1.4 第1课时 线段垂直平分线的性质-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（苏科版2024）

68 1.4　线段垂直平分线与角平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质 1. 线段垂直平分线上的点 相等. 2. 的点在线段的垂直平分线上. 3. 线段的垂直平分线是 的点的集合. 典例1 如图,直线l与线段AB 交于点O,点P 在直线l上,且PA=PB.小明说:“直线l是 AB 的垂直平分线.”小亮说:“需再添加一个条 件,小明的结论才正确.”下列判断正确的是 ( ) 典例1图 A. 小明说得对 B. 小亮说得对,可添条件为“∠A=∠B” C. 小亮说得对,可添条件为“PO⊥AB” D. 两人说得都不对 根 据 选 项 结 合 已 知 得 出 Rt△PAO≌ Rt△PBO,从而得到AO=BO,即可得出最终 结果. 解答: 解有所悟:本题主要考查垂直平分线的知识,熟练 掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键. 典例2 如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线 分别交AB,BC 于点D,E,AC 的垂直平分线分 别交AC,BC 于点F,G,连接AE,AG. (1) 若△AEG 的周长为12,求BC 的长; (2) 若∠BAC=125°,求∠EAG 的度数. 典例2图 (1) 将△AEG 的周长转化为线段BC 的 长.(2) 先利用三角形全等得到∠B=∠DAE, ∠C=∠FAG,再求∠EAG 的度数. 解答: 解有所悟:(1) 利用线段垂直平分线的性质可实现 线段间的转化;(2) 垂直平分线与全等三角形“形影 相随”. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级 拍 照 批 改 69 [基础过关] 1. 如图所示为一块三角形草坪,现要在草坪上 建一凉亭,要使凉亭到草坪的三个顶点的距 离相等,凉亭应选的位置是 ( ) A. △ABC 三条中线的交点 B. △ABC 三条角平分线的交点 C. △ABC 三边的垂直平分线的交点 D. △ABC 三条高所在直线的交点 第1题 第2题 2. 如图,在△ABC 中,线段AB 的垂直平分线 MN 分别交AB,AC 于点M,N,连接BN. 若△BCN 的周长为10,AC=6,则BC 的 长为 ( ) A. 7 B. 6 C. 4 D. 2 3. 如图,△ABC 的边AC 的垂直平分线DE 分 别交BC,AC 于点D,E,连接AD.若AE= 3,△ABD 的周长为13,则△ABC 的周长为 ( ) A. 26 B. 16 C. 19 D. 22 第3题 第4题 4. 如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线DE 分别与AB,BC 交于点D,E,AC 的垂直平 分线FG 分别与BC,AC 交于点F,G,BC= 10,EF=3,则△AEF 的周长是 ( ) A. 7 B. 10 C. 13 D. 16 5. 如图,AB 垂直平分CD,AC=6,BD=4,则 四边形ADBC 的周长是 . 第5题 第6题 6. 如图,线段AC,AB 的垂直平分线交于点O, 连接 OB,OC.若 OC=2,则 OB 的长为 . 7. 如图,在由每一个边长均为1的小正方形构 成的正方形网格中,△ABC 的顶点A,B,C 均在格点上(小正方形的顶点称为格点),利 用网格画图,在直线AC 上找一点P,使得点 P 到点B,C 的距离相等(保留必要的画图 痕迹). 第7题 8. 如图,P 是∠AOB 的平分线上的一点,PC⊥ OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D,连接CD, 求证:OP 是CD 的垂直平分线. 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 70 9. 如图,在△ABC 中,AD 垂直平分BC,点E 在BC 的延长线上,且满足AB+BD=DE. 求证:点C 在线段AE 的垂直平分线上. 第9题 10. 如图,在△ABC 中,∠B=40°,AC 的垂直 平分线交AC 于点D,交BC 于点E,且 ∠EAB=3∠CAE,求∠C 的度数. 第10题 [综合提升] 答案讲解 11. 下列条件中,不能判定直线 MN 是线段AB(点M,N 不在AB 上) 的垂直平分线的是 ( ) A. MA=MB,NA=NB B. MA=MB,MN⊥AB C. MA=NA,MB=NB D. MA=MB,MN 平分AB 答案讲解 12. 如图,线段AB,BC 的垂直平分线 l,m 交于点D,连接AD,CD.若 ∠ABC=50°,则∠ADC 的度数 为 . 第12题 答案讲解 13. 已知OF 是∠MON 的平分线,点 A 在射线OM 上,P,Q 是直线 ON 上的两个动点,点Q 在点P 的右侧,且PQ=OA,作线段OQ 的垂直平 分线,分别交直线OF,ON 于点B,C,连接 AB,PB. (1) 如图①,当P,Q 两点都在射线ON 上 时,线段AB与PB的数量关系是 . (2) 如图②,当P,Q 两点都在射线ON 的 反向延长线上时,线段AB,PB 是否还存 在(1)中的数量关系? 若存在,请写出证明 过程;若不存在,请说明理由. 第13题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级 21 AB,DF⊥AC,∴ ∠BED=∠CFD=90°.在△BDE 和 △CDF 中, ∠BED=∠CFD, ∠B=∠C, BD=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BDE ≌ △CDF (AAS).∴ BE=CF. 第4课时　用“HL”判定 两个直角三角形全等 知识梳理 1. 斜 直角 HL 2. A'B' A'C' 典例演练 典例1 ∵ AB⊥CF,DE⊥CF,∴ ∠ABC=∠DEF= 90°.在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中, AC=DF, AB=DE, ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴ BC=EF.∴ BC- BE=EF-BE,即CE=BF. 典例2 ∵ OE⊥AC,OF⊥AB,∴ ∠AEO=∠AFO= 90°.∵ AO 平分∠BAC,∴ ∠EAO=∠FAO.在△OAE 和△OAF 中, ∠AEO=∠AFO, ∠EAO=∠FAO, AO=AO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △OAE≌△OAF (AAS).∴ OE =OF.∵ ∠AEO = ∠AFO =90°, ∴ ∠CEO=∠DFO=180°-90°=90°.在Rt△OCE 和 Rt△ODF 中, OC=OD, OE=OF, ∴ Rt△OCE ≌ Rt△ODF (HL).∴ ∠C=∠D. 预学训练 1. D 2. D 3. B 4. B 5. 55° 6. 18 7. ∵ AD=BE,∴ AD+BD=BE+BD,即 AB= ED.在 Rt△ABC 和 Rt△EDF 中, AB=ED, AC=EF, ∴ Rt△ABC≌Rt△EDF(HL).∴ ∠ABC=∠EDF= 65°.∴ ∠ADF=180°-∠EDF=180°-65°=115°. 8. 36° 9. ∵ AD 是△ABC 的高,∴ AD⊥BC.∴ ∠ADC= ∠BDE=90°.在Rt△ACD 和Rt△BED 中, AC=BE, AD=BD, ∴ Rt△ACD≌Rt△BED(HL).∴ CD=ED=AD- AE=8-2=6,∠CAD=∠EBD.∵ ∠ADC=90°, ∴ ∠C + ∠CAD =90°.∴ ∠C + ∠EBD =90°. ∴ ∠BFC=180°-(∠C+∠EBD)=90°.∴ BF⊥ AC.∵ S△ABC =S△ABD +S△ACD,∴ 1 2AC×BF = 1 2AD×BD+ 1 2CD×AD.∴ AC×BF=AD×BD+ CD×AD.∴ 10BF=8×8+6×8.∴ BF=11.2. ∴ EF=BF-BE=11.2-10=1.2. 1.4 线段垂直平分线与角平分线 第1课时　线段垂直平分线的性质 知识梳理 1. 到线段两端的距离 2. 到线段两端距离相等 3. 到 线段两端距离相等 典例演练 典例1 C 典例2 (1) ∵ DE 是AB 的垂直平分线,∴ BE= AE.∵ GF 是AC 的垂直平分线,∴ GA=GC.∵ BC= BE+EG+GC,∴ BC=AE+EG+AG=△AEG 的周 长=12.(2) ∵ ∠BAC=125°,∴ ∠B+∠C=180°- ∠BAC=180°-125°=55°.∵ DE 是AB 的垂直平分线, ∴ ∠ADE=∠BDE=90°.在Rt△ADE 和Rt△BDE 中, AE=BE, DE=DE, ∴ Rt△ADE≌Rt△BDE(HL).∴ ∠DAE= ∠B.同理,可证 Rt△AFG≌Rt△CFG,∴ ∠FAG= ∠C.∴ ∠EAG=∠BAC-∠DAE-∠FAG=∠BAC- (∠B+∠C)=125°-55°=70°. 预学训练 1. C 2. C 3. C 4. D 5. 20 6. 2 7. 如图,点P 即为所求. 第7题 8. ∵ P 是∠AOB 的平分线上的一点,∴ ∠POC= ∠POD.∵ PC⊥OA,PD⊥OB,∴ ∠PCO=∠PDO= 90°.在 △PCO 和 △PDO 中, ∠PCO=∠PDO, ∠POC=∠POD, OP=OP, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △PCO≌△PDO(AAS).∴ PC=PD,CO=DO. ∴ 点P 在CD 的垂直平分线上,点O 在CD 的垂直平分 线上.∴ OP 是CD 的垂直平分线. 9. ∵ AD 垂直平分BC,∴ BD=DC,AB=AC.∵ AB+ BD=DE,∴ AC+DC=DE.又∵ DE=DC+CE, ∴ AC=CE.∴ 点C在线段AE 的垂直平分线上. 10. 设∠CAE=x,则∠EAB=3x.∵ AC 的垂直平分线 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 交AC于点D,交BC于点E,∴ AE=CE.∴ 易得∠C= ∠CAE=x.根 据 三 角 形 的 内 角 和 定 理,得 ∠C+ ∠BAC=180°-∠B,即x+4x=180°-40°,解得x= 28°.∴ ∠C=28°. 11. C 12. 100° 13. (1) AB=PB.(2) 存在.连接BQ.∵ BC 垂直平分 OQ,∴ BO=BQ.∴ 易得∠BOQ=∠BQO.∵ ∠BOQ= ∠FON,∴ ∠BQO= ∠FON.∵ OF 平 分 ∠MON, ∴ ∠AOF = ∠FON = ∠BQO.∴ 易 得 ∠AOB = ∠PQB.在 △AOB 和 △PQB 中, OA=QP, ∠AOB=∠PQB, BO=BQ, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOB≌△PQB(SAS).∴ AB=PB. 第2课时　角平分线的性质 知识梳理 1. 到角两边的距离 2. 角的内部到角两边距离相等 典例演练 典例1 如图,点P 即为所求作. 典例1图 典例2 如图,连接MA,MC.∵ MN 是AC 的垂直平分 线,∴ AM=CM.∵ MD⊥BD,ME⊥BC,∴ ∠MDA= ∠MEC = 90°.在 Rt△AMD 和 Rt△CME 中, AM=CM, AD=CE, ∴ Rt△AMD≌Rt△CME(HL).∴ MD= ME.∵ MD⊥BD,ME⊥BC,∴ BM 平分∠ABC. 典例2图 典例3 如图,过点D 作DE⊥CA 于点E,DF⊥CB 于点 F.∴ ∠AED=∠BFD=90°.∵ ∠CAD+∠CBD= 180°,∠CAD+∠EAD=180°,∴ ∠CBD=∠EAD.在 △AED 和△BFD 中, ∠AED=∠BFD, ∠EAD=∠FBD, AD=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AED≌ △BFD(AAS).∴ DE=DF.又∵ DE⊥CA,DF⊥CB, ∴ 点D 在∠ACB 的平分线上,即CD 平分∠ACB. 典例3图 预学训练 1. A 2. D 3. A 4. D 5. A 6. 3 7. 角平分线上 的点到角两边的距离相等 8. PQ≥6 9. 10 10. 如图,点P 就是银杏树的位置. 第10题 11. ∵ DE⊥AB,DF⊥AC,∴ ∠BED=∠CFD= 90°.∵ D 是BC 的中点,∴ BD=CD.在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中, BD=CD, BE=CF, ∴ Rt△BDE ≌Rt△CDF (HL).∴ DE=DF.又∵ DE⊥AB,DF⊥AC,∴ 点D 在∠EAF 的平分线上,即AD 是△ABC的角平分线. 12. B 13. ①②③④ 14. (1) 如图,连接 AD,BD.∵ DP 垂直平分AB, ∴ AD=BD.∵ CD 是∠ACE 的平分线,DE⊥BC, DF⊥AC,∴ DE=DF,∠AFD=∠BED=∠CFD= 90°.在 Rt △ADF 和 Rt△BDE 中, AD=BD, DF=DE, ∴ Rt△ADF≌Rt△BDE(HL).∴ AF=BE.(2) 在 Rt△CFD 和 Rt△CED 中, CD=CD, DF=DE, ∴ Rt△CFD≌ Rt△CED(HL).∴ CF=CE.设CF=CE=x,则AF= AC-CF=5-x,BE=BC+CE=3+x.∵ AF=BE, ∴ 5-x=3+x.∴ x=1,即CE=1. 第14题 1.5 等腰三角形 第1课时　等腰三角形 知识梳理 1. 等腰三角形 2. 相等 等边对等角 3. 底边上的高 线 中线 顶角平分线 4. 相等 等角对等边 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈