专题24.8 相似三角形的性质（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题24.8 相似三角形的性质 教学目标 1. 掌握相似三角形的性质； 2. 学会解决相似三角形性质的实际应用； 3. 利用相似三角形的性质与其他几何知识解决问题。 教学重难点 1.重点 （1）利用相似三角形的性质直接求解； （2）相似三角形性质的几何应用、实际应用等； （3）相似三角形的判定与性质及其应用； 2.难点 （1）相似三角形性质的几何应用； （2）相似三角形在平面坐标系的应用；分类讨论思想； （3）相似三角形的判定与性质、比例线段的性质综合分析。 知识点1 相似三角形 一、相似三角形的性质 1.根据相似三角形的定义，可以直接得到相似三角形的性质： 相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2.相似三角形性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 如图,已知△AB C∽△A1B1C1， 顶点 A、B、C分别与A1、B1、C1对应，△ABC与△A1B1C1的相似比为k,AD、A1D1分别是△ABC、△A1B1C1的角平分线.那么的值是否也等于k? 为什么? 由已知条件可知△ABD、A1B1D1, 有两个角对应相等，于是可推出结论是肯定的. 推导过程如下： ∵△AB C∽△A1B1C1， 顶点 A、B、C分别与A1、B1、C1对应， ∴ ∠B=∠B,∠BAC=∠B1A1C1 (相似三角形的对应角相等). ∵AD、A1D1分别是△ABC、△A1B1C1的角平分线， 即∠BAD=∠BAC,∠B1A1D1=∠B1A1C1 ∴∠BAD=∠B1A1D1. 在△ABD 与A1B1D1中， ∴ △ABD∽△A1B1D1 (两角对应相等，两个三角形相似). 得(相似三角形的对应边成比例), 即 用类似的方法可以得到，相似三角形的对应高的比、对应中线的比也等于相似比. 4. 相似三角形性质定理2: 相似三角形周长的比等于相似比. 如图,已知△ABC∽△A₁B₁C₁,顶点A、B、C分别与A₁、B₁、C₁对应，△ABC与△A₁B₁C₁的相似比为k,把这两个三角形的周长分别记作C△ABC、C△A₁B₁C₁,那么的值是否等于k?为什么? 可以推出=k.推导过程如下： ∵△ABC∽△A₁B₁C₁,顶点A、B、C分别与A₁、B₁、C₁对应，△ABC与△A₁B₁C₁的相似比为k, 则 得AB=kA₁B₁,BC=kB₁C₁,CA=kC₁A₁. 由比例性质可得： 4. 相似三角形性质定理3:相似三角形面积的比等于相似比的平方. 如图,已知△ABC∽△A₁B₁C₁,顶点A、B、C分别与A₁、B₁、C₁对应，△ABC与△A₁B₁C₁的相似比为k,把这两个三角形的面积分别记作S△ABC及S△A,B₁C₁,那么的值是否也等于k?为什么? 作△ABC的高AD,再作△A₁B₁C₁的高A₁D₁,则 SABC=BC·AD,S△A,B₁C₁,=B₁C₁·A₁D₁. 由相似三角形对应高的比等于相似比，可知 ,得BC=kB₁C₁,AD=kA₁D₁. 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【即学即练】 1．两个相似三角形的对应面积比为，则其对应周长比为 ． 2．两个相似三角形的相似比为，则对应的角平分线之比为 ． 3．如果两个相似三角形对应高的比是，那么它们的面积比是 ． 4．若两个相似三角形的面积之比为，则它们的对应中线之比为 ． 5．如图，，、相交于点，如果，那么的值是 ．    知识点2 相似三角形性质的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 要点：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 要点：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角 【即学即练】 1．在某一时刻， 直立地面的一根竹竿的影长为 3 米，一根旗杆的影长为 25 米， 已知这根竹竿的长度为 米， 那么这根旗杆的高度为 米． 2．如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为，并测得，，那么树的高度为 ． 3．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 4．图1是装了红酒的高脚杯示意图（数据如图），喝去一部分红酒后如图2所示，此时液面的长为 ． 5．如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳（和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是 ．    题型01 利用相似三角形的性质直接求解 【典例1】．如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的周长之比等于 . 【变式1】．如果两个相似三角形的周长的比等于，那么它们的面积的比等于 ． 【变式2】．如果两个相似三角形的对应高的比为，那么这两个三角形的面积比为 ． 【变式3】．若两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形的周长比为 ． 【变式4】．如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形一组对边上的中线之比为 【变式5】．已知：，若，，则与的相似比为 ，它们的面积比为 ． 题型02 相似三角形性质的简单应用—边长问题 【典例1】．如果两个相似三角形的最大边上的中线长分别是和，它们周长的差是，那么这两个三角形的周长分别为 ． 【变式1】．已知的三边长分别为2、3、4，与相似，且周长为54，那么的最短边的长是 ． 【变式2】．已知在中，，如果与相似，且两条边的长分别为4和，那么第三条边的长为 ． 题型03 相似三角形性质的应用——三角形一边的平行线 【典例1】．如图，点、分别是、的中点，则 ．       【变式1】．如图，在中，若，且，则的值为 ． 【变式2】．如图，若平行于，为中点，，则 ． 【变式3】．如图，中，点、分别在、上，，，则与的面积的比为 ． 题型04 相似三角形性质的应用——重心问题 【典例1】．已知P是的重心，且交于点E，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，G是重心，的延长线交于D，过点G作交于E，则 ．    【变式2】．在中，，，，点G是的重心，，垂足为点E，那么线段的长是（    ） A．2 B． C．2 D． 题型05 相似三角形性质的实际应用 【典例1】．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 【变式1】．如图，水平地面上放置盛有液体的容器，是液面线，经测量，，把长为的木棍的一端探到容器的底部，另一端与点A重合，则没入液体部分的长为 ． 【变式2】．如图，用手电来测量古城墙高度的示意图，将水平的平面镜放置在点P处，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，若，，且米，米，米，则该古城墙的高度约是 米． 【变式3】．清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点）直行8里有一塔（点），自西门（点）直行2里至点，切城角（点）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是 里． 【变式4】．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，若，则海岛的高为 ． 题型06 相似三角形性质的应用——动点问题 【典例1】．如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 【变式1】．如图，在平面直角坐标系内，已知点，点．动点从点开始，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点移动的时间为． (1)求出的长度； (2)用含有的式子表示和； (3)当为何值时，与相似？ 题型07 相似三角形性质的应用——坐标问题 【典例1】．在直角坐标系中有两点，点C为的中点，点D在x轴上，当点D的坐标为 时，使得． 【变式1】．已知点A(2，0)，点B(b，0)(b＞2)，点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P坐标为 ． 【变式2】．如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点、，过作交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)反比例函数的图象与直线交于第二象限内的点，当时，求的值； (3)设线段的中点为，过点作轴的垂线，垂足为点，交反比例函数的图象于点，分别连接，当与相似时，求满足条件的所有的值． 题型08 相似三角形性质的应用——格点问题 【典例1】．如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 【变式1】．如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型09 相似三角形的判定与性质综合 【典例1】．如图，中，，是边上的高．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式1】．如图，已知：在中，点、分别在边、上，且．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 【变式2】．如图，中，点，分别在边，上，平分，交，于点，，且． (1)求证：； (2)若与的周长之比是，，求的长． 【变式3】．如图，在四边形中，对角线与交于点E，，    (1)求证：； (2)如果，求的值． 题型10 相似三角形的判定与性质的应用——动态问题 【典例1】．如图，在中，，，，是边上的高．将沿折叠，使点A与点D重合，则的周长为 ． 【变式1】．在中，，，点E、F分别在、边上，将沿直线翻折后，点B落在对边的点为，若与相似，那么 ． 题型11 相似三角形的判定与性质的应用——特殊平行四边形 【典例1】．已知：如图，点是平行四边形的对角线上的一点，射线与交于点，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求证：四边形是菱形． 【变式1】．如图，正方形的边长是3，点E、F分别在边、上，，、分别与对角线交于点G、H． (1)当 时，，先补全条件； (2)如果，求的长． 题型12 相似三角形的判定与性质的应用—证明成比例线段 【典例1】．如图，在中，，点D是边上的一点，连接，过点B作，垂足为点E． (1)求证：； (2)如果，连接并延长，与边相交于点F．当点F是的中点时，求证：． 【变式1】．如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，，． (1)求证：； (2)如果点是边的中点，求证：． 【变式2】．如图，在梯形中，是梯形对角线，．    (1)求证：； (2)以为一边作交边于点，求证：． 一、单选题 1．如果两个相似三角形的面积之比为，则它们的周长之比为（    ） A． B． C． D． 2．如果两个相似三角形的周长分别是、，那么这两个三角形对应角平分线的比是（   ） A． B． C． D．以上都不对 3．已知：，如果与的相似比为2，与相似比为4，那么与的相似比为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．如图，在中，，，为垂足，且，则（　　） A． B． C． D． 5．如图，点A（1，7），B（1，1），C（4，1），D（6，1），若△CDE与△ABC相似，那么在下列选项中，点E的坐标不可能是（       ）． A．（6，2） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）． 6．如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（    ） A．EF•BF＝DF•CF B．BE•CD＝BF•CF C．AE•AB＝AD•AC D．AE•BE＝AD•DC 二、填空题 7．两个相似三角形，其中一个三角形的二个内角分别为，．则另一个三角形的最大内角的度数是 ． 8．如果两个相似三角形面积的比为，那么它们周长的比为 ． 9．已知直角三角形，为斜边边上的高，，则和的相似比的值为 ． 10．如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为，并测得，，那么树的高度为 ． 11．如图，在四边形中，对角线平分，已知，那么的长是 ． 12．在两条直角边长分别是和的直角三角形的内部作矩形，如果分别在两条直角边上（如图所示），，那么矩形的面积是 ．    13．如图，已知，和相交于，若，则 ． 14．如图，是一块余料，，现要把它加工成正方形零件，使得正方形的四个顶点，，，都在三角形的三边上，其中点，在边上，加工后正方形的边长为，则的面积为 ． 15．如图，在中，点D、E分别在边上，与相交于点O，，如果，那么的值等于 ． 16．从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线．如图，等腰斜边上的高就是它的优美线．在中，，若是的优美线，且是等腰三角形，那么优美线 ． 三、解答题 17．如图，是等边三角形，，求证． 18．如图，D是边上点，已知，，．    (1)求边的长； (2)如果（点A、C、D对应点C、B、D），求的度数． 19．如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 20．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标是，连接． (1)求的面积； (2)如果动点在直线上，使得，求点的坐标； (3)如果动点在直线上，且与相似，求点的坐标． 21．在中，垂足为．且点是边上一动点(点不与点A、点C重合)，连接，过点作交线段于点． (1)如图①，求证：． (2)如图②，若，求的面积． (3)若交线段于点，连接，且与相似，请直接写出的长． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24.8 相似三角形的性质 教学目标 1. 掌握相似三角形的性质； 2. 学会解决相似三角形性质的实际应用； 3. 利用相似三角形的性质与其他几何知识解决问题。 教学重难点 1.重点 （1）利用相似三角形的性质直接求解； （2）相似三角形性质的几何应用、实际应用等； （3）相似三角形的判定与性质及其应用； 2.难点 （1）相似三角形性质的几何应用； （2）相似三角形在平面坐标系的应用；分类讨论思想； （3）相似三角形的判定与性质、比例线段的性质综合分析。 知识点1 相似三角形 一、相似三角形的性质 1.根据相似三角形的定义，可以直接得到相似三角形的性质： 相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2.相似三角形性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 如图,已知△AB C∽△A1B1C1， 顶点 A、B、C分别与A1、B1、C1对应，△ABC与△A1B1C1的相似比为k,AD、A1D1分别是△ABC、△A1B1C1的角平分线.那么的值是否也等于k? 为什么? 由已知条件可知△ABD、A1B1D1, 有两个角对应相等，于是可推出结论是肯定的. 推导过程如下： ∵△AB C∽△A1B1C1， 顶点 A、B、C分别与A1、B1、C1对应， ∴ ∠B=∠B,∠BAC=∠B1A1C1 (相似三角形的对应角相等). ∵AD、A1D1分别是△ABC、△A1B1C1的角平分线， 即∠BAD=∠BAC,∠B1A1D1=∠B1A1C1 ∴∠BAD=∠B1A1D1. 在△ABD 与A1B1D1中， ∴ △ABD∽△A1B1D1 (两角对应相等，两个三角形相似). 得(相似三角形的对应边成比例), 即 用类似的方法可以得到，相似三角形的对应高的比、对应中线的比也等于相似比. 4. 相似三角形性质定理2: 相似三角形周长的比等于相似比. 如图,已知△ABC∽△A₁B₁C₁,顶点A、B、C分别与A₁、B₁、C₁对应，△ABC与△A₁B₁C₁的相似比为k,把这两个三角形的周长分别记作C△ABC、C△A₁B₁C₁,那么的值是否等于k?为什么? 可以推出=k.推导过程如下： ∵△ABC∽△A₁B₁C₁,顶点A、B、C分别与A₁、B₁、C₁对应，△ABC与△A₁B₁C₁的相似比为k, 则 得AB=kA₁B₁,BC=kB₁C₁,CA=kC₁A₁. 由比例性质可得： 4. 相似三角形性质定理3:相似三角形面积的比等于相似比的平方. 如图,已知△ABC∽△A₁B₁C₁,顶点A、B、C分别与A₁、B₁、C₁对应，△ABC与△A₁B₁C₁的相似比为k,把这两个三角形的面积分别记作S△ABC及S△A,B₁C₁,那么的值是否也等于k?为什么? 作△ABC的高AD,再作△A₁B₁C₁的高A₁D₁,则 SABC=BC·AD,S△A,B₁C₁,=B₁C₁·A₁D₁. 由相似三角形对应高的比等于相似比，可知 ,得BC=kB₁C₁,AD=kA₁D₁. 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【即学即练】 1．两个相似三角形的对应面积比为，则其对应周长比为 ． 【答案】 【分析】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形周长的比等于相似比．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应周长的比等于相似比解答． 【详解】解：∵两个相似三角形对应的面积之比为， ∴相似比是， 又∵相似三角形对应周长的比等于相似比， ∴对应周长的比为， 故答案为：． 2．两个相似三角形的相似比为，则对应的角平分线之比为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的对应线段之比等于相似比进行解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的相似比为， 它们的对应角的角平分线的比为． 故答案为：． 3．如果两个相似三角形对应高的比是，那么它们的面积比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，而相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此即可得出答案． 【详解】解：由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，而相似三角形的面积比等于相似比的平方， 它们的面积比是：， 故答案为：． 4．若两个相似三角形的面积之比为，则它们的对应中线之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比得到相似比，即可解答，掌握相似三角形的面积之比是相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴两个相似三角形相似比为， ∴它们的对应中线之比为， 故答案为：． 5．如图，，、相交于点，如果，那么的值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先根据同高三角形的面积之比等于底边长之比得到，再证明，最后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点2 相似三角形性质的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 要点：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 要点：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角 【即学即练】 1．在某一时刻， 直立地面的一根竹竿的影长为 3 米，一根旗杆的影长为 25 米， 已知这根竹竿的长度为 米， 那么这根旗杆的高度为 米． 【答案】15 【分析】设这根旗杆的高度为h米，根据竹竿的影长∶竹竿的长度等于旗杆的影长∶旗杆的高度，即可求解． 【详解】解：设这根旗杆的高度为h米，根据题意得： ，解得： 即这根旗杆的高度为15米． 故答案为：15 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 2．如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为，并测得，，那么树的高度为 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先根据相似三角形的判定定理得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：，， ，， 在与中，，， ， ， 即， 解得． 故答案为：10 3．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 4．图1是装了红酒的高脚杯示意图（数据如图），喝去一部分红酒后如图2所示，此时液面的长为 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题考查三角形相似的应用，掌握相似三角形的性质是解题关键．过点O作，垂足为M，作，垂足为N，由题意可知，得出，代入数据求解即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为M，作，垂足为N， 由图可知， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5．如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳（和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是 ．    【答案】/ 【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长，再根据某零件的外径为，即可求得x的值． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， ∵的长是， ∴， ∵零件的外径为， ∴零件的厚度为∶， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值． 题型01 利用相似三角形的性质直接求解 【典例1】．如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的周长之比等于 . 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高之比等于相似比，周长比也等于相似比，由此可解． 【详解】解：两个相似三角形对应边上的高之比是， 这两个相似三角形的相似比为， 它们的周长之比等于． 故答案为：． 【变式1】．如果两个相似三角形的周长的比等于，那么它们的面积的比等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟知“相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方”是解题关键．根据两个相似三角形的周长的比等于，得到相似比为，即可得到它们的面积比等于． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长的比等于， ∴这两个相似三角形的相似比是， ∴它们的面积比等于． 故答案为： 【变式2】．如果两个相似三角形的对应高的比为，那么这两个三角形的面积比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键 【详解】解：∵两个相似三角形对应高的比为， ∴这两个相似三角形的面积比是， 故答案为：． 【变式3】．若两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形的周长比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质及应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键，根据两个相似三角形的周长比等于相似比，则面积比等于相似比平方，据此即可得出答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴三角形的相似比为， ∵两个相似三角形的周长比等于相似比， ∴两个三角形的周长比为， 故答案为：． 【变式4】．如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形一组对边上的中线之比为 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，由面积比为得到相似比为，利用“相似三角形的对应中线的比等于相似比”解本题是关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为， ∴相似比是， 又∵相似三角形一组对边上的中线的比等于相似比， ∴中线的比为． 故答案为：． 【变式5】．已知：，若，，则与的相似比为 ，它们的面积比为 ． 【答案】 /0.5 /0.25 【分析】根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：，若，， 与的相似比为：，它们的面积比为： 故答案为：，． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握和运用相似三角形的性质是解决本题的关键． 题型02 相似三角形性质的简单应用—边长问题 【典例1】．如果两个相似三角形的最大边上的中线长分别是和，它们周长的差是，那么这两个三角形的周长分别为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了相似三角形对应中线的比等于相似比，相似三角形周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．根据相似三角形对应中线的比等于相似比，求出两个三角形的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比列式计算即可． 【详解】解：由题意，得两三角形的周长比为， 设两三角形的周长分别为，， 由题意，得，解得， ，， 即这两个三角形的周长分别为， 故答案为：． 【变式1】．已知的三边长分别为2、3、4，与相似，且周长为54，那么的最短边的长是 ． 【答案】12 【分析】先计算出的周长，进而得出相似比为，进而得出答案． 【详解】解：∵的三边长分别为2、3、4， ∴的周长为：9 ∵与相似，且周长为54， ∴与的周长比为， ∴与的相似比为， 设的最短边的长是x ，则： ， 解得∶． 故答案为∶12． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 【变式2】．已知在中，，如果与相似，且两条边的长分别为4和，那么第三条边的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质解题即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵与相似， ∴，即， ∴． 故答案为：． 题型03 相似三角形性质的应用——三角形一边的平行线 【典例1】．如图，点、分别是、的中点，则 ．       【答案】 【分析】点、分别是、的中点，可知是的中位线，则，即相似比是，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到，且，由此即可求解． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴，，，即是的中位线， 且， ∴， 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是三角形相似求面积的问题，掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【变式1】．如图，在中，若，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】由于，那么，根据，可求出三个相似三角形的面积比．进而可求出，，得即可作答．本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．求出三个相似三角形的相似比是解决本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴，， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式2】．如图，若平行于，为中点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设，根据为中点，，得到，，然后根据，得到，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：设， 为中点，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】．如图，中，点、分别在、上，，，则与的面积的比为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．根据得到，，再结合相似比是，因而面积的比是，问题得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴． 故答案为． 题型04 相似三角形性质的应用——重心问题 【典例1】．已知P是的重心，且交于点E，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形重心的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形重心的性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．连接并延长交于点，根据三角形重心的性质得到，，由得到，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点， P是的重心， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【变式1】．如图，在中，G是重心，的延长线交于D，过点G作交于E，则 ．    【答案】 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键，注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．根据重心的性质得到，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：G是重心， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】．在中，，，，点G是的重心，，垂足为点E，那么线段的长是（    ） A．2 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握三角形重心的性质是解决问题的关键；延长交于，根据勾股定理求出，再证明，结合重心的性质可得，即可求出． 【详解】解：如图，延长交于， ，，， ， 点G是的重心， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 题型05 相似三角形性质的实际应用 【典例1】．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 【答案】7 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与应用，证得是解题的关键．先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， （米）， 故答案为：7． 【变式1】．如图，水平地面上放置盛有液体的容器，是液面线，经测量，，把长为的木棍的一端探到容器的底部，另一端与点A重合，则没入液体部分的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质． 根据题意可得，代入数据计算即可． 【详解】解：依题意得：， ∴， ∴， 由题意，， 解得， 故答案为：． 【变式2】．如图，用手电来测量古城墙高度的示意图，将水平的平面镜放置在点P处，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，若，，且米，米，米，则该古城墙的高度约是 米． 【答案】8.3 【分析】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．因为小明和古城墙均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，再利用对应边成比例即可解答． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴，即， ∴米． 故答案为：． 【变式3】．清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点）直行8里有一塔（点），自西门（点）直行2里至点，切城角（点）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是 里． 【答案】8 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，设这座方城每面城墙的长为里，根据题意得到，，证明，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：设这座方城每面城墙的长为里， 由题意得，，，，里，里， ， ， ，即， ， ∴这座方城每面城墙的长为8里， 故答案为：8． 【变式4】．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，若，则海岛的高为 ． 【答案】28 【分析】通过相似三角形的性质，构建比例关系，设出海岛高和相关水平距离，列方程求解．本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形对应边成比例的性质是解题的关键． 【详解】解：设海岛高， ． ∵，， ∴, ∴， ∴，即 ①． 又∵，， ∴, ∴， ∴，即 ②． ∴①，得； ∴②，得 ． ∴，解得 ． 即海岛的高为 ， 故答案为：28． 题型06 相似三角形性质的应用——动点问题 【典例1】．如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，正确分四种情况讨论是解题关键．设运动时间为，先分别求出，，，再分四种情况：①，②，③，④，利用相似三角形的性质分别建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得：，， ， ，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ①当时， 则，即， 解得，符合题意； ②当时， 则，即， 解得，符合题意； ③当时， 则，即， 解得，符合题意； ④当时， 则，即， 解得，符合题意； 综上，运动时间为或， 故选：C． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系内，已知点，点．动点从点开始，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点移动的时间为． (1)求出的长度； (2)用含有的式子表示和； (3)当为何值时，与相似？ 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（）利用勾股定理即可求解； （）根据题意列出代数式即可； （）利用相似三角形的性质，分和两种情况解答即可求解； 本题考查了勾股定理，列代数式，相似三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴，， ∴； （2）解：由题意得，，； （3）解：∵，， ∴， ∵是公共角， ∴①当时，， ∴， 即， 解得； ②当时，， ∴， 即， 解得； 综上，当的值为或时，与相似． 题型07 相似三角形性质的应用——坐标问题 【典例1】．在直角坐标系中有两点，点C为的中点，点D在x轴上，当点D的坐标为 时，使得． 【答案】/ 【分析】本题考查坐标与图形，相似三角形的性质，根据题意，画出图形，利用相似三角形对应边对应成比例，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵C为的中点， ∴， 当时：， 即：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1】．已知点A(2，0)，点B(b，0)(b＞2)，点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P坐标为 ． 【答案】 【分析】如图，分类讨论：（1）；（2），根据相似三角形的相似比列式计算出b的值，写出点P的坐标即可． 【详解】由题意可得：OA=2，OB=b，AP=， 如图：（1）当时， ， OA=AB=2， b=4， P(2，)； （2）当时， ， ， 解得：b=9±， P(2，3±)； 综上：P的坐标为：(2，)，(2，3±)． 故答案为：(2，)，(2，3±)． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，分类讨论，根据相似三角形的性质求出对应边的长度进而写出点的坐标是解题关键． 【变式2】．如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点、，过作交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)反比例函数的图象与直线交于第二象限内的点，当时，求的值； (3)设线段的中点为，过点作轴的垂线，垂足为点，交反比例函数的图象于点，分别连接，当与相似时，求满足条件的所有的值． 【答案】(1)直线的解析式为 (2) (3)的值为或 【分析】（1）根据题意可得，再证明，得到，解得，运用待定系数即可求解； （2）根据勾股定可得，则，如图所示，过点作轴于点，可证，得到，解得，则，运用待定系数法即可求解； （3）根据中点坐标可得，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，分类讨论：当时，得；当时，得 ；由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴，即， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象与直线交于第二象限内的点， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∵轴， ∴点的横坐标为， 如图所示，当时， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 如图所示，当时， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点在第三象限， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查勾股定理，待定系数法解一次函数、反比例函数解析式，相似三角形的判定和性质，中点坐标，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，掌握一次函数图象的性质，反比例函数图象的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 题型08 相似三角形性质的应用——格点问题 【典例1】．如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 【答案】B 【分析】先计算出每条边的长度，再进行比较即可，选出适合的选项． 【详解】解：设每个正方格边长为1， 则， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 【变式1】．如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定定理(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似)即可判断． 【详解】解：中，是正方形的对角线， ∴，且，， 即， 要使， 则， 观察图形，是正方形的对角线，即， 且，， 即， ∴点符合题意， 故选：A． 题型09 相似三角形的判定与性质综合 【典例1】．如图，中，，是边上的高．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的性质证明，可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查射影定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型． 【变式1】．如图，已知：在中，点、分别在边、上，且．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两三角形相似的判定方法是解题的关键． （1）首先证明出，得到，然后结合，即可证明出； （2）由，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【变式2】．如图，中，点，分别在边，上，平分，交，于点，，且． (1)求证：； (2)若与的周长之比是，，求的长． 【答案】(1)见解答； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）根据两边对应成比例，夹角相等即可证明； （2）结合（1）证明，得，根据与的周长之比是，可得，进而可以求出的长． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ∴； （2）解：由（1）知： ， ， ， ， 与的周长之比是， ， ， ， ． 【变式3】．如图，在四边形中，对角线与交于点E，，    (1)求证：； (2)如果，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，（1）根据两组角对应相等的两三角形相似；（2）利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）证明：， 又， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 题型10 相似三角形的判定与性质的应用——动态问题 【典例1】．如图，在中，，，，是边上的高．将沿折叠，使点A与点D重合，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，先由折叠得垂直平分，因为是边上的高，故，证明，运用周长比等于相似比等于高的比，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图： 由折叠得，垂直平分， 是上的高， ， ∴ ， ， ， ． 故答案为： 【变式1】．在中，，，点E、F分别在、边上，将沿直线翻折后，点B落在对边的点为，若与相似，那么 ． 【答案】3或 【分析】由于对应边不确定，所以本题应分两种情况进行讨论：①；②，分别计算即可． 【详解】解：①当时， 根据是等腰三角形，则也是等腰三角形， 则， 设，则，，根据， 得到：，得到， 解得x； ②当， ， 则，则，解得． 因而或， 故答案为：3或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，对应边的比相等，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键． 题型11 相似三角形的判定与性质的应用——特殊平行四边形 【典例1】．已知：如图，点是平行四边形的对角线上的一点，射线与交于点，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）可得，，则，，即可证明； （2）先证明，再证明，再根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质求证． 【详解】（1）证明：平行四边形 ，  ， ∴，，                                   ，                                                                                     ； （2）证明：如图，连接， ， ，又， ， ，                                            ，， ，，   ，                                             平行四边形， ， ， ， ， ，                                               ，又，    ，                                             即，   ，                                                     平行四边形， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式1】．如图，正方形的边长是3，点E、F分别在边、上，，、分别与对角线交于点G、H． (1)当 时，，先补全条件； (2)如果，求的长． 【答案】(1)；理由见解答过程； (2)． 【分析】（1）补充的条件是，先证明，进而依据“”判定和全等即可得出； （2）连接，证明和相似得，，则，再根据得和相似，则，由此得，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，然后求出，，证明和相似得，则，由此可得的长． 【详解】（1）解：当时，,理由如下： ∵四边形是正方形，且边长为3， ∴，，,， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：连接GF，如图所示： ∵，, ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 题型12 相似三角形的判定与性质的应用—证明成比例线段 【典例1】．如图，在中，，点D是边上的一点，连接，过点B作，垂足为点E． (1)求证：； (2)如果，连接并延长，与边相交于点F．当点F是的中点时，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由可得，进而可得，于是结论得证； （2）方法一：由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，由（1）可知，由对顶角相等可得，进而可得，于是可证得，由相似三角形的性质可得，设，则，由勾股定理可得，，由可得，进而可得，，则，于是结论得证； 方法二：由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，由（1）可知，由对顶角相等可得，进而可得，于是可证得，由相似三角形的性质可得，进而可得，由，可证得，由相似三角形的性质可得，即，进而可得，结合，可得，于是结论得证． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图， 方法一： ，点F是的中点， ， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， ， 设， 则， ，， ， ， ， ， ， ； 方法二： ，点F是的中点， ， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 即：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，线段中点的有关计算，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边对等角，勾股定理，线段的和与差等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式1】．如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，，． (1)求证：； (2)如果点是边的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明可得即可证明结论； （2）先证明可得，结合可得，即，则，最后结合点是中点即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵   ∴， ∴，   ∴． （2）解：∵， ∴， ∴，   ∴， ∵，， ∴ ∴   ∴ ∴ ∵点是中点， ∴， ∴． 【变式2】．如图，在梯形中，是梯形对角线，．    (1)求证：； (2)以为一边作交边于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）证明，得到，结合，即可得证． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ； （2）作交边于点 ，    由（1）得， ， 又， ， ， ， 又， ． 一、单选题 1．如果两个相似三角形的面积之比为，则它们的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 根据相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴它们的周长比为：， 故选：B． 2．如果两个相似三角形的周长分别是、，那么这两个三角形对应角平分线的比是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查想点三角形的性质，掌握相似三角形的周长的比、对应中线的比、高线的比、角平分线的比都等于相似比解题即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比、对应角平分线的比都等于相似比， ∴这两个三角形对应角平分线的比是， 故选：B． 3．已知：，如果与的相似比为2，与相似比为4，那么与的相似比为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出与的比值，也就是两三角形的相似比． 【详解】解：∵，如果与的相似比为2，与相似比为4， ，， 设，则，， ， ∴与的相似比为8． 故选：D． 4．如图，在中，，，为垂足，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ， 又，， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟记相似三角形的判定与性质． 5．如图，点A（1，7），B（1，1），C（4，1），D（6，1），若△CDE与△ABC相似，那么在下列选项中，点E的坐标不可能是（       ）． A．（6，2） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）． 【答案】B 【分析】分C、D为直角顶点的情况进行考虑即可判断． 【详解】解：∵AB=6，BC=3 ∴ ①若C为直角顶点 则当或时，△CDE与△ABC相似 ∴CE=4或CE=1 ∴点E的坐标为(4，5)或(4，2) ②若D为直角顶点 则当或时，△CDE与△ABC相似 ∴DE=4，DE=1 ∴点E的坐标为(6，5)或(6，2) 而当E为(6，3)时，CE=DE=3，，△CDE与△ABC不相似 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，关键是分类讨论． 6．如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（    ） A．EF•BF＝DF•CF B．BE•CD＝BF•CF C．AE•AB＝AD•AC D．AE•BE＝AD•DC 【答案】C 【分析】根据条件证明出，根据性质得：，变形即可得到． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，解题的关键是证明出． 二、填空题 7．两个相似三角形，其中一个三角形的二个内角分别为，．则另一个三角形的最大内角的度数是 ． 【答案】/度 【分析】根据相似三角形的性质得出，，求出和的度数，再根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：   ，， ，， ，， ， 即的最大的内角度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键，注意：相似三角形的对应角相等． 8．如果两个相似三角形面积的比为，那么它们周长的比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：由题意，相似三角形的相似比为：， ∴它们周长的比为； 故答案为：． 9．已知直角三角形，为斜边边上的高，，则和的相似比的值为 ． 【答案】 【分析】根据等高三角形的面积之比等于底边之比，得到，再利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，即可求出相似比． 【详解】解：直角三角形，为斜边边上的高，， ， ， 和的相似比的值为， 故答案为：．    【点睛】本题考查了三角形面积，相似三角形的性质，解题关键是掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方． 10．如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为，并测得，，那么树的高度为 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先根据相似三角形的判定定理得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：，， ，， 在与中，，， ， ， 即， 解得． 故答案为：10 11．如图，在四边形中，对角线平分，已知，那么的长是 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，直接利用相似三角形的判定方法得出，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据，即可求解． 【详解】解：∵对角线平分 ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∵， ∴, 故答案为：． 12．在两条直角边长分别是和的直角三角形的内部作矩形，如果分别在两条直角边上（如图所示），，那么矩形的面积是 ．    【答案】72 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质得到的值是解题的关键． 根据题意可证，得到，由题意设，则，由此列式得，解得，，则，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∵两条直角边长分别是和的直角三角形的内部作矩形， ∴，，， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 解得，， ∴， ∴矩形的面积是， 故答案为：72 ． 13．如图，已知，和相交于，若，则 ． 【答案】 【分析】根据，即可求得，根据三角形面积计算公式和相似三角形对应边比值相等的性质可以求得，即可求得，即可解题．本题考查了相似三角形的判定，三角形面积的计算公式，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中求得是解题的关键． 【详解】解：， ∴，， ，， ， ， ∴， ， ． 故答案为：． 14．如图，是一块余料，，现要把它加工成正方形零件，使得正方形的四个顶点，，，都在三角形的三边上，其中点，在边上，加工后正方形的边长为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质．首先根据正方形的性质可知，可证，根据相似三角形对应边成比例可以得到，从而求出的长度，然后于根据三角形的面积公式计算求出结果． 【详解】解：如下图所示，过点作交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， ， 解得：， ， 故答案为： ． 15．如图，在中，点D、E分别在边上，与相交于点O，，如果，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式得到，根据，得到，根据相似三角形的对应边的比等于相似比解答即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵， （等高，面积的比等于底边的比）， ， ∴， ∴， ， ， ∴ ， ， 故答案为：． 16．从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线．如图，等腰斜边上的高就是它的优美线．在中，，若是的优美线，且是等腰三角形，那么优美线 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，一元二次方程等知识，分三种情形讨论①若，，则，设，，可得，解方程即可；②若，由，设，，可得，解方程即可；③若，显然不可能； 【详解】解：如图， 分以下三种情况： ①若，， 则，设，， ∴， 解得，， ∴； ②若，由，设，， 可得，解得，（负根已经舍弃）， ∴； ③若，显然不可能． 综上所述，或． 故答案为：或． 三、解答题 17．如图，是等边三角形，，求证． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，也利用了等边三角形的性质，首先利用等边三角形的性质构造相似条件，然后利用相似三角形的性质解决问题． 由是等边三角形得到，而，得到，由此可以证明，然后利用相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】证明：是等边三角形， ． ， ． 又， ． ， ， ， 即． 18．如图，D是边上点，已知，，．    (1)求边的长； (2)如果（点A、C、D对应点C、B、D），求的度数． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，勾股定理的逆定理等知识点． （1）证明，由相似的性质可得出，然后计算出，代入求值即可． （2）由得出，由勾股定理的逆定理得出，进一步得出，由等量代换即可求出，即的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∵，即 ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 19．如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由相似三角形的判定和性质确定，即可证明； （2）根据相似三角形的判定得出，再由性质得出，利用等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， 又∵=， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 20．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标是，连接． (1)求的面积； (2)如果动点在直线上，使得，求点的坐标； (3)如果动点在直线上，且与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据一次函数的性质得出，进而可以求出的面积； （2）利用待定系数法求得直线的解析式为，，分两种情况：点在轴上方，点在轴下方，分别求解即可； （3）过点作轴于点，根据在直线上，设，可得，所以，分两种情况讨论：当∽时，当∽时，分别列式计算求出的值，即可求点的坐标． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则， ， ， 令，，则， ， ， 点的坐标是， ， ， 的面积； （2）设直线的解析式为， ，点的坐标是， ，解得， 直线的解析式为， ，分两种情况： 当点在轴上方时，如图，设与轴交于点， ，， 又， ≌， ， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 联立得， 解得， 点的坐标为； 当点在轴下方时，如图，设与轴交于点， 同理得，，直线的解析式为， 联立，解得， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或； （3）如图，过点作轴于点， ， ， ， 在直线上， 设， ， ， 当∽时， ， ， ， ， ， ； 当∽时， ， ， ， ， ， 综上所述：点的坐标为或 【点睛】本题属于一次函数的综合题，考查了三角形的面积，坐标与图形性质，待定系数法，求两直线的交点坐标，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 21．在中，垂足为．且点是边上一动点(点不与点A、点C重合)，连接，过点作交线段于点． (1)如图①，求证：． (2)如图②，若，求的面积． (3)若交线段于点，连接，且与相似，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查相似三角形的综合应用，解题的关键是掌握相似三角形判定定理和分论讨论思想的应用． （1）证明，对应边成比例即可解决问题； （2）设交于，由；，可得，设，则，可得，即可解得，，求出，；由三角形面积公式即可解决问题； （3）与相似，只需或，分两种情况讨论：①当时，②当时，根据相似三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ， （2）解：设交于，如图： 由（1）知， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得 ， ， ， 的面积为； （3）解：， 与相似，只需或， ①当时，此时如图：， ，，，，， ，， ， ， 设，则 由（1）知：， 解得：负值舍去 ②当时，如图： ，， ， ， ，， ， ， 是的垂直平分线， ， 综上所述，的长为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$