二 5 可化为一元一次方程的分式方程-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（湘教版2024）

22 分式乘除法中的常见问题 进行分式的乘除混合运算时,要先将算式中的除 式的分子分母颠倒位置或理解成除以一个不为0的数 等于乘这个数的倒数,将其统一成乘法,再计算结果. 切记运算顺序不能颠倒. 11. D 12. B 解析: x-2 x2-4x+4÷ 1 x+6= x-2 (x-2)2 ·(x+6)= x+6 x-2=1+ 8 x-2. 因为算式 x-2 x2-4x+4÷ 1 x+6 的值为F, 所以F=1+ 8x-2 (x≠2且x≠-6).因为F 为整数,所 以 8 x-2 为整数.所以当x-2=±1,±2,±4,±8,即当 x=3,1,4,0,6,-2,10,-6时,1+ 8x-2 的值为整数.因 为x≠-6,所以当x=3,1,4,0,6,-2,10时,F 为整 数.所以F 可以取到的整数值有7个. 13. x2-6x+9 x-2 ÷ x+2- 5 x-2 = (x-3) 2 x-2 ÷ x2-4 x-2- 5 x-2 = (x-3) 2 x-2 ÷ x2-9 x-2 = (x-3)2 x-2 · x-2 (x+3)(x-3)= x-3 x+3. 因为x-2≠0,(x+3)(x-3)≠ 0,则x≠2且x≠±3,所以x可取0或1.当x=0时,原 式=-33 =-1. 或当x=1时,原式=1-31+3=-12 忽视使式子有意义的条件致错 分式的化简求值运算中,若仅仅考虑问题中提供 的条件,而忽视分式本身所隐含的条件,则易导致所确 定的字母的值使原式没有意义. 14. 正确.理由:因为 x 2-4 x2+x+1÷ x2-2x x3+x2+x · 1 x+2= (x+2)(x-2) x2+x+1 ·x(x 2+x+1) x(x-2) · 1 x+2=1 ,即不论x 取 何值(分式有意义),代数式的值都是1,所以琪琪的说法 是正确的. 15. 甲工程队修900m所用的时间为 900a2-4 天,乙工程队 修600m所用的时间为 600(a-2)2 天.根据题意,得 900a2-4÷ 600 (a-2)2= 900 (a+2)(a-2) ·(a-2) 2 600 = 3a-6 2a+4. 所以甲工 程队修900m所用的时间是乙工程队修600m所用的时 间的3a-6 2a+4 倍. 4 整数指数幂 知识梳理 1. 不变 相减 am-n 2. 1 1 3. 1 an 1 a n 1a 4. 0.00…0︸ n 个 0 1=10-n 5. (1) am+n (2) amn (3) anbn (4) an bn 典例演练 典例1 (1) a4÷a=a4-1=a3.(2) -15a 5 ÷ -15a 2 = -15a 5-2 = -15a 3 = -15 3 · a3 = - 1125a 3.(3) (x2y)k+2 ÷ (x2y)k-1 = (x2y)k+2-(k-1)=(x2y)3=x6y3.(4) m7÷m3÷m2= m7-3-2=m2. 典例2 8 典例3 (1) 1 (2) 1 (3) 1 8 (4) 3 (5) -18 (6) 8 27 典例4 B 预学训练 1. A 2. B 3. B 4. B 5. B 6. 4 7. b<a<d<c 解析:因为a=3-2=19 ,b=-32=-9, c= -12 -2 =4,d= -13 0 =1,-9<19<1<4 ,所 以它们的大小关系是b<a<d<c. 8. (1) 原式=-418. (2) 原式=9.(3) 原式=8.(4) 原 式=1324. 9. C 10. D 解析:因为(x-4)0-(2x-6)-2 有意义,所以 x-4≠0, 2x-6≠0, 解得x≠4且x≠3. 11. 3 12. 1 81 解析:因为3m=127 ,2-n=16,所以3m=3-3, 2-n=24.所以m=-3,-n=4.所以n=-4.所以mn= (-3)-4= 1(-3)4= 1 81. 13. (1) 原式=107.(2) 原式=102n+4. 5 可化为一元一次方程的分式方程 知识梳理 1. 未知数 2. 最简公分母 3. 等量关系 方程 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 典例演练 典例1 (1) 方程两边同乘x(x-1),得3x-2(x-1)= 0,解得x=-2.经检验,x=-2是原分式方程的解. (2) 方程两边同乘2x-1,得2x-5=3(2x-1),解得 x=-12. 经检验,x=-12 是原分式方程的解.(3) 方程 两边同乘x2-4,得2+x(x+2)=x2-4,解得x= -3.经检验,x=-3是原分式方程的解. 典例2 (1) 将x=3代入分式方程,得6+m=3,解得 m=-3.(2) 方程两边同乘x-2,得2x+m=3(x-2), 将x=2代入得4+m=0,即m=-4.所以当m=-4时, 此方程会产生增根. 典例3 (1) 设乙同学骑自行车的速度为x 米/分,则甲 同学的步行速度是1 2x 米/分,公交车的行驶速度是 2x米/分.根据题意,得6001 2x +3000-6002x = 3000 x -2 ,解 得x=300.经检验,x=300是原分式方程的解,且符合题 意.所以乙同学骑自行车的速度为300米/分.(2) 300× 2=600(米). 预学训练 1. B 2. B 3. A 4. C 5. 1 6. 3 7. (1) 方程两边同乘(x-4)(x+1),得2(x+1)=x-4, 解得x=-6.经检验,x=-6是原分式方程的解.(2) 方 程两边同乘x-2,得1-x=-1-2(x-2),解得x= 2.经检验,当x=2时,x-2=0,所以x=2不是原分式方 程的解.所以原分式方程无解.(3) 方程两边同乘(x+ 2)(x-2),得3(x-2)+2=x+2,解得x=3.经检验, x=3是原分式方程的解.(4) 方程两边同乘(x+1)(x- 1),得x(x+1)-(2x-1)=x2-1,解得x=2.经检验, x=2是原分式方程的解. 8. A 9. C 10. D 解析:因为a★b= 1a-b2 ,所以x★(-1)= 1 x-(-1)2 = 1 x-1. 所 以 1 x-1= x 3-3x ,即 1 x-1= - x3(x-1). 方程两边同乘3(x-1),得3=-x.解得 x=-3.经检验,x=-3是原分式方程的解.根据题意, 把x=-3代入到不等式(2-a)x-3>0中,得-3(2- a)-3>0,解得a>3. 11. 根据题意,得 x x+1=2. 方程两边同乘x+1,得x= 2(x+1),解得x=-2.经检验,x=-2是原分式方程的 解.所以x的值为-2. 12. (1) 根据题意,得 1 2x+3- -x x-5=1. 方程两边同乘 (2x+3)(x-5),得x-5+x(2x+3)=(2x+3)(x-5), 解得x=-1011. 经检验,x=-1011 是原分式方程的解. (2) 根据题意,得 1 2x+3- b-x x-5=1. 方程两边同乘(2x+ 3)(x-5),得x-5-(b-x)(2x+3)=(2x+3)(x- 5).整理,得(11-2b)x=3b-10.当11-2b=0,即b= 5.5时,方程无解;当11-2b≠0,2x+3=0或x-5=0, 即x=-1.5或x=5时,方程无解.把x=-1.5代入 (11-2b)x=3b-10,得-1.5(11-2b)=3b-10,此时b 不存在;把x=5代入(11-2b)x=3b-10,得5(11- 2b)=3b-10,解得b=5.综上所述,当a=1时,b的值为 5.5或5,分式方程 a2x+3- b-x x-5=1 无解. 分式方程无解问题 “原分式方程无解”隐含了两种情况,一是求出的 x值是分式方程化成的整式方程的解,但是这个解使 最简公分母的值为0;二是所化成的整式方程无解,所 以原分式方程无解. 分式预学检测 一、 1. C 2. D 3. B 分式有意义常见问题 判断分式是否有意义,要判断其分母是否为0,若 分母有可能为0,则分式在任何数下不一定有意义. 4. B 5. B 6. D 7. B 8. D 9. D 10. A 解析:原分式方程的最简公分母为x(x-2),由 原分式方程有增根,得x(x-2)=0,解得x=0或x= 2.原分式方程两边同乘x(x-2),得5x=a(x-2)+ 4.由此,可知x=2不是这个整式方程的解,所以增根可 能为x=0. 二、 11. x≠2且x≠3 12. -6b 13. 2 5 14. 3 2 解析:因为实数 m,n 满足|m-2|+(n- 2024)2=0,所以|m-2|=0,(n-2024)2=0.所以m- 2=0,n-2024=0,解得m=2,n=2024.所以m-1+ n0=2-1+(2024)0=12+1= 3 2. 15. 12 5 解析:已知 xy x+y=1 ,yz y+z=2 ,zx z+x=3 ,则 x+y xy =1 ,即1 y+ 1 x=1① ;y+z yz = 1 2 ,即1 y+ 1 z = 1 2 ②;z+xzx = 1 3 ,即1 x+ 1 z= 1 3③ ;②-③得到1y- 1 x= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 77 5　可化为一元一次方程的分式方程 1. 分母中含有 的方程叫作分式 方程. 2. 解可化为一元一次方程的分式方程的步骤 如下: 第一步,求出最简公分母,将方程两边同乘 ,把分式方程化为一元一次方程; 第二步,解所得到的一元一次方程; 第三步,检验一元一次方程的解是否为原分 式方程的解. 3. 用可化为一元一次方程的分式方程解决有 关实际问题的流程如下: 实际问题 分析题目 找出 → 设出未知数 列出 → 解方程 → 检验解 的合理性 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1(教材P53例1变式)解方程: (1) 3 x-1- 2 x=0 ; (2) 2x 2x-1+ 5 1-2x=3 ; (3) 2 x2-4- x 2-x=1. 首先确定各分母的最简公分母,然后去分 母,解整式方程,注意检验. 解答: 解有所悟:解分式方程时,注意以下易错点:(1) 去 分母时漏乘整式项;(2) 去分母后不添括号,弄错符 号;(3) 忘记检验. 典例2(教材P53例2变式)已知关于x的分式 方程2x x-2+ m x-2=3. (1) 当m 取何值时,此方程的解为x=3? (2) 当m 取何值时,此方程会产生增根? (1) 将x=3代入分式方程计算即可; (2) 将分式方程去分母转化成整式方程,将x= 2代入整式方程解出m 的值即可. 解答: 解有所悟:利用分式方程的增根求字母的值,可按 如下步骤进行: (1) 先将分式方程转化为整式方程; (2) 令最简公分母为0确定增根; (3) 将增根代入所化得的整式方程,求出字母的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 78 典例3 甲、乙两名同学的家与学校的距离均 为3000米.甲同学先步行600米,然后乘公交 车去学校,乙同学骑自行车去学校.已知甲同学 的步行速度是乙同学骑自行车速度的1 2 ,公交 车的行驶速度是乙同学骑自行车速度的2倍. 甲、乙两名同学分别同时从家出发去学校,结果 甲同学比乙同学早到2分钟. (1) 求乙同学骑自行车的速度; (2) 当甲同学到达学校时,乙同学距离学校还 有多远? (1) 设乙同学骑自行车的速度为x 米/ 分,则甲同学的步行速度是1 2x 米/分,公交车 的行驶速度是2x米/分,根据题意列方程即可. (2) 用乙同学骑自行车的速度乘还需骑行的时 间(2分钟)即可得到结果. 解答: 解有所悟:行程问题的常见公式为路程=速度×时 间,解题时需要注意准确表示出各个量,然后列出 方程.另外需注意实际问题中的分式方程要检验. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 在① 3x+2 3 =5 ;② 1 3 (x-1)+12 (x+1)= 4;③ -2x=1 ;④ 2 x+ 3x+7 x =-1 ;⑤ 1 x+ (3x-7)中,分式方程有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 乐乐解分式方程 2 x-1= 2x 3x-3-1 的过程如下: 解:方程两边同乘3(x-1),得6=2x- 3(x-1).① 去括号,得6=2x-3x-3.② 移项、合并同类项,得x=-9.③ 因为x=-9时,各分母均不为0, 所以原分式方程的解是x=-9.④ 以上步骤中,最开始出错的一步是 ( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3. 元旦前后,小丽两次到同一家超市购买同一 种彩带用于装饰.节前,按标价购买,用了 90元;节后,由于超市打折促销,按标价的五 折购买,用了60元,两次一共购买了35卷. 求这种彩带每卷的标价.设这种彩带每卷的 标价是x元,则可列方程为 ( ) A. 90 x+ 60 0.5x=35 B. 90 x+ 60 5x=35 C. 90 0.5x+ 60 x=35 D. 90 5x+ 60 x=35 4. 分式 3 1-x 与2 x 的值互为相反数,则x的值为 ( ) A. 1 B. -1 C. -2 D. -3 5. 若x=5是分式方程 1x-2= 2 x+a 的解,则a 的值为 . 6. 甲、乙两人站在一条道路的两端,同时出发, 相向而行,1.2小时后相遇.若甲走完这条道 路需2小时,则乙走完这条道路需 小时. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 79 7. 解方程: (1) 2 x-4= 1 x+1 ; (2) 1-x x-2= 1 2-x-2 ; (3) 3 x+2+ 2 x2-4= 1 x-2 ; (4) x x-1- 2x-1 x2-1=1. [综合提升] 8. 为处理污水,某市需要铺设一条长为4000米 的管道,为了尽量减少施工对交通所造成的 影响,实际施工时每天比原计划多铺设 10米,结果提前20天完成任务.根据题意, 可列方程为4000 x-10- 4000 x =20 ,则方程中的 x代表 ( ) A. 实际每天铺设管道的长度 B. 实际施工的天数 C. 原计划每天铺设管道的长度 D. 原计划施工的天数 9. 分式方程 12 x2-9- 2 x-3= 1 x+3 的解为( ) A. x=3 B. x=-3 C. 无解 D. x=3或-3 答案讲解 10. 对于a,b,定义a★b= 1a-b2 (等 式右侧为通常的运算),已知分式 方程x★(-1)= x3-3x 的解满足不等式 (2-a)x-3>0,则a的取值范围是( ) A. a<1B. a>1 C. a<3 D. a>3 答案讲解 11. 如图,点A,B 在数轴上,它们表示 的数分别为-2,xx+1 ,且点A,B 到原点的距离相等.求x的值. 第11题 12. ★有关于x的分式方程 a2x+3- b-x x-5=1. (1) 当a=1,b=0时,求分式方程的解; (2) 当a=1时,求b 为何值,分式方程 a 2x+3- b-x x-5=1 无解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备