第一章 集合与常用逻辑用语（单元测试·提升卷）数学人教B版2019必修第一册

2025-2026学年高一上学期数学单元检测卷 第一章 集合与常用逻辑用语·能力提升（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 B B B C D D D A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 BD ABC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．0或1 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）因为有实根，所以， 3分 解得， 所以. 5分 （2）因为， 当时，满足，此时，解得； 8分 当时，因为，所以，解得， 11分 综上所述，的取值范围是或. 13分 16．【详解】（1）由，得，， 4分 从而 6分 （2）当时，，，且存在，使得，． 于是， 8分 又a、b、c为的三边长，得． 从而的充要条件是 12分 ②③，并注意到，得．④ 将④代入③，得⑤ 即由②③消去得到⑤．而⑤满足①，因此的充要条件是． 15分 17．【详解】（1）图中阴影部分可用集合表示. 2分 因为，或， 所以， 4分 6分 则图中阴影部分表示． 8分 （2）因为，或， 由，得， 10分 所以当时，，解得，符合题意； 12分 当时，或， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，的取值范围为． 15分 18．【详解】（1）∵，，，∴，，. 3分 假设，，，则， 因为 所以的奇偶性一致，故要么为奇数，要么为的倍数， 故无整数解，故. 6分 （2）结论：“”是“”的必要不充分条件， 8分 理由如下： 集合，恒有， ∴，即必要性成立； 又∵，， ∴充分性不成立， ∴“”是“”的必要不充分条件. 11分 （3）集合，成立， 因为 所以的奇偶性一致，故要么为奇数，要么为的倍数， 14分 又对于任意，总有，故， 综上，集合中的所有偶数为，. 17分 19．【详解】（1）不是“完美集”， 因为去掉2时，所有元素和为15，无法拆分为两个和相等的集合； 3分 （2）记为集合中的所有元索之和，是偶数， 所以与必定同奇同偶. 当为奇数时，也是奇数，是奇数个奇数相加，故是奇数： 6分 当为偶数时，也是偶数，设，则也是“完美集”， 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“完美集”，此时集合元索个数是奇数； 所以得证： 9分 （3）最小值是7. 设是等差数列，. 当时，去掉时，，不成立： 10分 当时，，不妨设， 去掉，假设可以拆分成两个交为空且和相等的集合， 则有两种情况： ①，因为，这与矛盾； ②，因为，这与均为正整数矛盾，故假设不成立： 13分 故，下证的最小值为7. 当时，构造（写出一个即可），. 去掉； 去掉； 去掉； 去掉； 同理去掉； 去掉； 去掉； 所以，是“等差完美集”. 综上所述，的最小值为7. 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一上学期数学单元检测卷 第一章 集合与常用逻辑用语·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知命题，命题，则下列说法中正确的是（    ） A．命题都是真命题 B．命题是真命题，是假命题 C．命题是假命题，是真命题 D．命题都是假命题 2．已知全集，集合，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 3．若命题“，成立”是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知集合不是空集，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 7．已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．下列选项叙述中正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 10．已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（    ） A． B．A的不同子集的个数为8 C． D． 11．取整函数：不超过x的最大整数，如，，.取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照"取整函数"进行计费的.以下关于“取整函数”的性质是真命题的有（    ） A．， B．， C．，，，则 D．， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若集合中只有一个元素，则 . 13．已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 14．已知集合，，其中，，，，中元素之和为124，且，用列举法写出集合 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 16．（15分）已知a、b、c为的三边长，集合，． (1)若，求； (2)求的充要条件． 17．（15分）设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 18．（17分）已知集合. (1)判断，，，是否属于； (2)集合，判断“”是“”的什么条件（充要条件，充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件），并说明理由； (3)写出集合中的所有偶数. 19．（17分）定义：为在集合中去掉一个元素后得到的集合；为集合中的所有元素之和.已知由个正整数组成的集合，若对于，都存在两个集合，使得，且，就称集合为“完美集”. (1)若，判断是否为“完美集”，并说明理由； (2)若集合是“完美集”，证明：是奇数； (3)若集合是“完美集”，且中所有元素从小到大排序后能构成一个等差数列，则称为“等差完美集”.已知集合是“等差完美集”，求的最小值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一上学期数学单元检测卷 第一章 集合与常用逻辑用语·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知命题，命题，则下列说法中正确的是（    ） A．命题都是真命题 B．命题是真命题，是假命题 C．命题是假命题，是真命题 D．命题都是假命题 2．已知全集，集合，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 3．若命题“，成立”是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知集合不是空集，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 7．已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．下列选项叙述中正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 10．已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（    ） A． B．A的不同子集的个数为8 C． D． 11．取整函数：不超过x的最大整数，如，，.取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照"取整函数"进行计费的.以下关于“取整函数”的性质是真命题的有（    ） A．， B．， C．，，，则 D．， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若集合中只有一个元素，则 . 13．已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 14．已知集合，，其中，，，，中元素之和为124，且，用列举法写出集合 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 16．（15分）已知a、b、c为的三边长，集合，． (1)若，求； (2)求的充要条件． 17．（15分）设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 18．（17分）已知集合. (1)判断，，，是否属于； (2)集合，判断“”是“”的什么条件（充要条件，充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件），并说明理由； (3)写出集合中的所有偶数. 19．（17分）定义：为在集合中去掉一个元素后得到的集合；为集合中的所有元素之和.已知由个正整数组成的集合，若对于，都存在两个集合，使得，且，就称集合为“完美集”. (1)若，判断是否为“完美集”，并说明理由； (2)若集合是“完美集”，证明：是奇数； (3)若集合是“完美集”，且中所有元素从小到大排序后能构成一个等差数列，则称为“等差完美集”.已知集合是“等差完美集”，求的最小值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一上学期数学单元检测卷 第一章 集合与常用逻辑用语·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知命题，命题，则下列说法中正确的是（    ） A．命题都是真命题 B．命题是真命题，是假命题 C．命题是假命题，是真命题 D．命题都是假命题 【答案】B 【详解】若，则，得，故命题为真， 若，则，故命题为假， 故选：B. 2．已知全集，集合，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题，，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：B 3．若命题“，成立”是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为，成立， 所以，解得， 故选：B 4．已知集合不是空集，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由是的充分不必要条件，得是的非空真子集， 则，解得，而当时，，当时，符合题意， 所以实数的取值范围为. 故选：C 5．已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，时，， 时，， 或或或时，， 或或或时，， 故. 故选：D. 6．已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，且， 所以，则或， 解得或或， 当或时，此时集合不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，满足，符合题意. 故选：D. 7．已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，等价于“任意的，使得等式成立”是真命题，又因为，所以，要使，则需或. 所以实数的取值范围为. 故选：D. 8．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，．    不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得， 解得，故接受调查的小学生共有人． 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．下列选项叙述中正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 【答案】BD 【详解】对于A，取，满足，而，因此“”不是“”的充分条件，A错误； 对于B，，而当时，成立，显然不成立， 则“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对于C，，而，因此“” 不是“”的充要条件，C错误； 对于D，“方程有一个正根和一个负根”的等价条件是， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，D正确. 故选：BD 10．已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（    ） A． B．A的不同子集的个数为8 C． D． 【答案】ABC 【详解】因为， 因为，所以集合中有，集合中无的元素只有1，9； 因为，所以既不在集合中，也不在集合中的元素只有4，6，7； 因为，所以集合与的公共元素只有3； 所以集合中有，集合中无的元素只有0，2，5，8，即. 如图： 所以：，，，故AC正确； 因为集合中有3个元素，所以A的不同子集的个数为8，故B正确； 因为，故D错误. 故选：ABC 11．取整函数：不超过x的最大整数，如，，.取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照"取整函数"进行计费的.以下关于“取整函数”的性质是真命题的有（    ） A．， B．， C．，，，则 D．， 【答案】BCD 【详解】对于A，根据新定义“取整函数”的意义知不一定成立，如x取1.5，，，故A错误； 对于B，x取1，，，B正确； 对于C，设，，若，则，因此，故C正确； 对于D，设，当时，，， 所以，当时，，，所以，即D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若集合中只有一个元素，则 . 【答案】0或1 【详解】因集合中只有一个元素， 则当时，方程为，解得，即集合，则， 当时，由，解得，集合，则， 所以或. 故答案为：0或1 13．已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为是的必要非充分条件， 设集合或，或，, 当，得时，此时成立，，成立， 当时，即时，再满足，得：，此时的取值为， 所以 故答案为： 14．已知集合，，其中，，，，中元素之和为124，且，用列举法写出集合 . 【答案】 【详解】依题意，都是正整数，由，得， 而，得，解得，又，则， 此时，而，若，则，由，得正整数，， ，，中所有元素和为100，不符合题意， 因此，解得，，， ，于是，即，解得， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 【详解】（1）因为有实根，所以， 3分 解得， 所以. 5分 （2）因为， 当时，满足，此时，解得； 8分 当时，因为，所以，解得， 11分 综上所述，的取值范围是或. 13分 16．（15分）已知a、b、c为的三边长，集合，． (1)若，求； (2)求的充要条件． 【详解】（1）由，得，， 4分 从而 6分 （2）当时，，，且存在，使得，． 于是， 8分 又a、b、c为的三边长，得． 从而的充要条件是 12分 ②③，并注意到，得．④ 将④代入③，得⑤ 即由②③消去得到⑤．而⑤满足①，因此的充要条件是． 15分 17．（15分）设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【详解】（1）图中阴影部分可用集合表示. 2分 因为，或， 所以， 4分 6分 则图中阴影部分表示． 8分 （2）因为，或， 由，得， 10分 所以当时，，解得，符合题意； 12分 当时，或， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，的取值范围为． 15分 18．（17分）已知集合. (1)判断，，，是否属于； (2)集合，判断“”是“”的什么条件（充要条件，充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件），并说明理由； (3)写出集合中的所有偶数. 【详解】（1）∵，，，∴，，. 3分 假设，，，则， 因为 所以的奇偶性一致，故要么为奇数，要么为的倍数， 故无整数解，故. 6分 （2）结论：“”是“”的必要不充分条件， 8分 理由如下： 集合，恒有， ∴，即必要性成立； 又∵，， ∴充分性不成立， ∴“”是“”的必要不充分条件. 11分 （3）集合，成立， 因为 所以的奇偶性一致，故要么为奇数，要么为的倍数， 14分 又对于任意，总有，故， 综上，集合中的所有偶数为，. 17分 19．（17分）定义：为在集合中去掉一个元素后得到的集合；为集合中的所有元素之和.已知由个正整数组成的集合，若对于，都存在两个集合，使得，且，就称集合为“完美集”. (1)若，判断是否为“完美集”，并说明理由； (2)若集合是“完美集”，证明：是奇数； (3)若集合是“完美集”，且中所有元素从小到大排序后能构成一个等差数列，则称为“等差完美集”.已知集合是“等差完美集”，求的最小值. 【详解】（1）不是“完美集”， 因为去掉2时，所有元素和为15，无法拆分为两个和相等的集合； 3分 （2）记为集合中的所有元索之和，是偶数， 所以与必定同奇同偶. 当为奇数时，也是奇数，是奇数个奇数相加，故是奇数： 6分 当为偶数时，也是偶数，设，则也是“完美集”， 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“完美集”，此时集合元索个数是奇数； 所以得证： 9分 （3）最小值是7. 设是等差数列，. 当时，去掉时，，不成立： 10分 当时，，不妨设， 去掉，假设可以拆分成两个交为空且和相等的集合， 则有两种情况： ①，因为，这与矛盾； ②，因为，这与均为正整数矛盾，故假设不成立： 13分 故，下证的最小值为7. 当时，构造（写出一个即可），. 去掉； 去掉； 去掉； 去掉； 同理去掉； 去掉； 去掉； 所以，是“等差完美集”. 综上所述，的最小值为7. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$