后由有理数的加法进行计算即可． （1）由多项式的次数是6可知，又与互为相反数，故．，两点之间的距离是，故答案为：9； （2）①当在A左侧时，∵，∴，解得：②在A和之间时，∵，点不存在；③点在点右侧时，∵，∵解得：综上所述，m的值为或． （3）依题意得：点对应的有理数为，故答案为：． 【点睛】 本题考查了数轴和一元一次方程的应用，解题关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 3、已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数，，，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒． （1）当时，点到点的距离 ______ ；此时点所表示的数为______ ； （2）当点运动到点时，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点到达点后也停止运动，则点出发秒时与点之间的距离 ______ ； （3）在（2）的条件下，当点到达点之前，请求出点移动几秒时恰好与点之间的距离为个单位？ 【答案】(1)， (2)3 (3)秒或秒 【分析】（1）利用线段的长点的移动速度点的移动时间，可求出的长；利用点表示的数点的移动速度点的移动时间，可求出点所表示的数； （2）由点，的出发点、移动方向、移动速度及移动时间，可求出点出发秒时点，表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出此时的长； （3）当点的移动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动， 当移动时间为秒时，； 又点表示有理数， 当移动时间为秒时，点表示的数为． 故答案为：，； （2）当点出发秒时，点表示的数为，点表示的数为， 此时． 故答案为：； （3）当点的移动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：在的条件下，当点到达点之前，点移动秒或秒时恰好与点之间的距离为个单位． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 4、如图，数轴上两点、对应的数分别是和8．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设的运动时间为秒 （1）、两点的距离为_______； （2）当运动到的中点时，求的值； （3）若一动点同时从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向匀速运动，当点到达点时，、两点都停止运动．在此过程中，当时，求的值． 【答案】（1）12 （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题以及一元一次方程的应用，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）首先求得的中点，再根据“时间距离速度”求解即可； （3）首先根据题意表示出点、表示的数以及运动时间的取值范围，再表示出的值，然后结合，分点在点右侧和点在点左侧两种情况分别列方程求解，即可获答案． 【小问1详解】 解：， 所以，、两点的距离为12． 故答案为：12； 【小问2详解】 的中点为：， 所以，， 即，当运动到的中点时，求的值为3； 【小问3详解】 根据题意，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，点同时从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向匀速运动，且当点到达点时，、两点都停止运动， 则点对应的数为：， 点对应的数为：， 运动时间， 当点在点左侧时，，， 若， 则有，解得； 当点在点右侧时，，， 若， 则有，解得，故不符合题意，舍去． 综上所述，当时，求的值为． 5、如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=22，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数　 　；点P表示的数　 　（用含t的代数式表示） （2）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是　 　． （3）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？ （4）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？ 【答案】(1)﹣14，8﹣5t；(2)11；(3)若点P、Q同时出发，2.5或3秒时P、Q之间的距离恰好等于2；(4)点P运动11秒时追上点Q． 【分析】（1）根据已知可得B点表示的数为8-22；点P表示的数为8-5t；（2）分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时两种情况求MN的长即可；（3）点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2，分①点P、Q相遇之前和②点P、Q相遇之后两种情况列方程求解即可；（4）点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，根据AC-BC=AB，列出方程求解即可． 【详解】(1)∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=22， ∴点B表示的数是8﹣22=﹣14， ∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒， ∴点P表示的数是8﹣5t． (2)①当点P在点A、B两点之间运动时： MN=MP+NP=AP+BP=（AP+BP）=AB=×22=11， ②当点P运动到点B的左侧时： MN=MP﹣NP=AP﹣BP=（AP﹣BP）=AB=11， ∴线段MN的长度不发生变化，其值为11． (3)若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况： ①点P、Q相遇之前， 由题意得3t+2+5t=22，解得t=2.5； ②点P、Q相遇之后， 由题意得3t﹣2+5t=22，解得t=3． 答：若点P、Q同时出发，2.5或3秒时P、Q之间的距离恰好等于2； (4)设点P运动x秒时，在点C处追上点Q， 则AC=5x，BC=3x， ∵AC﹣BC=AB， ∴5x﹣3x=22， 解得：x=11， ∴点P运动11秒时追上点Q． 【点睛】本题考查了数轴与一元一次方程的应用，根据题意画出图形是解决问题的关键，解题时注意分情况进行讨论，不要漏解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$