第08讲 立方根（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

第08讲 立方根 知识点1：立方根的定义 知识点2：立方根小数点位数移动规律 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【题型1：立方根概念理解】 【典例1】（24-25七年级下·广西防城港·期中）下列说法不正确的是（    ） A．1的立方根是1 B．的立方根是 C．的立方根是 D．125的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查立方根的概念及求一个数的立方根，需根据各选项逐一判断正误． 【详解】解：A. 1的立方根是1，故正确； B. 的立方根是；故正确； C. 的立方根是；故正确； D. 125的立方根是；故错误； 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·上海静安·期末）方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的概念，根据立方根的概念即可求解，掌握立方根的概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）若，则 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，根据立方根的定义解方程，即可求解． 【详解】解： ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（2023七年级·全国·专题练习）当x取 时，有意义． 【答案】任意实数 【分析】本题考查了立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． 根据立方根的定义，可得出的取值范围． 【详解】解：∵任何实数都有立方根， ∴可取任意实数， ∴可取任意实数． 故答案为：任意实数． 【题型2：求一个数的立方根】 【典例2】（24-25七年级下·安徽亳州·期末）的立方根是（　　） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据立方根的定义求解即可，注意负数的立方根仍为负数． 【详解】解：， 故选：C 【变式1】（24-25七年级下·山东德州·期中）的立方根是（    ） A． B．+4 C．+2 D． 【答案】D 【分析】本题考查的算术平方根的含义，求解一个数的立方根，先计算的值，再求其立方根即可. 【详解】解：∵，， 所以的立方根是， 综上，的立方根是， 故选：D 【变式2】（天津市蓟州区2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题）的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．根据立方根的定义是即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，根据立方根的定义即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型3：已知一个数的立方根，求这个数】 【典例3】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的性质是解题关键．根据求解即可得． 【详解】解：立方根是的数是， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·四川泸州·期中），则的值为（    　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义解答即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）若的立方根是4，则的平方根是（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根和立方根，首先根据a的立方根是4求出a，然后根据平方根的定义求出a的平方根． 【详解】解：∵a的立方根是4， ∴， ∴a的平方根是：， 故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·河南周口·期中）求下列各式中的x． (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了利用开平方解方程，利用开立方解方程，解题关键是掌握利用开平方解方程，利用开立方解方程． （1）两边先同除以3，得，再利用开平方解方程； （2）利用开立方解方程． 【详解】（1）解： 两边同除以3，得 开平方，得 解得：， （2） 移项，得 开立方，得 解得：． 【题型4：立方根的实际应用】 【典例4】（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图是一个正方体的魔方，它由27个大小完全相同的小正方体组成．魔方的体积是，则一个小正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的应用，先求出一个小立方体的体积，再求出棱长即可． 【详解】解：一个小正方体的体积为：， 所以，小立方体的棱长为， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·湖北荆州·期中）我们知道，球的体积公式是，若某种型号的皮球的体积为，则这个皮球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据球的体积公式，代入已知体积求解半径。 【详解】解：设球的半径为r代入公式： ． 两边同时除以， 得． 对216开立方， 得 ． 因此，皮球的半径为． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）某甜品店的李师傅制作的长方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积是李师傅制作的1.5倍，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了立方根，根据正方体的体积公式列等式，求体积的立方根即可． 【详解】解：设康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为， 由题意得：， 解得：， ∴康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为． 故答案为：6． 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一个底面积为、高为的长方体容器中装满水，现需要清洗该容器，把水全部倒入一个正方体容器中．如果正方体容器正好被装满，求正方体容器的棱长． 【答案】正方体容器的棱长为 【分析】本题考查了立方根的应用．设正方体容器的棱长为，依题意列方程求解即可． 【详解】解：设正方体容器的棱长为． 依题意，得， 解得． 故正方体容器的棱长为． 【题型5：算术平方根和立方根的综合应用】 【典例5】（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)的平方根是． 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其运算方法是关键． （1）根据算术平方根，立方根的计算列式求解即可； （2）把的值代入，根据平方根的计算求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是2， ， 解得； 的立方根是2， ，即， 解得． （2）解：由（1）知，，， ； 而10的平方根是， 的平方根是． 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求与的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的概念是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根可直接列式计算； （2）由（1）及立方根可直接求解． 【详解】（1）解： 的算术平方根是， ， 解得：， 的立方根是， ， 解得：； （2）由(1)知，， ， 的立方根为． 【变式2】（22-23七年级下·云南楚雄·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用平方根、立方根定义确定出a与b的值即可； （2）把a与b的值代入计算即可解答． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， 解得：， ∵的算术平方根是4， ∴， 解得：， ∴，； （2）解：， ， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的定义及代数式求值，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的立方根是的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，平方根的定义，代数式求值，根据题意求出的值是解题的关键． （1）根据题意得出，，计算即可得到答案； （2）把代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是， ， ，； （2）解：当时， 17的平方根是， 的平方根是． 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【题型6：与立方根有关的规律探索】 【典例6】（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 【变式1】（24-25七年级下·青海海东·期中）观察．推测：若，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位；立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·广东潮州·期中）已知：，，，则 . 【答案】 【分析】本题考查立方根的估算．抓住是整数是解题关键． 将原式化为，据此即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为： 【变式3】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）根据你发现的规律填空：已知，若，则 【答案】 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． 依据被开方数小数点向左或向右移动3位，对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解： ，， ， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25七年级下·天津和平·期末）的相反数是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根运算及相反数的概念，先计算的值，再求其相反数． 【详解】因为，所以 的相反数为 故答案选：B． 2．（24-25七年级下·安徽池州·期末）下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．9的立方根是3 C．是的算术平方根 D．16的平方根是4 【答案】A 【分析】本题考查立方根、平方根及算术平方根的定义，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A．，故是的立方根，选项A正确； B．，因此的立方根不是，故选项B错误，不符合题意； C．，其算术平方根为，而非，故选项C错误，不符合题意； D．的平方根为，而选项仅提到，遗漏负根，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）若实数与互为倒数，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了倒数和立方根，由立方根得，由倒数的定义即可求解，理解倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：， 实数与互为倒数， ， 故选：B． 4．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）形状为正方体的魔方，它的体积为，它的棱长为（   ）cm． A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查立方根的应用，根据正方体体积公式求棱长即可． 【详解】解：正方体的体积公式为 ，其中为棱长， 已知体积，代入公式得：， 解得 ． 故选：C． 5．（24-25七年级下·云南临沧·期中）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，相反数的定义，绝对值相等且符号不同的两个数互为相反数．先化简各数，然后对各选项逐一计算并判断即可． 【详解】A．与，与绝对值相等且符号相反，互为相反数． B．与，而与绝对值不相等，不互为相反数． C．与，与符号相同，不互为相反数． D．与，与符号相同，不互为相反数． 故选：A． 6．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的综合应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义是解题的关键．根据是8的立方根，求出，再根据算术平方根定义求出结果即可． 【详解】解：∵是8的立方根， ∴， ∴的算术平方根是． 故选：C． 7．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）球体的体积与其半径的关系为．如图，该球体的体积为，那么它的半径（    ） A．，且更接近于3 B．，且更接近于3 C．，且更接近于2 D．，且更接近于4 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的应用，由题意可得，从而得出，再根据立方的含义即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵，，， ∴，且更接近， 故选：C． 二、填空题 8．（24-25七年级下·广西南宁·期中）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据立方根的定义计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9．（2025·浙江·中考真题） ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，利用立方根的定义解方程即可． 【详解】解：， ， 解得， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·湖南永州·期中）利用计算器求得，，，则 ． 【答案】324.6 【分析】本题考查立方根的性质，根据被开方数的小数点，每向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，据此进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：324.6 12．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）某商店的李师傅制作的正方体水果礼盒的体积为，则李师傅制作的正方体水果礼盒的表面积为 ． 【答案】150 【分析】本题主要考查了正方体，立方根的应用．根据正方体的体积是，立方根的定义，得到正方体的棱长为，根据正方体表面积等于它6个面的面积和，计算即可得解． 【详解】解：∵正方体的体积是， ∴正方体的棱长为， ∴它的表面积为． 故答案为：150． 13．（24-25七年级下·福建莆田·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为时，输出的y的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，把按给出的程序逐步计算即可． 【详解】解：由题中所给的程序可知：把取立方根，结果为， 因为是有理数，所以再取立方根为， 因为是有理数，所以再取立方根为， 因为是无理数，所以输出． 故答案为：． 三、解答题 14．（24-25七年级下·全国·期中）已知的值是2，且的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，解题的关键是掌握平方根、立方根、算术平方根的定义． （1）根据立方根以及算术平方根的定义，即可求出，的值； （2）将（1）中的，代入，求出的值，即可得出其平方根． 【详解】（1）解：的值是2，且的算术平方根是4， ，． 解得，． （2）解：由（1）可知，， ． 的平方根为． 15．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）求下列各式中的x： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根，立方根的定义解方程． （1）移项，利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴或． （2）解： ∴ ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 立方根 知识点1：立方根的定义 知识点2：立方根小数点位数移动规律 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【题型1：立方根概念理解】 【典例1】（24-25七年级下·广西防城港·期中）下列说法不正确的是（    ） A．1的立方根是1 B．的立方根是 C．的立方根是 D．125的立方根是 【变式1】（24-25八年级下·上海静安·期末）方程的根是 ． 【变式2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）若，则 【变式3】（2023七年级·全国·专题练习）当x取 时，有意义． 【题型2：求一个数的立方根】 【典例2】（24-25七年级下·安徽亳州·期末）的立方根是（　　） A． B．4 C． D． 【变式1】（24-25七年级下·山东德州·期中）的立方根是（    ） A． B．+4 C．+2 D． 【变式2】（天津市蓟州区2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题）的值是 ． 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习） ． 【题型3：已知一个数的立方根，求这个数】 【典例3】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·四川泸州·期中），则的值为（    　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）若的立方根是4，则的平方根是（   ） A． B． C．4 D．8 【变式3】（24-25七年级下·河南周口·期中）求下列各式中的x． (1) (2) 【题型4：立方根的实际应用】 【典例4】（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图是一个正方体的魔方，它由27个大小完全相同的小正方体组成．魔方的体积是，则一个小正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·湖北荆州·期中）我们知道，球的体积公式是，若某种型号的皮球的体积为，则这个皮球的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）某甜品店的李师傅制作的长方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积是李师傅制作的1.5倍，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为 ． 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一个底面积为、高为的长方体容器中装满水，现需要清洗该容器，把水全部倒入一个正方体容器中．如果正方体容器正好被装满，求正方体容器的棱长． 【题型5：算术平方根和立方根的综合应用】 【典例5】（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求与的值； (2)求的立方根． 【变式2】（22-23七年级下·云南楚雄·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式3】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的立方根是的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【题型6：与立方根有关的规律探索】 【典例6】（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·青海海东·期中）观察．推测：若，则 ． 【变式2】（24-25七年级下·广东潮州·期中）已知：，，，则 . 【变式3】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）根据你发现的规律填空：已知，若，则 一、单选题 1．（24-25七年级下·天津和平·期末）的相反数是（    ） A． B．3 C． D． 2．（24-25七年级下·安徽池州·期末）下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．9的立方根是3 C．是的算术平方根 D．16的平方根是4 3．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）若实数与互为倒数，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 4．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）形状为正方体的魔方，它的体积为，它的棱长为（   ）cm． A． B． C．6 D． 5．（24-25七年级下·云南临沧·期中）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 7．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）球体的体积与其半径的关系为．如图，该球体的体积为，那么它的半径（    ） A．，且更接近于3 B．，且更接近于3 C．，且更接近于2 D．，且更接近于4 二、填空题 8．（24-25七年级下·广西南宁·期中）化简的结果是 ． 9．（2025·浙江·中考真题） ． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）若，则的值为 ． 11．（24-25七年级下·湖南永州·期中）利用计算器求得，，，则 ． 12．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）某商店的李师傅制作的正方体水果礼盒的体积为，则李师傅制作的正方体水果礼盒的表面积为 ． 13．（24-25七年级下·福建莆田·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为时，输出的y的值是 ． 三、解答题 14．（24-25七年级下·全国·期中）已知的值是2，且的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 15．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）求下列各式中的x： (1) (2) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$