1.4 第2课时 角平分线的性质-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（苏科版2024）

22 交AC于点D,交BC于点E,∴ AE=CE.∴ 易得∠C= ∠CAE=x.根 据 三 角 形 的 内 角 和 定 理,得 ∠C+ ∠BAC=180°-∠B,即x+4x=180°-40°,解得x= 28°.∴ ∠C=28°. 11. C 12. 100° 13. (1) AB=PB.(2) 存在.连接BQ.∵ BC 垂直平分 OQ,∴ BO=BQ.∴ 易得∠BOQ=∠BQO.∵ ∠BOQ= ∠FON,∴ ∠BQO= ∠FON.∵ OF 平 分 ∠MON, ∴ ∠AOF = ∠FON = ∠BQO.∴ 易 得 ∠AOB = ∠PQB.在 △AOB 和 △PQB 中, OA=QP, ∠AOB=∠PQB, BO=BQ, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOB≌△PQB(SAS).∴ AB=PB. 第2课时　角平分线的性质 知识梳理 1. 到角两边的距离 2. 角的内部到角两边距离相等 典例演练 典例1 如图,点P 即为所求作. 典例1图 典例2 如图,连接MA,MC.∵ MN 是AC 的垂直平分 线,∴ AM=CM.∵ MD⊥BD,ME⊥BC,∴ ∠MDA= ∠MEC = 90°.在 Rt△AMD 和 Rt△CME 中, AM=CM, AD=CE, ∴ Rt△AMD≌Rt△CME(HL).∴ MD= ME.∵ MD⊥BD,ME⊥BC,∴ BM 平分∠ABC. 典例2图 典例3 如图,过点D 作DE⊥CA 于点E,DF⊥CB 于点 F.∴ ∠AED=∠BFD=90°.∵ ∠CAD+∠CBD= 180°,∠CAD+∠EAD=180°,∴ ∠CBD=∠EAD.在 △AED 和△BFD 中, ∠AED=∠BFD, ∠EAD=∠FBD, AD=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AED≌ △BFD(AAS).∴ DE=DF.又∵ DE⊥CA,DF⊥CB, ∴ 点D 在∠ACB 的平分线上,即CD 平分∠ACB. 典例3图 预学训练 1. A 2. D 3. A 4. D 5. A 6. 3 7. 角平分线上 的点到角两边的距离相等 8. PQ≥6 9. 10 10. 如图,点P 就是银杏树的位置. 第10题 11. ∵ DE⊥AB,DF⊥AC,∴ ∠BED=∠CFD= 90°.∵ D 是BC 的中点,∴ BD=CD.在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中, BD=CD, BE=CF, ∴ Rt△BDE ≌Rt△CDF (HL).∴ DE=DF.又∵ DE⊥AB,DF⊥AC,∴ 点D 在∠EAF 的平分线上,即AD 是△ABC的角平分线. 12. B 13. ①②③④ 14. (1) 如图,连接 AD,BD.∵ DP 垂直平分AB, ∴ AD=BD.∵ CD 是∠ACE 的平分线,DE⊥BC, DF⊥AC,∴ DE=DF,∠AFD=∠BED=∠CFD= 90°.在 Rt △ADF 和 Rt△BDE 中, AD=BD, DF=DE, ∴ Rt△ADF≌Rt△BDE(HL).∴ AF=BE.(2) 在 Rt△CFD 和 Rt△CED 中, CD=CD, DF=DE, ∴ Rt△CFD≌ Rt△CED(HL).∴ CF=CE.设CF=CE=x,则AF= AC-CF=5-x,BE=BC+CE=3+x.∵ AF=BE, ∴ 5-x=3+x.∴ x=1,即CE=1. 第14题 1.5 等腰三角形 第1课时　等腰三角形 知识梳理 1. 等腰三角形 2. 相等 等边对等角 3. 底边上的高 线 中线 顶角平分线 4. 相等 等角对等边 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 第2课时 角平分线的性质 1. 角平分线上的点 相等. 2. 的点在角的平分线上. 典例1 如图,已知∠AOB 及M,N 两点,请在 ∠AOB 内部找一点P,使它到∠AOB 两边的 距离相等,且到点M,N 的距离也相等(不写作 法,保留作图痕迹). 典例1图 根据点P 到∠AOB 两边的距离相等以及 点P 到 点 M,N 的 距 离 相 等 确 定 点 P 在 ∠AOB 的平分线以及线段MN 的垂直平分线 上,再利用直尺和圆规作图. 解答: 解有所悟:到∠AOB 两 边 的 距 离 相 等 的 点 在 ∠AOB 的平分线上;到点M,N 的距离相等的点在 线段MN 的垂直平分线上. 典例2 如图,过△ABC 的边AC 的垂直平分线 MN 上的点M 作△ABC 另外两边AB,BC 所 在的直线的垂线,垂足分别为D,E,AD=CE, 作射线BM.求证:BM 平分∠ABC. 典例2图 要证BM 平分∠ABC,属于“已知垂直,则 设法证相等”,即只要证明 MD =ME.可以 把它们分别放到两个全等的三角形中,于是 需连接 MA,MC,利用“HL”证Rt△AMD≌ Rt△CME. 解答: 解有所悟:已知一条射线上的一点及点到角两边的 距离,要证明这条射线为该角的平分线时,我们一 般通过证明已知点到角两边的距离相等,运用角平 分线的判定定理来证明.当无法直接证明已知点到 角两边的距离相等时,我们一般考虑通过添设辅助 线,构造与它们相关的两个全等三角形来证明. 典例3 如图,AD=BD,∠CAD+∠CBD= 180°.求证:CD 平分∠ACB. 典例3图 先过点D 作DE⊥CA 于点E,DF⊥CB 于点F,再证明DE=DF. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 72 解答: 解有所悟:证明一条射线是角平分线,除了利用角 平分线的定义证明外,还可以在这条射线上找一 点,然后过这一点向角的两边作垂线段,再证明这 两条垂线段相等. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 某镇准备在两两相交的三条公路围成的三 角形空地上建一个物流园,使其到三条公路 的距离相等,则物流园所建的位置应是 ( ) A. 三角形三条角平分线的交点 B. 三角形三边垂直平分线的交点 C. 三角形三条中线的交点 D. 三角形三条高的交点 2. 如图,BG 是∠ABC 的平分线,D 为BG 上 任意一点,且DE⊥AB 于点E,DF⊥BC 于 点F,DE=6,则DF 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 第2题 第3题 3. 将两个全等的直角三角形摆放在如图所示 的△ABC 中,它们的一组对应直角边分别在 AB,AC 上,且这组对应直角边所对的顶点 重合于点M,则点M 一定在 ( ) A. ∠A 的平分线上 B. 边AC 的高上 C. 边BC 的高上 D. ∠B 的平分线上 4. 如图,在△ABC 中,DE⊥AB,DF⊥AC,则 对于∠1和∠2的大小关系,下列说法中,正 确的是 ( ) 第4题 A. 一定相等 B. 一定不相等 C. 当BD=CD 时相等 D. 当DE=DF 时相等 5. 如图,△ABC 的三边AC,BC,AB 的长分别 是8,12,16,O 是△ABC 三条角平分线的交 点,则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC 等于 ( ) A. 4∶3∶2 B. 1∶2∶3 C. 2∶3∶4 D. 3∶4∶5 第5题 第6题 6. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分 ∠BAC,AB=10,△ABD 的面积为15,则 CD= . 7. 如图,要在河的右侧、公路的左侧M 区建一 个工厂,位置的选择要满足到河和公路的距 离相等,小红认为工厂应该建在河与公路夹 角的平分线上,请你帮小红说出她的理由: . 第7题 第9题 8. 点P 在∠AOB 的平分线上,点P 到OA 边 的距离等于6,Q 是OB 边上的任意一点,则 PQ 长的取值范围是 . 9. 如图,在四边形ABDC中,∠C=90°,CD=4, AB=5,E 是图中尺规作图的痕迹的交点, 点D 在射线AE 上,则S△ABD= . 10. 如图,学校准备在校内一块四边形草坪内 栽上一棵银杏树,要求银杏树的位置点P 到边AB,BC 的距离相等,并且点P 到点 A,D 的距离也相等.请用尺规作出银杏树 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级 73 的位置点P(不写作法,保留作图痕迹). 第10题 11. 如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,DE⊥ AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE= CF.求证:AD 是△ABC 的角平分线. 第11题 [综合提升] 答案讲解 12. 如图,在△ABC 中,AB=5,AC= 8,E 为BC 的中点,AD 为△ABC 的角平分线,△ABC 的面积记为 S1,△ADE 的面积记为S2,则 S1 S2 的值为 ( ) A. 13 B. 26 3 C. 8 3 D. 13 2 第12题 第13题 13. 如图,在△ABC 中,∠ABC,∠EAC 的平分 线BP,AP 交于点P,延长BA,BC,PM⊥ 答案讲解 BE,PN ⊥BF,有 下 列 结 论: ① CP 平分∠ACF;② ∠ABC+ 2∠APC = 180°;③ ∠ACB = 2∠APB;④ S△PAC=S△MAP+S△NCP.其中 正确的是 (填序号). 答案讲解 14. 如图,CD 是∠ACE 的平分线, DP 垂直平分AB,交AB 于点P, DF⊥AC 于点F,DE⊥BC 交BC 的延长线于点E. (1) 求证:AF=BE; (2) 若BC=3,AC=5,求CE 的长. 第14题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备