专题26.5 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质（第2课时）（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题26.5 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质（第2课时） 教学目标 1. 学会列二次函数解应用题； 2. 知道建立二次函数模型求解实际问题； 3. 初步掌握利用二次函数解决几何问题。 教学重难点 1.重点 （1）解二次函数的实际问题的一般步骤； （2）二次函数、平面直角坐标系、几何问题综合； （3）掌握一些常见二次函数的几何应用题型，如角度问题等。 2.难点 （1）坐标、二次函数、几何图形的性质相互转化；分类讨论思想； （2）二次函数y=ax2+bx+c的综合应用。 知识点1 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用 一、列二次函数解应用题 　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 要点： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 二、建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤： （1）恰当地建立直角坐标系； （2）将已知条件转化为点的坐标； （3）合理地设出所求函数关系式； （4）代入已知条件或点的坐标，求出关系式； （5）利用关系式求解问题． 要点： (1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. (2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： 　　①首先必须了解二次函数的基本性质； 　②学会从实际问题中建立二次函数的模型； 　　③借助二次函数的性质来解决实际问题. 【即学即练】 1．某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x(x＞0)，十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是 ． 【答案】y=10（x+1）2 【详解】根据题意，把十月份的看作单位1，进而可得十二月邮件数为：y=10（x+1）2，所以y关于x的函数解析式是y=10（x+1）2． 故答案为y=10（x+1）2 【点睛】本题考查了根据题意列出一次函数的解析式，关键是找准等量关系． 2．如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米． 【答案】/ 【分析】直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离． 【详解】解：根据题意得： ∵， ∴， ∴， ∴铅球运动过程中最高点离地面的距离为米． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是正确记忆抛物线顶点坐标公式． 3．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，设该抛物线的解析式是，由题意结合图象可知，点在函数图象上，求出解析式，然后把代入即可求解，准确理解题意，并能够用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 【详解】设该抛物线的解析式是， 由题意结合图象可知，点在函数图象上， 代入得：，解得：， ∴该抛物线的解析式是， 则水面上升了米，此时， ∴，解得：， 则此时水面的宽度是米， 故答案为：． 4．一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度与水平距离之间的关系是，则这名男生抛实心球的成绩是 ． 【答案】 【分析】根据题意，令，解方程即可求解． 【详解】解：依题意，令中，， 即， 整理得： 解得：（舍去）， ∴这名男生抛实心球的成绩是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确的计算是解题的关键． 5．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．    【答案】10 【分析】令，则，再解方程，结合函数图象可得答案． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令求解方程的解是解本题的关键． 题型01 增长率问题 【典例1】．据统计，7月份我国新能源汽车的销量为98万辆，8，9月份销量逐月增加．若第三季度的累计销量为万辆，平均月增长率为，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，学会由实际问题抽象出函数的关系式是解题的关键． 分别表示8月，9月的销量，再把7，8，9三月的销量加起来即可得到关于的函数解析式． 【详解】解：平均月增长率为， 则8月份销量为：， 9月份销量为：， ∴， 故选：D． 【变式1】．某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数解析式是解题的关键． 根据题意列出二次函数解析式即可． 【详解】解：由题意得，与的函数解析式为， 故选：D ． 【变式2】．某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 ．（不写定义域） 【答案】 【分析】本题主要考查了平均增长率的问题．根据10月份的印数表示出12月份的印数即可表示出答案． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 题型02 拱桥问题 【典例1】．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是米，跨度是米，在线段上离中心处米的地方，桥的高度是 米 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，建立合适的坐标系，求出相应的抛物线解析式．先建立合适的平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，再将代入解析式求出相应的的值即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如右图所示， 由题意可得，点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 点在该抛物线上， ∴， 解得：， 抛物线的解析式为， 将代入，得：， 即在线段上离中心处米的地方，桥的高度是米， 故答案为：． 【变式1】．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升 米． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确地建立坐标系进行求解． 如图建立平面直角坐标系，由题意得：C为抛物线顶点且坐标为，求出抛物线解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：如图，以水面所在直线为x轴，的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系， 由题意得：C为抛物线顶点且坐标为， 可设抛物线解析式为 ， ∴ 即 ， ∴抛物线解析式为 ， 当水面宽度为米时，即当 ， ， ∴水面上升的高度为米， 故答案为：． 【变式2】．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知米，距离点2米处的棚高为米，若借助横梁建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁的长度是 米． 【答案】 【分析】此题主要考查二次函数的性质及用待定系数法求出函数的解析式，比较简单，要学会设合适的函数解析式．先用待定系数法求出函数函数解析式，求出当时的自变量的值，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过，， 故， 解得：， 故抛物线解析式为： 由题意可得：当时， ， 解得： ∴米． 故答案为： 题型03 销售问题 【典例1】．某超市销售一种商品，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，销售单价只能为，那么一周可获得最大利润是（　　） A．1 558元 B．1 550元 C．1 508元 D．20元 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的图象与性质可得当时，y取最大值，即一周可获得最大利润，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下， ∵对称轴为， ∴当时，二次函数图象中，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取最大值，即一周可获得最大利润，最大利润是1558， 故选：A． 【变式1】．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 设每天的总利润为W（元），则W与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的应用和一次函数的应用，根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式，根据题意可以写出W与x之间的函数表达式． 【详解】解：设y与x之间的函数解析式为， ， 得， 即y与x之间的函数表达式是； 由题意可得，， 即W与x之间的函数表达式是． 故选：B． 【变式2】．某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据每周的利润=每件商品的利润×销售量，列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 题型04 喷水问题 【典例1】．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 【变式1】．如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度（）与水平距离（）之间的关系如图2所示，点为该水流的最高点，点为该水流的落地点，且，垂足为点，．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 根据题意可得点，设抛物线的解析式为，把点代入，可求出抛物线的解析式，然后令，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴点， 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴点C的坐标为， ∴， 即的长为． 故答案为： 【变式2】．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅在调试时发现：喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距O点． 【答案】20 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数的关系式， 由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5米时，可设，将代入关系式得出；当喷头高度为时，可设，将代入关系式得，联立求出a，b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，此时的关系式为，将代入求出答案即可． 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，对称轴也不变， ∴二次项系数和一次项系数都不变， 当喷头高时，可设， 将代入关系式，得； 当喷头高度为时，可设， 将代入关系式得. 联立，得， 解得． 设喷头高为h时，水柱落点距O点， 此时的关系式为， 将代入关系式，得， 解得． 当喷头高时，水柱落点距O点． 故答案为：20． 题型05 投篮问题 【典例1】．如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为（米），已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用．足球能射进球门，球射向球门的路线应经过轴上点和点之间的部分，取时的值，根据列出不等式组求得合适的的取值范围，即可判断正确选项． 【详解】解：当时，， ∵足球能射进球门， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 【变式1】．在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，由此可知小童此次实心球训练的成绩为（    ） A．6米 B．7米 C．8米 D．9米 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 令，即可求解． 【详解】解：令，则， 解得：， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为和， 即小童此次实心球训练的成绩为9米． 故选：D 【变式2】．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的有（   ） ①此抛物线的解析式是 ②篮圈中心的坐标是 ③此抛物线的顶点坐标是 ④篮球出手时离地面的高度是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解题的关键．对于A，设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值，据此将得到的解析式与A选项对照，即可得到其正误；对于B、C，根据函数图象判断，即可得到其正误；对于D，设这次跳投时，球出手处离地面，将代入计算即可求得结论． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的函数关系式为． ， ∴篮圈中心在抛物线上，故选项②正确； ∴，解得， ∴此抛物线的解析式是，拋物线的顶点坐标是．故选项①正确，选项③错误； 设篮球出手时离地面的高度是. 令中， 可得． 可知篮球出手时离地面的高度是.故选项④错误． 则说法正确的有①②， 故选：C． 题型06 面积问题 【典例1】．以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点所构成的三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，三角形的面积，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而根据三角形的面积公式计算即可，掌握二次函数图象与坐标交点坐标的求法是解题的关键． 【详解】解：如图，设抛物线与相交于点，与轴相交于点， 把代入，得， 解得，， ∴，， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，B，C为抛物线与x轴的交点，以为直角边在x轴上方作等腰直角三角形，且，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，先求出点B和点C的坐标，进而求出的长，再由等腰直角三角形的定义得到的长，据此利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：在中，当时，或， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】．如图，抛物线 与x轴交于点，两点， 顶点D纵坐标为4，连接交y轴于点C，连接，，点E是抛物线上一动点，的面积与的面积相等，则点E的横坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的面积问题，解方程，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键．先利用待定系数法分别求得抛物线、直线、直线、直线的解析式，然后过点D作轴，交直线于点G，过点E作轴，交直线于点F，根据求得面积，接着设，则，求得，结合解答即可． 【详解】解：∵抛物线 与x轴交于点，两点， 顶点D纵坐标为4， ∴抛物线的对称轴为直线， 故顶点， 设抛物线的解析式为 ∴， 解得， 故 ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵对于，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点D作轴，交直线于点G，过点E作轴，交直线于点F， ∵， ∴点的横坐标为，且点在直线：上， ∴当时，， ∴ ∴， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． ∵点E是抛物线上一动点，点在直线直线：上， ∴设，则， 则， ∴， 整理，得或 故或 解得或无解 故． 故点E的横坐标为或， 故答案为：或． 题型07 角度问题Ⅰ 【典例1】．已知：如图，抛物线内的的三个顶点都在抛物线上：其中点为抛物线的顶点，点的坐标为，点的坐标为． （1） ． （2）在轴上有一点，则点的坐标为 ． 【答案】 90 或 【分析】（1）先用待定系数法求出抛物线解析式，得出点D的坐标，用勾股定理逆定理判断为直角三角形即可求解； （2）分①当点在的上方时和②当点在的下方时两种情况求解即可． 【详解】点，点都在抛物线上， 抛物线的解析式为． 令，则， 或， ， ． ， ． 如图1，过点作于点，过点作于点，于点，则， ． ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 为直角三角形， ． （2）如图2，①当点在的上方时，设与交于点， 由（1）知， ． ， ， ． ， ， ． ， ． 设直线的解析式为， 直线的解析式为． 令，则， ； ②如图3，当点在的下方时， ， ． 设直线的解析式为， ， 直线的解析式为． 设直线的解析式为， 则， ， 直线的解析式为． 令，则， ． 综上，当时，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，把化成顶点式，的图象与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，求一次函数解析式，，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．设点的坐标为，求出点A的坐标，再由轴，，可得点Q的坐标为，再根据是等腰直角三角形，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∵轴，， ∴点Q的坐标为， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点的坐标为． 故答案为： 【变式2】．已知点P为二次函数图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于C点，若，则点P的横坐标的值为 ． 【答案】 【分析】先求出点，，证明是等腰直角三角形，则，由得到，设直线与y轴交点为点D ,可证是等腰直角三角形，，得到D的坐标是，用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式与二次函数联立，解方程组即可得到点P的横坐标的值． 【详解】解：当时，，解得， 由题意可知，， 当时，， ∴， 如图所示， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设直线与y轴的交点为点D , ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点D的坐标是， 设直线的解析式为，把代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 联立得，， 解得或, 即点P的坐标是， ∴点P的横坐标的值为． 故答案为： 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、待定系数法求一次函数解析式、函数图象的交点问题等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 题型08 角度问题Ⅱ 【典例1】．已知开口向下的抛物线y=ax2-2ax+2与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线BD与x轴交于点M，直线AB与直线OD交于点N． (1)求点D的坐标. (2)求点M的坐标(用含a的代数式表示). (3)当点N在第一象限，且∠OMB=∠ONA时，求a的值．    【答案】（1）D（2,2）；（2）；（3） 【分析】(1)令x=0求出A的坐标，根据顶点坐标公式或配方法求出顶点B的坐标、对称轴直线，根据点A与点D关于对称轴对称，确定D点坐标. (2)根据点B、D的坐标用待定系数法求出直线BD的解析式，令y=0，即可求得M点的坐标. （3）根据点A、B的坐标用待定系数法求出直线AB的解析式，求直线OD的解析式，进而求出交点N的坐标，得到ON的长.过A点作AE⊥OD，可证△AOE为等腰直角三角形，根据OA=2，可求得AE、OE的长，表示出EN的长.根据tan∠OMB=tan∠ONA，得到比例式，代入数值即可求得a的值. 【详解】（1）当x=0时，， ∴A点的坐标为（0,2） ∵ ∴顶点B的坐标为：（1,2-a），对称轴为x= 1， ∵点A与点D关于对称轴对称 ∴D点的坐标为：（2，2） （2）设直线BD的解析式为：y=kx+b 把B（1,2-a）D（2，2）代入得： ，解得： ∴直线BD的解析式为：y=ax+2-2a 当y=0时，ax+2-2a=0，解得：x= ∴M点的坐标为： （3）由D(2，2)可得：直线OD解析式为：y=x 设直线AB的解析式为y=mx+n,代入A(0，2)B（1,2-a）可得： 解得： ∴直线AB的解析式为y= -ax+2 联立成方程组： ，解得： ∴N点的坐标为：（） ON=（） 过A点作AE⊥OD于E点，则△AOE为等腰直角三角形. ∵OA=2 ∴OE=AE=，EN=ON-OE=（）-=) ∵M，C(1,0)， B（1,2-a） ∴MC=，BE=2-a ∵∠OMB=∠ONA ∴tan∠OMB=tan∠ONA ∴，即 解得：a=或 ∵抛物线开口向下，故a<0， ∴ a=舍去，    【点睛】本题是一道二次函数与一次函数及三角函数综合题，掌握并灵活应用二次函数与一次函数的图象与性质，以及构建直角三角形借助点的坐标使用相等角的三角函数是解题的关键. 【变式1】．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，且与x轴的另一个交点为B，抛物线的顶点为P． (1)求抛物线的表达式； (2)如果抛物线的对称轴与直线交于点D，求的值； (3)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于点E，顶点Q在原抛物线上．当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点A和点C的坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）连接，求出，再求出直线的表达式为：，根据抛物线的对称轴为直线，求出，根据两点之间的距离公式得出，即，最后根据求解即可． （3）求出，设点，点，求出中点坐标：，中点坐标：，根据平行四边形对角线互相平分得出，求出，得出点Q的坐标，即可得出平移后的表达式． 【详解】（1）解：把代入得：，解得：， ∴， 把代入得：， ∴， 将点，代入得： ，解得：， ∴该抛物线的表达式为：； （2）解：连接， 把代入得：， 解得：， ∴， 设直线的表达式为：， 将点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴把代入得：， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，即， ∵，， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵平移后的抛物线顶点Q在原抛物线上， ∴设点， ∵点E在y轴上， ∴设点， ∵， ∴中点坐标：，中点坐标：， ∵四边形是平行四边形， ∴， 解得：． ∴， ∴平移后的函数表达式为：， 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的特征，解直角三角形的方法． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点A． (1)如果点A的坐标为，点在抛物线上，连接． ①求顶点P和点B的坐标； ②过抛物线上点D作轴，垂足为M，交线段于点E，如果，求点D的坐标； (2)连接，如果与x轴负半轴的夹角等于与的和，求k的值． 【答案】(1)①顶点；点；②点； (2)． 【分析】（1）①把代入求出解析式，化为一般式，即可求出顶点坐标；把B（3，m）代入求出m的值即可得点B坐标；②先求出的解析式，根据，列出等式即可求点D的坐标． （2）过点P分别作轴，轴，垂足为Q、N，构建直角三角形，从而得到，，即可建立等式求出k的值． 【详解】（1）解：如图1，① 把代入， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为 ∴顶点 把代入，得， ∴点， ②∵， 可得直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴， 解得 ∴点． （2）解：如图2，过点P分别作轴，轴，垂足为Q、N， 由题意可得，点， ∵， ∴， 由题意可得， ∵， ∴，即， ∴，解得， ∵， ∴ 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数、角的和差等综合内容，准确理解题干信息并正确作图是解题的关键． 题型09 特殊三角形或四边形 【典例1】．已知：抛物线经过点、，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧． 若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； 若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 【答案】(1)，顶点P的坐标是 (2)； 【分析】（1）把点和点的坐标代入二次函数的解析式，用待定系数法求解即可； （2）先求直线的解析式，设Q点的坐标是，再根据抛物线平称的规律求解即可； 抛物线与y轴的交点是D（0，），分两种情况：或，根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）由题意得：， ∴，抛物线的解析式为， ，顶点P的坐标是． （2）①设直线的解析式是， ∴， ∴， ∴直线的解析式是， 设Q点的坐标是，其中，此时抛物线的解析式是， ∵点B平移后得到的点C在x轴上， ∴抛物线向上平移了3个单位， ∴，即， ∴此时抛物线的解析式是，即． ②抛物线，与y轴的交点是D（0，）， 如果，即轴不合题意， 如果， ∵，， ∴， ∴， ∴， 作轴，则， ∴， ∵， ， ∴， 解得（不合题意，舍去）或， ∴， 此时抛物线的解析式是，即． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，二次函数的平移，二次函数与直角三角形综合，掌握二次函数的图象及性质，综合运用二次函数的知识解决问题是解题的关键． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，已知抛物线（为常数），抛物线与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧），顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)求证：的面积是一个定值，并求出这个值； (3)已知点，抛物线的顶点恰好落在的平分线上，点在抛物线上，若四边形为梯形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)1 (3)或 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积公式，即可求解； （3）当时，由点的坐标得，直线表达式中的值为 1 ，则直线的表达式为：，当时，同理可得，直线的表达式为：，分别味立和抛物线的表达式得：或，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入一次函数表达式得：， 则，即点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：，则， 则抛物线的表达式为：； （2）证明：设点的横坐标分别为， 令， 则为上述方程的两个根， 则， 则点， 则， 则， 则的面积为定值； （3）解：如图，∵恰好落在的平分线上，则， ∵点的纵坐标相同，则， 则， 则， 则， 即， 解得：（ 不合题意的值已舍去）， 则抛物线的表达式为：， 则点的坐标分别为：； 四边形为梯形， 当时， 设直线表达式为， 由点的坐标得，解得：， 直线表达式为， 设直线的表达式为：，代入，得：，解得：， 则直线的表达式为：， 当时， 设直线表达式为， 由点的坐标得，解得：， 直线表达式为， 设直线的表达式为：，代入，得：，解得：， 则直线的表达式为：， 分别联立和抛物线的表达式得：或， 解得：或（不合题意的值已舍去）， 即点或． 【变式2】．如图，已知抛物线经过点，与轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点是点，且点的横坐标与纵坐标相等． (1)求该抛物线的表达式； (2)直线与抛物线交于点，与线段交于点（不与点、重合），那么的值是否随的变化而变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，试说明如何变化； (3)上下平移该抛物线，如果新抛物线上存在点，轴上存在点，使得四边形是菱形，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)； (2)的值不变，且，理由见解析 (3)新抛物线的解析式为或． 【分析】（1）由题意求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）的值不变，且，先求得直线的解析式为，求得，，再用表示出，和的长，代入求解即可； （3）设平移后的解析式为，再设，，由四边形是菱形，则其对角线和相互平分，且，利用中点坐标公式和两点之间的距离公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴， ∵点关于抛物线对称轴的对称点是点， ∴，又点的横坐标与纵坐标相等， ∴， ∴， 将代入得， 整理得， ∴或， 当时，，，此时和重合，不符合题意； ∴， ∵抛物线经过点， ∴，即， 解得， ∴，， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：的值不变，且，理由如下， 如图， ∵直线与与线段交于点（不与点、重合）， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：设平移后的解析式为， ∵点在上，点在轴上， ∴设，， ∵四边形是菱形， ∴其对角线和相互平分，且， ∵，， ∴的中点为， 的中点为， ∴，， 解得， 将代入， 并整理得， ∴， 由两点之间的距离公式得， ， ∵， ∴， ∴，即， 当时，， 则， ∴， ∴； 当时， ， 则， ∴， ∴； 综上，新抛物线的解析式为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、轴对称的性质、平行四边形的性质及中点坐标公式、解一元二次方程，熟练掌握轴对称的性质、二次函数的图象与性质、平行四边形的性质是解题的关键． 一、单选题 1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原价为100万元，一年后的价格是100×（1-x），二年后的价格是为：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2，则函数解析式求得． 【详解】解：由题意得：二年后的价格是为：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2， 则函数解析式是：y=100（1-x）2． 故选A． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，需注意第二年的价位是在第一年的价位的基础上降价的． 2．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（　　） A．米 B．8米 C．10米 D．2米 【答案】B 【分析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线，与x轴交点的横坐标，即当y＝0时，求x的值即可． 【详解】解：当y＝0时，即＝0， 解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8， 所以小宇此次实心球训练的成绩为8米， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 3．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为y，则y关于x的函数表达式为（　　） A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52） B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52） C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52） D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52） 【答案】A 【分析】直接根据题意表示出垂直与墙饲养室的一边长，再利用矩形面积求法得出答案． 【详解】解：y关于x的函数表达式为：y（50+2﹣x）x x2+26x（2≤x＜52）． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系，正确表示出另一边长是解题关键． 4．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】D 【分析】首先建立坐标系，然后利用待定系数法求得函数的解析式，然后令y=0，即可求解． 【详解】如图建立坐标系： 抛物线的顶点坐标是（1，4）， 设抛物线的解析式是y=a（x-1）2+4， 把（0，3）代入解析式得：a+4=3， 解得：a=-1， 则抛物线的解析式是：y=-（x-1）2+4， 当y=0时，-（x-1）2+4=0， 解得：x1=3，x2=-1（舍去）， 则水池的最小半径是3米． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式是本题的关键． 5．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论： ①； ②池底所在抛物线的解析式为； ③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m； ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半， 则最深处到水面的距离减少为原来的． 其中结论正确的是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】根据两点距离公式可计算AB长度，由图像可知抛物线的对称轴和点坐标，设出抛物线解析式，将已知点坐标代入即可得出抛物线方程，进而逐项判断即可． 【详解】①由题可知，AB=15－（﹣15）=30m，则①错误； ②对称轴为y轴，交y轴于点(0，﹣5)，设函数解析式为 ,将点(15,0)代入解析式得，解得，池底所在抛物线解析式为，则②正确； ③将代入解析式得 ，解得，则池塘最深处到水面CD的距离为m,则③错误； ④设原宽度为时最深处到水面的距离为m，宽度减少为原来的一半时距离为m，故④正确， 所以①、③错误，②、④正确， 选项B正确，符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的图像与性质的实际应用，关键是结合图像设出适当的解析式，利用待定系数法求解． 6．已知抛物线的图象与轴交于，两点（点在点的左则），与轴交于点，连接，直线与轴交于点D，交上方的拋物线于点，交于点，下列结论中错误的是（    ） A．点C的坐标是 B． C．当的值取得最大时， D．是直角三角形 【答案】C 【分析】令，，可判断选项A正确；求得点D的坐标是，可判断选项B正确；求得，，利用勾股定理的逆定理可判断选项D正确；由题意知，点E位于y轴右侧，作轴，交于点G，根据平行线截线段成比例将求的最大值转化为求的最大值，所以利用一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式以及配方法解题即可． 【详解】解：令，， ∴点C的坐标是，故选项A正确； 令，，则点D的坐标是， ∴，故选项B正确； 令，则， 解得， ∴，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，故选项D正确； 由题意知，点E位于y轴右侧，作轴，交于点G， ∴， ∴． ∵直线与y轴交于点D，则． ∴． ∴． 设所在直线的解析式为． 将，代入，得． 解得． ∴直线的解析式是． 设，则，其中． ∴． ∴． ∵， ∴当时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是． 代入，得， 解得，故选项C错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数综合题型，需要综合运用一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法，待定系数法确定函数关系式以及平行线截线段成比例等知识点，综合性较强． 二、填空题 7．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为 ． 【答案】3.75 【分析】根据二次函数的对称轴公式直接计算即可． 【详解】解：∵的对称轴为（min）， 故：最佳加工时间为3.75min， 故答案为：3.75． 【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是解题关键． 8．如图，以地面为x轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是 米． 【答案】10 【分析】成绩就是当高度y=0时x的值，所以解方程可求解． 【详解】解：当y=0时，， 解得：（不合题意，舍去）， 所以推铅球的距离是10米； 故答案为：10． 【点睛】本题考查了把函数问题转化为方程问题，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法． 9．如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则拱高OC为 米 【答案】0.64 【分析】根据抛物线，建立直角坐标系，求出抛物线解析式，即可求得OC的长． 【详解】 解：如图，以点C为坐标系原点，OC所在直线为y轴，建立直角坐标系． 设抛物线的解析式为， 由题意可知：点A的横坐标为－0.8，点F的横坐标为－0.6， 代入， 有，， 点A的纵坐标即为OC的长， ∴0.36a＋0.28＝0.64a， 解得a＝1， ∴抛物线解析式为， ， 故OC的长为：0.64m． 【点睛】本题考查根据抛物线构建直角坐标系，解决实际问题，熟练掌握二次函数相关知识点是解题的关键． 10．如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度为，顶点M距水面（即），小孔顶点N距水面（即）．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度是 m． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出大孔抛物线的解析式，然后根据NC的长即可求出点E、F的坐标，从而求出结论． 【详解】解：设大孔抛物线的解析式为， 把点解析式，得 ，解得， 因此大孔抛物线的解析式为； 由，可知点F的纵坐标为4， 代入解析式， 解得． 所以， 所以． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用待定系数法求二次函数解析式是解决此题的关键． 11．已知抛物线的顶点为A，交y轴于点B；抛物线的顶点为C，交y轴于点D．若，且以A，B，C，D四点为顶点的四边形为矩形，则 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的性质分别求出A，B，C，D四点坐标，结合矩形性质列式求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 当时，，当时，， ∴，， 当时，，当时，， ∴，，， ∴该四边形是、作对角线， ∵四边形为矩形，， ∴，即：， 化简得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，矩形的性质，解题的关键是求出A，B，C，D四点坐标，并确定其位置，利用矩形性质列式求解． 三、解答题 12．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? (2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 【答案】(1)4s； (2)小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【分析】（1）落地即，由题意得：，即可解得的取值． （2）将函数解析式配方成顶点式可得最值； 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s． （2）解：， 当时，取得最大值m； 答：在飞行过程中，小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 13．某架飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足函数关系．由电子监测获得滑行时间与滑行距离的几组数据如下： 滑行时间x/s 滑行距离y/m (1)根据上述数据，求出满足的函数关系式； (2)飞机着陆后滑行多远才能停下来？此时滑行的时间是多少？ 【答案】(1) (2)飞机着陆后滑行才能停下来，此时滑行的时间是 【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式； （2）根据题意和二次函数的性质，当滑行距离取最大值时求出对应的滑行时间即可． 【详解】（1）解：根据表格可以得出函数图像过点，， ∴， 解得：， ∴函数关系式为：． （2）根据题意，飞机着陆后滑行一段距离停下来，此时滑行距离取得最大值， ∵函数关系式为，且， 当时，最大值， ∴飞机着陆后滑行才能停下来，此时滑行的时间是． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的函数关系式． 14．已知二次函数自变量x的值和它对应的函数值y如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 m … (1)求该二次函数的解析式 (2)设该二次函数图像与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图像上点C的横坐标为4．求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）先根据待定系数法求出二次函数的解析式； （2）先求出的值，根据二次函数图象的对称性及已知表格可求得点B、A、C的坐标，再过B作轴，过C作，垂足为D，过A作，垂足为E，如图，则D、E的坐标可求，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：根据二次函数图象的对称性，设该二次函数的解析式为， ∵点是图象上一点， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为，即； （2）解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， 当时，， ∴m的值为3； 根据二次函数图象的对称性及已知表格可得点B、A、C的坐标分别是、、， 过B作轴，过C作，垂足为D，过A作，垂足为E，如图所示． 则D、E的坐标分别为、． ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的图象与性质以及三角形的面积等知识，属于基本题型，熟练掌握以上基本知识是解题关键． 15．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为． (1)求落水点C、D之间的距离； (2)若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高． 【答案】(1)22米 (2)雕塑EF的高为米 【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离； （2）代入x＝10求出y值即可． 【详解】（1）解：当y＝0时，， 解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11， ∴点D的坐标为（11，0）， ∴OD＝11m． ∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴OC＝OD＝11m， ∴CD＝OC+OD＝22m． （2）解：∵，， 当x＝10时，， ∴点F（10，） ∴雕塑EF的高为米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线上横坐标为10的点的坐标． 16．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB； (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 【答案】(1)y＝﹣x2＋x（0≤x≤40） (2)能飞越，理由见解析 (3)8.1米 【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案； （2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可； （3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝x，设抛物线上一点P（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t），用含t的式子表示出d关于t的表达式，再利用二次函数的性质可得答案； 【详解】（1）解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2＋10． 把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣． ∴y＝﹣（x﹣20）2＋10．即y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）． （2）解：把x＝30代入y＝﹣x2＋x，得y＝﹣×900＋30＝7.5． ∵7.5＞3＋3，∴石块能飞越防御墙AB． （3）解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）． 把（30，3）代入，得3＝30k， ∴k＝． 故直线OA的解析式为y＝x． 设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣t2＋t）． 过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t）． ∴PQ＝﹣t2＋t﹣t＝﹣t2＋t＝﹣（t﹣18）2＋8.1． ∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1． 答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 17．已知直线与轴相交于点，与抛物线相交于、两点． (1)求点、点的坐标及抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)若点是轴上一点．且．求点坐标． 【答案】(1)，，抛物线解析式为 (2)15 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求一次函数解析式： （1）先求出一次函数解析式，进而求出点A坐标，再求出抛物线解析式，进而联立两函数解析式求出点C的坐标即可； （2）根据列式计算即可； （3）过点C作轴于D，可证明是等腰直角三角形，得到；当点Q在点A上方时，，当点Q在点A下方时，，两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 把代入中得，解得， ∴抛物线解析式为， 联立，解得或， ∴ （2）解： ； （3）解：如图所示，过点C作轴于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 当点Q在点A上方时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为； 当点Q在点A下方时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 18．如图，已知抛物线经过点，与轴交于点A、． (1)求抛物线的顶点的坐标； (2)点在抛物线的对称轴上，且位于轴的下方，将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； (3)点，点在坐标平面内，且为等边三角形（点、、顺时针排列）时，连结，试求直线与抛物线交点的坐标，若能，请求出，若不能请说明理由． 【答案】(1)顶点D的坐标 (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，再将解析式化为顶点式即可求解； （2）由折叠可知，，在中，，在中，，解得，即可得； （3）由（2）可知是等边三角形，证明，可得，在中，，，可求，则直线的解析式为，直线与抛物线的交点为G． 【详解】（1）解：将点，代入, ∴， 解得， ∴； ∵， ∴顶点D的坐标； （2）解：由折叠结合抛物线的对称性可知，， 当时，， 解得或， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）解：设直线与对称轴的交点为T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时， 解得或， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 19．抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点为顶点． (1)求点及点的坐标． (2)连接，，抛物线的对称轴与轴交于点． 若线段上一点，使，求点的坐标． 若第一象限抛物线上一点，作，交直线于点，使，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为， 点的坐标为 (2)点的坐标为．点的坐标为 【分析】（1）令，解一元二次方程，确定点的坐标；将抛物线的解析式配方写成顶点式即可确定顶点的坐标． （2）根据抛物线解析式得到点、点的坐标．连接，过点作于，由勾股定理得出、的长，通过边角关系证明为直角三角形，分别延长、，与轴相交于点，． 根据两组角对应相等的两三角形相似证明，根据相似三角形对应边成比例得到，即，运用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立两个解析式解方程组，即可求出点的坐标． 设交轴于点，过点作轴于点，先证明，由相似三角形对应边成比例得出．设，再证明，均为等腰直角三角形，然后用含的代数式表示点的坐标，将其代入抛物线解析式中，求出的值，进而得到点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点（点在点左侧）， 当时，，解得或， 点的坐标为． ， 顶点的坐标为； （2）解：抛物线与轴交于点， 点坐标为， ， ，， 对称轴为直线， 点的坐标为． 如图，连接，过点作于， 则点坐标为， 点的坐标为； ， ，， ， 为直角三角形． 分别延长、，与轴相交于点，． ， ， ， ， 又， ， ， 即， ，即， 设直线的解析式为， 则有： ，解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则有： ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得， 点的坐标为；   如图，点在第一象限抛物线上，设交轴于点，过点作轴于点． ∵，，， ， ， ，， ， ， 即， ． 设，则， ， 轴， ， 为等腰直角三角形， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 将点代入抛物线， 得到，解得 或（舍去）， ． 所以，当时，点的坐标为． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，熟练应用各知识点是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.5 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质（第2课时） 教学目标 1. 学会列二次函数解应用题； 2. 知道建立二次函数模型求解实际问题； 3. 初步掌握利用二次函数解决几何问题。 教学重难点 1.重点 （1）解二次函数的实际问题的一般步骤； （2）二次函数、平面直角坐标系、几何问题综合； （3）掌握一些常见二次函数的几何应用题型，如角度问题等。 2.难点 （1）坐标、二次函数、几何图形的性质相互转化；分类讨论思想； （2）二次函数y=ax2+bx+c的综合应用。 知识点1 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用 一、列二次函数解应用题 　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 要点： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 二、建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤： （1）恰当地建立直角坐标系； （2）将已知条件转化为点的坐标； （3）合理地设出所求函数关系式； （4）代入已知条件或点的坐标，求出关系式； （5）利用关系式求解问题． 要点： (1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. (2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： 　　①首先必须了解二次函数的基本性质； 　②学会从实际问题中建立二次函数的模型； 　　③借助二次函数的性质来解决实际问题. 【即学即练】 1．某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x(x＞0)，十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是 ． 2．如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米． 3．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是 米．（结果保留根号） 4．一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度与水平距离之间的关系是，则这名男生抛实心球的成绩是 ． 5．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．    题型01 增长率问题 【典例1】．据统计，7月份我国新能源汽车的销量为98万辆，8，9月份销量逐月增加．若第三季度的累计销量为万辆，平均月增长率为，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 ．（不写定义域） 题型02 拱桥问题 【典例1】．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是米，跨度是米，在线段上离中心处米的地方，桥的高度是 米 【变式1】．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升 米． 【变式2】．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知米，距离点2米处的棚高为米，若借助横梁建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁的长度是 米． 题型03 销售问题 【典例1】．某超市销售一种商品，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，销售单价只能为，那么一周可获得最大利润是（　　） A．1 558元 B．1 550元 C．1 508元 D．20元 【变式1】．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 设每天的总利润为W（元），则W与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 题型04 喷水问题 【典例1】．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 【变式1】．如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度（）与水平距离（）之间的关系如图2所示，点为该水流的最高点，点为该水流的落地点，且，垂足为点，．若，，则的长为 ． 【变式2】．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅在调试时发现：喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距O点． 题型05 投篮问题 【典例1】．如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为（米），已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，由此可知小童此次实心球训练的成绩为（    ） A．6米 B．7米 C．8米 D．9米 【变式2】．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的有（   ） ①此抛物线的解析式是 ②篮圈中心的坐标是 ③此抛物线的顶点坐标是 ④篮球出手时离地面的高度是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型06 面积问题 【典例1】．以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点所构成的三角形的面积为 ． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，B，C为抛物线与x轴的交点，以为直角边在x轴上方作等腰直角三角形，且，则的面积是 ． 【变式2】．如图，抛物线 与x轴交于点，两点， 顶点D纵坐标为4，连接交y轴于点C，连接，，点E是抛物线上一动点，的面积与的面积相等，则点E的横坐标为 ． 题型07 角度问题Ⅰ 【典例1】．已知：如图，抛物线内的的三个顶点都在抛物线上：其中点为抛物线的顶点，点的坐标为，点的坐标为． （1） ． （2）在轴上有一点，则点的坐标为 ． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为 ． 【变式2】．已知点P为二次函数图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于C点，若，则点P的横坐标的值为 ． 题型08 角度问题Ⅱ 【典例1】．已知开口向下的抛物线y=ax2-2ax+2与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线BD与x轴交于点M，直线AB与直线OD交于点N． (1)求点D的坐标. (2)求点M的坐标(用含a的代数式表示). (3)当点N在第一象限，且∠OMB=∠ONA时，求a的值．    【变式1】．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，且与x轴的另一个交点为B，抛物线的顶点为P． (1)求抛物线的表达式； (2)如果抛物线的对称轴与直线交于点D，求的值； (3)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于点E，顶点Q在原抛物线上．当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点A． (1)如果点A的坐标为，点在抛物线上，连接． ①求顶点P和点B的坐标； ②过抛物线上点D作轴，垂足为M，交线段于点E，如果，求点D的坐标； (2)连接，如果与x轴负半轴的夹角等于与的和，求k的值． 题型09 特殊三角形或四边形 【典例1】．已知：抛物线经过点、，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧． 若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； 若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，已知抛物线（为常数），抛物线与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧），顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)求证：的面积是一个定值，并求出这个值； (3)已知点，抛物线的顶点恰好落在的平分线上，点在抛物线上，若四边形为梯形，求点的坐标． 【变式2】．如图，已知抛物线经过点，与轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点是点，且点的横坐标与纵坐标相等． (1)求该抛物线的表达式； (2)直线与抛物线交于点，与线段交于点（不与点、重合），那么的值是否随的变化而变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，试说明如何变化； (3)上下平移该抛物线，如果新抛物线上存在点，轴上存在点，使得四边形是菱形，求新抛物线的表达式． 一、单选题 1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（　　） A．米 B．8米 C．10米 D．2米 3．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为y，则y关于x的函数表达式为（　　） A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52） B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52） C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52） D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52） 4．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 5．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论： ①； ②池底所在抛物线的解析式为； ③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m； ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半， 则最深处到水面的距离减少为原来的． 其中结论正确的是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 6．已知抛物线的图象与轴交于，两点（点在点的左则），与轴交于点，连接，直线与轴交于点D，交上方的拋物线于点，交于点，下列结论中错误的是（    ） A．点C的坐标是 B． C．当的值取得最大时， D．是直角三角形 二、填空题 7．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为 ． 8．如图，以地面为x轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是 米． 9．如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则拱高OC为 米 10．如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度为，顶点M距水面（即），小孔顶点N距水面（即）．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度是 m． 11．已知抛物线的顶点为A，交y轴于点B；抛物线的顶点为C，交y轴于点D．若，且以A，B，C，D四点为顶点的四边形为矩形，则 ． 三、解答题 12．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? (2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 13．某架飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足函数关系．由电子监测获得滑行时间与滑行距离的几组数据如下： 滑行时间x/s 滑行距离y/m (1)根据上述数据，求出满足的函数关系式； (2)飞机着陆后滑行多远才能停下来？此时滑行的时间是多少？ 14．已知二次函数自变量x的值和它对应的函数值y如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 m … (1)求该二次函数的解析式 (2)设该二次函数图像与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图像上点C的横坐标为4．求的面积． 15．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为． (1)求落水点C、D之间的距离； (2)若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高． 16．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB； (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 17．已知直线与轴相交于点，与抛物线相交于、两点． (1)求点、点的坐标及抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)若点是轴上一点．且．求点坐标． 18．如图，已知抛物线经过点，与轴交于点A、． (1)求抛物线的顶点的坐标； (2)点在抛物线的对称轴上，且位于轴的下方，将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； (3)点，点在坐标平面内，且为等边三角形（点、、顺时针排列）时，连结，试求直线与抛物线交点的坐标，若能，请求出，若不能请说明理由． 19．抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点为顶点． (1)求点及点的坐标． (2)连接，，抛物线的对称轴与轴交于点． 若线段上一点，使，求点的坐标． 若第一象限抛物线上一点，作，交直线于点，使，求点的坐标． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $