专题20.4 二次根式的运算（第2课时）（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题20.4 二次根式的运算（第2课时） 教学目标 1. 知道同类二次根式的概念； 2. 掌握二次根式的加减运算； 3. 理解分母有理化，会求有理化因式； 4. 学会二次根式的混合运算。 教学重难点 1.重点 （1）同类二次根式的概念及其应用； （2）二次根式的加减及其混合运算； （3）分母有理化、有理化因式，二次根式混合运算的应用。 2.难点 （1）二次根式运算有关的化简、变形； （2）二次根式混合运算的综合应用。 知识点1 同类二次根式 1.问题：把与化成最简二次根式，所得结果有什么相同之处? 分析：,，二次根式与的被开方数相同，都是2. 2.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式. 例如，与是同类次根式,而与不是同类二次根式. 要点： (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 【即学即练】 1．下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 3．下列与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 知识点2 二次根式的加减 1.二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 即： ； 要点： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 　　1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 　　2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 3)合并同类二次根式. 【即学即练】 1．合并下列各式中的同类二次根式并计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 2．合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)； (3)； 知识点3 分母有理化 有理化因式 1.分母有理化 思考：把代数式和中分数线下的式子看作分母，前一个分母是根式，后一个分母是整式，这两个分母之间有什么关系？怎样把转化为3b? 把的分数线上，下两式看作两个数相除，利用除法的性质以及根式乘法的法则可得 把分母中的根号化去的过程称为分母有理化。分母有理化的方法：一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。 2.有理化因式 思考： 利用平方差公式，得 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式。如与互为有理化因式；与也互为有理化因式。 【即学即练】 1．二次根式的有理化因式可以是 ． 2．写出的一个有理化因式 ． 3．分母有理化： ； 知识点4 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点： (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 【即学即练】 1．计算： (1) (2) 2．计算：． 3．计算： (1)； (2)． 知识点5 二次根式的应用 1. 二次根式的比较大小 ①能化简成同类二次根式的，化简后比较系数，系数大的二次根式就大； ②不能化简成同类二次根式的： a.正数大于负数； b.同为正数时，进行平方运算，结果大的二次根式就大； 2．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 【即学即练】 1．比较大小：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 2．不等式的解集是 3．已知，，则的值为 ． 题型01 判断同类二次根式 【典例1】．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列二次根式中，不能与 合并的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】．下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型02 根据同类二次根式的概念求参数 【典例1】．若最简二次根式与是同类根式，则 ． 【变式1】．与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 题型03 二次根式的加减运算 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【变式1】．计算： (1)； (2) (3)； (4)． 题型04 分母有理化 【典例1】．分母有理化： （1） ； （2） ； （3） ． 【变式1】．分母有理化： ． 【变式2】．把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．化简：； 题型05 有理化因式 【典例1】．二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列各式中，互为有理化因式的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】．下列式子中，是的有理化因式的是（    ） A． B． C． D． 题型06 分母有理化的应用 【典例1】．已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为有理化因式 【变式1】．式子的倒数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（    ） A．a－b＝0 B．a＋b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2 题型07 比较二次根式的大小 【典例1】．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【变式1】．比较大小： ． 【变式2】．比较大小： 【变式3】．比较大小 【变式4】．比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 题型08二次根式的应用——解不等式 【典例1】．不等式的解集是 ． 【变式1】．不等式的解集为 ． 【变式2】．解不等式：． 题型09二次根式的混合运算 【典例1】．计算：． 【变式1】．计算：． 【变式2】．计算： (1) (2) 题型10求值问题 【典例1】．已知，则代数式的值为 ． 【变式1】．若的整数部分是，小数部分是，则 ． 【变式2】．已知，，则 ． 【变式3】．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 题型11二次根式与分式 【典例1】．先化简，再求值：，其中． 【变式1】．已知，则 ． 题型12 二次根式的几何应用；与数轴结合 【典例1】．若等腰三角形的两条边分别长，，则此三角形周长为 ． 【变式1】．在数轴上，表示到这个点的距离为的点对应的数是： ． 【变式2】．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 【变式3】．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（    ） A．6 B．16 C． D． 题型13 二次根式的混合运算、分母有理化等综合应用 【典例1】．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【变式1】．计算： (1)； (2)． 【变式2】．化简：． 【变式3】．先化简，再求值，已知，求代数式的值； 【变式4】．先化简再求值：，其中，． 【变式5】．观察下列式式子的化简过程： ①； ②； ③；… (1)请直接写出第四个等式，并猜想第n个等式； (2)求的值． 一、单选题 1．下列根式中，是同类二次根式的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．化简得（　　） A． B． C．2 D． 3．的有理化因式是（　　） A． B． C． D． 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 5．已知，下列各式为负值的是（    ）． A． B． C． D． 6．化简的结果是（   ） A． B． C．0 D． 7．下列说法中，正确的是（  ） A．与互为倒数 B．若则 C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等 D．若，则 8．对于任意的正数x、y的新定义运算为：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．比较大小： 10．的有理化因式是 ． 11．若和最简二次根式是同类二次根式，则 ． 12．不等式的解集是 ． 13．计算： ． 14．定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效的去掉根号，若，则 ． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)． 16．计算： (1) (2) (3) (4) 17．计算：． 18．计算： 19．已知：，，求的平方根； 20．当时，化简：． 21．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 22．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 23．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式． (1)当三角形的三边，，时，请你利用公式计算出三角形的面积； (2)一个三角形的三边长依次为、，，请求出三角形的面积； (3)若，，求此时三角形面积的最大值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20.4 二次根式的运算（第2课时） 教学目标 1. 知道同类二次根式的概念； 2. 掌握二次根式的加减运算； 3. 理解分母有理化，会求有理化因式； 4. 学会二次根式的混合运算。 教学重难点 1.重点 （1）同类二次根式的概念及其应用； （2）二次根式的加减及其混合运算； （3）分母有理化、有理化因式，二次根式混合运算的应用。 2.难点 （1）二次根式运算有关的化简、变形； （2）二次根式混合运算的综合应用。 知识点1 同类二次根式 1.问题：把与化成最简二次根式，所得结果有什么相同之处? 分析：,，二次根式与的被开方数相同，都是2. 2.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式. 例如，与是同类次根式,而与不是同类二次根式. 要点： (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 【即学即练】 1．下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类二次根式的判断，先把二次根式化为最简二次根式后，根据被开方数相同的二次根式就是同类二次根式判断即可． 【详解】解：．，与是同类二次根式，故该选项符合题意； ．，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； ．，不是同类二次根式，故该选项不符合题意； ．与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减，先把所给二次根式化简，再根据同类二次根式的定义判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不能合并，原选项不符合题意； 、与能合并，原选项符合题意； 、与不能合并，原选项不符合题意； 、与不能合并，原选项不符合题意； 故选：． 3．下列与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的定义，先化简再根据二次根式的定义判断是解题关键． 先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可． 【详解】A． 与不是同类二次根式； B． 与不是同类二次根式； C． 与是同类二次根式； D． 与不是同类二次根式； 故选C 4．下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义成为解题的关键． 将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、和的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； B、和的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； C、和的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确； D、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误． 故选：C． 5．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到，，然后求解即可，即可得出答案．解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．也考查了二元一次方程组的应用． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴的值等于． 故答案为：． 知识点2 二次根式的加减 1.二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 即： ； 要点： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 　　1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 　　2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 3)合并同类二次根式. 【即学即练】 1．合并下列各式中的同类二次根式并计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，涉及二次根式性质化简及合并同类二次根式运算法则，先化简再利用合并同类二次根式的运算法则计算是解决问题的关键． （1）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案； （2）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案； （3）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)； (2)； (3)； 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，涉及二次根式性质化简及合并同类二次根式运算法则，先化简再利用合并同类二次根式的运算法则计算是解决问题的关键． （1）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案； （2）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案； （3）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 知识点3 分母有理化 有理化因式 1.分母有理化 思考：把代数式和中分数线下的式子看作分母，前一个分母是根式，后一个分母是整式，这两个分母之间有什么关系？怎样把转化为3b? 把的分数线上，下两式看作两个数相除，利用除法的性质以及根式乘法的法则可得 把分母中的根号化去的过程称为分母有理化。分母有理化的方法：一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。 2.有理化因式 思考： 利用平方差公式，得 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式。如与互为有理化因式；与也互为有理化因式。 【即学即练】 1．二次根式的有理化因式可以是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式运算法则是解题的关键． 根据分母有理化因式的特征进行解答即可． 【详解】解：， ∴二次根式的有理化因式可以是， 故答案为： 2．写出的一个有理化因式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．根据二次根式的性质，求解即可． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式为， 故答案为：（答案不唯一） 3．分母有理化： ； 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的分母有理化．利用了平方差公式分母有理化即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点4 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点： (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 【即学即练】 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的乘除混合计算： （1）先计算二次根式乘法和化简二次根式，再计算二次根式加减法即可； （2）根据二次根式乘除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算进行计算，即可求解． 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)y 【分析】此题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则． （1）先计算二次根式除法和化简二次根式，再计算二次根式加减法即可； （2）先化简二次根式和计算二次根式除法，再计算二次根式加减法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 知识点5 二次根式的应用 1. 二次根式的比较大小 ①能化简成同类二次根式的，化简后比较系数，系数大的二次根式就大； ②不能化简成同类二次根式的： a.正数大于负数； b.同为正数时，进行平方运算，结果大的二次根式就大； 2．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 【即学即练】 1．比较大小：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 > ， < ， > ， < 【分析】（1）先将，变形为 ，有，即可比较大小； （2）利用作差法，即可比较大小； （3）利用作商法，即可比较大小； （4）先将，化为，，又有，即可比较大小． 【详解】解：（1）∵，且， ∴， ∴； （2）∵，又∵， ∴，即， ∴； （3）∵， ∴； （4）∵， ， ， ∴， 即． 故答案为：（1）>；（2）<；（3）>；（4）<． 【点睛】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 2．不等式的解集是 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，移项，合并同类项，一次项系数化为，即可求解；掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得； 故答案为：． 3．已知，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算以及求值，根据，判断出，将化简再进行加减运算，最后将，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 当，，原式， 故答案为：8． 题型01 判断同类二次根式 【典例1】．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式，根据被开方数相同的最简二次根式为同类二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、，与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选C． 【变式1】．下列二次根式中，不能与 合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，根据同类二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、能与合并，不符合题意； B、不能与合并，符合题意； C、能与合并，不符合题意； D、能与合并，不符合题意； 故选：B 【变式2】．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不符合题意； D、与是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 【变式3】．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，同类二次根式，立方根．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，同类二次根式，立方根是解题的关键． 利用二次根式的性质进行化简，然后根据同类二次根式定义判断作答即可． 【详解】解：A.中，不是的同类二次根式，故不符合要求； B中，不是的同类二次根式，故不符合要求； C中，是的同类二次根式，故符合要求； D中，不是的同类二次根式，故不符合要求； 故选：C． 【变式4】．下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键． 各式化简后，利用同类二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意， 故选：D． 题型02 根据同类二次根式的概念求参数 【典例1】．若最简二次根式与是同类根式，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同类二次根式的概念进行解答即可． 【详解】解：由题意可知，，， 解得，， ； 故答案为：9． 【变式1】．与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式和最简二次根式等知识点，根据同类二次根式的定义得出，求出即可，能熟记同类二次根式的定义的内容是解此题的关键． 【详解】∵， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：7． 题型03 二次根式的加减运算 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再合并同类二次根式即可； （3）先化简，再合并同类二次根式即可； （4）先化简，再合并同类二次根式即可； （5）先化简，再合并同类二次根式即可； （6）先化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式； （5）原式； （6）原式． 【变式1】．计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的化简： （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （3）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （4）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型04 分母有理化 【典例1】．分母有理化： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化，根据分母有理化的方法，分子，分母同乘有理化因式，逐一进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：． 【变式1】．分母有理化： ． 【答案】 【分析】根据原式，计算求解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的加减．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运． 【变式2】．把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化，涉及到了因式分解等知识，解题关键是掌握式子恒等变形的方法，注意分子分母同乘或除以一个不为零的数或式子，原式的值才不变，本题据此依次判断即可． 【详解】解：A、将式子的分子分母同乘以，式子的值不变，故该选项正确，不符合题意； B、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； C、因为有可能为0，所以分子分母同时乘以错误，故该选项符合题意； D、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； 故选：C ． 【变式3】．化简：； 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算及分母有理化，原式进行分母有理化后再进行计算即可得出答案 【详解】解： 题型05 有理化因式 【典例1】．二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理化因式的定义判断即可. 【详解】∵ ∴二次根式的一个有理化因式是 故选B. 【点睛】本题主要考查了二次根式的有理化因式的概念，熟练利用定义得出是解题关键. 【变式1】．下列各式中，互为有理化因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互为有理化因式的定义可知，两式相乘得有理数，即可解答. 【详解】A. ，不是互为有理化因式； B. ，不是互为有理化因式； C. ，是互为有理化因式；     D. ，不是互为有理化因式； 故选C 【点睛】本题考查二次根式有理化因式，熟练掌握该知识点是解题关键. 【变式2】．下列式子中，是的有理化因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理化因式的特点：单项式的有理化因式就是他本身，多项式的有理化因式就是与它配成平方差公式的那个多项式．然后根据题意就可以求出其解． 【详解】由题意，得的有理化因式是：， 故选：A． 【点睛】本题考查有理化因式，单项式的有理化因式就是他本身，多项式的有理化因式就是与它配成平方差公式的那个多项式． 题型06 分母有理化的应用 【典例1】．已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为有理化因式 【答案】A 【分析】求出a与b的值即可求出答案． 【详解】解：∵a＝＝+2，b＝2+， ∴a＝b， 故选：A． 【点睛】本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a与b的值，本题属于基础题型． 【变式1】．式子的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式分母有理化的方法进行化简即可． 【详解】解：的倒数是， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，解题关键是熟练运用二次根式性质进行分母有理化． 【变式2】．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（    ） A．a－b＝0 B．a＋b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2 【答案】C 【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各个式子的值，即可得出选项． 【详解】解：分母有理化，可得a=2+，b=2-， ∴a-b=（2+）-（2-）=2，故A选项错误，不符合题意； a+b=（2+）+（2-）=4，故B选项错误，不符合题意； ab=（2+）×（2-）=4-3=1，故C选项正确，符合题意； ∵a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2-）2=4-4+3=7-4， ∴a2≠b2，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键． 题型07 比较二次根式的大小 【典例1】．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较的方法，首先求出、的平方，比较出它们平方的大小关系，然后根据两个负实数，平方大的反而小，即可得出答案，熟练掌握正实数负实数，两个负实数，平方大的反而小． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 【变式1】．比较大小： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的大小的比较，要比较的两个数都是带根号的无理数时，应把根号外的数整理到根号内，然后比较被开方数．也可以采用求近似值的方法来进行比较． 因为相比较的两个数都带根号，所以应把根号外的数整理到根号内，然后比较被开方数的大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴ 故答案为： 【变式2】．比较大小： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的大小比较，利用二次根式的性质将根号外的系数转入根号内是解题的关键． 利用二次根式的性质将和变形，再比较大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】．比较大小 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，先根据分母有理化的方法得到，，再根据得到，，即可得到，则． 【详解】解：， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4】．比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】= 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键． 把分母有理化即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型08二次根式的应用——解不等式 【典例1】．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式和分母有理化，根据“移项，合并同类项，化系数为”即可求解，解题的关键是掌握一元一次不等式求解方法和分母有理化的计算方法． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1】．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查解不等式，二次根式的运算．根据解不等式的步骤求解，最后将分母进行有理化，即可解答． 【详解】解： 解得： 故答案为：． 【变式2】．解不等式：． 【答案】 【分析】先化简二次根式，然后根据解不等式的方法和步骤解不等式即可； 【详解】解： 【点睛】本题考查了二次根式的化简、二次根式的混合运算、解一元一次不等式；熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 题型09二次根式的混合运算 【典例1】．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据运算法则进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1】．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．先计算乘除，再合并，即可求解． 【详解】解： 【变式2】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，熟练掌握二次根式的加减乘除混合运算的法则及二次根式的性质是解题的关键． （1）先根据二次根式的乘除计算，再利用二次根式的性质化简，最后运用二次根式的加减法法则计算，即得答案； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再运用二次根式的加减法法则计算，即得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型10求值问题 【典例1】．已知，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加法和乘法运算，完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 把代入计算即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故答案为：． 【变式1】．若的整数部分是，小数部分是，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值，估算无理数大小要用逼近法．先求出，再用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 根据，确定a和b的值，然后计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分为， ∴ ， 故答案为：． 【变式2】．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，根据完全平方公式得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【变式3】．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)11 (2) (3)22 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，因式分解，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把，代入，计算即可作答． （2）先整理，再把，代入，计算即可作答． （3）先整理，再结合（1）和（2），即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：. 题型11二次根式与分式 【典例1】．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，掌握运算法则是解题的关键． 先计算括号内分式减法运算，再将除法化为乘法进行计算，最后再代入，分母有理化即可． 【详解】解：原式 ． 把代入，原式=． 【变式1】．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题关键．先化简分式，再将代入化简后的分式，计算即可． 【详解】解： ， 将代入得：原式． 故答案为：． 题型12 二次根式的几何应用；与数轴结合 【典例1】．若等腰三角形的两条边分别长，，则此三角形周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系及二次根式的运算，根据题意可分两种情况进行求解，即当腰长为，底边为和当腰长为，底边长为，然后再根据三角形的三边关系再进一步判断求解即可．熟练掌握等腰三角形的性质、三角形的三边关系及二次根式的运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ①当腰长为，底边为时， ∵， ∵ ∴， ∴围不成三角形，不符合题意， ②当腰长为，底边长为时， ∵，符合题意， ∴此三角形周长为． 综上所述：这个三角形的周长为． 故答案为：． 【变式1】．在数轴上，表示到这个点的距离为的点对应的数是： ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、实数与数轴、二次根式的加减，分两种情况：当这个点在左边时；当这个点在右边时；分别列出式子，计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：当这个点在左边时，这个点对应的数为：， 当这个点在右边时，这个点对应的数为：， 综上所述，表示到这个点的距离为的点对应的数是：或， 故答案为：或． 【变式2】．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】根据图形可以求得图中两个小正方形的边长，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图中阴影部分的面积为：， 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算和正方形，长方形的面积，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 【变式3】．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（    ） A．6 B．16 C． D． 【答案】D 【分析】先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：三个小正方形的面积分别为18、12、2， 三个小正方形的边长分别为、、． 由题图知：大正方形的边长为：． ． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，用小正方形的边长表示出大正方形的边长是解决本题的关键． 题型13 二次根式的混合运算、分母有理化等综合应用 【典例1】．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】（1）根据二次根式运算法则，先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律计算，最后分母有理化即可得解； （2）根据二次根式运算法则，先将除法转化为乘法，再利用二次根式的乘法计算即可得解； （3）先将除法转化为乘法，再根据二次根式乘法，再计算二次根式的加法即可得解． 【详解】（1）原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． 【变式1】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先进行二次根式的化简，再合并同类二次根式即可； （2）先对分式的加减运算，再对分子分母进行因式分解，最后进行分式约分即可． 【详解】（1） ， ， ； （2） ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及因式分解，解题的关键是灵活运用注意方法的合理选用． 【变式2】．化简：． 【答案】3 【分析】利用二次根式的性质和因式分解化简即可． 【详解】解∶ 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确应用因式分解是解题的关键． 【变式3】．先化简，再求值，已知，求代数式的值； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，完全平方公式，先计算出，再利用完全平方公式得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解： ， ， ． 【变式4】．先化简再求值：，其中，． 【答案】 【分析】已用乘法公式、分式的运算、二次根式的性质进行计算，最后代入求值． 【详解】原式 当，时，原式． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，注意方法的正确选择． 【变式5】．观察下列式式子的化简过程： ①； ②； ③；… (1)请直接写出第四个等式，并猜想第n个等式； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式的应用，正确得出是解题的关键． （1）仿照解题过程的典例所揭示的规律，将分母有理化； （2）仿照解题过程的典例所揭示的规律，将分母有理化； （3））由将原式化简，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：第四个等式为， ； （2）∵ ∴ ． 一、单选题 1．下列根式中，是同类二次根式的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，即可得到答案． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，故A错误； B、和不是同类二次根式，故B错误； C、，，则和是同类二次根式，故C正确； D、，，则和不是同类二次根式，故D错误； 故选择：C. 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 2．化简得（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则．根据二次根式的运算即可化简求解． 【详解】解：原式 ． 故选：A． 3．的有理化因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理化因式的定义：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．根据定义即可求解． 【详解】解：∵， 又 ∴ 故的有理化因式为 故选：A． 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简各个二次根式再合并即可. 【详解】解：. 故选A. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简与同类二次根式的合并是解题的关键. 5．已知，下列各式为负值的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分母有理数、二次根式的混合运算等知识点，掌握分母有理化的方法成为解题关键． 先对分母有理化，然后再分别代入各选项计算判断即可． 【详解】解：∵． ∴A.,不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，符合题意； D. ，不符合题意． 故选C． 6．化简的结果是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】因为成立，所以a<0，则=，计算即可得到答案. 【详解】因为成立，所以a<0，则==0，故答案为C. 【点睛】本题考查二次根式的化简和二次根式的减法运算，解题的关键是掌握二次根式的化简和二次根式的减法运算. 7．下列说法中，正确的是（  ） A．与互为倒数 B．若则 C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等 D．若，则 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质及运算法则计算判断即可． 【详解】A.，不是互为倒数，选项错误； B.若，由于，则，选项错误； C.若与是同类二次根式，则与3不一定相等，选项正确； D.由可得，结合可得，，则，选项错误； 故选：C 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记相关概念是解题是解题的关键． 8．对于任意的正数x、y的新定义运算为：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，二次根式混合．理解新定义和掌握二次根式加减运算法则是解题的关键． 先根据新定义运算，将原式转化成二次根式加减运算，再根据二次根式加减运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 二、填空题 9．比较大小： 【答案】 【分析】先得到，，即可作答． 【详解】∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式大小的比较，掌握二次根式大小的比较方法是解答本题的关键． 10．的有理化因式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数因式的定义，根据“ 如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式”，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴的有理化因式是， 故答案为：． 11．若和最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】根据同类二次根式的定义得到2m−1＝5，然后解方程即可． 【详解】解：∵和最简二次根式是同类二次根式， ∴2m−1＝5， 解得m＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了同类二次根式，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 12．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】求得不等式的解集，进一步化简求得答案即可． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查二次根式的应用，掌握解不等式的方法与步骤是解决本题的关键． 13．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、平方差公式及积的乘方的逆用，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据积的乘方、平方差公式及二次根式的运算法则进行求解． 【详解】解：原式 ； 故答案为． 14．定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效的去掉根号，若，则 ． 【答案】7 【分析】易知与是一对“对偶式”，可根据化简计算即可． 【详解】解：根据材料可知，与是一对“对偶式”， ∵， ∴ 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法和除法法则、乘法公式是解决问题的关键． （1）先化简二次根式和计算二次根式的乘除，最后再计算加减法即可； （2）先化简二次根式和计算完全平方式，最后再计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 16．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)5 (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算以及零指数幂运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）首先去括号并利用二次根式的性质化简，然后进行加减运算即可； （2）首先进行二次根式的乘除运算及利用二次根式的性质化简，然后进行加减运算即可； （2）首先平方差公式和完全平方公式进行化简，然后进行加减运算即可； （4）首先利用零指数幂运算法则及二次根式的性质化简，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解： 原式 ； （4）原式 ． 17．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 18．计算： 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，分母不变，分子利用完全平方公式和平方差公式变形，然后化简求解即可．解题的关键是将分子利用完全平方公式和平方差公式变形． 【详解】 ． 19．已知：，，求的平方根； 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式的运用，二次根式的混合运算，求一个数的平方根，根据题意结合平方差公式，完全平方公式得到，的值，再将变形为求解，最后利用平方根概念求解，即可解题． 【详解】解：，， ， ， 则， 的平方根为． 20．当时，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．根据二次根式的运算法则、完全平方公式和平方差公式求解即可． 【详解】解： 21．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：由题意可得，， 整理得，， ， ∴ ∴， ∴． 22．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化： （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小； （3）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）， ， 而，， ， ； （3）由，，得， ， 当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为． 23．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式． (1)当三角形的三边，，时，请你利用公式计算出三角形的面积； (2)一个三角形的三边长依次为、，，请求出三角形的面积； (3)若，，求此时三角形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用已知得出的值，再利用三角形面积公式得出答案； （2）将变形为再代入求值即可； （3）根据公式计算出，再表示成，代入公式即可求出解．． 【详解】（1）解：∵，，， 则：， ∴ ； （2） ， 则三边长依次为、，，代入可得： （3）∵，，， ∴，则， ∴ ， ∴当时，有最大值，为． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，乘法公式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$