第2章 实数-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（湘教版2024）

4 第2章　实　数 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. ★(烟台中考)下列实数中,属于无理数的是 ( ) A. 2 3 B. 3.14 C. 15 D. 364 2. 如果一个正方形的面积为10,那么它的边长 等于 ( ) A. 10的平方根 B. 10的算术平方根 C. 10的立方根 D. 10的算术平方根 3. 下列各式中,正确的是 ( ) A. 3-0.064=-0.4 B. 3(-2)3=2 C. (±2)2=±2 D. (-2)2+(32)3=0 4. 有下列说法:① 负数没有平方根,但负数有 立方根;② 9 16 的平方根是±34 ;③ 9的平方 根是±3;④ -0.027的立方根是±0.3.其 中,正确的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 估计 11-1的值在 ( ) A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 6. 正整数a,b分别满足354<a<398,2< b<7,则ba 的值为 ( ) A. 4 B. 8 C. 9 D. 16 7. 新情境 数学与程序 按如图所示的运算程 序,下列选项中,能使输出的结果为5的是 ( ) 第7题 A. a=0,b=5 B. a=9,b=4 C. a=16,b=1 D. a=36,b=1 8. (北京中考)实数a,b在数轴上的对应点的位 置如图所示,下列结论中,正确的是 ( ) 第8题 A. b>-1 B. |b|>2 C. a+b>0 D. ab>0 答案讲解 9. 已知实数x,y 满足 x-1+|y+ 3|=0,则x+y的值为 ( ) A. -2 B. 2 C. 4 D. -4 10. 在1,2,3,…,400,401中,无理数的 个数为 ( ) A. 380 B. 381 C. 382 D. 383 二、 填空题(每题3分,共24分) 11. -6的相反数是 ,1-π2 的绝对值 是 ,4的倒数是 . 12. 如图,二阶魔方由8个形状、大小完全相同 的小正方体组成,这个二阶魔方的体积为 48cm3(小正方体之间的缝隙忽略不计),则 每个小正方体的棱长为 cm. 第12题 第14题 13. 新考法 新定义题 规定一种新的运算 “*”:a*b= ba,如3*2= 3,则-6427* 3= . 14. 如图,A,B,C 均为正方形,若A 的面积为 10,C 的面积为1,则B 的边长可以是 .(写出一个即可) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 拍 照 批 改 5 15. (上 海 中 考)已 知 2x-1=1,则 x= . 16. 如果一个正数 m 的两个平方根分别是 2a-3和a-9,那么m= . 17. (湖州中考)已知a,b是两个连续整数,a< 17<b,则a+b的值是 . 答案讲解 18. 已知103<59319<1003,93=729, 33<59<43,359319=39,则 3157464= . 三、 解答题(共46分) 19. (6分)把下列各数分别填入相应的大括号 中:56,- 73 ,-3.14,π3 , 121,0, 3-216,- 62 ,0.24,(-2)2020,-52. 整数:{ …}; 负实数:{ …}; 无理数:{ …}. 20. (6分)计算: (1) 3-64+ (-3)2-3-1; (2) -2× -3 -9+ -2-(-1)2; (3) 3-27-0-14+ 30.125+ 3 1-6364. 21. (6分)求下列各式中x的值: (1) 4x2-64=0; (2) (x-1)2=259 ; (3) 8(x-1)3=-1258 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 6 22. (9分)(1) 用“>”“<”或“=”填空: 1 2 3 4; (2) 由上可知:① |1- 2|= , ② |2-3|= ,③ |3- 4|= ; (3) 计算:|1- 2|+|2- 3|+|3- 4|+…+|99- 100|. 答案讲解 23. ★(9分)已知正实数x的平方根是 m 和m+b. (1) 当b=16时,求m 的值; (2) 若m2x+2(m+b)2x=27,求x的值. 答案讲解 24. (10分)阅读材料:3是无理数,而 无理数是无限不循环小数,因此3 的小数部分我们不可能全部写出 来,而1<3<2,于是我们可用3-1来表 示3的小数部分. 请根据材料解答下列问题: (1) 15的整数部分是 ,小数部分 是 ; (2) 如果6的小数部分为a,23的整数部 分为b,求(a+b-2)2的值; (3) 已知:98+ 99=x+y,其中x 是整 数,且0<y<1,求x+ 99+5-y的算术 平方根. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 1 1 复习进阶 第1章　整式的乘法 一、 1. C 2. D 3. A 4. B 5. B 解析:计算机工作3×103秒运算的次数为(4×108)× (3×103)=(4×3)×(108×103)=12×1011=1.2×1012. 6. A 7. A 8. A 9. D 解析:因为a=222=(22)11=411>311,所以a> b.所以甲的说法正确.因为ab=222×311=411×311= (4×3)11=1211>129,所以ab>c.所以乙的说法正确. 10. B 解析:拼成的大长方形的面积为(5a+7b)(7a+ b)=35a2+54ab+7b2.因为1张C类卡片的面积是ab, 所以需要C类卡片的张数是54.所以不够用,还缺4张. 二、 11. 27 12. 9a2b4 13. (1) a-b (2) (a+b)2= (a-b)2+4ab 14. -32x8y6 15. 2025 16. 8 17. 1 解析:原式=4x2+4xy+y2-4x2+y2-2xy- 2y2=2xy.当x= 12 2023 ,y=22022 时,原式=2× 1 2 2023 ×22022=2×12× 1 2 2022 ×22022=2×12× 1 2×2 2022 =2×12×1 2022=2×12×1=1. 18. 1 2 解析:原式= 20032002 2 200320012-1+200320032-1= 200320022 20032000×20032002+20032002×20032004 = 200320022 20032002×(20032000+20032004) = 200320022 20032002×20032002×2= 1 2. 三、 19. 小红说得对.因为(x+2y)(x-2y)-(x+ 3y)2+6xy=x2-4y2-(x2+6xy+9y2)+6xy=x2- 4y2-x2-6xy-9y2+6xy=-13y2,所以代数式的值与 x的取值无关.所以小红说得对.当y=-1时,原式= -13y2=-13×(-1)2=-13×1=-13. 20. (1) 原式=(100-1)2=1002-2×100×1+12= 10000-200+1=9801.(2) 原式=20222-(2022-1)× (2022+1)=20222-20222+12=1. 21. (1) 因为4m=a,8n=b,所以22m=a,23n=b.所以 22m+3n=22m·23n=ab.(2) 因为2×8x×16=226,所以 2×(23)x×24=226.所以2×23x×24=226.所以21+3x+4= 226.所以1+3x+4=26,解得x=7. 22. (1) 原式=2x3-2x2+mx2-mx-nx+n=2x3+ (m-2)x2-(m+n)x+n.根据题意,得m-2=0,m+ n=0,所以m=2,n=-2.(2) (m-n)(m2+mn+n2)= m3-m2n+m2n-mn2+mn2-n3=m3-n3.当m=2, n=-2时,原式=23-(-2)3=8-(-8)=16. 23. (1) (-1)2-(-3)2=1-9=-8=4×(-2),即 (-1)2-(-3)2的结果是4的-2倍.(2) 三个连续的整 数的中间的一个数为n,则最大数为n+1,最小数为n- 1.(n+1)2-(n-1)2=4n.因为n是整数,所以任意三个 连续的整数中,最大数与最小数的平方差是4的倍数. (3) 设三个连续的奇数的中间的一个奇数为m,则最大数 为m+2,最小数为m-2.(m+2)2-(m-2)2=8m.因为 m 是整数,所以任意三个连续的奇数中,最大数与最小数 的平方差是8的倍数. 证明整数倍数问题的方法 解决一个整式是某个数的整数倍问题时,一般将 这个整式通过化简或计算变成这个数与一个整式的乘 积的形式. 24. (1) 原式=2mx-3m+2m2-3x=(2m-3)x+ 2m2-3m.根据题意,得2m-3=0,解得m=32. (2) 因 为A=(2x+1)(x-1)-x(1-3y),B=-x2+xy-1, 所以3A+6B=3[(2x+1)(x-1)-x(1-3y)]+ 6(-x2+xy-1)=3(2x2-2x+x-1-x+3xy)- 6x2+6xy-6=6x2-6x+3x-3-3x+9xy-6x2+ 6xy-6=15xy-6x-9=3x(5y-2)-9.根据题意,得 5y-2=0,解得y= 2 5. (3) 设AB=x.根据题意,得S1= a(x-3b),S2=2b(x-2a).所以S1-S2=a(x-3b)- 2b(x-2a)=(a-2b)x+ab.因为当AB 的长变化时, S1-S2的值始终保持不变,即S1-S2 的值与x 的取值 无关,所以a-2b=0.所以a=2b. 整式的值与某个字母取值无关问题的解决方法 若一个整式的值与某个字母的取值无关,则该整 式化简后的式子中不含这个字母,所以化简后的整式 中,该字母的系数为0. 第2章　实　数 一、 1. C 有关“无理数”概念的错误认识 无理数是指无限不循环小数,不能错误地认为无 限小数就是无理数,不能从书写形式上认为含有根号 的数就是无理数,例如 364是有理数. 2. B 3. A 4. B 5. B 6. D 解析:因为a,b为正整数,354< 364< 398, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 2< 4< 7,即 354<4< 398, 2<2< 7,所以a= 4,b=2.所以ba=24=16. 7. D 8. C 9. A 10. B 解析:在 1, 2, 3,…, 400, 401中,有理数 有 1, 4, 9,…, 400,即1至20的平方的算术平方 根都是有理数,共有20个,所以无理数有401-20= 381(个). 二、 11. 6 π2-1 1 2 12. 36 13. -43 14. 答案 不唯一,如2 15. 1 16. 25 17. 9 18. 54 解析:因为103<157464<1003,43=64,53< 157<63,所以 3157464=54. 三、 19. 整数:{ 121,0,3-216,(-2)2020,-52,…}; 负实数:-73 , -3.14,3-216,- 6 2 ,-52,… ; 无理数: 56,π3 , - 6 2 ,… . 20. (1) 原式=-4+3+1=0.(2) 原式=6-3+2-1= 4.(3) 原式=-3-0-14+0.5+ 1 4=-2.5. 21. (1) x=±4.(2) x=83 或-23. (3) x=-14. 22. (1) <;<;<. 解析:因为1<2<3<4,所以 1< 2< 3< 4. (2) ① 2-1;② 3- 2;③ 2- 3.(3) |1- 2|+ | 2- 3|+| 3- 4|+…+| 99- 100|=( 2- 1)+( 3- 2)+( 4- 3)+…+( 100- 99 )= 100-1 =10-1=9. 23. (1) 因为正实数x的平方根是m 和m+b,所以m+ m+b=0.因为b=16,所以2m+16=0.所以m=-8. (2) 因为正实数x 的平方根是m 和m+b,所以(m+ b)2=x,m2=x.因为m2x+2(m+b)2x=27,所以x2+ 2x2=27.所以x2=9.因为x>0,所以x=3. 利用算术平方根、平方根的定义求值的思路 正确理解算术平方根和平方根的定义是解决问题 的关键.若已知一个正数的算术平方根,则这个正数等 于其算术平方根的平方;若已知一个正数的平方根,则 这个正数等于其任意一个平方根的平方.根据一个数 和它的平方根或算术平方根的关系列出方程,即可求 出相应字母的值. 24. (1) 3; 15-3. 解析:因为9<15<16,所以3< 15<4.所 以 15的 整 数 部 分 是 3,小 数 部 分 是 15-3. (2) 因为2< 6<3,所以 6的整数部分是2,小数部分为 6-2,即a= 6-2.因为4< 23<5,所以 23的整数 部分是4,即b=4.所以(a+b-2)2=( 6-2+4-2)2= 6. (3) 因为81<99<100,所以9< 99<10.所以107< 98+ 99<108.因为98+ 99=x+y,其中x 是整数, 且0<y<1,所以x=107,y=98+ 99-107= 99- 9.所以x+ 99+5-y=107+ 99+5- 99+9= 121.所以x+ 99+5-y的算术平方根为 121=11. 第3章　一元一次不等式（组） 一、 1. D 2. A 3. A 4. A 5. B 6. C 7. C 8. B 9. B 解析:因为mx-n>0,所以mx>n.因为不等式 mx-n>0的解集是x<14 ,所以m<0且nm= 1 4. 所以 n=14m<0 ,m=4n.因为nx-n>m+mx,所以nx- mx>m+n,即nx-4nx>4n+n.所以-3nx>5n.因 为-3n>0,所以x>-53. 10. D 解析:由不等式组 -x2≤- m 2+1 , -2x+1≥4m-1, 得m-2≤ x≤-2m+1.由方程1+(m-y)=2(y-2),得y= m+5 3 . 因为关于x 的不等式组 -x2≤- m 2+1 , -2x+1≥4m-1 有解, 且使得关于y的方程1+(m-y)=2(y-2)有非负整数 解,所以-2m+1≥m-2,得m≤1,m+53 是非负整数,解 得m=-5或m=-2或m=1.所以整数m 的个数为3. 二、 11. m<2024 12. x≥3 13. 5x+12-8(x-1)>0, 5x+12-8(x-1)<8 14. 110 解析:设购买A种树苗x 棵,则购买B种树苗 (200-x)棵,根据题意得18x≥22(200-x),解得x≥ 110,所以至少应购买A种树苗110棵. 15. 0≤m<13 16. a>2 17. 3<m≤4 解析:将不等式组整理,得 x≥1, x<m, 解得 1≤x<m.由不等式组恰有3个整数解,得到x 的值为 1或2或3.所以3<m≤4. 当一元一次不等式组(含参数)有若干个整数解时, 求参数的取值范围的步骤 先解一元一次不等式组求出解集,可在数轴上确 定不等式组的解集的大概位置,结合数轴确定参数的 范围,最后验证临界值,确定临界点. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈