一 3 公式法-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（湘教版2024）

58 3　公 式 法 1. 把乘法公式从右到左使用,就可以把某些形 式的多项式 ,这种 的方法 叫作公式法. 2. 平方差公式:(x+y)(x-y)= . 适合用平方差公式因式分解的多项式的特 点:(1) 必须是 式;(2) 两项符号 ;(3) 能写成 的形式. 3. 完全平方公式:(x+y)2=x2+2xy+y2, (x-y)2=x2-2xy+y2. 适合用完全平方公式因式分解的多项式的 特点:(1) 必须是 ;(2) 两个平方项 的符号 ;(3) 第三项是两个平方项 的 . 4. 因式分解的一般步骤:首先 , 然后运用 进行因式分解.因式分 解时,必须进行到每一个因式都不能分解 为止. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1(教材P11练习第1题变式)分解因式: (1) x2-4= ; (2) (m+1)2-16= . (1) 先把多项式x2-4写成x2-22 的形 式,再把x看成公式中的x,2看成公式中的y, 直接运用平方差公式分解因式.(2) 先把多项 式(m+1)2-16写成(m+1)2-42 的形式,再 把m+1看成公式中的x,4看成公式中的y, 直接运用平方差公式分解因式. 解答: 解有所悟:对符合平方差公式特点的多项式分解因 式的一般步骤:首先把它写成“( )2-?2”的形 式,确定公式中的x 和y,括号中的数就是公式中 的x,问号表示的数就是公式中的y,然后把结果对 应地写成(x+y)(x-y)的形式即可. 典例2(教材P11例5变式)分解因式: (1) 4a2-4a+1;(2) x2+x+14. (1) 先把多项式写成(2a)2-2·2a·1+ 12,把2a看成公式中的x,把1看成公式中的 y,用完全平方公式分解因式即可.(2) 先把多 项式写成x2+2·x·12+ 1 2 2 ,把x看成公式 中的x,把12 看成公式中的y,用完全平方公式 分解因式即可. 解答: 解有所悟:对符合完全平方公式特点的多项式分解 因式的一般步骤:首先把多项式写成“( )2+ 2·( )·? +?2”或“( )2-2·( )· ? +?2”的形式,确定公式中的x 和y,括号中的数 就是公式中的x,问号表示的数就是公式中的y,然后 把结果对应地写成(x+y)2或(x-y)2的形式即可. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 拍 照 批 改 59 [基础过关] 1. 下列多项式中,能用平方差公式分解因式 的为 ( ) A. a2+(-b)2 B. 5m2-20mn C. m2+1 D. -x2+25 2. ★ a3-a分解因式的正确结果是 ( ) A. a(a2-1) B. a(a-1)2 C. a(a-1)(a+1) D. a2 3. 若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分 解因式,则m 的值是 ( ) A. 2 B. -2 C. ±4 D. ±8 4. 已知一个正方形的面积是36x2+12xy+y2 (其中x>0,y>0),则表示该正方形边长的 多项式为 . 5. 把下列各式分解因式: (1) x2y2-1.21z2; (2) 81a4-b4; (3) 5x2y2-10xy+5; (4) 3ax2+6axy+3ay2. 6. 利用因式分解计算: (1) 20232-20222; (2) 1 5×13.3 2-15×11.7 2; (3) 6.52+7×6.5+3.52. [综合提升] 7. 多项式2x3-4x2+2x可以因式分解为 ( ) A. 2x(x-1)2 B. 2x(x+1)2 C. x(2x-1)2 D. x(2x+1)2 8. 已知x-y=2,则x2-y2-4y的值为 ( ) A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 答案讲解 9. 若x2+(m-3)x+4能用完全平方 公式进行因式分解,则常数m 的 值为 ( ) A. 1或5 B. 7或-1 C. 5 D. 7 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 60 10. 分解因式: (1) 3x3-12xy2= ; (2) a2(x-3y)+9b2(3y-x)= ; (3) x2-10x(y+1)+25(y+1)2= . 11. 如图,利用1个边长为a的正方形、1个边 长为b的正方形和2个长为a、宽为b的长 方形可拼成一个大正方形,从而可以验证 公式: . 第11题 12. 如图,在一张边长为acm的正方形纸片的 四角各剪下一个边长为bcm的小正方形, 求剩余部分的面积.如果a=13.2,b=3.4, 那么剩余部分的面积是多少? 第12题 答案讲解 13. 阅读下面分解因式的过程: x2-4y2-2x+4y =(x2-4y2)+(-2x+4y) =(x+2y)(x-2y)-2(x-2y) =(x-2y)(x+2y-2). 这种分解因式的方法叫作分组分解法,利 用这种方法解答下面的问题: (1) 分解因式:a2-4a-b2+4; (2) 若△ABC 的三边长a,b,c满足a2- ab-ac+bc=0,试判断△ABC 的形状. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 18 b-2=x2-x-2,得 2a+b=-1, b-2=-2, 解得 a=- 1 2 , b=0. 所以 3a2+4b3=3× -12 2 +0=34. 6. C 7. ①③④ 8. 因为(mx-4)(7x-n)=7mx2-mnx-28x+4n= 7mx2-(mn+28)x+4n,所以42x2-31x+2=7mx2- (mn+28)x+4n,得方程组 7m=42, 4n=2, 解得 m=6, n=12. 9. (1) 被墨水污染的一次式为(x-2)(2x+5)-(2x2+ 3x-6)=2x2+5x-4x-10-2x2-3x+6=-2x-4. (2) 根据题意,得-2x-4≥2,解得x≤-3.所以x 的取 值范围是x≤-3. 2 提公因式法 知识梳理 1. 相同 (1) 最大公因数 (2) 最低 2. 负号 符号 3. 公因式 公因式 4. + - 5. 相反数 典例演练 典例1 (1) 3xy (2) -2ab3(m-3)2 典例2 D 预学训练 1. D 2. B 3. -2xy(3x+5y-1) 4. (1) 原式=5x2(x-2).(2) 原式=ab(8a2b-12b2c+ 1).(3) 原式=-3m(m2-3m+5).(4) 原式=-3xy2· (2x-y+2). 5. (1) 原式=(x-3)2-(x-3)=(x-3)(x-3-1)= (x-3)(x-4).(2) 原式=2x(a-b)-3y(a-b)=(a- b)(2x-3y).(3) 原式=2m(m-n)2+8m2(m-n)= 2m(m-n)[(m-n)+4m]=2m(m-n)(5m-n). (4) 原式=-4(m-n)2b·2+4(m-n)2b·3b-4(m- n)2b·b3=-4(m-n)2b(2-3b+b3). 6. D 7. B 解析:因为长、宽分别为a,b的长方形的周长为 10,面积为6,所以2(a+b)=10,ab=6,则a+b=5,故 ab2+a2b=ab(b+a)=6×5=30. 8. 1 4a (8b2-24a+1) 9. (1) 原式=-4a(a2-a+4).(2) 原式=[-2a(x- y)]·a2+[-2a(x-y)]·(-3a)+[-2a(x-y)]= -2a(x-y)(a2-3a+1).(3) 原式=4x(x-y)2+ 12(x-y)3=4(x-y)2[x+3(x-y)]=4(x-y)2(4x- 3y).(4) 原式=x2(x-y)-4x(x-y)=x(x-y)· (x-4). 10. (1) 原式=(-2)2023×(1-2)=22023.(2) 原式= 13.2×(1.34+10.66-2)=13.2×10=132. 11. 原式=15a(b+4)(a-2).当a=2,b=-2时,原式= 15×2×(-2+4)×(2-2)=0. 12. (1) 提公因式;2.(2) 2022;(1+x)2023.(3) 原式= (1+x)[1+x+x(1+x)+…+x(1+x)n-1]=(1+ x)2[1+x+x(1+x)+…+x(1+x)n-2]=(1+x)n+1. 3 公 式 法 知识梳理 1. 因式分解 因式分解 2. x2-y2 (1) 二项 (2) 相 反 (3) 平方差 3. (1) 三项式 (2) 相同 (3) 底数的 积的2倍或底数的积的2倍的相反数 4. 提取公因式 公式法 典例演练 典例1 (1) (x+2)(x-2) (2) (m+5)(m-3) 典例2 (1) 原式=(2a)2-2·2a·1+12=(2a-1)2. (2) 原式=x2+2·x·12+ 1 2 2 = x+12 2 . 预学训练 1. D 2. C 因分解不彻底致错 对于某些复杂形式的多项式,因式分解时可能用 到不止一次公式进行因式分解才能分解彻底. 3. C 4. 6x+y 5. (1) 原式=(xy+1.1z)(xy-1.1z).(2) 原式= (9a2+b2)(3a+b)(3a-b).(3) 原式=5(xy-1)2. (4) 原式=3a(x+y)2. 6. (1) 原式=(2023+2022)×(2023-2022)= 4045.(2) 原式=15× (13.3+11.7)×(13.3-11.7)= 8 .(3) 原式=6.52+2×6.5×3.5+3.52=(6.5+ 3.5)2=102=100. 7. A 8. C 9. B 解析:因为x2+(m-3)x+4能用完全平方公式进 行因式分解,所以m-3=±4,解得m=-1或7. 10. (1) 3x(x+2y)(x-2y) (2) (x-3y)(a-3b)(a+ 3b) (3) (x-5y-5)2 11. a2+2ab+b2=(a+b)2 12. 剩余部分的面积是(a2-4b2)cm2.当a=13.2,b= 3.4时,a2-4b2=(a+2b)(a-2b)=(13.2+3.4×2)× (13.2-3.4×2)=20×6.4=128,所以剩余部分的面积是 128cm2. 13. (1) a2-4a-b2+4=(a2-4a+4)+(-b2)=(a- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 19 2)2-b2=(a-2+b)(a-2-b).(2) 因为a2-ab-ac+ bc=0,所以(a2-ab)+(-ac+bc)=0,即a(a-b)- c(a-b)=0,即(a-b)(a-c)=0.所以a-b=0或a- c=0或a-b=0且a-c=0,即a=b或a=c或a=b= c.所以△ABC是等腰三角形或等边三角形. 因式分解预学检测 一、 1. C 2. C 3. C 4. A 5. C 6. D 7. C 8. C 9. D 解析:因为M=3x2-5x+2,N=2x2-3x+1,所 以M-N=(3x2-5x+2)-(2x2-3x+1)=3x2-5x+ 2-2x2+3x-1=x2-2x+1=(x-1)2≥0.所以 M≥N. 10. D 二、 11. 答案不唯一,如-1 12. 4y-2x 13. 2a(a+ 2)(a-2) 14. 16 15. m-2 16. 等腰三角形 17. 3 解析:根据题意,可得a-b=-1,a-c=-2,b- c=-1.设S=a2+b2+c2-ab-ac-bc,则2S=2a2+ 2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=(a2-2ab+b2)+(a2- 2ac+c2)+(b2-2bc+c2)=(a-b)2+(a-c)2+(b- c)2=(-1)2+(-2)2+(-1)2=6,所以S=3.所以a2+ b2+c2-ab-ac-bc=3. 18. 8a+12b 三、 19. (1) 原式=(a-3)(m-2).(2) 原式=(y- 4x)(4x+y).(3) 原式=[2(x+y)+3(x-y)][2(x+ y)-3(x-y)]=(5x-y)(5y-x). 20. (1) 原式=39×37-13×3×33=39×37-39×27= 39×(37-27)=390.(2) 原式=(30.25-20.25)2+ 1012+9 1 2 × 1012-912 =102+20×1=100+ 20=120. 21. 答案不唯一,如这个单项式可以是81 4x 4,则9x2+ 81 4x 4+1= 92x 2+1 2. 22. 根据题意,得剩余部分的面积为(a2-4b2)平方厘 米.当a=9.82,b=2.41时,a2-4b2=(a+2b)(a- 2b)=(9.82+2×2.41)×(9.82-2×2.41)=14.64×5= 73.2.所以剩余部分的面积为73.2平方厘米. 23. 原式=4x2+4x+1-1-3=(4x2+4x+1)-4= (2x+1)2-4=(2x+1+2)(2x+1-2)=(2x+3)(2x-1). 24. (1) 是;不是.(2) 由这两个连续奇数构造的“奇特数” 是8的倍数.理由:因为(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+ 2n-1)(2n+1-2n+1)=4n·2=8n,n为正整数,所以 由这两 个 连 续 奇 数 构 造 的“奇 特 数”是8的 倍 数. (3) S涂色=992-972+952-932+912-892+…+72- 52+32-12=(99+97)×(99-97)+(95+93)×(95- 93)+(91+89)×(91-89)+…+(7+5)×(7-5)+(3+ 1)×(3-1)=(99+97+95+93+91+89+…+3+1)× 2= (1+99)×50 2 ×2=5000. 二　分　式 1 分式的概念及基本性质 知识梳理 1. 分子 分母 2. 等于0 不等于0 分子 分母 3. 不为0 4. 公因式 公因式 典例演练 典例1 (1) ①②③⑤⑥⑧;①⑤⑥⑧.(2) 分式x+3 x2-9 的 值不能等于0.若分式x+3x2-9 的值等于0,则x+3=0, x=-3.当x=-3时,分母x2-9=0,分式无意义,所以 分式x+3 x2-9 的值不能等于0.(3) 将x=1代入分式得 1+3 1-3=-2. 典例2 (1) 21a3b4c 56a2b5d= 7a2b4·3ac 7a2b4·8bd= 3ac 8bd. (2) ax2-4ay2 x2-4xy+4y2 =a (x+2y)(x-2y) (x-2y)2 =ax+2ayx-2y . 预学训练 1. B 2. C 3. D 4. C 5. D 分式符号的变化规律 一个分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其 中任意两 个,分 式 的 值 不 变,可 用 字 母 表 示:A B = --AB =- A -B= -A -B. 切记不能三个同时变号,也不 能单变一个,否则分式的值会发生变化. 6. x≠1 7. 16a+20b a+b 17.5 解析:根据题意,得甲、乙两种糖果 混合后共有(a+b)千克,甲、乙两种糖果共售(16a+ 20b)元.所以将甲、乙两种糖果混合后平均每千克的售价 应为16a+20b a+b 元.当a=25,b=15时,16a+20ba+b = 16×25+20×15 25+15 =17.5. 所以混合后的糖果平均每千克 的售价为17.5元. 8. (1) 根据题意,得6x+18≠0,解得x≠-3.所以当 x≠-3时,分式3x-196x+18 有意义.(2) 根据题意,得3x+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈