第1章 反比例函数 预学检测-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（湘教版）

20 1.3 反比例函数的应用 知识梳理 1. 表达式 正 一 2. (1) p= F S (2) V=m ρ (3) I=UR 典例演练 典例1 (1) 设ρ关于V 的函数表达式为ρ= k V (k≠ 0).将(4,2.5)代入,得2.5=k4 ,解得k=10.∴ ρ关于V 的函数表达式为ρ= 10 V. (2) 当V=10时,ρ= 10 10=1. ∴ 该气体的密度是1kg/m3.(3) 当V=20时,ρ= 10 20= 0.5.∵ 10>0,∴ 在第一象限内,ρ 随V 的增大而减 小.∴ 当V≤20时,ρ≥0.5.∴ 该容器能装气体的最小密 度是0.5kg/m3 典例2 (1) 根据题意,得vt=480.∴ v=480t .∵ 480> 0,∴ 当v≤120时,t≥4.∴ v=480t (t≥4).(2) ∵ 8时至 12时48分的时长为4.8小时,8时至14时的时长为6小 时,∴ 4.8≤t≤6.∴ 将t=6代入v=480t 中,得v=80;将 t=4.8代入v=480t 中,得v=100.∵ 480>0,∴ 在第一 象限内,v随t的增大而减小.∴ 80≤v≤100. 预学训练 1. B 2. C 3. y= 10 x 4. 4 5. (1) 根据题意,设y= k x. 把x=4,y=3代入,得k= 4×3=12.∴ y 关于x 的函数表达式为y= 12 x. (2) 把 y=2代入y= 12 x ,得x=6.∴ 小孔到蜡烛的距离为 6cm. 6. (1) 12.(2) ∵ FL=300,∴ F 与L之间的函数表达式 为F=300L . 当L=10时,F=30010=30 ;当L=15时,F= 300 15=20 ;当L=20时,F=30020=15 ;当L=25时,F= 300 25=12. 猜想正确,∴ F 与L 之间的函数表达式为F= 300 L . (3) ∵ F 是L 的反比例函数,300>0,∴ F 随L 的 增大而减小.∴ 当移动弹簧测力计到木杆最右端,即当 L=50时,其示数F 最小,最小值为30050=6. 7. C 8. C 9. p1<p2<p3 10. 20 解析:设这个反比例函数的表达式为V=kp. ∵ 当V=100时,p=60,∴ k=pV=100×60=6000. ∴ V=6000p . 当p=75时,V= 6000 75 =80 ;当p=100时, V=6000100=60.∴ 80-60=20(mL),即气体的体积压缩 了20mL. 11. (1) 设CD 段所对应的反比例函数的表达式为y= k x (k≠0).由条件可得k=24×10=240.∴ y= 240 x . 当y= 20时,20=240x ,解得x=12,即a=12.∴ CD 段所对应的 反比例函数的表达式为y= 240 x ,自变量x的取值范围为 12≤x≤24.(2) 设直线AB 对应的函数表达式为y= mx+n(0≤x≤2).由 条 件 可 得 n=10, 2m+n=20, 解 得 m=5, n=10. ∴ 直线AB 对应的函数表达式为y=5x+10.当 y=15时,15=5x+10,解得x=1.当y=15时,15= 240 x , 解得x=16.∵ 16-1=15(h),∴ 一天内最适合草莓生长 的时间有15h. 第1章预学检测 一、 1. B 2. B 3. D 4. A 5. B 6. B 7. A 8. A 9. C 解析:∵ 点E(4,2)在反比例函数y= k x 的图象 上,∴ 2=k4.∴ k=8.∴ 反比例函数的表达式为y= 8 x.∵ E(4,2),∴ 易得AD=DE=2,OD=4.∴ OA= OD-AD=2.∵ 点B 在反比例函数的图象上,当x= 2时,y= 8 2=4 ,∴ B(2,4). 10. C 解析:过点B 作BE⊥x轴,垂足为E.根据反比例 函数图象关于原点成中心对称,故①正确.∵ 点A 与点B 关于原点对称,∴ OA=OB.在△OBE 和△OAC 中, ∠OEB=∠OCA, ∠EOB=∠COA, OB=OA, ∴ △OBE≌△OAC.∴ OE=OC. ∵ EB∥y 轴,∴ 易得OD 是△CEB 的中位线.∴ D 是 BC 的中点.故②正确.在每个象限内,y随x 的增大而减 小,故③错误.∵ 易知S△BOD= 1 2S△BOC= 1 2S△AOC= 1 2×2× 1 2= 1 2 ,故④正确.综上所述,正确的是①②④, 共3个. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 二、 11. -53 12. y=- 3 x 13. 1 14. m>-2 15. -2 16. y= 80 x 17. 丙 18. 有效 解析:设药物燃烧时y与x之间的函数表达式 为y=kx.将(8,6)代入y=kx,得8k=6,解得k= 3 4. ∴ 药物燃烧时y 与x 之间的函数表达式为y= 3 4x. 令 y=3,得x=4,即点燃4min后每立方米空气中含药量达 到3mg.设药物燃尽后y 与x 之间的函数表达式为y= n x . 将(8,6)代入y= n x ,得n=6×8=48.∴ y= 48 x. 令 y=3,得x=16,即点燃16min后每立方米空气中含药量 达到3mg.∵ 16-4=12(min),12>10,∴ 此次灭蚊 有效. 三、 19. a-2+1a ÷(a-1) 2 |a| = (a-1)2 a · |a|(a-1)2= |a| a .∵ a是反比例函数y= a x 的比例系数,且该反比例 函数图象的两支分别位于第二、四象限,∴ a<0. ∴ |a|=-a.∴ 原式=-1. 20. 将R=6,I=6代入I=UR ,得U=36.∴ I与R 之间 的函数表达式为I=36R (R>0).又∵ 电路中的电流不超 过12A,∴ 36 R≤12.∴ R≥3.∴ 电路中电阻R 的取值范 围是R≥3. 21. (1) 将(1,3)代入y= k x ,得k=3.∴ y= 3 x. (2) b> c>a.理由:∵ 点(-3,a),32 ,b ,(3,c)都在该反比例 函数的图象上,∴ 将(-3,a),32 ,b ,(3,c)分别代入 y= 3 x ,得a=-1,b=2,c=1.∴ b>c>a. 22. (1) 设波长λ关于频率f的函数表达式为λ= k f (k≠ 0).把(10,30)代入,得k10=30 ,解得k=300.∴ λ= 300 f . (2) 当f=75时,λ= 300 75=4.∴ 当f=75时,电磁波 的波长为4m. 23. (1) 把A(2,4)代入 y= k x ,得 k=8.∴ 反比例函数 的表达式为 y= 8 x. 把B(n,-2)代入 y= 8 x ,得n= -4.∴ B(-4,-2).∵ 点A(2,4),B(-4,-2)在一次函 数 y=ax+b 的图象上,∴ 4=2a+b, -2=-4a+b, 解得 a=1 , b=2. ∴ 一次函数的表达式为 y=x+2.(2) m>4或m<-8. 24. (1) 2;1.5.(2) ① 如图所示.② 不断减小.(3) 如 图.由函数图象知,当x≥2或x=0时,12x+2≥- 3 2x+ 6,即当x≥0时,不等式 12x+2≥- 3 2x+6 的解集为 x≥ 2或x=0. 第24题 第2章　一元二次方程 2.1 一元二次方程 知识梳理 1. (1) 整式 整式 未知数 (2) 一 (3) 2 2. 0 二 次多项式 ax2+bx+c=0(a,b,c是已知数,a≠0) 二 次项系数 一次项系数 常数项 典例演练 典例1 B 典例2 (1) x2+x-24=0,它的二次项系数为1,一次项 系数为1,常数项为-24.(2) x2-4x=0,它的二次项系 数为1,一次项系数为-4,常数项为0.(3) 3x2-4=0,它 的二次项系数为3,一次项系数为0,常数项为-4. (4) 5x2-14x-19=0,它的二次项系数为5,一次项系数 为-14,常数项为-19. 预学训练 1. C 2. D 3. C 4. 2x2-5x+3=0 5. 3或-1 6. 160(1+x)2=250 7. (1) 由题知,方程(3x-2)(x+1)=8x-3可化为 3x2-7x+1=0,∴ 此方程的一般形式为3x2-7x+1=0. (2) 由(1)中所得方程的一般形式可知,此方程的二次项 系数、一次项系数和常数项分别为3,-7,1. 8. A 9. A 10. 4 解析:根据题意可知,方程(m+4)x|m|-2-2x+ 3m=0是一元二次方程,∴ m+4≠0, |m|-2=2, 解得m=4. 11. (32-x)(20-x)=540 12. (1) ① 由题意,得m2-1=1,解得m=± 2.∴ 当 m=±2时,该方程是一元一次方程.② 由题意,得m- 3=0,解得m=3.∴ 当m= 3时,该方程是一元一次 方程.③ 由题意,得 m2-1=0,解得 m=±1.∴ 当 m=±1时,该方程是一元一次方程.综上所述,m 的值 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63 第1章预学检测 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. 有下列式子:xy= 1 3 ,y=5-x,y= -2 5x ,y= 2a x (a为常数,a≠0).其中,能表示y是x的 反比例函数的共有 ( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 若正比例函数y=-2x与反比例函数y= k x 的图象交于点(1,-2),则另一个交点的坐 标为 ( ) A. (2,1) B. (-1,2) C. (-2,-1) D. (-2,1) 3. (南京中考)甲、乙两地相距100km,汽车从 甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶的时间 t(h)与行驶速度v(km/h)之间的函数图 象是 ( ) A. B. C. D. 4. (广西中考)已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在 反比例函数y= 2 x 的图象上,若x1<0<x2, 则有 ( ) A. y1<0<y2 B. y2<0<y1 C. y1<y2<0 D. 0<y1<y2 5. (西宁中考)如图,在平面直角坐标系中,菱 形ABCO 的顶点O 是坐标原点,顶点A 在 函数y= k x (k≠0,x<0)的图象上,对角线 OB 在x 轴上.若菱形 ABCO 的面积是 82,则k的值为 ( ) A. 42 B. -42 C. 22 D. -22 第5题 第6题 6. 已知近视眼镜的度数y与镜片焦距x(米)成 反比例关系,y关于x的函数图象如图所示. 经过一段时间的矫正治疗后,小雪的镜片焦 距由0.25米调整到0.5米,则近视眼镜的度 数减少了 ( ) A. 150 B. 200 C. 250 D. 300 7. 在同一平面直角坐标系中,一次函数y=kx- 2与反比例函数y= k x (k≠0)的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 8. (金华中考)如图,一次函数y=ax+b的图象 与反比例函数y= k x 的图象交于点A(2,3), B(m,-2),则不等式ax+b>kx 的解集是 ( ) 第8题 A. -3<x<0或x>2 B. x<-3或0<x<2 C. -2<x<0或x>2 D. -3<x<0或x>3 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 64 9. 如图,矩形OABC的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都在反比例函数y= k x (k≠0)的图 象上,若点E 的坐标为(4,2),则点B 的坐 标为 ( ) A. (2,3) B. (2,2) C. (2,4) D. (2,5) 第9题 第10题 答案讲解 10. 如图,在平面直角坐标系中,直线 y=kx(k>0)与双曲线y= 2 x 交于 A,B两点,AC⊥x轴于点C,连接BC交y轴 于点D.有下列结论:① 点A 与点B 关于 原点对称;② D 是BC 的中点;③ 在函数 y= 2 x 的图象上任取点P(x1,y1)和点Q(x2, y2),若y1>y2,则x1>x2;④ S△BOD= 1 2. 其中,正确的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、 填空题(每题3分,共24分) 11. 已知反比例函数y=- 5 3x ,它的比例系数 为 . 12. 反比例函数y= 3 x 的图象关于y 轴对称的 图象对应的函数表达式为 . 13. 如图所示为函数y= k x (k≠0,x>0)的图 象,则整数k的值是 . 第13题 14. 若函数y= m+2 x 在每个象限内y随x的增 大而减小,则m 的取值范围是 . 15. 若y=(a-2)x|a|-3是反比例函数,则a的 值为 . 16. 近视眼镜的度数y 与镜片焦距x(米)成反 比例关系,已知400度近视眼镜的镜片焦 距为0.2米,则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数表达式为 . 17. 某市举办了中小学师生硬笔书法大赛.如 图,用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学 校学生参加硬笔书法大赛的优秀率(该校成 绩优秀人数与该校参加比赛人数的比值)y 与该校参加比赛人数x 的情况,其中描述 乙、丁两所学校情况的点恰好分布在同一个 反比例函数的图象上,则硬笔书法大赛成绩 优秀人数最多的学校是 . 第17题 答案讲解 18. 某校对教室采用药熏法进行灭蚊. 根据使用说明,药物燃烧时,教室 内每立方米空气中含药量y(mg) 与药物点燃后的时间x(min)成正比例关 系,药物燃尽后,y 与x 成反比例关系.如 图,药物点燃后8min燃尽,此时教室内每立 方米空气中含药量为6mg.若当每立方米空 气中含药量不低于3mg且持续时间不少于 10min时,才能有效杀灭教室内的蚊虫,则 此次灭蚊 (填“有效”或“没效”). 第18题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 65 三、 解答题(共46分) 19. (6分)先化简,再求值:a-2+1a ÷(a-1) 2 a , 其中a是反比例函数y= a x 的比例系数,且 该反比例函数图象的两支分别位于第二、 四象限. 20. (6分)在某电路中,电源电压U 保持不变, 电流I(A)、电压U(V)与电阻R(Ω)之间满 足I=UR ,电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函 数关系如图所示.当电路中的电流不超过 12A 时,电路中电阻 R 的取值范围是 什么? 第20题 21. (8分)(贵州中考)已知点(1,3)在反比例函 数y= k x 的图象上. (1) 求反比例函数的表达式; (2) 点(-3,a),32 ,b ,(3,c)都在该反比 例函数的图象上,比较a,b,c的大小,并说 明理由. 22. (8分)(吉林中考)笑笑同学通过学习数学 和物理知识,知道了电磁波的波长λ(单位: m)会随着电磁波的频率f(单位:MHz)的 变化而变化.已知波长λ与频率f 是反比 例函数关系,下面是它们的部分对应值: 频率f/MHz 10 15 50 波长λ/m 30 20 6 (1) 求波长λ关于频率f的函数表达式; (2) 当f=75时,求电磁波的波长. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 66 23. (8分)(广安中考)如图,一次函数y=ax+ b(a,b为常数,a≠0)的图象与反比例函数 y= k x (k为常数,k≠0)的图象交于A(2, 4),B(n,-2)两点. (1) 求一次函数和反比例函数的表达式; (2) 直线AB 与x 轴交于点C,P(m,0)是 x轴上的点,若△PAC 的面积大于12,请 直接写出m 的取值范围. 第23题 答案讲解 24. (10分)(达州中考)[背景]在一次 物理实验中,小冉同学用一固定电 压为12V的蓄电池,通过调节滑 动变阻器来改变电流大小,完成控制灯泡L (灯丝的阻值为RL,它的电阻是2Ω)亮度 的实验.已知在串联电路中,电流与电阻 R,RL之间的关系为 I= UR+RL ,通过实验 得出如下数据: R/Ω … 1 a 3 4 6 … I/A … 4 3 2.4 2 b … (1) a= ;b= . (2) [探究]根据以上实验,构建出函数y= 12 x+2 (x≥0),结合表格信息,探究函数y= 12 x+2 (x≥0)的图象与性质. ① 在如图所示的平面直角坐标系中画出函 数y= 12 x+2 (x≥0)的图象; ② 随着自变量x的不断增大,函数值y的 变化趋势为 . (3) [拓展]结合(2)中的函数图象分析,求 当x≥0时,不等式 12x+2≥- 3 2x+6 的 解集. 第24题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级