1.1 第2课时 三角形的中线、角平分线、高-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（苏科版2024）

18 第2课时　三角形的中线、角平分线、高 知识梳理 1. 中线 2. 角平分线 3. 高线 高 典例演练 典例1 8 33 直角 典例2 (1) ∵ ∠BAC=90°,AD 是边BC 上的高,∴ 易 得1 2AB ·AC= 12BC ·AD.∴ AD=AB ·AC BC = 6×8 10 =4.8.∴ AD 的长为4.8.(2) ∵ △ABC 是直角三 角形,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,∴ S△ABC= 1 2AB · AC=12×6×8=24.∵ AE 是边BC 的中线,∴ BE= CE.∴ 1 2BE ·AD=12CE ·AD,即S△ABE=S△AEC. ∴ S△ABE= 1 2S△ABC= 1 2×24=12.∴ △ABE 的面积是 12.(3) △ACE 的周长-△ABE 的周长=AC+AE+ CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2.∴ △ACE 和△ABE 的周长的差是2. 预学训练 1. C 2. B 3. 中线 4. (1) 如 图,BD 是 ∠ABC 的 平 分 线,∠ABD = ∠CBD.(2) 如图,BE 是AC 边上的中线,AE=CE. (3) 如图,延长CB,过点A 作AF⊥CB,垂足为F,线段 AF 为BC边上的高.∵ AF⊥BC,∴ ∠AFC=90°.∴ 图 中的直角三角形有△AFB 和△AFC,共2个. 第4题 5. 答案不唯一,如图①②③所示.图①先取BC的中点E, 再分别取BE,EC 的中点D,F,连接AD,AE,AF;图② 先取BC的中点D,连接AD,再取AD 的中点E,连接 BE,EC;图③先取BC 的中点D,连接AD,再分别取 AB,AC的中点E,F,连接DE,DF. 第5题 6. ∵ AD 是 △ABC 的 角 平 分 线,∴ ∠BAD = ∠CAD.∵ PM∥AC,PN∥AB,∴ ∠APM=∠PAN, ∠APN= ∠PAM.∴ ∠APM = ∠APN.∴ PA 平 分∠MPN. 7. ∵ ∠4=∠B,∴ DE∥BC.∴ ∠3=∠1.∵ CD 平分 ∠ACB,∴ ∠3=∠2.∴ ∠1=∠2. 1.2 全等三角形 知识梳理 1. 完全重合 对应顶点 对应边 对应角 2. 对应的 位置 3. 对应边 对应角 典例演练 典例1 (1) 对应边:AB 与AD,BC与DE,AC与AE;对 应 角:∠BAC 与 ∠DAE,∠B 与 ∠D,∠C 与 ∠E. (2) ∠BAD = ∠CAE.理 由:∵ △ABC ≌ △ADE, ∴ ∠BAC=∠DAE.∴ ∠BAC-∠CAD=∠DAE- ∠CAD,即∠BAD=∠CAE. 典例2 A 预学训练 1. A 2. D 3. C 4. A 5. 10 6. 6 7. ∵ △ABC ≌ △ADC,∠BAC =32°,∠B =27°, ∴ ∠DAC=∠BAC=32°,∠D=∠B=27°.∴ ∠ACD= 180°-32°-27°=121°. 8. (1) ∵ △ABC≌△ADE,∠B=10°,AB=4cm, ∴ ∠B=∠ADE=10°,∠CAB=∠EAD,AC=AE, AB=AD=4cm.∵ C 为AD 的中点,∴ AC=12AD= 2cm.∴ AE=2cm.(2) ∵ ∠AED=20°,∠ADE=10°, ∴ ∠EAD=180°-∠ADE-∠AED=180°-10°-20°= 150°.∴ ∠CAB =150°.∴ ∠BAE =360°-150°- 150°=60°. 9. A 10. 9 11. (1) AC∥DF.理由:∵ △ABC≌△FED,∴ ∠A= ∠F.∴ AC∥DF.(2) ∵ △ABC≌△FED,∴ AB= FE.∴ AB-BE=FE-BE,即AE=BF.∵ AF=8, BE=2,∴ AE+BF=AF-BE=6.∴ AE=BF=3. ∴ AB=AE+BE=5. 12. AB⊥DE.理由:如图,延长 DE 交AB 于点F. ∵ △ABC≌△DEC,∴ ∠A=∠D,∠ACB=∠DCE. ∵ ∠ACB+∠DCE=180°,∴ ∠DCE= 12×180°= 90°.∵ ∠AED = ∠A + ∠AFE = ∠D + ∠DCE, ∴ ∠AFE=∠DCE=90°.∴ AB⊥DE. 第12题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 第2课时 三角形的中线、角平分线、高 1. 在三角形中,连接一个顶点与它的对边中点 的线段,叫作三角形的 . 2. 在三角形中,一个内角的平分线与这个角的 对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段 叫作三角形的 . 3. 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线 作垂线,顶点与垂足之间的线段叫作三角形 的 ,简称三角形的 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 如图,AD 是△ABC 的中线,AE 是 △ABC 的角平分线,AF 是△ABC 的高.若 BC=16,∠BAC=66°,则CD 的长为 , ∠CAE= °,△AFB 按角分是 三角形. 典例1图 根据三角形的中线的定义,可知CD 的 长,根据三角形的角平分线的定义,可知∠CAE 的度 数,根 据 三 角 形 的 高 的 定 义,可 知 ∠AFB=90°. 解答: 解有所悟:灵活运用三角形的中线、角平分线、高的 定义,才能准确地解决这类题目. 典例2 如图,AD,AE 分别是△ABC 的高和中 线,AB=6,AC=8,BC=10,∠BAC=90°.求: (1) AD 的长; (2) △ABE 的面积; (3) △ACE 和△ABE 的周长的差. 典例2图 (1) 利用“面积法”来求线段AD 的长. (2) △AEC 与△ABE 是等底同高的两个三角 形,它们的面积相等.(3) 因为AE 是中线,所以 △ACE 的周长-△ABE 的周长化简后等于 AC-AB. 解答: 解有所悟:(1) 三角形的中线将原三角形分成的两 个小三角形的面积等于原三角形面积的一半; (2) 求三角形的高时,通常采用“面积法”建立等量 关系进行求解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,点D 在BC 上,DE⊥AB,垂足为E,则△ABD 的BD 边上的高是 ( ) 第1题 A. AD B. DE C. AC D. BC 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 54 2. (教材P8练习第3题变式)如图,在△ABC 中,AE 是中线,AD 是角平分线,AF 是高, 下列结论不一定成立的是 ( ) A. BE=CE B. AB=2AF C. ∠AFB=90° D. ∠BAD=12∠BAC 第2题 第3题 3. 如图,在△ABC 中,D 为边BC 上的一点,且 S△ABD=S△ADC,则AD 为△ABC 的 (填“高”“中线”或“角平分线”). 4. 如图,已知△ABC,按下列要求作图: (1) 画出∠ABC 的平分线,并指出相等 的角; (2) 画出AC 边上的中线,并指出相等的 线段; (3) 画出BC 边上的高,并指出图中所有的 直角三角形. 第4题 [综合提升] 5. (教材P10习题第8题变式)如图,张爷爷家 有一块三角形花圃ABC,张爷爷准备将其分 成面积相等的四个部分,分别种上不同的花 卉.请你帮张爷爷设计三种不同的方案. 第5题 6. 如图,AD 是△ABC 的角平分线,P 为AD 上一点,PM∥AC 交AB 于点M,PN∥AB 交AC 于点N,求证:PA 平分∠MPN. 第6题 第7题 答案讲解 7. 如图,CD 是△ABC 的角平分线, ∠4=∠B,求证:∠1=∠2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级