1.5 第1课时 等腰三角形-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（苏科版2024）

74 1.5　等腰三角形 第1课时 等腰三角形 1. 有两条边相等的三角形叫作 . 2. 等腰三角形的两底角 (简称“ ”). 3. 等腰三角形 、 及 重合(简称“三线合一”). 4. 有两个角 的三角形是等腰三角形 (简称“ ”). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 如图,AD 是等腰三角形ABC 的顶角平 分线,BD=5,∠C=32°,则CD= , ∠BAD= . 典例1图 在等腰三角形中,根据“三线合一”得到 CD=BD,求角的度数时,可以根据顶角∠BAC 与底 角∠B 的 关 系∠BAC=180°-2∠B, ∠B =12× (180°-∠BAC)来求解. 解答: 解有所悟:(1) 在等腰三角形中,若已经给出了“三 线合一”其中的一线,则可以得出其他的两线. (2) 在一个三角形中,若已知两条边相等,就隐含了 这两条边所对的角也相等;若已知两个角相等,就 隐含了它们所对的边也相等.解题时,需注意这两 个隐含条件. 典例2 如图,在△ABC 中,AB=AC,D 为边 BC 上一点,∠B=30°,∠BAD=45°.求证: △ADC 是等腰三角形. 典例2图 先根据三角形外角的性质,求得∠ADC 的度数,再根据“等边对等角”,求得∠DAC 的 度数即可. 解答: 解有所悟:判断一个三角形是不是等腰三角形,一 般有两种方法:一是找三角形中有没有两个相等的 角,如果有,那么这个三角形是等腰三角形;二是找 三角形中有没有两条相等的边,如果有,那么这个 三角形是等腰三角形. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级 拍 照 批 改 75 [基础过关] 1. 下列三角形中,等腰三角形的个数是 ( ) 第1题 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 等腰三角形的顶角为40°,则底角的度数为 ( ) A. 25° B. 60° C. 70° D. 140° 3. 如图,在△ABC 中,AB=AC,D 是边BC 的 中点.若∠C=65°,则∠BAD 的度数为 ( ) A. 15° B. 25° C. 35° D. 45° 第3题 第5题 4. 已知一个等腰三角形的两边长分别为5,6, 则它的周长为 ( ) A. 16 B. 17 C. 16或17 D. 10或12 5. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠C=70°,AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D,交AC 于 点E,连接BE,则∠ABE 的度数为 ( ) A. 30° B. 35° C. 40° D. 50° 6. (绥化中考)如图,AB∥CD,∠C=33°,OC= OE.则∠A= °. 第6题 7. 用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形, 其中两根木棒的长分别为2cm和5cm,则 第三根木棒的长为 . 8. 如图,BD 与CE 相交于点A,且AB=AC, AD=AE,△ABC 的中线AG 的反向延长线 交DE 于点F,则AF 与DE 垂直吗? 为 什么? 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 76 9. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC,AE 平 分 ∠BAC,若∠BAE=40°,∠CAD=30°,求 证:AE=BE. 第9题 [综合提升] 10. 在等腰三角形ABC 中,∠A=50°,则∠B 的度数为 ( ) A. 50° B. 65° C. 50°或65° D. 50°或80°或65° 11. 在一个等腰三角形中,一个角比另一个角 的2倍少20°,则这个等腰三角形顶角的度 数是 . 答案讲解 12. 如图,在△ABC 中,∠A=36°, AB=AC,BD 是△ABC 的角平 分线.若在边 AB 上截取BE= BC,连接DE,则图中的等腰三角形共有 个. 第12题 答案讲解 13. 如图,在△ABC 中,AB=AC,M, N 分别是边AB,AC 上的点,且 MN∥BC. (1) △AMN 是否为等腰三角形? 请说明 理由. (2) P 是MN 上一点,且BP 平分∠ABC, CP 平分∠ACB. ① 求证:△BPM 为等腰三角形; ② 若△ABC 的周长为a,BC=b(a>2b), 求△AMN 的周长(用含a,b的式子表示). 第13题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级 22 交AC于点D,交BC于点E,∴ AE=CE.∴ 易得∠C= ∠CAE=x.根 据 三 角 形 的 内 角 和 定 理,得 ∠C+ ∠BAC=180°-∠B,即x+4x=180°-40°,解得x= 28°.∴ ∠C=28°. 11. C 12. 100° 13. (1) AB=PB.(2) 存在.连接BQ.∵ BC 垂直平分 OQ,∴ BO=BQ.∴ 易得∠BOQ=∠BQO.∵ ∠BOQ= ∠FON,∴ ∠BQO= ∠FON.∵ OF 平 分 ∠MON, ∴ ∠AOF = ∠FON = ∠BQO.∴ 易 得 ∠AOB = ∠PQB.在 △AOB 和 △PQB 中, OA=QP, ∠AOB=∠PQB, BO=BQ, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOB≌△PQB(SAS).∴ AB=PB. 第2课时　角平分线的性质 知识梳理 1. 到角两边的距离 2. 角的内部到角两边距离相等 典例演练 典例1 如图,点P 即为所求作. 典例1图 典例2 如图,连接MA,MC.∵ MN 是AC 的垂直平分 线,∴ AM=CM.∵ MD⊥BD,ME⊥BC,∴ ∠MDA= ∠MEC = 90°.在 Rt△AMD 和 Rt△CME 中, AM=CM, AD=CE, ∴ Rt△AMD≌Rt△CME(HL).∴ MD= ME.∵ MD⊥BD,ME⊥BC,∴ BM 平分∠ABC. 典例2图 典例3 如图,过点D 作DE⊥CA 于点E,DF⊥CB 于点 F.∴ ∠AED=∠BFD=90°.∵ ∠CAD+∠CBD= 180°,∠CAD+∠EAD=180°,∴ ∠CBD=∠EAD.在 △AED 和△BFD 中, ∠AED=∠BFD, ∠EAD=∠FBD, AD=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AED≌ △BFD(AAS).∴ DE=DF.又∵ DE⊥CA,DF⊥CB, ∴ 点D 在∠ACB 的平分线上,即CD 平分∠ACB. 典例3图 预学训练 1. A 2. D 3. A 4. D 5. A 6. 3 7. 角平分线上 的点到角两边的距离相等 8. PQ≥6 9. 10 10. 如图,点P 就是银杏树的位置. 第10题 11. ∵ DE⊥AB,DF⊥AC,∴ ∠BED=∠CFD= 90°.∵ D 是BC 的中点,∴ BD=CD.在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中, BD=CD, BE=CF, ∴ Rt△BDE ≌Rt△CDF (HL).∴ DE=DF.又∵ DE⊥AB,DF⊥AC,∴ 点D 在∠EAF 的平分线上,即AD 是△ABC的角平分线. 12. B 13. ①②③④ 14. (1) 如图,连接 AD,BD.∵ DP 垂直平分AB, ∴ AD=BD.∵ CD 是∠ACE 的平分线,DE⊥BC, DF⊥AC,∴ DE=DF,∠AFD=∠BED=∠CFD= 90°.在 Rt △ADF 和 Rt△BDE 中, AD=BD, DF=DE, ∴ Rt△ADF≌Rt△BDE(HL).∴ AF=BE.(2) 在 Rt△CFD 和 Rt△CED 中, CD=CD, DF=DE, ∴ Rt△CFD≌ Rt△CED(HL).∴ CF=CE.设CF=CE=x,则AF= AC-CF=5-x,BE=BC+CE=3+x.∵ AF=BE, ∴ 5-x=3+x.∴ x=1,即CE=1. 第14题 1.5 等腰三角形 第1课时　等腰三角形 知识梳理 1. 等腰三角形 2. 相等 等边对等角 3. 底边上的高 线 中线 顶角平分线 4. 相等 等角对等边 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 典例演练 典例1 5 58° 典例2 ∵ ∠ADC=∠BAD+∠B,∴ ∠ADC=45°+ 30°=75°.∵ AB=AC,∴ ∠B=∠C.∴ ∠BAC=180°- 2∠B=180°-2×30°=120°.∴ ∠DAC=∠BAC- ∠BAD=120°-45°=75°.∴ ∠ADC=∠DAC.∴ AC= CD.∴ △ADC是等腰三角形. 预学训练 1. C 2. C 3. B 4. C 5. C 6. 66 7. 5cm 8. AF⊥DE.在△ABC 中,AB=AC,AG 是中线,∴ AG 平分∠BAC,即∠BAG=∠CAG.又∵ ∠EAF=∠CAG, ∠DAF=∠BAG,∴ ∠EAF=∠DAF,即 AF 平 分 ∠EAD.又∵ AE=AD,∴ AF⊥DE. 9. ∵ AE 平 分 ∠BAC,∠BAE =40°,∴ ∠CAE = ∠BAE=40°.又∵ ∠CAD=30°,∴ ∠DAE=∠CAE- ∠CAD=40°-30°=10°.∵ AD⊥BC,∴ ∠AED= 180°-90°-10°=80°.∵ ∠AED=∠ABE+∠BAE, ∴ ∠ABE = ∠AED - ∠BAE =80°-40°=40°. ∴ ∠ABE=∠BAE.∴ AE=BE. 10. D 11. 44°或80°或140° 解析:设另一个角的度数是x°,则 一个角的度数是(2x°-20°).① 当另一个角是顶角,一个 角是底角时,x+2(2x-20)=180,解得x=44.∴ 顶角的 度数是44°.② 当另一个角是底角,一个角是顶角时,2x+ (2x-20)=180,解得x=50.∴ 顶角的度数是2×50°- 20°=80°.③ 当另一个角和一个角都是底角时,x=2x- 20,解得x=20.∴ 顶角的度数是180°-20°×2=140°.综 上所述,这个等腰三角形顶角的度数是44°或80°或140°. 12. 5 解析:∵ ∠A=36°,AB=AC,∴ △ABC 为等腰 三角形,∠ABC=∠C=12 (180°-∠A)=72°.∵ BD 是 △ABC 的角平分线,∴ ∠ABD=∠CBD=12∠ABC= 36°.∴ ∠ABD=∠A,∠BDC=72°=∠C.∴ △ABD 为 等腰三角形,△BCD 为等腰三角形.又∵ 易知BE= BC=BD,∴ △BDE 为 等 腰 三 角 形,∠BED=72°. ∴ ∠ADE=36°=∠A.∴ △AED 为等腰三角形.∴ 等 腰三角形共有5个. 13. (1) △AMN 为等腰三角形.理由:∵ AB=AC, ∴ ∠ABC=∠ACB.∵ MN∥BC,∴ ∠AMN=∠ABC, ∠ANM= ∠ACB.∴ ∠AMN = ∠ANM.∴ AM = AN.∴ △AMN 为等腰三角形.(2) ① ∵ BP 平分 ∠ABC,∴ ∠PBM=∠PBC.∵ MN∥BC,∴ ∠MPB= ∠PBC.∴ ∠PBM=∠MPB.∴ MB=MP.∴ △BPM 为等腰三角形.② 由①,得 MB=MP.∵ CP 平分 ∠ACB,∴ ∠NCP=∠PCB.∵ MN∥BC,∴ ∠NPC= ∠PCB.∴ ∠NCP=∠NPC.∴ NC=NP.∴ △AMN 的周长=AM+MP+NP+AN=AM+MB+NC+ AN=AB+AC.∵ △ABC的周长为a,BC=b,∴ AB+ AC+b=a.∴ AB+AC=a-b.∴ △AMN 的周长为 a-b. 第2课时　等边三角形、直角三角形的性质 知识梳理 1. 等边三角形 2. 60° 3. 相等 4. 等腰三角形 5. 斜边的一半 6. 斜边的一半 典例演练 典例1 ∵ DB 平分∠ADC,∴ ∠ADB =∠BDC. ∵ AB∥DC,∴ ∠ABD = ∠BDC.∴ ∠ABD = ∠ADB.∴ AB =AD.∴ △ABD 为 等 腰 三 角 形. ∵ ∠A =60°,∴ △ABD 是等边三角形. 典例2 6 典例3 连接DE.∵ AD 是高,∴ ∠ADB=90°.∵ CE 是△ABC 的中线,∴ E 是Rt△ABD 斜边AB 的中点. ∴ DE=12AB=BE.∵ DC=BE,∴ DC=DE.又 ∵ DG⊥CE,∴ DG 是△DEC 的边CE 上的中线,即G 是CE 的中点. 预学训练 1. D 2. B 3. A 4. B 5. C 6. B 7. 10 8. 75° 9. ∵ CD 平 分∠ACB,∠ACB=120°,∴ ∠BCD= ∠ACD= 12 ∠ACB=60° ,∠ACE=180°-∠ACB= 60°.∵ AE∥DC,∴ ∠CAE=∠ACD=60°,∠E= ∠BCD=60°.∴ ∠ACE=∠CAE=∠E=60°.∴ △ACE 是等边三角形. 10. (1) ∵ 在Rt△ADB 和Rt△ABC 中,∠ADB=90°, ∠ACB=90°,E 是AB 的中点,∴ DE=12AB ,CE= 1 2AB.∴ DE=CE.(2) ∵ 在Rt△ADB 中,∠ADB= 90°,E 是AB 的中点,∴ DE=BE=12AB.∴ ∠EDB= ∠DBA=40°.∴ ∠AED=∠EDB+∠DBA=40°+ 40°=80°.∵ 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E 是AB 的中 点,∴ CE=AE=12AB.∴ ∠ACE=∠CAB=30°. ∴ ∠CEB = ∠ACE + ∠CAB =30°+30°=60°. ∴ ∠DEC=180°-∠AED-∠CEB=180°-80°- 60°=40°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈