专题1 平行线中与角有关的计算问题-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（苏科版2024）

26 专题一　平行线中与角有关的计算问题 平行线是初中数学的重要基础知识,运用平行线的性质与判定能解决求角问题以及判断两 条直线是否平行等问题.如果题中有平行线存在,那么总有相等的角存在;如果题中没有平行线, 那么可以通过证明两线平行或者构造平行线得到相等的角. 类型一 平行线的性质与判定的应用 1. (长沙中考)如图,在△ABC 中,∠BAC= 60°,∠B=50°,AD∥BC,则∠1的度数为 ( ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 第1题 第2题 2. (陕西中考)如图,l∥AB,∠A=2∠B.若 ∠1=108°,则∠2的度数为 ( ) A. 36° B. 46° C. 72° D. 82° 3. 如图,∠ABD=∠EFD,∠FEC 与∠ECD 互补,当∠FEC=150°,∠ABC =46°时, ∠BCE 的度数为 . 第3题 第4题 答案讲解 4. 如图,∠1+∠2=180°,∠3=∠B= 65°,∠C=52°,则∠FEC 的度数为 . 5. (徐州中考)如图,在△ABC 中,若DE∥BC, FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°,则 ∠C= . 第5题 6. 如 图,在 四 边 形 ABCD 中,AD ∥BC, ∠B=80°. (1) 求∠BAD 的度数; (2) AE 平 分 ∠BAD,交 BC 于 点 E, ∠BCD=50°,求证:AE∥DC. 第6题 第7题 答案讲解 7. 如图,直线l1∥l2,∠α=∠β,∠1= 40°,求∠2的度数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级 拍 照 批 改 27 类型二 过一个拐点作平行线 8. (泰安中考)如图,直线l∥m,等边三角形 ABC 的两个顶点B,C 分别落在直线l,m 上.若∠ABE=21°,则∠ACD 的度数为 ( ) A. 45° B. 39° C. 29° D. 21° 第8题 第9题 9. (巴中中考)如图,直线m∥n,将一个含有30° 角的直角三角形按如图所示的方式放置.若 ∠1=40°,则∠2的度数为 ( ) A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 第10题 10. (潍坊中考)一种路灯的示意图 如图所示,其底部支架AB 与 吊线FG 平行,灯杆CD 与底部 支架AB 所成锐角α=15°.顶 部支架EF 与灯杆CD 所成锐 角β=45°,则EF 与FG 所成锐 角的度数为 ( ) A. 60° B. 55° C. 50° D. 45° 答案讲解 11. ★ 新考法 过程性学习 【阅读理 解】两条平行线间的拐点问题经 常可以通过作一条直线的平行线 来解决.例如:如图①,MN∥PQ,点C,B 分别在直线MN,PQ 上,点A 在直线MN, PQ 之 间.求 证:∠CAB = ∠MCA + ∠PBA. 证明:如图①,过点A 作AD∥MN. ∵ MN∥PQ,AD∥MN, ∴ AD∥MN∥PQ. ∴ ∠MCA=∠DAC,∠PBA=∠DAB. ∴ ∠CAB=∠DAC+∠DAB=∠MCA+ ∠PBA. 【类比应用】已知直线AB∥CD,P 为平面 内一点,连接PA,PD. (1) 如图②,∠A=50°,∠D=150°,求 ∠APD 的度数; (2) 如图③,设∠PAB=α,∠CDP=β,则 α,β,∠P 之间的数量关系为 ; (3) 如图④,AP⊥PD,AN 与DP 交于点 O,DN 平分∠PDC,若∠PAN+12∠PAB= ∠P,运用(2)中的结论,求∠N 的度数. 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 28 类型三 过多个拐点作平行线 答案讲解 12. ★如 图,AB ∥CD,∠MBN = 3 2∠ABM ,∠MDN=32∠CDM. 求证:2∠N+5∠M=720°. 第12题 13. 如图,AB∥DF,DE 和 AC 分 别 平 分 ∠FDC 和 ∠BAE.若 ∠DEA =46°, ∠ACD=56°,求∠FDC 的度数. 第13题 答案讲解 14. 已知直线AB∥CD,点E 在直线 AB 上,点F 在直线CD 上,G 是 平面内一点. (1) 如图①,点G 在直线 AB,CD 之间,若 ∠1=30°,∠3=75°,求∠2的度数. (2) 如图②,点G 在直线 AB,CD 之间. FN 平分∠CFG,延长GE 交FN 于点M, EM 平分∠AEN.当∠N+12∠FGE=54° 时,求∠AEN 的度数. (3) 如图③,点G 在直线AB 上方,FK 平 分∠CFG,EL 平分∠AEG,直线KF 与直 线LE 相 交 于 点 H,试 猜 想∠EGF 与 ∠EHF 之间的数量关系,并说明理由. 第14题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级 7 2 整合提优 专题一　平行线中与角有关的计算问题 1. C 2. A 3. 16° 4. 63° 5. 55° 6. (1) ∵ AD∥BC,∴ ∠B+∠BAD=180°.∵ ∠B= 80°,∴ ∠BAD =100°.(2) ∵ AE 平 分 ∠BAD, ∴ ∠DAE=50°.∵ AD∥BC,∴ ∠AEB=∠DAE=50°. ∵ ∠BCD=50°,∴ ∠BCD=∠AEB.∴ AE∥DC. 7. 如图,延长AE 交l2 于点B.∵ l1∥l2,∠1=40°, ∴ ∠3=∠1=40°.∵ ∠α=∠β,∴ AB∥CD.∴ ∠2+ ∠3=180°.∴ ∠2=180°-∠3=140°. 第7题 8. B 9. A 10. A 11. (1) 如图,过点P 作PE∥AB.∵ AB∥CD,PE∥AB, ∴ AB∥PE∥CD.∴ ∠APE=∠A=50°,∠DPE+ ∠D=180°.∴ ∠DPE=180°-150°=30°.∴ ∠APD= ∠APE+∠DPE=50°+30°=80°.(2) α+β-∠P= 180°.(3) ∵ AP⊥PD,∴ ∠P=90°.∵ ∠PAN + 1 2∠PAB = ∠P ,∴ ∠PAN + 12 ∠PAB =90°. ∵ ∠POA+∠PAN=180°-∠P=90°,∴ ∠POA= 1 2∠PAB.∵ ∠POA = ∠NOD,∴ ∠NOD = 1 2∠PAB.∵ DN 平 分 ∠PDC,∴ ∠ODN = 1 2∠PDC.∴ ∠N=180°-∠NOD-∠ODN=180°- 1 2 (∠PAB+∠PDC).由(2),得∠PDC+∠PAB- ∠P=180°,∴ ∠PDC+∠PAB=180°+∠P.∴ ∠N= 180°-12 (∠PAB+∠PDC)=180°-12 (180°+∠P)= 180°-12× (180°+90°)=45°. 第11题 利用拐点作辅助线研究角之间的数量关系 当两条平行线之间存在拐点时,通常过拐点作平 行线,构造出同位角、内错角、同旁内角,为运用平行线 的性质创造条件.本题先利用拐点添加辅助线,再计算 角的度数. 12. 过点 M 向右作 ME∥AB,过点 N 向左作 NF∥ AB.∵ AB∥CD,∴ ME∥AB∥CD∥NF.∴ ∠BME= ∠ABM,∠DME=∠CDM,∠BNF+∠ABN=180°, ∠DNF+ ∠CDN =180°.∴ ∠BMD = ∠BME + ∠DME = ∠ABM + ∠CDM,∠BNF + ∠ABN + ∠DNF + ∠CDN =360°,即 ∠BND + ∠ABN + ∠CDN=360°.∵ ∠MBN = 32 ∠ABM ,∠MDN = 3 2 ∠CDM ,∴ ∠ABN = 52 ∠ABM ,∠CDN = 5 2∠CDM.∴ ∠BND + 52 (∠ABM + ∠CDM)= 360°.∴ ∠BND+ 52 ∠BMD=360°.∴ 2∠BND+ 5∠BMD=720°. “凹凸形”的平行线问题的求解方法 如图①,解答“内凹形”的平行线问题时有以下结 论:若∠B+∠D=∠BPD,则AB∥CD;若AB∥CD, 则∠B+∠D=∠BPD.其方法是过点P 作PE∥AB 或作PE∥CD,利用“内错角相等,两直线平行”或“两直 线平行,内错角相等”来解答.如图②,解答“外凸形”的 平行线问题时有以下结论:若∠B+∠BED+∠D= 360°,则 AB∥CD;若 AB∥CD,则∠B+∠BED+ ∠D=360°.其方法是过点E 作EF∥AB 或作EF∥ CD,利用“同旁内角互补,两直线平行”或“两直线平 行,同旁内角互补”来解答. 13. 过点C 向右作CN∥AB,过点E 向右作EM∥AB. ∵ AB∥DF,∴ AB∥CN∥EM∥DF.∴ ∠BAC= ∠NCA,∠NCD=∠FDC,∠FDE=∠DEM,∠MEA= ∠BAE.∴ ∠DEA=∠DEM +∠MEA=∠FDE+ ∠BAE=46°,∠ACD=∠NCA+∠NCD=∠BAC+ ∠FDC=56°. ∴ ∠FDE+∠BAE+∠BAC+∠FDC= ∠DEA+∠ACD=102°.∵ DE 和AC 分别平分∠FDC 和∠BAE,∴ ∠FDC=2∠FDE=2∠EDC,∠BAE= 2∠BAC=2∠EAC.∴ ∠FDE+∠BAE+∠BAC+ ∠FDC=3(∠FDE+∠BAC).∴ ∠BAC+∠FDE= 34°.又∵ ∠BAC+∠FDC=∠BAC+2∠FDE=56°, ∴ ∠FDE=22°.∴ ∠FDC=2∠FDE=44°. 14. (1) 如图①,过点G 作GR∥AB.∵ AB∥CD,∴ AB∥ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 CD∥GR.∴ ∠1=∠EGR,∠2=∠FGR.∴ ∠1+∠2= ∠EGR+∠FGR=∠3.∵ ∠1=30°,∠3=75°,∴ ∠2= 45°.(2) ∵ FN 平分∠CFG,EM 平分∠AEN,∴ 可设 ∠CFN=∠GFN=β,∠AEM=∠NEM=α.如图②,过 点G 作GP∥CD,过点 N 作NQ∥AB.又∵ AB∥CD, ∴ NQ∥AB∥CD∥GP.∴ ∠QNF= ∠CFN =β, ∠QNE=∠AEN=2α,∠PGE=∠AEM=α,∠PGF= ∠DFG=180°-2β.∴ ∠FNE=∠QNF-∠QNE=β- 2α,∠FGE = ∠PGE + ∠PGF =α +180°-2β. 又∵ ∠FNE+ 12 ∠FGE=54° ,∴ β-2α+ 1 2 (α+ 180°-2β)=54°,解得α=24°.∴ ∠AEN=2α=48°. (3) ∠EGF=2∠EHF.理由:∵ FK 平分∠CFG,EL 平 分∠AEG,∴ 可 设∠CFK =∠GFK =n,∠AEL= ∠LEG=m.如图③,过点H 作HI∥CD,过点G 作GJ∥ AB.∵ AB∥CD,∴ GJ∥AB∥CD∥HI.∴ ∠JGE = ∠AEG =2m,∠JGF = ∠CFG =2n,∠IHK = ∠CFK=n,∠IHL=∠AEL=m.∴ ∠EGF=∠JGE- ∠JGF =2m-2n =2(m- n),∠EHF=∠IHL- ∠IHK=m-n.∴ ∠EGF=2∠EHF. 第14题 专题二　幂的运算性质的应用 1. A 解析:(-0.125)2020×26060=(-0.125)2020× (23)2020=(-0.125)2020×82020=(-0.125×8)2020= (-1)2020=1. 2. (1) -25.(2) 5 6. (3) 8.(4) 4. 3. (1) 1;1.(2) anbn;anbncn.(3) -132. 4. (1) 32m-4n=32m÷34n=(3m)2÷(32)2n=62÷92n= 36÷(9n)2=36÷22=9.(2) ∵ x2n=2,∴ (x2n)2=22, (x2n)3=23.∴ x4n=4,x6n=8.∴ (3x3n)2-4(x2)2n= 9x6n-4x4n=9×8-4×4=56. 5. ∵ 2x=3,∴ (23x+3×22x)2=(23x+3+2x)2=(25x+3)2= 210x+6=210x×26=(2x)10×26=310×26. 6. ∵ x2a =2,y3a =3,∴ 原 式 = (x2a)3 +y6a - (x6ay3a)·y3a=(x2a)3+(y3a)2-(x2a)3·(y3a)2=23+ 32-23×32=8+9-8×9=-55. 7. A 8. b<a 9. (1) C.(2) ∵ x63=(x7)9=29=512,y63=(y9)7= 37=2187,2187>512,∴ x63<y63.∴ x<y. 10. A 11. (1) ∵ 5a=3,∴ (5a)2=32=9.(2) ∵ 5a=3,5b=8, 5c=72,∴ 5a-b+c=5 a×5c 5b = 3×72 8 =27. (3) c=2a+b. 12. (1) ∵ 3x+1×7x+1=213x-7,∴ (3×7)x+1= 213x-7.∴ 21x+1=213x-7.∴ x+1=3x-7,解得x= 4.(2) ∵ 2÷8x×16x=25,∴ 2÷(23)x×(24)x=25. ∴ 2÷23x×24x=25.∴ 21-3x+4x=25.∴ 1-3x+4x=5, 解得x=4. 13. ∵ 9n+1-32n=72,∴ 9n×9-9n=72.∴ 8×9n= 72.∴ 9n=9.∴ n=1. 14. ∵ 3x+2·4x+2=1442x+3,∴ (3×4)x+2=1442x+3. ∴ 12x+2=(122)2x+3.∴ 12x+2=124x+6.∴ x+2=4x+ 6,解得x=-43. 15. ∵ 3×9m×271-m=9,即3×32m×33-3m=34-m=32, ∴ 4-m=2,解得 m=2.∴ 原式=-m6÷m5= -m=-2. 利用转化思想解决问题 转化思想是把一种数学问题合理地转化成另一种 数学问题并得到有效解决的数学思想.在幂的运算中 转化思想的应用十分广泛,如将不同底数的幂转化为 同底数的幂、将不同指数的幂转化为同指数的幂、将一 般底数的幂转化为特殊底数的幂等.本题是先通过转 化,得同底数的幂,然后根据“同底数的幂相等(底数不 为0且不为±1),其指数相等”建立方程. 16. ∵ 2a ×22b =8,∴ 2a+2b =23.∴ a+2b=3. ∵ (5a)2×(52b)2÷(53a)b=1,∴ 52a×54b÷53ab=1. ∴ 52a+4b-3ab=50.∴ 2a+4b-3ab=0.∴ 2(a+2b)- 3ab=0.∴ 2×3-3ab=0,解得ab=2. 17. B 18. 9 19. ∵ 20212026的末位数字为1,20224=2022×2022× 2022×2022 的 末 位 数 字 为 6,∴ 20222024 = (20224)506的末位数字是6.∴ 20212026+20222024 的末 位数字为7. 20. 31001×71002×131003=(31001×71001)×7×131000× 133=211001×7× (134)250×133=211001× (169× 169)250×7×133.∵ 211001 的末位数字是1,(169× 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈