一 1 多项式的因式分解-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（湘教版2024）

53 一　因式分解 1　多项式的因式分解 1. 一般地,对于多项式f与g,如果有多项式h 使得f=gh,那么把 g 叫 作f 的 一 个 .此时,h也是f的一个 . 2. 一般地,把一个多项式表示成若干个多项式 的 形式,称为把这个多项式因式分 解,也称为分解因式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例(教材P3例2变式)下列等式从左到右的 变形中,属于因式分解的是 ( ) A. (x+1)(x-1)=x2-1 B. x2+2x+1=(x+1)2 C. x2+2x-1=x(x+2)-1 D. x(x-1)=x2-x 本题考查因式分解的定义. 解答: 解有所悟:一个等式从左边到右边的变形如果同时 满足下列三点:(1) 等式的左边是一个多项式; (2) 等式的右边是乘积的形式;(3) 等式右边的每 个因式都是整式,那么这个等式从左边到右边的变 形就是因式分解,反之,就不是因式分解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 下列变形从左到右属于因式分解的是 ( ) A. (x+4)(x-4)=x2-16 B. x2+2x+1=x(x+2)+1 C. -2x(x+y)=-2x2-2xy D. x2-12x+36=(x-6)2 2. 若多项式x2+px+q 因式分解的结果为 (x+5)(x-4),则p+q的值为 ( ) A. -19 B. -20 C. 1 D. 9 3. (a-2b)(a+2b)是将多项式 分解 因式的结果. 4. 学习了多项式的因式分解后,对于“x2+1= xx+1x ”这种变形是否为因式分解,小明 和小红有着不同的看法. 小明:这种变形不是因式分解. 小红:等式右边是乘积的形式,因此是因式 分解. 你同意谁的看法? 请说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 54 5. 若多项式x2+(2a+b)x+b-2因式分解的 结果为(x+1)(x-2),求代数式3a2+4b3 的值. [综合提升] 6. 若多项式x2+mx+49可分解因式为(x- 7)2,则m 的值为 ( ) A. -7 B. 7 C. -14 D. 14 7. 如图,一个边长为a 的小正方形和两个长、 宽分别为a,b的小长方形拼成一个大长方 形,整个图形可表达出几个有关多项式因式 分解的等式.有下列式子:① a2+2ab= a(a+2b);② a(a+2b2)=a2+2ab2; ③ a(a+b)+ab=a(a+2b);④ a(a+2b)- ab=a(a+b),其中,因式分解正确的是 .(填序号) 第7题 8. 若42x2-31x+2能分解成两个一次二项式 的乘积,且有一个因式为mx-4,另一个因 式为7x-n,其中 m,n 为常数,求 m,n 的值. 答案讲解 9. 2x2+3x-6+■=(x-2)(2x+5) 是一个正确的因式分解,但是其中 部分一次式被墨水污染看不清了. (1) 求被墨水污染的一次式; (2) 若被墨水污染的一次式的值不小于2, 求x的取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 17 15.设点P 的运动时间为x秒.分情况讨论:① 当点P 在 点A,B 之间时,设PA=x,则PB=6-x.因为M 为PA 的中点,所以PM=AM=x2. 因为N 为PB 的中点,所以 PN=BN=6-x2 . 所以MN=PM+PN=x2+ 6-x 2 = 3.② 当点P 在点B 的右侧时,设PA=x,则PB=x- 6.因为M 为PA 的中点,所以PM=AM=x2. 因为N 为 PB 的中点,所以PN=BN=x-62 . 所以 MN=PM- PN=x2- x-6 2 =3.综上所述,线段MN 的长度不发生 变化. (3) 8或10或14.5或15.5. 解析:由(2),得AB=6, BC=15.所以AC=AB+BC=21.设点P 从点B 开始运 动t秒后,P,Q 两点之间的距离为2,则BP=t,AQ= 3t.因为点P 以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动, 点Q 以每秒3个单位长度的速度在点A,C 之间往返运 动,所以点P 从点A 运动到点B 的时间为6÷1=6(秒), 点P 从点B 运动至点C 的时间为15÷1=15(秒),点Q 从点A 运动至点C 的时间为21÷3=7(秒).所以可将P, Q 两点之间距离为2的情况进行分类讨论:① 如图①,当 点P,Q 向右运动,且点P 在点Q 右侧时,AP=AB+ BP=t+6,AP=AQ+PQ,所以t+6=3t+2,解得t= 2.所以2+6=8(秒).所以点P 开始运动后的第8秒,P, Q 两点之间的距离为2.② 如图②,当点P,Q 向右运动, 且点P 在点Q 左侧时,因为AP=AB+BP=t+6,AQ= AP+PQ,所以3t=t+6+2,解得t=4.所以4+6=10 (秒).所以点P 开始运动后的第10秒,P,Q 两点之间的 距离为2.③ 如图③,当点P 向右运动,点Q 向左运动,且 点P 在点Q 左侧时,因为AC+CQ=3t,所以CQ=3t- 21.因为AP=AB+BP=t+6,AC=AP+PQ+CQ,所 以21=t+6+2+3t-21,解得t=8.5.所以8.5+6= 14.5(秒).所以点P 开始运动后的第14.5秒,P,Q 两点 之间的距离为2.④ 如图④,当点P 向右运动,点Q 向左 运动,且点P 在点Q 右侧时,因为AC+CQ=3t,所以 CQ=3t-21.因为AP=AB+BP=t+6,AC=AP+ CQ-PQ,所以21=t+6+3t-21-2,解得t=9.5.所以 9.5+6=15.5(秒).所以点P 开始运动后的第15.5秒, P,Q 两点之间的距离为2.综上所述,点P 开始运动后的 第8,10,14.5,15.5秒,P,Q 两点之间的距离为2. 第23题 24. (1) 75°.(2) 分情况讨论:① 如图①,因为PC∥BD, ∠DBP=90°,所以∠CPN=∠DBP=90°.因为∠A= 90°,∠C =30°,所 以 ∠CPA =60°.所 以 ∠APN = ∠CPN-∠CPA=30°.所以旋转时间为30°÷10°= 3(s).② 如图②,因为 PC∥BD,∠DBP=90°,所以 ∠CPB=∠DBP=90°.因为∠A=90°,∠C=30°,所以 ∠CPA=60°.所以∠APM=∠CPB-∠CPA=30°.所以 三角尺PAC绕点P 按逆时针方向旋转的度数为180°+ 30°=210°.所以旋转时间为210°÷10°=21(s).综上所述, 当旋转时间为3s或21s时,PC∥BD 成立.(3) 设旋转时 间为ts.由题意,得∠APN=(3t)°,∠BPM=(2t)°.所以 ∠BPN=180°-∠BPM=180°-(2t)°.所以∠CPD= 360°-∠BPD-∠BPN-∠APN-∠APC=360°- 45°-[180°-(2t)°]-(3t)°-60°=75°-t°.当∠CPD= ∠BPM 时,75°-t°=(2t)°,解得t=25.所以当∠CPD= ∠BPM 时,旋转时间是25s. 第24题 3 预学储备 一　因式分解 1 多项式的因式分解 知识梳理 1. 因式 因式 2. 乘积 典例演练 典例 B 预学训练 1. D 2. A 3. a2-4b2 4. 同意小明的看法.理由:因为因式分解是把一个多项式 分解成几个整式乘积的形式,而等式右边的1 x 不是整式, 所以这种变形不是因式分解. 5. 因为(x+1)(x-2)=x2-x-2,所以x2+(2a+b)x+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 18 b-2=x2-x-2,得 2a+b=-1, b-2=-2, 解得 a=- 1 2 , b=0. 所以 3a2+4b3=3× -12 2 +0=34. 6. C 7. ①③④ 8. 因为(mx-4)(7x-n)=7mx2-mnx-28x+4n= 7mx2-(mn+28)x+4n,所以42x2-31x+2=7mx2- (mn+28)x+4n,得方程组 7m=42, 4n=2, 解得 m=6, n=12. 9. (1) 被墨水污染的一次式为(x-2)(2x+5)-(2x2+ 3x-6)=2x2+5x-4x-10-2x2-3x+6=-2x-4. (2) 根据题意,得-2x-4≥2,解得x≤-3.所以x 的取 值范围是x≤-3. 2 提公因式法 知识梳理 1. 相同 (1) 最大公因数 (2) 最低 2. 负号 符号 3. 公因式 公因式 4. + - 5. 相反数 典例演练 典例1 (1) 3xy (2) -2ab3(m-3)2 典例2 D 预学训练 1. D 2. B 3. -2xy(3x+5y-1) 4. (1) 原式=5x2(x-2).(2) 原式=ab(8a2b-12b2c+ 1).(3) 原式=-3m(m2-3m+5).(4) 原式=-3xy2· (2x-y+2). 5. (1) 原式=(x-3)2-(x-3)=(x-3)(x-3-1)= (x-3)(x-4).(2) 原式=2x(a-b)-3y(a-b)=(a- b)(2x-3y).(3) 原式=2m(m-n)2+8m2(m-n)= 2m(m-n)[(m-n)+4m]=2m(m-n)(5m-n). (4) 原式=-4(m-n)2b·2+4(m-n)2b·3b-4(m- n)2b·b3=-4(m-n)2b(2-3b+b3). 6. D 7. B 解析:因为长、宽分别为a,b的长方形的周长为 10,面积为6,所以2(a+b)=10,ab=6,则a+b=5,故 ab2+a2b=ab(b+a)=6×5=30. 8. 1 4a (8b2-24a+1) 9. (1) 原式=-4a(a2-a+4).(2) 原式=[-2a(x- y)]·a2+[-2a(x-y)]·(-3a)+[-2a(x-y)]= -2a(x-y)(a2-3a+1).(3) 原式=4x(x-y)2+ 12(x-y)3=4(x-y)2[x+3(x-y)]=4(x-y)2(4x- 3y).(4) 原式=x2(x-y)-4x(x-y)=x(x-y)· (x-4). 10. (1) 原式=(-2)2023×(1-2)=22023.(2) 原式= 13.2×(1.34+10.66-2)=13.2×10=132. 11. 原式=15a(b+4)(a-2).当a=2,b=-2时,原式= 15×2×(-2+4)×(2-2)=0. 12. (1) 提公因式;2.(2) 2022;(1+x)2023.(3) 原式= (1+x)[1+x+x(1+x)+…+x(1+x)n-1]=(1+ x)2[1+x+x(1+x)+…+x(1+x)n-2]=(1+x)n+1. 3 公 式 法 知识梳理 1. 因式分解 因式分解 2. x2-y2 (1) 二项 (2) 相 反 (3) 平方差 3. (1) 三项式 (2) 相同 (3) 底数的 积的2倍或底数的积的2倍的相反数 4. 提取公因式 公式法 典例演练 典例1 (1) (x+2)(x-2) (2) (m+5)(m-3) 典例2 (1) 原式=(2a)2-2·2a·1+12=(2a-1)2. (2) 原式=x2+2·x·12+ 1 2 2 = x+12 2 . 预学训练 1. D 2. C 因分解不彻底致错 对于某些复杂形式的多项式,因式分解时可能用 到不止一次公式进行因式分解才能分解彻底. 3. C 4. 6x+y 5. (1) 原式=(xy+1.1z)(xy-1.1z).(2) 原式= (9a2+b2)(3a+b)(3a-b).(3) 原式=5(xy-1)2. (4) 原式=3a(x+y)2. 6. (1) 原式=(2023+2022)×(2023-2022)= 4045.(2) 原式=15× (13.3+11.7)×(13.3-11.7)= 8 .(3) 原式=6.52+2×6.5×3.5+3.52=(6.5+ 3.5)2=102=100. 7. A 8. C 9. B 解析:因为x2+(m-3)x+4能用完全平方公式进 行因式分解,所以m-3=±4,解得m=-1或7. 10. (1) 3x(x+2y)(x-2y) (2) (x-3y)(a-3b)(a+ 3b) (3) (x-5y-5)2 11. a2+2ab+b2=(a+b)2 12. 剩余部分的面积是(a2-4b2)cm2.当a=13.2,b= 3.4时,a2-4b2=(a+2b)(a-2b)=(13.2+3.4×2)× (13.2-3.4×2)=20×6.4=128,所以剩余部分的面积是 128cm2. 13. (1) a2-4a-b2+4=(a2-4a+4)+(-b2)=(a- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈