专题4 乘法公式及其应用-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（苏科版2024）

35 专题四　乘法公式及其应用 初中数学教材中介绍的乘法公式为平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,完全平方公式: (a±b)2=a2±2ab+b2.这两类乘法公式在解题(化简、求值、证明、解方程或解不等式等问题)中 的应用十分广泛,技巧性高,灵活性强.正确运用乘法公式,首先要准确了解并掌握每个公式的结 构特征,其次要深入理解公式中的每个字母的内涵,另外还要注意乘法公式的变形运用. 类型一 利用乘法公式简便计算 1. 简便计算: (1) 20242-2023×2025; (2) 1882-376×88+882. 2. 在学习“平方差公式”时,张老师出了一道 题:计算9×11×101.嘉嘉发现把9写成 (10-1),把11写成(10+1)后可以连续运 用平方差公式进行计算. 请根据上述思路,计算: (1) 9×11×101; (2) 1 2 × 1+ 1 2 × 1+122 × 1+124 × 1+128 +1216. 类型二 与乘法公式有关的规律问题 答案讲解 3. 在 计 算 (x-1)(xn +xn-1 + xn-2+…+x+1)的过程中,我们 可以先从简单的、特殊的情形入手, 再到复杂的、一般的情形,通过观察、归纳、 总结,形成解决一类问题的一般方法,数学 中把这样的过程叫作从特殊到一般.例如: 【观察】① (x-1)(x+1)=x2-1; ② (x-1)(x2+x+1)=x3-1; ③ (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1; … (1) 【归纳】由此可得:(x-1)(xn+xn-1+ xn-2+…+x+1)= ; (2) 【应用】请运用上面的结论,计算:22025+ 22024+22023+…+22+2+1; (3) 【拓展】请运用上面的方法,求220- 219+218-217+…-23+22-2+1的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 36 类型三 利用整体思想解决问题 4. 已知(x-2020)2+(x-2024)2=100,则 (x-2022)2的值是 ( ) A. 26 B. 46 C. 50 D. 54 5. 已知(x+y+1)(x+y-1)=8,且xy=2, 求x2+y2的值. 类型四 利用完全平方公式的非负性求值 或比较大小 6. 已知a,b为任意值,试比较4a2+b2+11与 12a-2b的大小关系,并说明理由. 答案讲解 7. 王老师在讲完乘法公式(a±b)2= a2±2ab+b2 的多种应用后,要求 同学们运用所学知识求代数式 x2+4x+5的最小值.同学们经过交流讨 论,最后总结出如下解答方法: x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1, ∵ (x+2)2≥0, ∴ 当x=-2时,(x+2)2的值最小,最小值 是0. ∴ (x+2)2+1≥1. ∴ 当(x+2)2=0时,(x+2)2+1的值最小, 最小值是1. ∴ x2+4x+5的最小值是1. 依据上述方法,解决下列问题: (1) 当x= 时,x2+6x-15有最小 值是 ; (2) 多项式-x2+2x+18有最 (填 “大”或“小”)值,该值为 ; (3) 已知-x2+5x+y+20=0,求y+x 的 最值; (4) 已知△ABC 的三边长a,b,c都是正整 数,且满足a2+b2-2a-8b+17=0,求 △ABC 的周长. 类型五 乘法公式的变形运用 8. 已知a=120x+20 ,b=120x+19 ,c=120x+ 21,则代数式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值是 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 已知ab=1,因为(a+b)2=a2+2ab+b2= a2+b2+2①,(a-b)2=a2-2ab+b2= a2+b2-2②,所以由①得a2+b2=(a+ b)2-2.由②得a2+b2=(a-b)2+2. 试根据上面公式的变形解答问题: 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级 37 (1) 已知a-b=2,ab=1,有下列等式: ① a2+b2=6;② a4+b4=38;③ (a+b)2= 8.其中,成立的是 (填序号). (2) 已知a+b=2,ab=1. ① 求代数式a2+b2的值; ② 求代数式a4+b4的值; ③ 猜想代数式a2n+b2n(n为正整数)的值, 直接写出答案. 类型六 乘法公式与图形面积 10. 如图,由4个全等的小长方形与1个小正方 形密铺成正方形图案,该图案的面积为64, 小正方形的面积为9,若分别用x,y(x> y)表示小长方形的长和宽,则下列关系式 中,不正确的是 ( ) 第10题 A. x2+2xy+y2=64 B. x2-2xy+y2=9 C. x2+y2=36 D. x2-y2=24 答案讲解 11. ★阅读材料: 已知x满足(9-x)(x-4)=4,求 (9-x)2+(x-4)2的值. 设9-x=a,x-4=b, 则ab=(9-x)(x-4)=4,a+b=(9- x)+(x-4)=5. 因此(9-x)2+(x-4)2=a2+b2=(a+ b)2-2ab=52-2×4=17. 用上面的方法解下列问题: (1) 已知(5-x)(x-2)=2,求(5-x)2+ (x-2)2的值. (2) 如图,正方形ABCD 的边长为x,E,F 分别是边AD,DC 上的点,AE=1,CF=3, M 是正方形ABCD 内一点,且 MF∥BC, EM∥DC,分别以MF,DF 为边作正方形 MFRN,GFDH. ① MF= ,DF= (用含x 的式子表示); ② 若长方形EMFD 的面积是48,试求涂 色部分的面积. 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 9 169)250 的末位数 字 是1,7×133 的 末 位 数 字 是9, ∴ 211001×(169×169)250×7×133 的末位数字是9,即 31001×71002×131003的末位数字是9. 专题三　整式的化简求值 1. B 2. A 3. -16 4. (1) 原式=x2+2xy+y2+x2-2xy=2x2+y2,当 x=1,y=-2时,原式=2×12+(-2)2=6.(2) 原式= (x-1)[(x2+3x+1)-(x2-x-1)]=(x-1)(x2+ 3x+1-x2+x+1)=(x-1)(4x+2),当x=12 时,原 式= 12-1 × 4×12+2 =-12×4=-2.(3) 原 式=4(x-y)2-(4x2-3xy)=4x2-8xy+4y2-4x2+ 3xy=4y2-5xy,当x=-2,y=- 1 2 时,原式=4× -12 2 -5×(-2)× -12 =-4. 5. 原式=4x2-4x+1-(9x2-1)+5x2+5x=4x2- 4x+1-9x2+1+5x2+5x=x+2.选取的数不唯一,如 当x=1时,原式=1+2=3. 6. ∵ |a-3|+(b+1)2=0,∴ a-3=0,b+1=0.∴ a= 3,b=-1.原式=3a2+2ab-9ab-6b2-10ab+6b2= 3a2-17ab.当a=3,b=-1时,原式=3×32-17×3× (-1)=78. 7. 原式=6m2-2m3-2m2+2m3+1=4m2+1.∵ 单项 式-2xm+4y2 和 x3y 的 积 与 7x6y3 是 同 类 项,且 -2xm+4y2·x3y=-2xm+7y3,∴ m+7=6,解得m= -1.∴ 原式=4×(-1)2+1=4+1=5. 8. (1) 原式=(2k-2)x2+4y2+1.∵ 化简后不含x2 项, ∴ 2k-2=0,解得k=1.(2) 原式=-4k+20.当k= 1时,原式=-4+20=16. 9. (1) M=(x+2)2+(2-x)(2+x)-2=x2+4x+4+ 4-x2-2=4x+6.(2) ∵ (x+1)2-x2=5,∴ x2+2x+ 1-x2=5.∴ 2x+1=5.∴ x=2.将x=2代入 M,得 M=4×2+6=14. 10. 原式=3x2y-2xy2+2xy-3x2y-xy+3xy2= xy2+xy.令 2x+3y=5①, 3x-6y=11②, ①×2+②,得7x=21,解 得x=3.把x=3代入②,得y=- 1 3. 当x=3,y= -13 时,原式=3× -13 2 +3× -13 =-23. 11. D 12. A 13. 原式=a2-4a+4+b2-2ab+4a-4=a2+b2- 2ab.∵ (a-b)2=2,即a2+b2-2ab=2,∴ 原式=2. 14. ∵ mn=2,m-3n=-1,∴ 3mn(m+n)-12mn2= 3mn(m+n-4n)=3mn(m-3n)=3×2×(-1)=-6. 15. 原式=x2+5x-3x-15+x2-x-3x+3=2x2- 2x-12.∵ x2-x-2=0,∴ x2-x=2.∴ 原式= 2(x2-x)-12=2×2-12=-8. 16. (1) 理由:∵ 7a3+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3- 6a3b-1=(7+3-10)a3+(3-3)a2b+(6-6)a3b- 1=-1,∴ 该多项式的值为常数,与a 和b 的取值无 关.∴ 小阳的说法正确.(2) 2x2+ax-5y+b- 2bx2-32x- 5 2y-3 =2x2+ax-5y+b-2bx2+ 3x+5y+6=(2-2b)x2+(a+3)x+(b+6).∵ 无论x, y 取 何 值,多 项 式 2x2 + ax - 5y + b - 2bx2-32x- 5 2y-3 的值都不变,∴ 2-2b=0,a+ 3=0.∴ a=-3,b=1. 有关整式化简求值说理型问题的常见结论 对多项式进行化简后,若代入求值时,代入的某字 母的值是多余的,则说明化简后不含该字母;若某字母 不论取任何值,代入后的结果都不变,则说明化简后不 含该字母. 17. (1) B 是A 的“好多项式”.理由:(x-2)(x+3)= x2-2x+3x-6=x2+x-6,∵ x2+x-6的项数比A 的项数多1,∴ B 是A 的“好多项式”.(2) 2.(3) (x2- x+3m)(x2+x+m)=x4+x3+mx2-x3-x2-mx+ 3mx2+3mx+3m2=x4+(4m-1)x2+2mx+3m2.∵ B 是A 的“极好多项式”,∴ 4m-1=0或m=0,解得m= 1 4 或0.∴ m 的值是14 或0. 专题四　乘法公式及其应用 1. (1) 20242-2023×2025=20242-(2024-1)× (2024+1)=20242-(20242-1)=20242-20242+1= 1.(2) 1882-376×88+882=1882-2×188×88+882= (188-88)2=1002=10000. 2. (1) 原式=(10-1)×(10+1)×(100+1)=(102- 1)×(100+1)=(100-1)×(100+1)=1002-1= 10000-1=9999.(2) 原式= 1-12 × 1+12 × 1+122 × 1+124 × 1+128 + 1216 = 1-122 × 1+122 × 1+124 × 1+128 + 1216 = 1-124 × 1+124 × 1+128 +1216= 1-128 × 1+128 +1216= 1-1216+ 1 216=1. 3. (1) xn+1-1.(2) 22025+22024+22023+…+22+2+1= (2-1)(22025+22024+22023+…+22+2+1)=22026- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 10 1.(3) 220-219+218-217+…-23+22-2+1= (-2)20+(-2)19+(-2)18+(-2)17+…+(-2)3+ (-2)2+(-2)+1=- 13 × (-2-1)[(-2)20+ (-2)19+(-2)18+(-2)17+…+(-2)3+(-2)2+ (-2)+1]=-13× [(-2)21-1]=13×2 21+13. 4. B 解析:∵ (x-2020)2+(x-2024)2=100, ∴ (x-2022+2)2+(x-2022-2)2=100,即(x- 2022)2+4(x-2022)+4+(x-2022)2-4(x- 2022)+4=100.∴ 2(x-2022)2+8=100.∴ 2(x- 2022)2=92.∴ (x-2022)2=46. 5. ∵ (x+y+1)(x+y-1)=8,∴ (x+y)2-12=8. ∴ (x+y)2=9.∴ x2+y2+2xy=9.∵ xy=2,∴ x2+ y2=9-2xy=9-2×2=5. 6. 4a2+b2+11>12a-2b.理由:∵ 4a2+b2+11- (12a-2b)=4a2-12a+b2+2b+11=(2a-3)2+(b+ 1)2+1≥1,∴ 4a2+b2+11>12a-2b. 7. (1) -3;-24.(2) 大;19.(3) ∵ -x2+5x+y+20= 0,∴ y=x2-5x-20.∴ y+x=x2-5x-20+x=x2- 4x-20=(x-2)2-24.∵ (x-2)2≥0,∴ 当x=2时, (x-2)2 的值最小,最小值是0.∴ (x-2)2-24≥ -24.∴ 当(x-2)2=0时,(x-2)2-24的值最小,最小 值是-24.∴ y+x 的最小值是-24.(4) ∵ a2+b2- 2a-8b+17=0,∴ (a-1)2+(b-4)2=0.∴ a=1,b= 4.∴ 边长c的取值范围是4-1<c<4+1,即3<c< 5.∵ a,b,c都是正整数,∴ c=4.∴ △ABC 的周长为 1+4+4=9. 8. B 解析:a2+b2+c2-ab-bc-ac=12 (2a2+2b2+ 2c2-2ab-2bc-2ac)=12 [(a2-2ab+b2)+(a2-2ac+ c2)+(b2-2bc+c2)]=12 [(a-b)2+(a-c)2+(b- c)2]=12× (1+1+4)=3. 9. (1) ①③.(2) ① ∵ ab=1,a+b=2,∴ a2+b2=(a+ b)2-2ab=22-2=2.② a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2= 22-2(ab)2=22-2×12=2.③ 猜想a2n+b2n=2. 10. C 解析:A. ∵ 正方形图案的面积为64,边长为x+ y,∴ (x+y)2=x2+2xy+y2=64,正确;B. 由图可知 (x-y)2=9,即x2-2xy+y2=9,正确;C. 由(x+y)2= x2+2xy+y2=64和(x-y)2=x2-2xy+y2=9,可得 x2+y2= 1 2 (64+9)=732 ,错误;D. 由x+y=8,x-y= 3,可得x2-y2=(x+y)(x-y)=8×3=24,正确. 11. (1) 设5-x=a,x-2=b,则ab=(5-x)(x-2)= 2,a+b=(5-x)+(x-2)=5-x+x-2=3.原 式=a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2×2=9-4=5. (2) ① x-1;x-3.② ∵ 长方形EMFD 的面积是48, ∴ MF·DF=(x-1)(x-3)=48.设x-1=a,x-3= b,∴ ab=(x-1)(x-3)=48,a-b=(x-1)-(x-3)= x-1-x+3=2.∴ (a+b)2=(a-b)2+4ab=22+4× 48=196.∴ a+b=±14.又∵ a+b>0,∴ a+b=14. ∴ 涂色部分的面积=(x-1)2-(x-3)2=a2-b2=(a+ b)(a-b)=14×2=28,即涂色部分的面积是28. 运用整体与部分之间的数量关系 探求整式的乘法运算 解答这类以几何图形为背景的整式乘法运算时, 需要我们正确抓住整体面积或体积与部分面积或体积 之间的数量关系,正确列出代数式表示各个部分的面 积或体积是解此类问题的关键,进而运用整体思想将 其转化,从而解决相关的实际问题. 专题五　平行线中的图形变换 1. (1) 如图①,过 点 E 作EK∥MN.∴ ∠BAC= ∠KEA.∵ ∠BAC=45°,∴ ∠KEA=45°.∵ PQ∥MN, EK∥MN,∴ PQ∥EK.∴ ∠PDE=∠DEK=∠DEF- ∠KEA.又∵ ∠DEF=60°,∴ ∠PDE=60°-45°= 15°.(2) 如图②,分别过点 F,H 作FL∥MN,HR∥ PQ.∴ ∠LFA = ∠BAC =45°,∠RHG = ∠QGH. ∵ FL∥MN,HR∥PQ,PQ∥MN,∴ FL∥PQ∥HR∥ MN.∴ ∠FGQ+∠GFL=180°,∠RHF=∠HFL= ∠HFA-∠LFA.∵ ∠FGQ 和∠GFA 的平分线GH, FH 相交于点 H,∴ ∠QGH = 12 ∠FGQ ,∠HFA= 1 2∠GFA.∵ ∠DFE =30°,∴ ∠GFA =180°- ∠DFE = 150°.∴ ∠HFA = 12 ∠GFA = 75°. ∴ ∠RHF=∠HFL=∠HFA-∠LFA=75°-45°= 30°,∠GFL=∠GFA-∠LFA=150°-45°=105°. ∴ ∠RHG=∠QGH=12∠FGQ= 1 2× (180°-105°)= 37.5°.∴ ∠GHF=∠RHG+∠RHF=37.5°+30°= 67.5°. 第1题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈