第一章 分数的乘法与除法（知识清单）数学人教版五四制2024六年级上册

第一章 分数的乘法与除法 一、分数乘法 （一）分数乘法的意义 1．分数乘整数：表示求几个相同分数的__________的简便运算． 2．一个数乘分数：表示求这个数的__________是多少． （二）分数乘法的计算法则 1．分数乘整数：用分数的__________和整数相乘的积作分子，分母__________，能约分的可以先__________，再计算． 2．分数乘分数：用分子相乘的积作__________，分母相乘的积作__________．用字母表示是（） 3．小数乘分数：可把分数化成__________计算，也可把小数化成__________计算． 4．混合运算：与整数混合运算顺序__________，先算__________，后算加减，有括号的先算__________里的． 5．运算定律：整数乘法的__________律、__________律、__________律对于分数乘法同样适用，应用运算律可使计算__________． 乘法交换律：__________ 乘法结合律：__________ 分配律：__________ 二、分数除法 （一）倒数 1．定义：乘积是__________的两个数互为倒数． 2．求法：求一个数的倒数，只要把这个数化成__________，分子、分母调换__________． 注意：1的倒数是__________，__________没有倒数． （二）分数除法的意义 已知两个因数的__________与其中一个因数，求另一个__________的运算． （三）分数除法的计算法则 1．一个数除以整数（0除外）：等于乘这个整数的__________． 2．一个数除以分数：等于乘这个分数的__________． 用字母表示分数除法就是（） 注意：整数也可以看成分母是__________的分数． 3．混合运算：运算顺序与整数四则混合运算__________，有时可应用运算律简便计算． 三、分数乘、除法的应用 （一）分数乘法应用 1．连续求一个数的几分之几是多少． 2．求比一个数多（或少）几分之几的数． （二）分数除法应用 1．已知一个数的几分之几是多少，求这个数． 2．稍复杂的分数除法问题． 四、知识关联与思想方法 （一）知识关联 1．分数乘法与除法互逆，计算除法转化为__________． 2．运算定律贯通整数与__________运算． （二）思想方法 1．类比思想（分数乘法意义类比__________乘法意义）． 2．转化思想（除法转__________）． 3．数形结合（通过__________理解算理）． 易错点1：分数乘整数时忽略约分顺序 错误：计算时先相乘再约分，导致计算复杂且易出错。 注意：分数乘整数时，能约分的应先约分再计算，这样更简便。 例如：，虽然结果正确，但导致计算得杂化。 例题1：计算 错点2：整数乘分数时误将整数与分母相乘 错误：计算整数乘分数时，把整数与分母相乘。 注意：整数乘分数，用整数乘分子的积作分子，分母不变，能约分的先约分。 例题2：计算 易错点3：分数乘分数时漏乘分子或分母 错误：计算分数乘分数时，漏乘分子或分母。 注意：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 例如：计算，误算为，分母中漏乘了一个4。 例题3：计算 易错点4：小数乘分数时转化错误 错误：将小数化成分数或分数化成小数时出错。 注意：小数乘分数，可将小数化成分数（能约分的先约分）或把分数化成小数计算，选择更简便的方法。 例题4：计算 易错点5：混合运算中运算顺序错误 错误：在分数混合运算中，不按先乘除后加减的顺序计算。 注意：分数混合运算顺序与整数混合运算顺序相同，先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里的。 例题5：计算 易错点6：运用运算律时错误 错误：运用乘法分配律时漏乘或错乘，如，误算为。 注意：整数乘法的交换律、结合律、分配律对于分数乘法同样适用，运用时要准确应用。 例题6：计算 易错点7：倒数概念理解错误 错误：认为“乘积为1的多个数互为倒数”或“0有倒数”，如，认为这三个数互为倒数；或认为0的倒数是0。 注意：乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数。 例题7：判断正误：，所以这三个数互为倒数。（ ） 易错点8：分数除法计算时误乘被除数的倒数 错误：计算分数除法时，把除数的倒数乘被除数，而不是乘除数的倒数，如，误算为。 注意：一个数除以分数（或整数，0除外），等于乘这个分数（或整数）的倒数。 例题8：计算 易错点9：解决分数除法应用题时找错单位“1” 错误：在分数除法应用题中，找错单位“1”，导致列式错误，如“已知一个数的是15，求这个数”，误列式为。 注意：解决分数除法应用题，关键是找准单位“1”，已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”用除法。 例题9：果园里桃树有18棵，是梨树棵数的，梨树有多少棵？ 易错点10：工程问题中忽略工作总量为“1” 错误：在工程问题中，不知道把工作总量看作单位“1”，如“甲队单独修一条路需10天，乙队单独修需15天，两队合修需几天”，不会列式。 注意：工程问题中，通常把工作总量看作单位“1”，工作效率=工作总量÷工作时间。 例题10：一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，两队合做需要几天完成？ 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C．20 D．30 2．计算的结果是（    ） A．15 B．5 C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．计算： ． 7．计算： ． 8．计算： ． 9．计算 ． 10．一根绳子剪去它的，剩下绳子的长度为米，这根绳子原来长 米． 三、解答题 11．直接写得数． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 12．脱式计算（能简算要简算） (1) (2) 13．一件工程，乙队先做4天，继而甲、丙两队合作6天，剩下的工程甲队独做9天完成，已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2倍，甲、乙、丙三队独做各需要多少天？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 分数的乘法与除法 一、分数乘法 （一）分数乘法的意义 1．分数乘整数：表示求几个相同分数的和的简便运算． 2．一个数乘分数：表示求这个数的几分之几是多少． （二）分数乘法的计算法则 1．分数乘整数：用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变，能约分的可以先约分，再计算． 2．分数乘分数：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母．用字母表示是（） 3．小数乘分数：可把分数化成小数计算，也可把小数化成分数计算． 4．混合运算：与整数混合运算顺序相同，先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里的． 5．运算定律：整数乘法的交换律、结合律、分配律对于分数乘法同样适用，应用运算律可使计算简便． 乘法交换律：ab＝ba 乘法结合律：(ab)c＝a(bc) 分配律：a(b＋c)＝ab＋ac 二、分数除法 （一）倒数 1．定义：乘积是1的两个数互为倒数． 2．求法：求一个数的倒数，只要把这个数化成分数，分子、分母调换位置． 注意：1的倒数是1，0没有倒数． （二）分数除法的意义 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算． （三）分数除法的计算法则 1．一个数除以整数（0除外）：等于乘这个整数的倒数． 2．一个数除以分数：等于乘这个分数的倒数． 用字母表示分数除法就是（） 注意：整数也可以看成分母是１的分数． 3．混合运算：运算顺序与整数四则混合运算相同，有时可应用运算律简便计算． 三、分数乘、除法的应用 （一）分数乘法应用 1．连续求一个数的几分之几是多少． 2．求比一个数多（或少）几分之几的数． （二）分数除法应用 1．已知一个数的几分之几是多少，求这个数． 2．稍复杂的分数除法问题． 四、知识关联与思想方法 （一）知识关联 1．分数乘法与除法互逆，计算除法转化为乘法． 2．运算定律贯通整数与分数运算． （二）思想方法 1．类比思想（分数乘法意义类比整数乘法意义）． 2．转化思想（除法转乘法）． 3．数形结合（通过图形理解算理）． 易错点1：分数乘整数时忽略约分顺序 错误：计算时先相乘再约分，导致计算复杂且易出错。 注意：分数乘整数时，能约分的应先约分再计算，这样更简便。 例如：，虽然结果正确，但导致计算得杂化。 例题1：计算 【答案】3 【解析】分数乘整数时，若先计算分子与整数的乘积再约分，会增加计算量，正确做法是先约分再计算。 解： 错点2：整数乘分数时误将整数与分母相乘 错误：计算整数乘分数时，把整数与分母相乘。 注意：整数乘分数，用整数乘分子的积作分子，分母不变，能约分的先约分。 例题2：计算 【答案】2 【解析】整数乘分数的规则是“整数与分子相乘，分母不变”，若误将整数与分母相乘，会导致计算逻辑错误。 解： 易错点3：分数乘分数时漏乘分子或分母 错误：计算分数乘分数时，漏乘分子或分母。 注意：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 例如：计算，误算为，分母中漏乘了一个4。 例题3：计算 【答案】 【解析】分数乘分数需严格遵循“分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母”，漏乘会直接导致结果错误。 解： 易错点4：小数乘分数时转化错误 错误：将小数化成分数或分数化成小数时出错。 注意：小数乘分数，可将小数化成分数（能约分的先约分）或把分数化成小数计算，选择更简便的方法。 例题4：计算 【答案】1 【解析】小数乘分数可将小数化成分数或分数化成小数计算，转化时需注意约分，避免计算繁琐。 解：。 易错点5：混合运算中运算顺序错误 错误：在分数混合运算中，不按先乘除后加减的顺序计算。 注意：分数混合运算顺序与整数混合运算顺序相同，先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里的。 例题5：计算 【答案】 【解析】分数混合运算需遵循“先乘除后加减”的顺序，先算加法会导致运算逻辑错误。 解： = = = = 易错点6：运用运算律时错误 错误：运用乘法分配律时漏乘或错乘，如，误算为。 注意：整数乘法的交换律、结合律、分配律对于分数乘法同样适用，运用时要准确应用。 例题6：计算 【答案】7 【解析】应用乘法分配律时，需将括号内每一项分别与括号外整数相乘，漏乘某一项会导致结果错误。 解： = = = 易错点7：倒数概念理解错误 错误：认为“乘积为1的多个数互为倒数”或“0有倒数”，如，认为这三个数互为倒数；或认为0的倒数是0。 注意：乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数。 例题7：判断正误：，所以这三个数互为倒数。（ ） 【答案】错误 【解析】倒数是指两个数的乘积为1的关系，多个数乘积为1不满足倒数的定义。 解：倒数的定义：若，则和互为倒数； 题目中三个数乘积为1，但任意两数相乘不为1（如），故说法错误。 易错点8：分数除法计算时误乘被除数的倒数 错误：计算分数除法时，把除数的倒数乘被除数，而不是乘除数的倒数，如，误算为。 注意：一个数除以分数（或整数，0除外），等于乘这个分数（或整数）的倒数。 例题8：计算 【答案】 【解析】分数除法的运算法则是“除以一个数等于乘这个数的倒数”，误乘被除数倒数会颠倒分子分母的运算关系。 解： 易错点9：解决分数除法应用题时找错单位“1” 错误：在分数除法应用题中，找错单位“1”，导致列式错误，如“已知一个数的是15，求这个数”，误列式为。 注意：解决分数除法应用题，关键是找准单位“1”，已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”用除法。 例题9：果园里桃树有18棵，是梨树棵数的，梨树有多少棵？ 【答案】24棵 【解析】桃树棵数是梨树的，单位“1”是梨树棵数，已知部分量求单位“1”需用除法。 解：（棵）。 答：梨树有24棵。 易错点10：工程问题中忽略工作总量为“1” 错误：在工程问题中，不知道把工作总量看作单位“1”，如“甲队单独修一条路需10天，乙队单独修需15天，两队合修需几天”，不会列式。 注意：工程问题中，通常把工作总量看作单位“1”，工作效率=工作总量÷工作时间。 例题10：一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，两队合做需要几天完成？ 【答案】6天 【解析】工程问题中工作总量通常看作“1”，通过“工作效率=工作总量÷工作时间”计算效率和，再求合做时间。 解：甲队效率：，乙队效率：； 合做效率：； 合做时间：（天）。 即：（天） 答：两队合做需要6天完成。 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C．20 D．30 【答案】D 【分析】本题主要考查了分数乘以整数，根据分数乘以整数法则计算，即可求解． 【详解】解：． 故选：D 2．计算的结果是（    ） A．15 B．5 C． D． 【答案】A 【详解】 故答案选A． 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则以及正确的计算是解题的关键． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分数的乘法法则，逐一判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不合题意； D、，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查分数的乘法，掌握乘法运算法则和约分是关键． 4．下列计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分数与整数的除法，分数与分数的除法逐项计算即可判断． 【详解】解：A． ，故A选项错误； B． ，故B选项错误； C． ，故C选项正确； D． ，故D选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了分数与整数的除法，分数与分数的除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分数的混合运算，掌握运算法则先运算括号，然后运算乘除，最后加减解题即可． 【详解】解：A. ，原计算错误； B. ，原计算错误； C. ，计算正确； D. ，原计算错误； 故答案为：C． 二、填空题 6．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分数的除法，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．计算： ． 【答案】 【分析】将小数转化为分数，再约分化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查分数的乘法，正确计算是解题的关键． 8．计算： ． 【答案】 【分析】根据分数的除法运算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分数的除法运算，解题的关键是熟练掌握分数的除法运算法则． 9．计算 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了分数的乘除混合运算，根据分数乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．一根绳子剪去它的，剩下绳子的长度为米，这根绳子原来长 米． 【答案】4 【分析】本题考查分数混合运算的应用，根据题意列出式子再进行计算即可． 【详解】解： （米）， 则这根绳子原来长4米． 故答案为：4． 三、解答题 11．直接写得数． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查的是分数的加法，减法，乘法，除法运算，混合运算； （1）根据分数的乘法运算法则计算即可； （2）根据分数的除法运算法则计算即可； （3）根据分数的混合运算法则结合分配律进行计算即可； （4）根据分数的除法运算法则计算即可； （5）根据分数的除法运算法则计算即可； （6）根据分数的乘法运算法则计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 12．脱式计算（能简算要简算） (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了分数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先把除法转化为乘法，再利用乘法交换律和结合律计算即可； （2）利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．一件工程，乙队先做4天，继而甲、丙两队合作6天，剩下的工程甲队独做9天完成，已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2倍，甲、乙、丙三队独做各需要多少天？ 【答案】30天；24天；18天 【分析】题目主要考查分数的应用，涉及工程问题蕴含的数量关系：工作总量=工作效率×工作时间，解答此题的关键是要找到每人完成天数占工作总量的几分之几． 把甲队完成的工作量看作单位1，根据题意，可把甲完成的量看作1，那么乙完成的量就看作，丙完成的量看作，即这项工程就是．求出甲完成这项工程的几分之几，甲工作的天数÷甲完成工作量占工程总量的分率=甲完成单独工作所需的总天数；同理，据此再分别求出乙和丙单独完成所需天数． 【详解】解：根据题意得：甲工作天数：（天） 乙工作天数：4天 丙工作天数：6天 将甲完成的量看作1，那么乙完成的量就看作，丙完成的量看作， ∴这项工程就是， 甲完成这项工程的， 那么甲单独完成需要（天） 乙完成这项工程的 那么乙单独完成需要（天） 丙完成这项工程的 那么丙单独完成需要（天） 答：甲、乙、丙独做各需30天、24天、18天． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$