第09讲 实数（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

第09讲 实数 知识点1无理数的概念 知识点2：实数相关概念和性质 知识点3：近似数 定义：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【题型1：无理数的概念】 【典例1】在3.14159，4，1.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），4.21，，中，无理数有（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数的类型． 【详解】3.14159：有限小数，属于有理数． 4：整数，属于有理数． 1.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1）：无限不循环小数，符合无理数的定义． 4.21：有限小数，属于有理数． ：圆周率，是无限不循环小数，属于无理数． 综上，无理数有1.1010010001…和，共2个． 故选：B． 【变式1】在实数，0，，503，，0.101中，无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：是分数，属于有理数；0是整数，属于有理数；503是整数，属于有理数；0.101是小数，属于有理数；、属于无理数； 故无理数有个， 故选：A． 【变式2】下列四个数中是无理数的是（    ） A． B．17 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：是无理数， 17，7，是整数，属有理数． 故选A． 【变式3】下列实数、、、、、中，无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了无理数，先化简实数，再根据无理数的定义判断即可，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴实数、、、、、中，无理数有和，共个， 故选：． 【题型2：无理数的大小估算】 【典例2】估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．和0之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算出，从而得出，即可得解，正确估算无理数的值是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴的值应在1和2之间， 故选：B． 【变式1】已知整数m满足，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，根据夹逼法求出相应的取值范围即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴整数m的值为5． 故选：D． 【变式2】若自然数n满足，则n的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，估算出，从而可得的范围，即可得解，正确估算出的范围是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，即， ∴， 故选：B． 【题型3：无理数整数部分的有关计算】 【典例3】阅读与思考： ，即 的整数部分为1 设的小数部分为 则 即的小数部分为． 解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【答案】(1)5， (2)0 【分析】本题考查了无理数的整数部分以及小数部分、即无理数的估算； （1）因为，得出的整数部分是，则的小数部分是，即可作答． （2）与（1）同理，求出，，再代入，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：5，； （2）解：∵，， ∴，， 原式． 【变式1】若的整数部分和小数部分分别是，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是估算出整数部分后，然后即可得到小数部分．先求出的范围，再两边都乘以，再两边都加上，即可求出，把的值代入求出即可． 【详解】解： ， ， ， ， 即的整数部分是， 的小数部分是， 即，， ， 故选：A． 【变式2】若设的整数部分为，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了无理数的估算，涉及算术平方根的大小比较，熟练掌握“夹逼法”确定无理数的取值范围是解题的关键．先确定的取值范围，再据此推出的取值范围，从而得到其整数部分 ． 【详解】解：∵ ，，， ∴， 在不等式两边同时加，可得， 即， ∴的整数部分 ． 故答案为： ． 【变式3】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)求的整数部分和小数部分； (2)m，n是两个相邻整数，且，求的算术平方根； 【答案】(1)的整数部分是4，小数部分是4 (2)11 【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）根据无理数的估算求解即可； （2）首先根据无理数的估算求出m和n的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是4； （2））∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵121 的算术平方根是11， ∴的算术平方根是11； 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【题型4：实数概念理解】 【典例4】下列选项中不正确的是（   ） A．分数一定不是无理数 B．算术平方根都是非负数 C．立方根等于它本身的数是0和1 D．一个实数不是有理数就是无理数 【答案】C 【分析】本题考查了实数、立方根、算术平方根、实数的定义、有理数和无理数的定义等知识点，熟练掌握相关定义是解题的关键．根据立方根、算术平方根、实数的定义、有理数和无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、分数一定不是无理数，正确，故此选项不符合题意； B、算术平方根都是非负数，正确，故此选项不符合题意； C、立方根等于它本身的数有0、，原说法错误，故此选项符合题意； D、一个实数不是有理数就是无理数，正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 【变式4】下列说法：①＝-10；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③-3是的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据平方根，算术平方根，立方根，实数与数轴，无理数的定义，实数的分类逐一分析即可． 【详解】解：①∵， ∴是错误的； ②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确； ③∵， ∴-3是的平方根，故说法正确； ④任何实数不是有理数就是无理数，故说法正确； ⑤两个无理数的和可能是有理数，如，故原说法是错误的； ⑥无限不循环小数是无理数，因此无理数都是无限小数，故说法正确； 综上分析可知，正确的是②③④⑥，共4个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的分类，数轴及平方根、立方根、算术平方根的概念，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，如 等，也有这样的数． 【变式3】给下列各数进行分类（只填序号）： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦0；⑧；⑨；⑩（相邻两个2之间0的个数逐次加1） (1)有理数集合：｛ …｝； (2)无理数集合：｛ …｝； (3)正实数集合：｛ …｝； (4)负实数集合：｛ …｝． 【答案】(1)②③④⑤⑦⑧⑨ (2)①⑥⑩ (3)①④⑤⑥⑨⑩ (4)②③⑧ 【分析】根据实数分类方法进行解答即可． 【详解】（1）解：，； 有理数集合：｛；；；；0；；…｝ 故答案为：②③④⑤⑦⑧⑨； （2）解：无理数集合：｛；；（相邻两个2之间0的个数逐次加1）…｝； 故答案为：①⑥⑩； （3）正实数集合：｛；；；；；（相邻两个2之间0的个数逐次加1）…｝； 故答案为：①④⑤⑥⑨⑩； （4）解：负实数集合：｛；；…｝． 故答案为：②③⑧． 【点睛】本题主要考查了实数分类，熟练掌握实数的范围以及分类方法是解本题的关键． 【题型5：实数的性质】 【典例5】的绝对值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的性质，熟练掌握实数的性质是解题关键．根据负数的绝对值等于它的相反数即可得． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A． 【变式1】的相反数是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的概念，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据只有符号不同的两个数是互为相反数即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：C． 【变式2】的绝对值是 ． 【答案】 【分析】先估算的符号，再根据绝对值的意义解答 ． 【详解】解：∵7<9， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查无理数绝对值的应用，在正确估算无理数符号的情况下根据绝对值的意义求解． 【变式3】的相反数是 ；的平方根是 ；的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，算术平方根和平方根的定义，熟练掌握知识点是解答本题的关键． 根据相反数的定义，算术平方根和平方根的定义，即可解答． 【详解】解：①的相反数是； ②∵， ∴4的平方根是， 即的平方根是； ③∵ ∴9的算术平方根是3， 即的算术平方根3． 故答案为，，3． 【题型6：实数与数轴】 【典例6】如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数． 【详解】解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ． 圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ， 故选D． 【变式1】如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与实数、算术平方根的应用，关键是结合题意求出． 由题意可知，面积为7的正方形边长为，所以，而，得，A点的坐标为1，故E点的坐标为． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴， ∵， ∴， ∵A点表示的数为1， ∴E点表示的数为， 故选：D． 【变式2】如图所示，一条数轴被一滩墨迹覆盖了一部分，下列实数中，被墨迹覆盖的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．根据无理数的估算方法，确定取值范围，对照数轴覆盖数的范围判定即可． 【详解】解：根据数轴信息，得到被墨迹覆盖的数x满足， A、，则不符合题意； B、，即，则符合题意； C、，即，则不符合题意； D、，则不符合题意； 故选：B． 【变式3】如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． (1)这个魔方的棱长为________； (2)图中四边形为正方形，求出此正方形的面积及其边长； (3)如图2把正方形放到数轴上，使得与重合，那么在数轴上表示的数为________． 【答案】(1)4 (2)正方形的面积是8，边长是； (3) 【分析】本题考查的是立方根、算术平方根在实际生活中的运用，实数与数轴，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长． （1）根据正方体的体积公式可求这个魔方的棱长； （2）根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长； （3）根据两点间的距离公式可得出D在数轴上表示的数． 【详解】（1）解：由题意得，这个魔方的棱长为． 故答案为：4； （2）解：∵魔方的棱长为4， ∴小立方体的棱长为2， ∴正方形的面积为：， 边长为：， 答：正方形的面积是8，边长是； （3）解：∵A与重合，， ∴D在数轴上表示的数为． 故答案为：． 【题型7：实数的大小比较】 【典例7】比较大小： 2．(填“>”“<”或“=”) 【答案】< 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，先估算的范围，再计算的值所在的区间． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴．． 故答案为：<． 【变式1】比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，根据平方大的正实数也大解答即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】比较大小： （填“”“ ”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，利用平方法将无理数的大小转化为有理数的大小比较成为解题的关键． 将无理数的大小转化为有理数的大小比较即可． 【详解】解：∵，，且， ∴． 故答案为： 【变式3】比较大小： 7．（用“>”或“<”填空） 【答案】< 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，掌握实数的大小比较方法，算术平方根定义是解题的关键． 根据题意，由，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：<． 【题型8：程序设计与实数运算 【典例8】在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根、无理数，代数式求值，根据程序框图计算，直至结果是无理数即可． 【详解】解：输入x的值是64时， 则， 那么， 因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值， 故答案为：． 【变式1】按如图所示的程序计算，若输入的值为，则输出的结果为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查流程图与二次根式的运算，关键是理解流程图．按照流程图中的运算顺序进行即可． 【详解】解：第一次：， 第二次：， 故输出结果为； 故答案为：． 【变式2】如图是一个数值转换器，如果输入的为81，则输出的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了程序框图的迭代问题以及算术平方根的求取，将代入依次求取算术平方根，直到得出无理数即可求解，算术平方根是一个数的两个平方根中正的那一个，对无理数的识别是解决本题的关键．无理数：无限不循环小数． 【详解】当时，取算术平方根为9，是有理数， 代入，取算术平方根为3，是有理数， 代入，取算术平方根为，是无理数，则输出为． 故选：A． 【变式3】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入时，输出的值是（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查数的算术平方根的计算方法和有理数、无理数的定义，解题时要注意数值如何转换． 本题根据程序输入，运算一次后得到的是有理数，需再循环运算，直至算到结果是无理数，即可． 【详解】解：∵输入，16的算术平方根是4，4是有理数， ∴还需再求4的算术平方根， ∵4的算术平方根是2，2是有理数， ∴还需再求2的算术平方根，2的算术平方根是．是无理数， ∴输出的值是， 故选：B． 近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 【题型9：近似数】 【典例9】用四舍五入法将精确到千位所得到的近似数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．把百位上的数字7进行四舍五入即可． 【详解】解：用四舍五入法将精确到千位，所得到的近似数为． 故答案为：． 【变式1】数3.8963精确到百分位的近似值是 ． 【答案】 【分析】考查近似数，求近似数时，要求精确到哪一位，需将其后一位的数进行四舍五入．根据近似数的定义即最后一位数字所在的数位就是精确度，利用四舍五入法取近似值即可． 【详解】数3.8963精确到百分位的近似值是． 故答案为： 【变式2】2024年10月20日泰州市半程马拉松鸣枪开赛，本次半程马拉松赛道全长21.0975千米，将21.0975精确到0.01的近似值是 ． 【答案】21.10 【分析】本题主要考查了近似数，将21.0975精确到0.01就是看7，再根据“四舍五入”得出近似数即可． 【详解】解：将21.0975精确到0.01的数是21.10． 故答案为：21.10． 【变式3】把1062000精确到万位，用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法与近似数，解题的关键是掌握四舍五入法精确到万位并正确转化为科学记数法形式． 先将原数精确到万位，再转化为科学记数法． 【详解】精确到万位：1062000中万位是6，其后的数字是2，因为，根据四舍五入，舍去万位后的数，得到1060000， 转化为科学记数法：将1060000写成，其中， 最终结果为， 故答案为：． 一、单选题 1．下列实数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义，求算术平方根．注意带根号的数与无理数的区别：带根号的数不一定是无理数，带根号且开方开不尽的数一定是无理数． 由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是有理数，故选项不符合题意； B、是无理数，故选项符合题意； C、，是有理数，故不符合题意； D、是有理数，故选项不符合题意． 故选：B． 2．估算 的值在（     ） A．2和3 之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的大小估算，先估算出的范围即可． 【详解】解：∵, ∴ ∴的值在4和5之间， 故选：C． 3．实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，则能表示的是（   ） A．d B．c C．b D．a 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估值，解题关键是估出位于哪两个整数之间，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故选：C． 4．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为16时，输出的数y为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键． 根据数值转换器，输入，进行计算，判断结果是否为无理数，若不是，则继续计算即可． 【详解】解：第1次计算得，，而4是有理数， 因此第2次计算得，，而2是有理数， 因此第3次计算得，，是无理数， 故选：B． 5．小王在美术课上创作了一幅面积为的正方形画作，那么这个正方形边长的取值范围是（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算；已知正方形的面积为，求其边长的取值范围．根据正方形面积公式，边长等于面积的平方根，即．通过比较相邻整数的平方数，确定的范围． 【详解】解： 设正方形的边长为，则，解得． 因，故． 故选：B． 二、填空题 6．比较大小： 3．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键．估算的大小，与3比较即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 7．的绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是求一个数的绝对值，解题关键是熟练掌握如何求一个数的绝对值． 根据绝对值的定义即可得解． 【详解】解：， ． 故答案为：． 8．1的平方根是 ， ， ，的相反数是 【答案】 【分析】本题考查了平方根，算术平方根和立方根的定义，根据平方根，相反数的定义，算术平方根和立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：1的平方根是， ， ， 的相反数是， 故答案为：，． 9．满足的所有整数的和等于 . 【答案】 【分析】首先通过对和大小的估算，可得满足的所有整数，进而对其求和可得答案．本题主要考查无理数大小的估算，比较简单，正确理解夹逼法是解题的关键． 【详解】解：，， ∴满足的所有整数有，0，1，2，3． ． 故答案为：5． 10．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】根据正方形的面积公式求得边的长，即可得到点与原点的距离，进而得到点所表示的数． 【详解】解：由正方形面积公式得， 点在数轴正半轴上，点表示的数为， 点到原点的距离为， 点所表示的数为， 故答案为：． 11．若的整数部分为，的小数部分为，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法可得，进而可得，，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的整数部分为，的小数部分为， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 12．已知的平方根为，的立方根为，是的整数部分 (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根、立方根的定义以及无理数的估算，熟练掌握平方根、立方根的定义和无理数估算方法是解题的关键． （1）根据平方根的定义，一个数的平方根互为相反数，其平方相等，可由的平方根为列出方程求；再依据立方根的定义，若一个数的立方根为，则这个数是的立方，结合的值列出关于的方程求解． （2）先确定的整数部分得到，再将、、的值代入计算，最后求其平方根． 【详解】（1）解：的平方根为， ，即， ， ． 的立方根为，， ，即， ， ， ． （2）解：， ，即， ． 把，，代入， ． ， 的平方根为． 13．【阅读理解】 素材1：任何一个无理数，都介于两个相邻的整数之间，如，是因为； 素材2：因为介于2和3之间，所以的整数部分是2，小数部分是． 素材3：系列纸的长与宽的比例均符合，其中纸的面积约为． 【问题解决】 (1)设纸张的宽为，则长为，根据边长与面积的关系，得，即，由边长的实际意义，得，那么的整数部分是________，小数部分是________； (2)如图，按照国际标准，将A0纸沿长边对折，便成两张A1纸；将A1纸沿长边对折，便成两张A2纸；将A2纸沿长边对折，便成两张A3纸；将A3纸沿长边对折，便成两张A4纸，那么请你计算A0纸的宽介于哪两个相邻的整数之间．（参考数据：，，，，） 【答案】(1)21， (2)A0纸的宽介于84和85两个相邻整数之间 【分析】本题考查无理数的整数部分和小数部分，掌握知识点是解题的关键． （1）根据，即可解答； （2）设纸的宽为，根据面积求出的值，继而确定在两个相邻的整数之间，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是21，小数部分是． （2）法1：纸的面积为， 纸的面积为． 设纸的宽为，长为， ， 由边长的实际意义，得， ，且，， 答：A0纸的宽介于84和85两个相邻整数之间． 法2：由题意得，纸的宽为，且 ， 纸的宽介于84与85两个相邻的整数之间． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 实数 知识点1无理数的概念 知识点2：实数相关概念和性质 知识点3：近似数 定义：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【题型1：无理数的概念】 【典例1】在3.14159，4，1.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），4.21，，中，无理数有（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】在实数，0，，503，，0.101中，无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】下列四个数中是无理数的是（    ） A． B．17 C．7 D． 【变式3】下列实数、、、、、中，无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型2：无理数的大小估算】 【典例2】估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．和0之间 【变式1】已知整数m满足，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】若自然数n满足，则n的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型3：无理数整数部分的有关计算】 【典例3】阅读与思考： ，即 的整数部分为1 设的小数部分为 则 即的小数部分为． 解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【变式1】若的整数部分和小数部分分别是，则（　　） A． B． C．2 D． 【变式2】若设的整数部分为，则的值为 ． 【变式3】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)求的整数部分和小数部分； (2)m，n是两个相邻整数，且，求的算术平方根； 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【题型4：实数概念理解】 【典例4】下列选项中不正确的是（   ） A．分数一定不是无理数 B．算术平方根都是非负数 C．立方根等于它本身的数是0和1 D．一个实数不是有理数就是无理数 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【变式4】下列说法：①＝-10；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③-3是的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】给下列各数进行分类（只填序号）： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦0；⑧；⑨；⑩（相邻两个2之间0的个数逐次加1） (1)有理数集合：｛ …｝； (2)无理数集合：｛ …｝； (3)正实数集合：｛ …｝； (4)负实数集合：｛ …｝． 【题型5：实数的性质】 【典例5】的绝对值是（　　） A． B． C． D． 【变式1】的相反数是（    ） A．0 B． C． D． 【变式2】的绝对值是 ． 【变式3】的相反数是 ；的平方根是 ；的算术平方根是 ． 【题型6：实数与数轴】 【典例6】如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，一条数轴被一滩墨迹覆盖了一部分，下列实数中，被墨迹覆盖的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． (1)这个魔方的棱长为________； (2)图中四边形为正方形，求出此正方形的面积及其边长； (3)如图2把正方形放到数轴上，使得与重合，那么在数轴上表示的数为________． 【题型7：实数的大小比较】 【典例7】比较大小： 2．(填“>”“<”或“=”) 【变式1】比较大小： （填“”“”或“”）． 【变式2】比较大小： （填“”“ ”或“”） 【变式3】比较大小： 7．（用“>”或“<”填空） 【题型8：程序设计与实数运算 【典例8】在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是 ． 【变式1】按如图所示的程序计算，若输入的值为，则输出的结果为 ．    【变式2】如图是一个数值转换器，如果输入的为81，则输出的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式3】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入时，输出的值是（    ） A．4 B． C． D．2 近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 【题型9：近似数】 【典例9】用四舍五入法将精确到千位所得到的近似数是 ． 【变式1】数3.8963精确到百分位的近似值是 ． 【变式2】2024年10月20日泰州市半程马拉松鸣枪开赛，本次半程马拉松赛道全长21.0975千米，将21.0975精确到0.01的近似值是 ． 【变式3】把1062000精确到万位，用科学记数法表示为 ． 一、单选题 1．下列实数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 2．估算 的值在（     ） A．2和3 之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 3．实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，则能表示的是（   ） A．d B．c C．b D．a 4．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为16时，输出的数y为（   ） A．1 B． C． D． 5．小王在美术课上创作了一幅面积为的正方形画作，那么这个正方形边长的取值范围是（   ） A．和之间B．和之间C．和之间 D．和之间 二、填空题 6．比较大小： 3．（填“”“”或“”） 7．的绝对值是 ． 8．1的平方根是 ， ， ，的相反数是 9．满足的所有整数的和等于 . 10．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为 ． 11．若的整数部分为，的小数部分为，则 ． 三、解答题 12．已知的平方根为，的立方根为，是的整数部分 (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 13．【阅读理解】 素材1：任何一个无理数，都介于两个相邻的整数之间，如，是因为； 素材2：因为介于2和3之间，所以的整数部分是2，小数部分是． 素材3：系列纸的长与宽的比例均符合，其中纸的面积约为． 【问题解决】 (1)设纸张的宽为，则长为，根据边长与面积的关系，得，即，由边长的实际意义，得，那么的整数部分是________，小数部分是________； (2)如图，按照国际标准，将A0纸沿长边对折，便成两张A1纸；将A1纸沿长边对折，便成两张A2纸；将A2纸沿长边对折，便成两张A3纸；将A3纸沿长边对折，便成两张A4纸，那么请你计算A0纸的宽介于哪两个相邻的整数之间．（参考数据：，，，，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$