第4章 平面内的两条直线-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（湘教版2024）

10 第4章　平面内的两条直线 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. 有下列说法: ① 在同一平面内不相交的两 条直线一定平行;② 过同一平面内两条直线 a,b外一点P,一定可作直线c,使c∥a,且 c∥b;③ 过一点有且只有一条直线与已知直 线垂直;④ 两条直线被第三条直线所截得的 同旁内角的平分线互相垂直.其中,正确 的有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. ★ 新考向 数学文化 风筝是我国古代劳动 人民的产物,其材质在不断改进.坊间将用 纸做的风筝称为“纸鸢”.如图所示的风筝骨 架中,与∠1构成同位角的是 ( ) A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5 第2题 第3题 3. 如图,将△ABC 沿BC 方向平移1cm得到 对应的△A'B'C'.若B'C=2cm,则B'C'的 长是 ( ) A. 3cm B. 4cm C. 2cm D. 1cm 4. 下列各图中,已知∠1=∠2,能判断AB∥CD 的是 ( ) A. B. C. D. 5. 过点P 作直线l的垂线CD,下列三角尺的 摆放正确的是 ( ) A. B. C. D. 6. 新考法 操作实践题 (赤峰中考)将一副三 角尺按如图所示的方式摆放,使有刻度的两 条边互相平行,则∠1的度数为 ( ) A. 100° B. 105° C. 115° D. 120° 第6题 第7题 7. 如图,有下列条件:① ∠1=∠3;② ∠2+ ∠4=180°;③ ∠4=∠5;④ ∠2=∠3; ⑤ ∠6=∠2+∠3.其中,能判断直线l1∥l2 的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 答案讲解 8. 分类讨论思想 已知直线a,b,c 在同一平面内,且a∥b∥c,a 与b 之间的距离为6cm,b与c之间的 距离为2cm,则a与c之间的距离是( ) A. 4cm B. 6cm C. 4cm或8cm D. 8cm 9. 数形结合思想 (苏州中考)如图,在正方形 网格内,线段PQ 的两个端点都在格点上, 网格内另有A,B,C,D 四个格点.下列结论 第9题 中,正确的是 ( ) A. 连接AB,则AB∥PQ B. 连接BC,则BC∥PQ C. 连接BD,则BD⊥PQ D. 连接AD,则AD⊥PQ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 拍 照 批 改 11 答案讲解 10. 新考法 操作实践题 (大庆中考) 如图,在一次综合实践课上,为检 验纸带①②的边线是否平行,小庆 和小铁采用了两种不同的方法:小庆把纸 带①沿AB 折叠,量得∠1=∠2=59°;小铁 把纸带②沿GH 折叠,发现GD 与GC 重 合,HF 与HE 重合,且点C,G,D 在同一 条直线上,点E,H,F 也在同一条直线上, 则下列判断中,正确的是 ( ) 第10题 A. 纸带①②的边线都平行 B. 纸带①②的边线都不平行 C. 纸带①的边线平行,纸带②的边线不 平行 D. 纸带①的边线不平行,纸带②的边线 平行 二、 填空题(每题3分,共24分) 11. 三条直线a,b,c中,a∥b,b∥c,则直线a与 第12题 直线c的位置关系是 . 12. 如图,在铁路旁有一李庄,现要 建一火车站,为了使李庄人乘 车最方便,请你在铁路线上选 一点来建火车站,应建在点 处. 13. 如图,将△DEF 沿FE 方向平移3cm得到 △ABC,若△DEF 的周长为24cm,则四边 形ABFD 的周长为 cm. 第13题 第14题 14. 新情境 日常生活 (威海中考)某些灯具 的设计原理与抛物线有关.如图,从点O 照 射到抛物线上的光线OA,OB 等反射后都 沿着与PQ 平行的方向射出.若∠AOB= 150°,∠OBD=90°,则∠OAC= . 15. 如图,∠AOB 和∠BOC 互为邻补角,且 ∠BOC∶∠AOB=4∶1,射线OD 平分 ∠AOB,射 线 OE ⊥OD,则 ∠BOE = . 第15题 第16题 16. 如图,林林同学按虚线剪去长方形纸片的 相邻两个角,并使∠1=120°,由于不小心, 把点B 处的角撕坏了,测得∠BCD=30°, 被撕坏了的∠ABC= . 答案讲解 17. ★ 分类讨论思想 已知∠α的两边 与∠β的两边分别平行,且∠α的 度数比∠β的度数的一半多30°, 则∠α的度数为 . 18. 在同一平面内,3条直线两两相交,最多有 3个交点;4条直线两两相交,最多有6个 交点;5条直线两两相交,最多有10个交 点……那么,10条直线两两相交,最多有 个交点. 三、 解答题(共46分) 19. (8分)如图,直线AB,CD 相交于点O,过 点O 作OE⊥AB,且OF 平分∠AOD,已 知∠BOD=24°. (1) 试说明:∠COF=∠BOF; (2) 求∠EOF 的度数. 第19题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 12 20. (12分)如图,每个小正方形的边长为1,且 正方形的顶点称为格点,网格中有一艘小 船,若小船平移滑动(先向右平移,再向上 平移),平移后的船身部分已画出(船身顶 点都在格点上). (1) 请在网格中补全平移后的船帆; (2) 图中小船平移的总路程为 ; (3) 求平移后的小船的面积. 第20题 21. (12分)如图,AB∥DG,∠1+∠2=180°. (1) 试说明:AD∥EF; (2) 若 DG 是∠ADC 的平分线,∠2= 142°,求∠B 的度数. 第21题 答案讲解 22. (14分)新考法 项目式学习 (1) 小明遇到这样一个问题:如图 ①,AC∥BD,E 为直线AC 上方一 点,连接CE,DE,猜想∠C,∠D,∠E 之间 的数量关系,并说明理由.小明发现,可以 过点E 作MN∥AC 来解决这个问题,如 图②,请你完成解答. (2) 用学过的知识或参考小明的方法,解决 下面的问题:如图③,AB∥CD,P 是平面内 一点,连接AP,CP,使AP∥BD,∠APC= 100°,BM,CM 分别平分∠ABD,∠DCP 并交于点M,求∠M 的度数. 第22题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 3 18. -2≤t≤-1 解析:因为6a=3b+12=2c,所以 3a=c,2a=b+4.所以b=2a-4.所以t=2a+b-c= 2a+2a-4-3a=a-4.因为b≥0,c≤9,所以3b+12≥ 12,2c≤18.所以6a≥12,6a≤18.所以2≤a≤3.所以 -2≤a-4≤-1.所以-2≤t≤-1. 三、 19. (1) ① 当5x-8≥0时,即x≥85 时,原式化为 5x-8≥10,解得x≥185 ,此时,不等式|5x-8|≥10的解 集为x≥185 ;② 当5x-8<0时,即x<85 时,原式化为 8-5x≥10,解得x≤-25 ,此时,不等式|5x-8|≥10的 解集为x≤-25 ;综上可知,原不等式的解集为x≥185 或 x≤-25. (2) 记 1 2+2x<- 3 2x+4① , x-3<1+2x②, 解不等式①得 x<1;解不等式②得x>-4,所以原不等式组的解集 为-4<x<1.所以不等式组所有整数解的和为-3+ (-2)+(-1)+0=-6. 求一元一次不等式组的特殊解的方法 求一元一次不等式组的特殊解,必须先求出一元 一次不等式组的解集,然后在解集中根据特殊解的特 殊性求解. 20. 解方程2x-3m=2m-4x+4,得x=4+5m6 . 因为关 于x 的方程2x-3m=2m-4x+4的解不小于78- 1-m 3 ,所以4+5m 6 ≥ 7 8- 1-m 3 . 解得m≥-14 ,即m 的 取值范围是m≥-14. 21. (1) 2x-y=-3a①, x+2y=a-4②, ①×2+②,得5x=-5a-4, 所以x=-a-45. 把x=-a-45 代入②,得-a-45+ 2y=a-4.所 以 y=a- 8 5. 所 以 方 程 组 的 解 为 x=-a-45 , y=a- 8 5. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2) 因为x 为负数,y 为非正数,所以 x<0, y≤0, 即 -a-45<0 , a-85≤0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得- 4 5<a≤ 8 5. 因为a为整 数,所以a的值为0或1. 利用构造不等式组法求方程组中待求字母的取值范围 当方程组的解满足特定要求时,先设法求出这个 方程组的解,然后根据题意列出不等式组,求出待求字 母的取值范围. 22. (1) 设购买一个甲种品牌毽子需要x元,购买一个乙 种品牌毽子需要y元.根据题意,得 10x+5y=200, 15x+10y=325, 解 得 x=15, y=10. 所以购买一个甲种品牌毽子需要15元,购买 一个乙种品牌毽子需要10元.(2) 设购买m 个甲种品牌 毽子,则购买1000-15m 10 = 100- 3 2m 个乙种品牌毽 子.根据题意,得 m≥5100-32m , m≤16100-32m , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 1000 17 ≤m≤ 64.又因为m,100-32m 均为正整数,所以m 的值可以 为60或62或64.所以学校共有3种购买方案.方案1:购 买60个甲种品牌毽子,10个乙种品牌毽子;方案2:购买 62个甲种品牌毽子,7个乙种品牌毽子;方案3:购买 64个甲种品牌毽子,4个乙种品牌毽子. 23. (1) ③. 解析:解方程①,得x=13 ;解方程②,得 x= - 32 ;解 方 程 ③,得 x =2.解 不 等 式 组 -x+2>x-5, 3x-1>-x+2, 得 34 <x < 72.所 以 不 等 式 组 -x+2>x-5, 3x-1>-x+2 的“关联方程”是③. (2) 答案不唯一,如2x-2=0.(3) 解方程9-x=2x,得 x=3;解方程3+x=2x+12 ,得x=2.解不等式组 x<2x-m, x-2≤m, 得m<x≤m+2.因为方程9-x=2x,3+ x=2x+12 都是关于x 的不等式组 x<2x-m , x-2≤m 的 “关联方程”,所以1≤m<2. 第4章　平面内的两条直线 一、 1. A 解析:在同一平面内不相交的两条直线可能重 合,故①错误;过同一平面内两条直线a,b外一点P,一定 可作直线c,使c∥a,但c和b不一定平行,故②错误;在同 一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,故 ③错误;两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角的 平分线互相垂直,故④错误. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 2. A 正确识别同位角 两条直线被第三条直线所截,我们称第三条直线 是截线,两条被截的直线是被截线.位于截线同侧,被 截线同一方向上的两个角是同位角. 3. A 4. D 5. A 6. B 7. D 8. C 解析:因为a∥b∥c,a与b之间的距离为6cm,b与 c之间的距离为2cm,所以分两种情况讨论:① 当直线c 在直线a,b中间时,此时a 与c之间的距离是6-2= 4(cm);② 当直线b在直线a,c中间时,此时a与c之间 的距离是6+2=8(cm).综上,a与c之间的距离是4cm 或8cm. 9. B 10. D 解析:如图,对于纸带①,因为∠1=∠2=59°.所 以∠1=∠ADB=59°.所以∠DBA=180°-∠ADB- ∠2=62°.由翻折的性质得∠ABC=∠DBA=62°,所以 ∠DBE=180°-∠ABC-∠DBA=56°.所以∠ADB≠ ∠DBE.所以AD 与EB 不平行.对于纸带②,由翻折的性 质得∠CGH=∠DGH,∠EHG=∠FHG,又因为点C, G,D 在同一条直线上,点E,H,F 也在同一条直线上,所 以∠CGH+∠DGH=180°,∠EHG+∠FHG=180°.所 以∠CGH=∠DGH=90°,∠EHG=∠FHG=90°.所以 ∠CGH+∠EHG=180°.所以CD∥EF.综上所述,纸带 ①的边线不平行,纸带②的边线平行. 第10题 二、 11. 平行 12. A 13. 30 14. 60° 15. 72° 16. 90° 17. 60°或80° 解析:因为∠α的度数比∠β的度数的一 半多30°,所以∠α=12∠β+30°.① 当∠α=∠β时,得 1 2∠β+30°=∠β ,解得∠β=60°,所以∠α=60°.② 当 ∠α+∠β=180°时,得 1 2∠β+30°+∠β=180° ,解得 ∠β=100°,所以∠α= 1 2×100°+30°=80°. 综上所述,∠α 的度数为60°或80°. 因考虑不全面导致漏解 在同一平面内,当两个角的两边互相平行时,这两 个角相等或互补.本题中没有给出图形,易因考虑不全 面导致漏解. 18. 45 解析:在同一平面内,n条直线两两相交,最多有 n(n-1) 2 个 交 点,所 以10条 直 线 两 两 相 交,最 多 有 10×9 2 =45 (个)交点. 三、 19. (1) 因 为 OF 平 分 ∠AOD,所 以 ∠AOF= ∠DOF.又 因 为 ∠AOC = ∠BOD,所 以 ∠AOF + ∠AOC=∠DOF+∠BOD,即∠COF=∠BOF.(2) 因为 ∠AOD=180°- ∠BOD =180°-24°=156°,所 以 ∠AOF=∠DOF=156°÷2=78°.又因为OE⊥AB,所以 ∠BOE=90°.所以∠EOD=∠BOE-∠BOD=90°- 24°=66°.所 以 ∠EOF = ∠DOF - ∠EOD =78°- 66°=12°. 20. (1) 如图,△A'B'C'即为所求作的图形.(2) 6.(3) 因 为3+2×3-12×1×3- 1 2×1×1- 1 2×2×2=5 ,所以 平移后的小船的面积为5. 第20题 21. (1) 因为AB∥DG,所以∠BAD=∠1.因为∠1+ ∠2=180°,所以∠BAD+∠2=180°.所以 AD∥EF. (2) 因为∠1+∠2=180°,∠2=142°,所以∠1=38°.因为 DG 是∠ADC 的平分线,所以∠CDG=∠1=38°.因为 AB∥DG,所以∠B=∠CDG=38°. 22. (1) ∠D=∠C+∠DEC.理由:由题意知MN∥AC, 所以∠C=∠CEN.因为AC∥BD,所以MN∥BD.所以 ∠D=∠DEN.因为∠DEN=∠CEN+∠DEC,所以 ∠D=∠C+∠DEC.(2) 如图,设CD 与AP,BM 分别交 于点E,F,因为BM,CM 分别平分∠ABD,∠DCP,所以 ∠ABF=12∠ABD ,∠MCF=12∠PCE. 因为AB∥CD, 所以∠D+∠ABD=180°.因为AP∥BD,所以∠AED+ ∠D=180°.所 以 ∠AED = ∠ABD.因 为 ∠AED = ∠PEC,所以∠PEC=∠ABD.因 为 AB∥CD,所 以 ∠MFC=∠BFD=∠ABF=12∠ABD= 1 2∠PEC. 因 为∠APC=100°,所以∠PCE+∠PEC=180°-100°= 80°.所以∠MCF+∠MFC=12 (∠PCE+∠PEC)= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 40°.所以∠M =180°-(∠MCF+∠MFC)=180°- 40°=140°. 第22题 第5章　轴对称与旋转 一、 1. C 2. C 3. D 4. C 5. C 6. A 7. C 8. B 9. D 10. B 解析:因为点P 关于OA 的对称点Q 恰好落在线 段MN 上,所以QM=PM=3.5cm.因为MN=5cm,所 以QN=MN-QM=5-3.5=1.5(cm).因为点P 关于 OB 的对称点R 落在MN 的延长线上,所以RN=PN= 4cm.所以QR=QN+RN=1.5+4=5.5(cm). 二、 11. 12:08:51 12. 10° 13. 4 14. A(答案不唯 一) 15. 15 16. 5 17. 50° 解析:因为将△AOB 绕点O 顺时针旋转75°得 到△A1OB1,所以∠AOA1=75°.因为∠AOB=55°,所以 ∠A1OD=180°-55°-75°=50°.因为直线a∥b,所以 ∠1=∠A1OD=50°. 18. ① 解析:根据轴对称变换、平移变换、旋转变换的定 义结合题图可知,题图①只经过①变换不能得到题图②. 三、 19. (1) 如图,△A1B1C1 即为所求作.(2) 如图, △A2B2C2即为所求作. 第19题 20. (1) 2α°;180°-2α°.(2) 因为M,N 分别是点P 关于 OA,OB 的对称点,所以易得 ME=PE,NF=PF.所以 MN=ME+EF+NF=PE+EF+PF.因为△PEF 的 周长是10cm,即PE+EF+PF=10cm,所以 MN= 10cm. 21. (1) 因为DF∥AC,所以∠1=∠EDF=45°,∠2= ∠C=90°.所以∠1+∠2=45°+90°=135°.(2) ∠1+ ∠2的度数不会变化.理由:因为∠1+∠A+∠ADE= 180°,∠2+∠B+∠BDF=180°,所 以∠1+∠A+ ∠ADE+∠2+∠B+∠BDF=360°,即∠1+30°+ ∠ADE+∠2+60°+∠BDF=360°.所以∠1+∠2+ ∠ADE+∠BDF+90°=360°.所以∠1+∠2=360°- 90°-(180°-45°)=135°. 解决以三角尺为背景的问题的方法 解决以三角尺为背景的问题时,要根据三角尺中 的特殊角的度数,即30°,45°,60°,90°,并结合特殊的位 置关系,运用所学知识进行求解. 22. (1) 因为∠AOC+∠BOC=180°,∠AOC∶∠BOC= 1∶2,所以∠AOC=60°,∠BOC=120°.又因为OM 平分 ∠BOC,所 以 ∠COM = 12 ∠BOC=60°. 由 题 意,得 ∠MON=90°.所 以 ∠CON = ∠COM + ∠MON = 150°.(2) 9或27;0或18或36.(3) ∠AOM-∠NOC= 30°.理由:由(1),知∠MON=90°,∠AOC=60°.所以 ∠AON=90°-∠AOM,∠AON=60°-∠NOC.所以 90°-∠AOM=60°-∠NOC.所以∠AOM-∠NOC= 90°-60°=30°. 第6章　收集、整理与描述数据 一、 1. B 2. C 3. A 4. D 5. B 6. D 7. D 8. C 9. B 10. B 二、 11. 抽样调查 12. 50 13. 40% 14. 80 15. 35 解析:将这110张问卷,按部门人数比进行分配, 研发部门分得问卷的张数为110×3501100=35. 16. 86.4° 17. 二 18. 20 解析:因为C类作业有30份,且C类作业份数占 总份数的30%,所以总份数为30÷30%=100.因为A,D 类作业分别有25份、25份,所以B类作业的份数为100- 25-30-25=20. 获取双统计图中信息的方法 理解每种统计图的特点、各自的优势,结合题目中 给出的关键信息,根据问题需要获取信息.要注意两幅 统计图中对同一个项目的信息的两种不同的描述方 式,这是两幅统计图之间联系的纽带. 三、 19. (1) 25÷50%=50(名).所以该班共有50名学 生.(2) 15 50=0.3=30% ,50×20%=10(名),补图如图所 示.(3) 360°×30%=108°,所以在扇形统计图中,“了解较 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈