第07讲 平方根（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

第07讲 平方根 知识点1：平方根的定义 知识点2：平方根的性质 知识点3：算术平方根小数点位数移动规律 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.平方根和算术平方根的区别与联系 区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 【题型1：求一个数的算术平方根】 【典例1】（2025年辽宁省中考数学试题）的值为（    ） A．35 B．45 C．55 D．65 【变式1】（24-25八年级下·广东中山·期中）计算的结果为（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·期末）的算术平方根是 ． 【变式3】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）化简： ． 【题型2：平方根概念理解】 【典例2】（24-25八年级下·山东聊城·期中）下列各数中没有平方根的是（    ） A． B． C． D．0 【变式1】（24-25七年级下·广西贵港·期中）下列各数中，没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广东东莞·期中）化简： ． 【变式3】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）写一个平方根是它本身的实数 ． 【题型3：求一个数的平方根】 【典例3】（24-25七年级下·全国·期中）36的平方根是（  ） A． B． C．6 D． 【变式1】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）9的平方根是 ． 【题型4：利用算术平方根的非负性解题】 【典例4】（云南省大理州2024一2025学年下学期质量监测七年级数学试题卷）若，则的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式1】（24-25八年级下·宁夏吴忠·期中）若实数、满足，则代数式 ． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）若，则 ． 【变式3】（24-25七年级下·福建莆田·期末）已知有理数，满足，则 ． 【题型5：已知一个数的平方根求这个数】 【典例5】（24-25七年级下·广西南宁·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根分别是与． (1)求的值及这个正数； (2)若，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·新疆喀什·期中）若与5是同一个正数的两个不相等的平方根，则的值为（    ） A． B． C．4 D．14 【变式2】（24-25七年级下·江西宜春·期末）若一个正数的两个平方根是和，则的值为（    ） A．3 B．7 C． D．49 【变式3】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知的平方根是，的算术平方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【题型6：利用平方根解方程】 【典例6】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【变式1】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）求下列各式中的x值 (1) (2) 【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）求出下列等式中x的值： (1) (2) 【变式3】（24-25七年级下·福建莆田·期中）解方程：． 【题型7：算术平方根的实际应用】 【典例7】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片． (1)则大正方形的边长为___________； (2)沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为，且面积为？请说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·湖北恩施·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山西大同·期中）如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时间（单位：）与钟摆的长度（单位：）之间满足．当一台摆钟的钟摆的长度为时，摆动一个来回所用的时间是（    ）（取3，取） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）在装修房屋时，设计师小王负责为一个房间设计墙面装饰．她打算用长方形壁纸来装饰墙面，其中一块长方形壁纸面积为，且长与宽的比例是． (1)该长方形壁纸的长与宽分别是多少？ (2)她还计划在这块壁纸上裁出一个半径为的圆形区域，用于嵌入一个装饰性的圆形挂件，以此来增添墙面的美感，她的裁剪方案能否实现？请说明理由． 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【题型8：与算术平方根有关的规律探索题】 【典例8】（24-25七年级下·重庆渝北·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·云南·期中）由，得，则 ． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知，，，则 ． 【变式3】（24-25八年级下·全国·假期作业）按要求填空： （1）填表并观察规律： a 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 4 400 2 20 一、单选题 1．（24-25七年级下·重庆南川·期末）化简的值是（   ） A． B． C．3 D．9 2．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）小丽家有一块的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 5．（24-25七年级下·全国·期中）若，满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 6．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 1 第1行 2 第2行 3 第3行 4 第4行 …… …… 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间（单位：）称为一个周期，其计算公式为，其中表示摆长（单位：）．若一台座钟的摆长为，则该摆针摆动的周期为 ．（结果保留） 8．（24-25七年级下·重庆·期末）计算： ． 9．（24-25七年级下·四川广安·期末）已知的值（约）为 ． 10．（24-25八年级下·广东东莞·期中）若，则 ． 11．（24-25七年级下·广东湛江·期中）通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，，肇事汽车的车速大约是 ． 33．（24-25七年级下·重庆巫山·期中）一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为 ． 三、解答题 12．（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）解方程 (1)； (2)； (3)． 13．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形纸片． (1)大正方形纸片的边长是___________cm； (2)若沿着大正方形纸片边的方向剪出一个长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为，且面积为．若能，求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，请说明理由. 14．（24-25七年级下·福建厦门·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为．刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 15．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知一个正数的两个平方根是与． (1)求这个正数的值； (2)求关于的方程的解． 16．（24-25七年级下·山西大同·期中）如图，学校有一块长方形空地，它的长和宽的比是，面积为． (1)求该长方形的长和宽． (2)如图，工人师傅要在这块空地上设计一个圆形区域和四个半圆形区域进行绿化，其中四个半圆形区域的半径与中间圆形区域的半径相同．若绿化区域的总面积为，请你帮助工人师傅计算一下中间圆形区域的半径． 17．（24-25七年级下·广西南宁·期中）【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，．所以． 小明：，． 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ①； ②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 平方根 知识点1：平方根的定义 知识点2：平方根的性质 知识点3：算术平方根小数点位数移动规律 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.平方根和算术平方根的区别与联系 区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 【题型1：求一个数的算术平方根】 【典例1】（2025年辽宁省中考数学试题）的值为（    ） A．35 B．45 C．55 D．65 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义直接求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·广东中山·期中）计算的结果为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根定义是解题的关键．本题根据算术平方根定义求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：A． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·期末）的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】解：的算术平方根是 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）化简： ． 【答案】7 【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的计算法则． 根据算术平方根的意义进行化简即可得． 【详解】解：， 故答案为：7． 【题型2：平方根概念理解】 【典例2】（24-25八年级下·山东聊城·期中）下列各数中没有平方根的是（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的定义，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根根据平方根的定义，负数没有平方根，因此只需判断各选项是否为负数即可． 【详解】解；A、，结果为正数，存在平方根，不符合题意． B、，绝对值非负，存在平方根，不符合题意． C、为负数，在实数范围内没有平方根，符合题意． D、的平方根为本身，存在平方根，不符合题意． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·广西贵港·期中）下列各数中，没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义，负数没有平方根，因此只需找出选项中的负数即可，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由平方根的定义，负数没有平方根， 选项符合题意， 故选：． 【变式2】（24-25八年级下·广东东莞·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查的是平方根的含义，根据一个非负数的平方根的平方等于原数可得答案. 【详解】解：， 故答案为： 【变式3】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）写一个平方根是它本身的实数 ． 【答案】0 【分析】本题考查平方根，掌握平方根的性质是解题的关键． 根据平方根的性质进行解题即可． 【详解】解：平方根是它本身的实数是：0． 故答案为：0． 【题型3：求一个数的平方根】 【典例3】（24-25七年级下·全国·期中）36的平方根是（  ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴36的平方根是， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）9的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，如果，则叫做的平方根，根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴9的平方根是， 故答案为：． 【题型4：利用算术平方根的非负性解题】 【典例4】（云南省大理州2024一2025学年下学期质量监测七年级数学试题卷）若，则的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性．根据非负性求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴； 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·宁夏吴忠·期中）若实数、满足，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值及算术平方根的非负性，掌握绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键．先根据绝对值及算术平方根的非负性可求出a、b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为∶ 【变式2】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负性的性质，代数式求值，几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此可求出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·福建莆田·期末）已知有理数，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性和二次根式的非负性． 先根据绝对值的非负性和二次根式的非负性求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【题型5：已知一个数的平方根求这个数】 【典例5】（24-25七年级下·广西南宁·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根分别是与． (1)求的值及这个正数； (2)若，求的值． 【答案】(1)的值为0，正数的值为4 (2)的值为1 【分析】本题考查平方根的意义及求平方根、一元一次方程的应用等知识点，掌握一个正数有两个平方根且互为相反数是解题的关键． （1）由一个正数的两个平方根互为相反数求y值即可，求出x的值即可； （2）将代入得到关于k的方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，解得：； ∴． 答：求的值为0，正数的值为4 （2）∵， ∴，即，解得：． 答：求的值为1． 【变式1】（24-25七年级下·新疆喀什·期中）若与5是同一个正数的两个不相等的平方根，则的值为（    ） A． B． C．4 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的性质，同一个正数的两个不相等的平方根互为相反数；因此，与5互为相反数，建立方程求解即可． 【详解】解：∵与5是同一个正数的两个不相等的平方根， ∴， ， ， ， 验证：当时，，此时−5与5是正数25的两个不相等的平方根，符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·江西宜春·期末）若一个正数的两个平方根是和，则的值为（    ） A．3 B．7 C． D．49 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的性质，解题的关键是利用正数的两个平方根互为相反数这一性质来求解 。 根据正数的两个平方根互为相反数，列出关于a的方程，求解a后再计算x的值。 【详解】解：因为一个正数的两个平方根分别是和， 所以， 解得：， 则， 所以； 【变式3】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知的平方根是，的算术平方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是熟知平方根，算术平方根的定义． （1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可； （2）根据平方根定义，求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的算术平方根是2． ∴，， 解得，； （2）解：当，时，， 而4的平方根为， ∴的平方根为． 【题型6：利用平方根解方程】 【典例6】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，熟知求平方根的方法是解题的关键． （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求平方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， 解得：，； （2）解： 或， 解得，； 【变式1】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）求下列各式中的x值 (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查利用平方根求解方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键； （1）先移项，然后根据平方根可进行求解； （2）根据平方根可进行求解方程． 【详解】（1） 解得； （2） 解得或． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）求出下列等式中x的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解此题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴或 ∴或． 【变式3】（24-25七年级下·福建莆田·期中）解方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开方，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或． 【题型7：算术平方根的实际应用】 【典例7】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片． (1)则大正方形的边长为___________； (2)沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为，且面积为？请说明理由． 【答案】(1)4 (2)不能截得题目中要求的长方形纸片，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用以及实数的大小，掌握算术平方根的定义，实数的大小比较是解题的关键； （1）根据题意求得大正方形的面积为，即可求解； （2）设截出的长方形的长为，宽为，根据正方形的面积列式计算即可． 【详解】（1）解：∵两个正方形面积之和为：， ∴拼成的大正方形的面积为， ∴大正方形的边长是； 故答案为：4． （2）解：不能， 理由如下： 设截出的长方形的长为，宽为， 则，解得，那么，， ， 不能截得题目中要求的长方形纸片． 【变式1】（24-25七年级下·湖北恩施·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用、正方形的面积等知识点，掌握数形集合思想成为解题的关键． 根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是、2，再根据阴影部分的周长公式计算即可． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 2和4， ∴两个正方形的边长分别是、2， ∴阴影部分的周长为． 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·山西大同·期中）如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时间（单位：）与钟摆的长度（单位：）之间满足．当一台摆钟的钟摆的长度为时，摆动一个来回所用的时间是（    ）（取3，取） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，把代入代数式，计算即可． 【详解】解：当时，． 答：当钟摆的长度为时，摆动一个来回所用的时间是． 故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）在装修房屋时，设计师小王负责为一个房间设计墙面装饰．她打算用长方形壁纸来装饰墙面，其中一块长方形壁纸面积为，且长与宽的比例是． (1)该长方形壁纸的长与宽分别是多少？ (2)她还计划在这块壁纸上裁出一个半径为的圆形区域，用于嵌入一个装饰性的圆形挂件，以此来增添墙面的美感，她的裁剪方案能否实现？请说明理由． 【答案】(1)长为，宽为 (2)不能实现，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设该长方形壁纸的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求解即； （2）可求出圆的直径，再比较出原的直径和长方形壁纸宽的大小即可得到结论． 【详解】（1）解：设该长方形壁纸的长为，宽为． 根据题意，得， ∴， ∴． ， ， ． 答：该长方形壁纸的长为，宽为． （2）解：她的裁剪方案不能实现．理由如下： 圆的半径为， 圆的直径为．· ，· ． 她的裁剪方案不能实现． 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【题型8：与算术平方根有关的规律探索题】 【典例8】（24-25七年级下·重庆渝北·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意，理解图表是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此求解即可． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵， ∴， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·云南·期中）由，得，则 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据被开方数的小数点每向右移动2位，算术平方根的小数点向右移动1位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知，，，则 ． 【答案】17.32 【分析】本题考查了算术平方根的应用，注意：当被开方数的小数点每向左或向右移动两位，平方根的小数点就向左或向右移动一位．根据算术平方根的小数点移动规律可直接得出． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·全国·假期作业）按要求填空： （1）填表并观察规律： a 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 4 400 2 20 【答案】（1）见解析 （2），68 （3）求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得； （3）根据（1）解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 填表如下： a 0.0004 0.04 4 400 0.02 0.2 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，， ∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴； 故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 一、单选题 1．（24-25七年级下·重庆南川·期末）化简的值是（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的定义；根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 3．（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，熟练掌握小数点移动的规律是解答本题的关键．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 4．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）小丽家有一块的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的估算．根据正方形面积为，边长即为．通过比较相邻的完全平方数确定其范围． 【详解】解：∵正方形面积为， ∴正方形菜地的边长为． ∵， ∴， 即这块菜地的边长在之间， 故选B． 5．（24-25七年级下·全国·期中）若，满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质，代数式求值．由非负数的性质可知，绝对值与平方根的和为0时，两者均为0．由此求出x和y的值，代入计算可得答案． 【详解】解： ，，， ，， ，， ，， ， 故选：A． 6．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 1 第1行 2 第2行 3 第3行 4 第4行 …… …… 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出第n行的数据的个数是解题的关键． 观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出行的数据的个数，再加上得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可． 【详解】解：第1行第1个数为， 第2行第1个数为， 第3行第1个数为， 第4行第1个数为， ……， 第n行第1个数为， ∴第10行第1个数为， ∴第10行从左向右数第7个数是． 故选：B 二、填空题 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间（单位：）称为一个周期，其计算公式为，其中表示摆长（单位：）．若一台座钟的摆长为，则该摆针摆动的周期为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据题意将已知数据代入公式进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意可知，， 所以，． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·重庆·期末）计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根．直接计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 9．（24-25七年级下·四川广安·期末）已知的值（约）为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，根据，，可得答案，为干扰项． 【详解】解： ，， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·广东东莞·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根和绝对值的非负性，代数式求值，几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此可求出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·广东湛江·期中）通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，，肇事汽车的车速大约是 ． 【答案】64 【分析】本题考查了算术平方根的应用．将题目中给定的，，代入到经验公式中，然后通过根式运算求出的值即可． 【详解】解：将，，代入得： ， 故答案为：64． 33．（24-25七年级下·重庆巫山·期中）一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出m的值． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 故答案为：2． 三、解答题 12．（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）解方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查利用开平方解方程，熟练掌握开平方的运算方法是解题的关键． （1）先变形为，再开平方即可； （2）先变形为，再开平方即可； （3）先开平方得，则，或，求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 开平方，得：； （2）解：， 系数化为，得：， 开平方，得：； （3）解：， 开平方，得：， 则，或， 解得：或． 13．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形纸片． (1)大正方形纸片的边长是___________cm； (2)若沿着大正方形纸片边的方向剪出一个长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为，且面积为．若能，求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，请说明理由. 【答案】(1)4 (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据平方根解方程， （1）求16的算术平方根可得答案； （2）先设长方形的边长，根据面积相等列出方程，求出算术平方根，再根据结果判断即可． 【详解】（1）解：， 所以大正方形纸片的边长为（）． 故答案为：4； （2）解：设长方形纸片的长为，宽为，依题意得 则， 即， 解得：（不符合题意，舍去）， 长方形的长，宽， ， 不能裁出长宽之比为，且面积为的长方形纸片． 14．（24-25七年级下·福建厦门·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为．刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】不能够裁出来，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的非负性是解题关键． 设绣布的长为，宽为，根据长方形的面积公式列式得，解得，即可求得绣布的宽；设完整的圆形绣布的半径为，根据圆的面积公式列式得，解得，得直径，即可求解． 【详解】解：不能够裁出来，理由如下： 设绣布的长为，宽为， 根据题意，得，即，解得：， ， ， ∴绣布的长为，宽为， 设完整的圆形绣布的半径为， 根据题意，得：，即， ∴，解得：（负值舍去）． ∵，即圆形绣布的直径大于长方形绣布的宽， ∴不能够裁出来． 15．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知一个正数的两个平方根是与． (1)求这个正数的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1)9 (2)或 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，求平方根的方法解方程，熟知平方根的定义是解题的关键． （1）一个正数的两个平方根互为相反数，则，解方程求出a的值即可得到答案； （2）根据（1）所求先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以4后开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根是与， ∴， ∴， ∴， ∴这个正数的值为9； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即或， ∴或． 16．（24-25七年级下·山西大同·期中）如图，学校有一块长方形空地，它的长和宽的比是，面积为． (1)求该长方形的长和宽． (2)如图，工人师傅要在这块空地上设计一个圆形区域和四个半圆形区域进行绿化，其中四个半圆形区域的半径与中间圆形区域的半径相同．若绿化区域的总面积为，请你帮助工人师傅计算一下中间圆形区域的半径． 【答案】(1)长方形的长为，宽为 (2) 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，熟练掌握相关图形的面积公式，算术平方根的定义，是解题的关键： （1）设长方形的长为，宽为，根据面积公式列出方程进行求解即可； （2）设半圆形区域的半径为，根据面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设长方形的长为，宽为． 则． ． ， ，则． 答：长方形的长为，宽为． （2）设半圆形区域的半径为，即中间圆形区域的半径为， ． ． ． ． 答：中间圆形区域的半径为． 17．（24-25七年级下·广西南宁·期中）【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，．所以． 小明：，． 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ①； ②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积的关系；根据关系进行计算，即可求解； （1）根据已知可得，即可求解； （2）①根据关系得 ，即可求解； ②根据关系得 ，即可求解； （3）可得面积为，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：① ； ② ； （3）解：由题意得 ， 答：这个长方形的面积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$