精品解析：广东省深圳市高级中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

深圳市高级中学 2024-2025 学年度第二学期期末考试 高二数学试题 命题人：黄克之、雷蕾、李浩宾 审题人：张延伟、王冠 本卷共计19题，满分150分，用时120分钟 一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “x＝” 是 “sinx＝” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 一次期中数学考试成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的考生中任意选取名考生，至少有名考生的成绩高于的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 学校开展数学学科周活动，从高二（1）、（2）、（3）、（4）班各选两名同学组成一个名同学的志愿者小队，老师从中随机选择四名同学协助工作，已知有两名同学来自同一个班级，则另外两名同学不是来自同一个班级的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，在上恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是由个样本数据得到的散点图，根据这个样本数据建立y关于x的经验回归方程.下列说法正确的是（ ） A. 样本数据、、、、的平均数为 B. 去掉后，残差平方和变小 C. 经验回归直线经过点 D. 相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于，相关性越弱 10. 已知正数、满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 11. 已知函数为上的奇函数，当时，，且的图象关于点中心对称，则下列说法正确的是（ ） A. B. 方程所有根的和为 C. 是周期为的周期函数 D. 线段，与，的图象有个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________ 13. 定义在上的奇函数满足，且，则________． 14. 互质是数论中一个基础概念，指的是两个整数公因数只有，例如和，和分别都只有公因数，所以和，和分别都是互质的. 的不同的正因数有____个，从中选取两个不同的正因数，这两个数互质的概率为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学习小组为了研究性别与近视之间是否有关联，在年级随机选取了30人，得到如下列联表： 性别 近视 合计 不近视 近视 男 5 17 22 女 2 6 8 合计 7 23 30 （1）在样本中的名女生中随机选取人，求这人中至少有人是近视的概率； （2）小组成员甲通过计算发现女生的近视率为小于男生的近视率，所以甲认为男生更容易近视.请根据小概率值的独立性检验，分析甲的说法是否正确？ α xα 16. 已知函数在处取到极值. （1）求； （2）设，求的最小值. 17. 已知函数（且）的图象过点. （1）求； （2）当时，存在偶函数和奇函数，使得. （i）求和的解析式； （ii）求不等式的解集. 18. 有个不同的球和个编号为到的盒子（每个盒子都能装下至少个球），现将个球随机地放入这个盒子里，记为空盒子的个数. （1）若，设“号盒子为空”，求； （2）若，求的分布列和期望； （3）若、为随机变量，则. 证明：. 19. （1）实数、满足，将表示为关于的函数，并求该函数的值域； （2）已知函数，是否存在实数，使得也是关于的函数，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由； （3）实数、满足，求区间，是为关于的函数的充要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市高级中学 2024-2025 学年度第二学期期末考试 高二数学试题 命题人：黄克之、雷蕾、李浩宾 审题人：张延伟、王冠 本卷共计19题，满分150分，用时120分钟 一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，，故. 故选：C. 2. “x＝” 是 “sinx＝” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据充分不必要条件的定义可得答案. 【详解】当时，成立；而时得（）， 故选：A． 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式即可求解． 【详解】的展开式通项为， 令，所以展开式中的系数为， 故选：D． 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由函数求导得：，则， 所以所求切线方程为，即. 故选：C 5. 一次期中数学考试成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的考生中任意选取名考生，至少有名考生的成绩高于的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的值，利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】因为，， 故， 从参加这次考试的考生中任意选取名考生，至少有名考生的成绩高于的概率为 . 故选：B. 6. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的定义即可得出判断． 【详解】对于A，，设， ，所以为奇函数，故A符合题意； 对于B，，， 定义域关于原点不对称，所以是非奇非偶函数，故B不合题意； 对于C，， 设， 则，不为奇函数，故C不合题意； 对于D，， 定义域关于原点不对称，所以为非奇非偶函数，故D不合题意； 故选：A． 7. 学校开展数学学科周活动，从高二（1）、（2）、（3）、（4）班各选两名同学组成一个名同学的志愿者小队，老师从中随机选择四名同学协助工作，已知有两名同学来自同一个班级，则另外两名同学不是来自同一个班级的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记事件老师选择的四名同学有两名同学来自同一个班级，记事件老师选择的四名同学有两名同学不在同一个班级，求出、的值，结合条件概率公式可求得的值. 【详解】记事件老师选择的四名同学有两名同学来自同一个班级， 记事件老师选择的四名同学有两名同学不在同一个班级， 故，， 由条件概率公式可得. 故选：D. 8. 已知函数，在上恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断为偶函数，只考虑即可，两次求导，判断函数的单调性，可得符合题意，再利用特例法排除A即可． 【详解】因为， 所以为偶函数，只需考虑即可， 因为 所以， 设， 则， 当时，，所以在上单调递增， ，所以在上单调递增， 所以， 所以符合题意， 取，此时，则，不合题意，A不正确， 综上所述，实数a的取值范围是， 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是由个样本数据得到的散点图，根据这个样本数据建立y关于x的经验回归方程.下列说法正确的是（ ） A. 样本数据、、、、的平均数为 B. 去掉后，残差平方和变小 C. 经验回归直线经过点 D. 相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于，相关性越弱 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用回归直线拟合效果与残差平方和的关系可判断B选项；利用经验回归直线过样本中心点可判断C选项；利用相关系数与相关性的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知样本数据、、、、的平均数为，A对； 对于B选项，去掉后，回归直线的拟合效果越好，残差平方和变小，B对； 对于C选项，由题意可得， 故经验回归直线经过点，C对； 对于D选项，相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， 越接近于，相关性越强，D错. 故选：ABC. 10. 已知正数、满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断AD选项；利用二次函数的基本性质可判断B选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项. 【详解】对于A选项，由基本不等式可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最大值为，A错； 对于B选项，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值是，B对； 对于C选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即的最小值是，C对； 对于D选项，，当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值是，D对. 故选：BCD. 11. 已知函数为上的奇函数，当时，，且的图象关于点中心对称，则下列说法正确的是（ ） A. B. 方程所有根的和为 C. 是周期为的周期函数 D. 线段，与，的图象有个交点 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性与对称性求出的值，可判断A选项；求出方程在的根之和，结合对称性可判断B选项；利用函数周期性的定义可判断C选项；数形结合并由函数的周期性可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数为上的奇函数，当时，， 且的图象关于点中心对称， 则，，故，A对； 对于C选项，因为函数的图象关于点中心对称，则， 所以， 所以， 由于函数为奇函数，故， 所以①， 在①中，用替代可得，故函数是周期为的周期函数，C对； 对于B选项，当时，，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以的极小值为， 又因为，，故函数在上的值域为， 由于函数的图象关于点对称，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数在上的图象与直线有三个交点， 设其交点横坐标分别为，即， 由对称性知，故， 令，则， 当时，，， 故，故当时，， 故，且， 由题意可得， 故，故， 当时，，， 可得， 以此类推可知，当时，， 故方程只在区间上有三个不等实根，且这三个实根之和为，C对； 对于D选项，由，可得， 令，， ，当时，， 当时，， 所以函数在、上单调递增，在上单调递减， 函数的极大值为，极小值为， 又因为，作出函数在上的图象如下图所示： 由图可知，方程在上有且只有一个实根， 由于函数是周期为的周期函数，故方程在、上各有一根， 综上所述，线段，与，的图象有个交点，D错. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________ 【答案】0 【解析】 【分析】由指数、对数运算法则运算即可求解. 【详解】. 故答案为：0. 13. 定义在上的奇函数满足，且，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】由已知得出周期为4，，再由即可求解． 【详解】因为，所以周期为4， 又是定义在上的奇函数，所以， 所以， 故答案为：1． 14. 互质是数论中一个基础概念，指的是两个整数公因数只有，例如和，和分别都只有公因数，所以和，和分别都是互质的. 的不同的正因数有____个，从中选取两个不同的正因数，这两个数互质的概率为_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对分解因数，转化的正因数，结合参数的取值及分步乘法计数原理即可得解；然后对所选的两个因数机型分类讨论，结合分类加法计数原理以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】因为，则的正因数， 其中，，， 所以有个不同的正因数； 从中选取两个不同的正因数，这两个数互质的情况有如下几种： ①选择的两个因数为、，其中，，有种情况； ②选择的两个因数为、，其中，，有种情况； ③选择两个因数为、，其中，，有种情况； ④选择的两个因数为、，其中，，，有种情况； ⑤选择的两个因数为、，其中，，，有种情况； ⑥选择的两个因数为、，其中，，，有种情况； ⑦若选择的因数有，与其它因数的公约数为，有种情况. 综上所述，从中选取两个不同的正因数，这两个数互质的概率为. 故答案为：；, 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学习小组为了研究性别与近视之间是否有关联，在年级随机选取了30人，得到如下列联表： 性别 近视 合计 不近视 近视 男 5 17 22 女 2 6 8 合计 7 23 30 （1）在样本中的名女生中随机选取人，求这人中至少有人是近视的概率； （2）小组成员甲通过计算发现女生的近视率为小于男生的近视率，所以甲认为男生更容易近视.请根据小概率值的独立性检验，分析甲的说法是否正确？ α xα 【答案】（1） （2）不正确 【解析】 【分析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式、对立事件的概率公式可求出所求事件的概率； （2）零假设性别与是否近视无关，求出的观测值，结合临界值表可得出结论. 【小问1详解】 名女生中，有名近视，名不近视，设为近视的人数， 则， 所以这人中至少一个是近视的概率为. 【小问2详解】 零假设性别与是否近视无关， 根据列联表数据，计算得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为性别与是否近视无关，甲同学的说法不正确. 16. 已知函数在处取到极值. （1）求； （2）设，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由极值点的定义可得，可求得的值，然后利用极值点的定义验证即可； （2）利用导数分析函数的单调性，即可得出函数的最小值. 【小问1详解】 因为，则， 因为函数在处取到极值，所以，得， 所以，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极小值， 综上. 【小问2详解】 由（1）可得，其中， 所以， 令，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以. 17. 已知函数（且）的图象过点. （1）求； （2）当时，存在偶函数和奇函数，使得. （i）求和的解析式； （ii）求不等式的解集. 【答案】（1） （2）（i），；（ii） 【解析】 【分析】（1）由可求得实数的值； （2）（i）由函数的基本性质可得出，，结合方程组法可得出函数和的解析式； （ii）由结合对数函数的单调性可得出关于的不等式，并结合可得出原不等式的解集. 【小问1详解】 因为（且）， 由题意可得，解得. 【小问2详解】 （i）因为为偶函数，为奇函数， ， 由， 所以， ； （ii）由，即，即， 因为，即，即，得， 所以原不等式的解集为. 18. 有个不同的球和个编号为到的盒子（每个盒子都能装下至少个球），现将个球随机地放入这个盒子里，记为空盒子的个数. （1）若，设“号盒子为空”，求； （2）若，求的分布列和期望； （3）若、为随机变量，则. 证明：. 【答案】（1） （2）分布列： （3）证明：每个盒子空的概率为， 设，则， 则， 因为，所以， 即， 令，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，即时，， 所以，得，所以. 【解析】 【分析】（1）号盒子为空，则两个球都放入了号盒子，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）由题意可知，随机变量的可能取值为、、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）每个盒子空的概率为，设，可得出，进而可得出，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，可证明出，即可证得结论成立. 【小问1详解】 号盒子为空，则两个球都放入了号盒子，所以. 【小问2详解】 的可能取值为、、、， ，， ，， 故随机变量的分布列为 故. 【小问3详解】 略 19. （1）实数、满足，将表示为关于的函数，并求该函数的值域； （2）已知函数，是否存在实数，使得也是关于的函数，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由； （3）实数、满足，求区间，是为关于的函数的充要条件. 【答案】（1），值域为；（2）存在，；（3） 【解析】 【分析】（1）由已知等式变形得出，结合反比例型函数的值域可得出所求函数的值域； （2）对任意的，方程最多只有一个实数根，构造函数，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，分析方程方程根的个数，即可得解； （3）分析可知，对，关于的方程有且仅有唯一实数根，令，利用导数分析函数的单调性，对的取值进行分类讨论，讨论方程的解的个数，即可得出结论. 【详解】（1）因为，则，故， ，，函数值域为. （2）若是关于的函数，则对于任意的，都只有唯一确定的与之对应， 所以对任意的，方程最多只有一个实数根， 设，， 令，则. （i）时，，可得，所以是的函数； （ii）时，令，得， ，，在上单调递减， ，，在上单调递增， 所以， 当，即时，是单调增函数， 所以最多只有个解，符合题意； 当，即时， 由，，所以，， ，所以，， 当，，在上单调递增， 当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 设，所以在单调递增， ，，， 所以，使得，即， 所以方程有两个实数根和，不合题意； （iii）时，，单调递增， 因为，，所以，， 且时，，在上单调递减， 时，，在单调递增， 设，所以在单调递减， 因为，， 所以，，所以，，即， 所以方程有两个实数根和，不合题意， 综上的取值范围是； （3）若存在，当时，是关于的函数， 则对，关于的方程有且仅有唯一实数根， 令， ， 令，得，， ，， （i）时，在和单调递增，在单调递减， 所以的极小值为，且，， 所以方程有且仅有个解， （ii）时，，符合题意； （iii）时，在和单调递增，在单调递减， 因为的极大值， 所以仅在的极小值为，即时，方程只有个解， 又，所以方程有且仅有个解 ， 综上的范围为， 所以区间为，当时，是关于的函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $