1.5 第2课时 等边三角形、直角三角形的性质-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（苏科版2024）

23 典例演练 典例1 5 58° 典例2 ∵ ∠ADC=∠BAD+∠B,∴ ∠ADC=45°+ 30°=75°.∵ AB=AC,∴ ∠B=∠C.∴ ∠BAC=180°- 2∠B=180°-2×30°=120°.∴ ∠DAC=∠BAC- ∠BAD=120°-45°=75°.∴ ∠ADC=∠DAC.∴ AC= CD.∴ △ADC是等腰三角形. 预学训练 1. C 2. C 3. B 4. C 5. C 6. 66 7. 5cm 8. AF⊥DE.在△ABC 中,AB=AC,AG 是中线,∴ AG 平分∠BAC,即∠BAG=∠CAG.又∵ ∠EAF=∠CAG, ∠DAF=∠BAG,∴ ∠EAF=∠DAF,即 AF 平 分 ∠EAD.又∵ AE=AD,∴ AF⊥DE. 9. ∵ AE 平 分 ∠BAC,∠BAE =40°,∴ ∠CAE = ∠BAE=40°.又∵ ∠CAD=30°,∴ ∠DAE=∠CAE- ∠CAD=40°-30°=10°.∵ AD⊥BC,∴ ∠AED= 180°-90°-10°=80°.∵ ∠AED=∠ABE+∠BAE, ∴ ∠ABE = ∠AED - ∠BAE =80°-40°=40°. ∴ ∠ABE=∠BAE.∴ AE=BE. 10. D 11. 44°或80°或140° 解析:设另一个角的度数是x°,则 一个角的度数是(2x°-20°).① 当另一个角是顶角,一个 角是底角时,x+2(2x-20)=180,解得x=44.∴ 顶角的 度数是44°.② 当另一个角是底角,一个角是顶角时,2x+ (2x-20)=180,解得x=50.∴ 顶角的度数是2×50°- 20°=80°.③ 当另一个角和一个角都是底角时,x=2x- 20,解得x=20.∴ 顶角的度数是180°-20°×2=140°.综 上所述,这个等腰三角形顶角的度数是44°或80°或140°. 12. 5 解析:∵ ∠A=36°,AB=AC,∴ △ABC 为等腰 三角形,∠ABC=∠C=12 (180°-∠A)=72°.∵ BD 是 △ABC 的角平分线,∴ ∠ABD=∠CBD=12∠ABC= 36°.∴ ∠ABD=∠A,∠BDC=72°=∠C.∴ △ABD 为 等腰三角形,△BCD 为等腰三角形.又∵ 易知BE= BC=BD,∴ △BDE 为 等 腰 三 角 形,∠BED=72°. ∴ ∠ADE=36°=∠A.∴ △AED 为等腰三角形.∴ 等 腰三角形共有5个. 13. (1) △AMN 为等腰三角形.理由:∵ AB=AC, ∴ ∠ABC=∠ACB.∵ MN∥BC,∴ ∠AMN=∠ABC, ∠ANM= ∠ACB.∴ ∠AMN = ∠ANM.∴ AM = AN.∴ △AMN 为等腰三角形.(2) ① ∵ BP 平分 ∠ABC,∴ ∠PBM=∠PBC.∵ MN∥BC,∴ ∠MPB= ∠PBC.∴ ∠PBM=∠MPB.∴ MB=MP.∴ △BPM 为等腰三角形.② 由①,得 MB=MP.∵ CP 平分 ∠ACB,∴ ∠NCP=∠PCB.∵ MN∥BC,∴ ∠NPC= ∠PCB.∴ ∠NCP=∠NPC.∴ NC=NP.∴ △AMN 的周长=AM+MP+NP+AN=AM+MB+NC+ AN=AB+AC.∵ △ABC的周长为a,BC=b,∴ AB+ AC+b=a.∴ AB+AC=a-b.∴ △AMN 的周长为 a-b. 第2课时　等边三角形、直角三角形的性质 知识梳理 1. 等边三角形 2. 60° 3. 相等 4. 等腰三角形 5. 斜边的一半 6. 斜边的一半 典例演练 典例1 ∵ DB 平分∠ADC,∴ ∠ADB =∠BDC. ∵ AB∥DC,∴ ∠ABD = ∠BDC.∴ ∠ABD = ∠ADB.∴ AB =AD.∴ △ABD 为 等 腰 三 角 形. ∵ ∠A =60°,∴ △ABD 是等边三角形. 典例2 6 典例3 连接DE.∵ AD 是高,∴ ∠ADB=90°.∵ CE 是△ABC 的中线,∴ E 是Rt△ABD 斜边AB 的中点. ∴ DE=12AB=BE.∵ DC=BE,∴ DC=DE.又 ∵ DG⊥CE,∴ DG 是△DEC 的边CE 上的中线,即G 是CE 的中点. 预学训练 1. D 2. B 3. A 4. B 5. C 6. B 7. 10 8. 75° 9. ∵ CD 平 分∠ACB,∠ACB=120°,∴ ∠BCD= ∠ACD= 12 ∠ACB=60° ,∠ACE=180°-∠ACB= 60°.∵ AE∥DC,∴ ∠CAE=∠ACD=60°,∠E= ∠BCD=60°.∴ ∠ACE=∠CAE=∠E=60°.∴ △ACE 是等边三角形. 10. (1) ∵ 在Rt△ADB 和Rt△ABC 中,∠ADB=90°, ∠ACB=90°,E 是AB 的中点,∴ DE=12AB ,CE= 1 2AB.∴ DE=CE.(2) ∵ 在Rt△ADB 中,∠ADB= 90°,E 是AB 的中点,∴ DE=BE=12AB.∴ ∠EDB= ∠DBA=40°.∴ ∠AED=∠EDB+∠DBA=40°+ 40°=80°.∵ 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E 是AB 的中 点,∴ CE=AE=12AB.∴ ∠ACE=∠CAB=30°. ∴ ∠CEB = ∠ACE + ∠CAB =30°+30°=60°. ∴ ∠DEC=180°-∠AED-∠CEB=180°-80°- 60°=40°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 24 11. D 12. 3 13. (1) ∵ △ABC 和△ADE 都是等边三角形,∴ AE= AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°.∴ ∠EAD- ∠BAD= ∠BAC- ∠BAD,即 ∠EAB = ∠DAC.在 △AEB 和△ADC 中, AE=AD, ∠EAB=∠DAC, AB=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEB≌ △ADC(SAS).∴ BE=CD.(2) △AMN 是等边三角 形.由(1),得△AEB≌△ADC,∴ ∠AEM=∠ADN. ∵ M,N 分别是BE,CD 的中点,∴ EM=12BE ,DN= 1 2CD.∵ BE=CD,∴ EM=DN.在△AEM 和△ADN 中, AE=AD, ∠AEM=∠ADN, EM=DN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEM ≌ △ADN (SAS). ∴ AM=AN,∠EAM=∠DAN.∵ ∠EAM+∠MAD= 60°,∴ ∠DAN+∠MAD=∠MAN=60°.∴ △AMN 是 等边三角形. 第1章预学检测 一、 1. D 2. C 3. A 4. B 5. C 6. C 7. C 8. C 二、 9. 三角形具有稳定性 10. 答案不唯一,如∠B= ∠E 11. 30° 12. 35° 13. 5 14. 3 15. 5 16. 14或18 17. 45°或36° 18. ①③④ 三、 19. 如图,点P 即为所求. 第19题 第20题 20. 如 图,连 接 AE.∵ AB =AC,∠BAC =120°, ∴ ∠B=∠C=12 (180°-∠BAC)=30°.∵ 直线ED 是 线段AC 的垂直平分线,∴ EA=EC=6.∴ ∠EAC= ∠C=30°.∴ ∠BAE = ∠BAC - ∠EAC =90°.又 ∵ ∠B=30°,∴ BE=2AE=12. 21. (1) ∵ △ABC≌△DAE,∴ BC=AE,AC=DE. ∵ AE=AC+CE,∴ BC=DE+CE.(2) 当△ABC满足 ∠ACB=90°时,BC∥DE.理由:∵ △ABC≌△DAE, ∴ ∠ACB=∠E.∵ ∠ACB=90°,∴ ∠BCE=180°- ∠ACB=90°,∠E=90°.∴ ∠BCE=∠E.∴ BC∥DE. 22. 选择不唯一,如选②③④.∵ DF∥BE,∴ ∠DFA= ∠BEC.在 △AFD 和 △CEB 中, ∠DFA=∠BEC, ∠D=∠B, AD=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AFD≌△CEB(AAS). 23. 已知:如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠ACB= ∠A'C'B'=90°,CD⊥AB 于点D,C'D'⊥A'B'于点D', BC=B'C',CD=C'D',求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.证 明:∵ CD ⊥AB 于 点 D,C'D'⊥A'B'于 点 D', ∴ ∠CDB=∠C'D'B'=90°.在Rt△CDB 和Rt△C'D'B' 中, BC=B'C', CD=C'D', ∴ Rt△CDB≌Rt△C'D'B'(HL). ∴ ∠B= ∠B'.在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中, ∠ACB=∠A'C'B'=90°, BC=B'C', ∠B=∠B', 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (ASA). 第23题 24. (1) ∵ AB=BC,∠BAC=60°,∴ △ABC 是等边三 角形.∴ AC=BC=AB=4.∵ D 是AC的中点,∴ CD= AD=12AC= 1 2×4=2. (2) ∵ AB=BC,D 是AC 的中 点,∴ BD 平分∠ABC.∴ ∠ABD=∠DBC.∵ AF∥ BC,∴ ∠DBC=∠F.∴ ∠ABD=∠F.∴ AB=AF. ∴ △ABF 是等腰三角形. 25. (1) ∵ △ADE,△ABC 均为等边三角形,∴ AB= AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°.∴ ∠BAC- ∠DAC= ∠DAE- ∠DAC,即 ∠BAD = ∠CAE.在 △BAD 和△CAE 中, AB=AC, ∠BAD=∠CAE, AD=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BAD≌ △CAE(SAS).∴ BD=CE.(2) BD=CE 仍然成立.理 由:∵ △ADE,△ABC 均为等边三角形,∴ AB=AC, AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°.∴ ∠BAC+∠DAC= ∠DAE+∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△BAD 和 △CAE 中, AB=AC, ∠BAD=∠CAE, AD=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BAD ≌ △CAE (SAS).∴ BD=CE.(3) ∵ △ABC 为等边三角形, ∴ ∠ABC=60°,AB=BC.由(1)(2),易得△BAD≌ △CAE(SAS).∴ BD=CE.∵ CD=2CE,∴ CD= 2BD.又 ∵ CD =BD +BC,∴ BD =BC =AB. ∴ ∠ADC=∠DAB.∴ ∠ADC=12∠ABC=30°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 77 第2课时 等边三角形、直角三角形的性质 1. 三边都相等的三角形叫作 . 2. 等边三角形的各角都等于 . 3. 三个角都 的三角形是等边三角形. 4. 有一个角是60°的 是等边三 角形. 5. 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那 么它所对的直角边是 . 6. 直角三角形斜边上的中线等于 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 如图,在四边形ABCD 中,AB∥DC, DB 平分∠ADC,∠A=60°.求证:△ABD 是 等边三角形. 典例1图 由于∠A=60°,故要证△ABD 为等边三 角形,可先证它为等腰三角形. 解答: 解有所悟:解这种已知条件中既有角平分线又有平 行线,且角平分线与平行线有公共点(如本题的点 B,D)的题目时,我们一般把角平分线得到的等角, 运用平行线的性质,把它们转化到同一个三角形 中,根据“等角对等边”得到等腰三角形来解决问题. 典例2 如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B= 15°,D 为AB 的中点,DE⊥AB 交BC 于点E. 若BE=12,则AC= . 典例2图 先证△ABE 是等腰三角形,再根据三角 形外角的性质,求得∠AEC 的度数,最后根据 含30°角的直角三角形的性质即可求得 AC 的长. 解答: 解有所悟:含30°角的直角三角形的性质经常与直 角三角形的两个锐角互余及第3章要学的勾股定 理一起运用,此性质是求线段长度和线段倍、分关 系的重要依据. 典例3 如图,在△ABC 中,AD 是高,CE 是中 线,DC=BE,DG⊥CE 于点G.求证:G 是CE 的中点. 典例3图 连接DE.根据直角三角形斜边上的中线 的性质并结合已知条件DC=BE,得到DC= DE.再由已知条件DG⊥CE,根据等腰三角形 的性质,得到G 是CE 的中点. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 78 解答: 解有所悟:当题目中出现中点(或三角形的中线)、 垂线(或三角形的高)等这些条件时,要能联想到 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个 定理. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 下列条件中,不能判定△ABC 是等边三角形 的为 ( ) A. ∠A=∠B=∠C B. AB=AC,∠B=60° C. ∠A=60°,∠B=60° D. AB=AC,∠B=∠C 2. (株洲中考)如图,一名技术人员用刻度尺 (单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.已知 ∠ACB=90°,D 为边AB 的中点,点A,B 对应的刻度分别为1,7,则CD 的长为( ) 第2题 A. 3.5cm B. 3cm C. 4.5cm D. 6cm 3. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是 斜边AB 上的中线.若CD=3,则AB 的 长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 3 D. 1.5 第3题 第4题 4. 如图,在△ABC 中,D,E 是边BC 的三等分 点,且△ADE 是等边三角形,则∠BAC 的 度数为 ( ) A. 105° B. 120° C. 130° D. 150° 5. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是高. 若∠A=30°,BD=1,则AD 的长为 ( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 第5题 第6题 6. (贵州中考)5月26日,“2023中国国际大数 据产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体 库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三 角形模型如图所示,它的顶角为120°,腰长 为12m,则底边上的高是 ( ) A. 4m B. 6m C. 10m D. 12m 7. 如图,为了测量学校的景观池的长AB,在 BA 的延长线上取一点C,使得AC=5米, 在点C 正上方找一点D(即DC⊥BC),测得 ∠CDB=60°,∠ADC =30°,则景观池的长 AB 为 米. 第7题 第8题 8. 如图,在等边三角形ABC 中,D 为边BC 的 中点,以点A 为圆心,AD 长为半径画弧,与 边AC 交于点E,连接DE,则∠ADE 的度 数为 . 9. 如图,在△ABC 中,∠ACB=120°,CD 平分 ∠ACB,AE∥DC,AE 交BC 的延长线于点 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级 79 E.求证:△ACE 是等边三角形. 第9题 10. 如 图,在 Rt△ADB 和 Rt△ABC 中, ∠ADB=90°,∠ACB=90°,E 是AB 的中 点,连接DE,CE. (1) 求证:DE=CE; (2) 若 ∠CAB =30°,∠DBA =40°,求 ∠DEC 的度数. 第10题 [综合提升] 答案讲解 11. 如 图,在 四 边 形 ABCD 中, ∠ABC=∠ADC=90°,E 为对角 线AC 的中点,连接BE,ED,BD. 若∠BAD=58°,则∠BED 的度数为 ( ) A. 118° B. 108° C. 120° D. 116° 第11题 第12题 答案讲解 12. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°, ∠ABC=60°,BD 平分∠ABC,P 是BD 的中点.若AD=6,则CP 的长为 . 13. 如图,D 为等边三角形ABC 的边BC 上一 点,以 AD 为边作等边三角形ADE,连 接BE. (1) 求证:BE=CD. (2) 分别取BE,CD 的中点M,N,连接 AM,AN,MN.试判断△AMN 的形状,并 证明. 第13题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备