专题7 用方程思想解决几何问题-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（苏科版2024）

13 专题六　“含参”方程（组） 和不等式（组） 1. C 2. 0 3. -32 4. B 5. C 6. 1 7. 将 x=2, y=1 代入 2x+ (m-1)y=2, nx+y=1, 得 4+m-1=2 , 2n+1=1, 解得 m=-1, n=0. ∴ (m+n)2 024=1. 8. ∵ 关于 x,y 的方程组 2x+5y=-6, ax-by=-4 与方程组 x-4y=23, bx+ay=8 的 解 是 对 称 解,∴ 得 出 方 程 组 2x+5y=-6, y-4x=23, 解得 x=- 11 2 , y=1, 即第一个方程组的解是 x=-112 , y=1. ∴ 第 二 个 方 程 组 的 解 是 x=1, y=- 11 2. 把 x=-112 , y=1 代入ax-by=-4,得-112a-b=-4①.把 x=1, y=- 11 2 代入bx+ay=8,得b-112a=8②.由①②,得 a=-411 , b=6. ∴ a=-411,b=6,第一个方程组的解为 x=-112 , y=1, 第二个方程组的解为 x=1, y=- 11 2. 9. 把 x=2, y=1 代入方程②,可得4×2=b-2,解得b= 10.把 x=5, y=4 代入方程①,可得5a+20=15,解得a= -1.∴ a2022+ -b10 2024 =(-1)2022+ -1010 2024 =2. 方程组的错解问题的解法 方程组的解是使方程组中的每个方程都成立的未 知数的值,所以看错一个方程的系数而求出方程组的错 解,应该把这个错解代入另一个没有看错系数的方程. 10. B 11. ±4 12. ∵ 关 于 x,y 的 方 程 组 ax+by=4, 3x-y=2 与 x+2y=1, ax-by=-2 有相同的解,∴ 方程组 3x-y=2 , x+2y=1 的解也 是它 们 的 解,解 得 x=57 , y= 1 7. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 代 入 其 他 两 个 方 程,得 5 7a+ 1 7b=4 , 5 7a- 1 7b=-2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=75 , b=21. 13. C 14. m≠-1 15. D 16. B 17. A 18. a≥1 19. 由x-m>0,得x>m,由x-m<1,得x<m+1. ∵ 不等式组有解,∴ 不等式组的解集为m<x<m+ 1.∵ 不等式组的每一个解都不在 2≤x<5的范围内, ∴ m+1≤2或m≥5.∴ m≤1或m≥5. 20. C 21. 6<a≤8 22. m≤32 23. 令 2x-y=4m-5①, x+4y=-7m+2②, ①+②,得3x+3y=-3m-3, ∴ x+y=-m-1.∵ x+y>-3,∴ -m-1>-3. ∴ m<2.又∵ m 是非负整数,∴ m=1或m=0. 24. 由方程组 x+3y=3-2k, 3x+y=1+k, 可得4x+4y=4-k. ∴ x +y =1- k 4.∵ 关 于 x,y 的 方 程 组 x+3y=3-2k, 3x+y=1+k 的解满足x+y>0,∴ 1-k4>0,解得 k<4.令 x-2(x-1)≤3①, 2k+x 3 ≥x② , 由①,得x≥-1,由②,得 x≤k.∵ 关于x 的不等式组 x-2(x-1)≤3, 2k+x 3 ≥x 有解, ∴ k≥-1.综上所述,-1≤k<4.∴ 符合条件的整数k 的值为-1,0,1,2,3. 专题七　用方程思想解决几何问题 1. 100°,80° 2. 116° 解析:如图,设 NF 交AB 于点H,过点E 作 EP∥AB,设 ∠FMB=α,∠END =β.∵ NE 平 分 ∠FND,MB 平分∠FME,∴ ∠FMB=∠BME=α, ∠END=∠FNE=β.∴ ∠FME=2α,∠FND=2β. ∵ AB∥CD,EP∥AB,∴ EP∥AB∥CD.∴ ∠FHB= ∠FND=2β,∠MEP=∠BME=α,∠PEN=∠END= β.∴ ∠MEN = ∠MEP + ∠PEN = α +β.又 ∵ ∠FMB = ∠F + ∠FHB,∴ ∠F = ∠FMB - 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 14 ∠FHB=α-2β.∵ 2∠MEN+∠F=174°,∴ 2(α+β)+ α-2β=174°.∴ α=58°.∴ ∠FME=2α=116°. 第2题 3. (1) 过点C 向右作CK∥EF.∵ EF∥MN,∠FDB= 105°,∴ ∠DBN =180°-∠FDB=75°.∵ BD 平分 ∠CBN,∴ ∠CBN =2∠DBN =150°.∴ ∠MBC= 180°-150°=30°.∵ EF∥CK,EF∥MN,∴ EF∥CK∥ MN.∴ ∠EAC = ∠ACK,∠KCB = ∠MBC =30°. ∵ ∠ACB = 90°,∴ ∠ACK = 90°- 30°= 60°. ∴ ∠EAC=∠ACK=60°.(2) ∠GHB 为定值.∵ GH 平分 ∠AGB,BD 平 分 ∠CBN,∴ 可 设 ∠AGH = ∠HGB = 12 ∠AGB = x ,∠CBH = ∠HBN = 1 2∠CBN=y.∵ ∠ACB=α=80°,∴ ∠BCG=180°- 80°=100°.∵ ∠CBN=∠AGB+∠BCG,∠HBN = ∠HGB+∠GHB,∴ 2y=2x+100°, y=x+∠GHB. ∴ 易得∠GHB= 1 2×100°=50°. 4. 如图,过点 M 作 MT∥AB,过点 K 作KR∥AB. ∵ AB∥CD,∴ MT∥AB∥CD∥KR.∴ ∠MPG= ∠MKR,∠NQH =∠NKR.∴ ∠MKR+∠NKR= ∠MPG+∠NQH=90°,即∠MKN=90°.∵ KH 平分 ∠MKN,∴ ∠MKH=∠NKH=12∠MKN=45°. 设 ∠MPG=7x,则∠DHG=17x.∵ HE 平分∠KHD, ∴ ∠KHM = ∠DHG =17x.∴ ∠KHD =34x. ∴ ∠KHQ=180°-34x.∵ CD∥KR,∴ ∠RKH = ∠KHQ=180°-34x.∵ MT ∥AB ∥KR ∥CD, ∴ ∠TMP = ∠MKR = ∠MPG =7x,∠TMH = ∠MHD =17x.∵ ∠MKH =45°,∴ ∠RKH + ∠MKR =180°-34x +7x =45°,解 得 x =5°. ∴ ∠KMN=∠TMH-∠TMP=17x-7x=10x=50°. 第4题 5. 108° 利用方程思想解决问题 方程思想就是建立方程模型解决问题,要建立方 程模型必须有等量关系,在三角形中,用得最多的等量 关系就是三角形内角和等于180°.所以在求三角形的 某个内角的度数时,用方程思想解决问题非常常见. 6. 11 7. 42° 8. 180013 °或150° 解析:① 当∠BFD∶∠DFE=2∶ 3时,设∠BFD=2α,∠DFE=3α.∴ ∠AFE=180°- 2α-3α=180°-5α.∵ ∠CDE=∠B,∴ DE∥AB. ∴ ∠FDE=∠BFD=2α.∵ ∠FDE+3∠AFE=180°, ∴ 2α+3(180°-5α)=180°,解 得 α= 36013 °. ∴ ∠BFE=2α+3α= 180013 °.② 当 ∠DFE ∶ ∠BFD=2∶3 时,设 ∠BFD =3β,∠DFE =2β. ∴ ∠AFE=180°-3β-2β=180°-5β.∵ ∠CDE=∠B, ∴ DE∥AB.∴ ∠BFD=∠FDE=3β.∵ ∠FDE+ 3∠AFE=180°,∴ 3β+3(180°-5β)=180°,解得β= 30°.∴ ∠BFE=2β+3β=150°.综上所述,∠BFE 的度数 为 180013 °或150°. 9. ∵ ∠A=12∠C= 1 2∠ABC ,∠A+∠ABC+∠C= 180°,∴ ∠A+2∠A+2∠A=180°.∴ ∠A=36°. ∴ ∠ABC=∠C=72°.∵ BD 是∠ABC 的平分线, ∴ ∠ABD = 12 ∠ABC =36°.∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD=72°. 10. 4∶3∶5 11. 24 解析:设KP 交BC 于点G,延长KP 交AB 于点 F.∵ AB∥DE,∴ ∠BFP= ∠EDK.∵ DK 平 分 ∠CDE,∴ ∠EDK=∠CDK.∴ ∠BFP=∠CDK.设 ∠C=α.∵ ∠BPG-2∠C=54°,∴ ∠BPG=2α+ 54°.∵ ∠BPG 是△BPF 的外角,∠CDK 是△CDG 的外 角,∴ ∠BFP=∠BPG-∠ABP=2α+54°-∠ABP, ∠CDK=∠C+∠CGD=α+∠BGP=α+(180°- ∠BPG-∠CBP).∴ 2α+54°-∠ABP=α+180°- (2α+54°)-∠CBP.∵ BP 平分∠ABC,∴ ∠ABP= ∠CBP.∴ 2α+54°=α+180°-(2α+54°),解得α= 24°.∴ ∠C=24°. 12. 45° 解析:如图,过点 M 作MF∥AB,过点 H 作 HE∥GN.设 ∠BGM =2α,∠MHD =β,则 ∠N = ∠BGM =2α,∴ ∠AGM =180°-2α.∵ GH 平 分 ∠AGM,∴ ∠MGH=12∠AGM=90°-α.∴ ∠BGH= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15 ∠BGM+∠MGH=90°+α.∵ AB∥CD,∴ MF∥AB∥ CD.∴ ∠GMH = ∠GMF + ∠FMH = ∠BGM + ∠MHD=2α+β.∵ ∠GMH = 32 ∠N + ∠HGN , ∴ 2α+β= 3 2 ×2α+∠HGN.∴ ∠HGN =β-α. ∵ HE∥GN,∴ ∠GHE=∠HGN=β-α,∠EHM= ∠N=2α.∴ ∠GHD=∠GHE+∠EHM+∠MHD= β-α+2α+β=2β+α.∵ AB∥CD,∴ ∠BGH + ∠GHD=180°.∴ (90°+α)+(2β+α)=180°.∴ α+β= 45°.∴ ∠MHG=∠GHE+∠EHM=β-α+2α=α+ β=45°. 第12题 13. 40° 解析:如 图,延 长 MF 交 CD 于 点 G.设 ∠OFN=x.∵ ∠E+60°=2∠MFN,∴ ∠E=2x- 60°.∵ ME 是 ∠AMF 的 平 分 线,∴ ∠AME = ∠OME.∵ NF 是 ∠CNE 的 平 分 线,∴ ∠GNF= ∠ONF.设∠AME=∠OME=m,∠GNF=∠ONF= n.∴ ∠AMF =2m,∠ONG =2n.∵ AB ∥CD, ∴ ∠OGN=∠AMF=2m.∵ ∠OFN 是△FGN 的外 角,∴ ∠OFN=∠OGN+∠FNG.∴ x=2m+n.在 △OEM 中,∠OME+∠E=180°-∠EOM,即m+2x- 60°=180°-∠EOM.在△OFN 中,∠OFN+∠ONF= 180°-∠FON,即x+n=180°-∠FON.∵ ∠EOM= ∠FON,∴ m+2x-60°=x+n.∴ x=60°+n-m.又 ∵ x=2m+n,∴ 60°+n-m=2m+n.∴ m=20°. ∴ ∠AMF=2m=40°. 第13题 14. 2α-180° 解析:设∠B=x,∠C=y.∵ ∠B+ ∠C=α,∴ x+y=α①.由折叠,得∠B'=∠B=x, ∠C'=∠C=y,∠C'FG=∠CFG.∵ B'D∥C'G∥BC, ∴ ∠B'EF=∠B'=x,∠C'FE=∠C'=y.∵ B'E∥FG, ∴ ∠C'FG=∠CFG=∠B'EF=x.∴ 2x+y=180°②. ①×2-②,得y=2α-180°.∴ ∠C'FE=2α-180°. 15. (1) ∵ AB∥CD,∴ ∠B=∠DCE.∵ ∠B=∠D, ∴ ∠D=∠DCE.∴ AD∥BC.(2) 设∠CAE=x, ∠DCG=z,∠BAC=y.∵ ∠BAC=∠DAE,∠AGC= 2∠CAE,∴ ∠DAE=y,∠AGC=2∠CAE=2x.∵ CG 平分∠DCE,∴ ∠DCE=2∠DCG=2z.由(1),得AD∥ BC,∴ ∠D=∠DCE=2z.∵ AB∥CD,∴ ∠AHD= ∠BAH=∠CAE+∠BAC=x+y,∠ACD=∠BAC= y.在△AHD 中,x+2y+2z=180°①.在△ACG 中,x+ 2x+y+z=180°,即3x+y+z=180°,∴ 6x+2y+2z= 360°②.② - ①,得 5x =180°,解 得 x =36°. ∴ ∠CAE=36°. 16. ∵ ∠C = ∠COA,∠BDC = ∠BOD,∠AOC = ∠BOD,∴ ∠C=∠AOC=∠BOD=∠BDO. ∴ AC∥ BD.∴ ∠B= ∠CAO.设 ∠C= ∠AOC= ∠BOD = ∠BDO =x.∵ DP 平 分 ∠BDC,∴ ∠PDC = 1 2∠BDC= 1 2x.∵ AP 平 分∠CAO,∴ ∠CAP= ∠PAB.设∠CAP=∠PAB=y,∠P=z,则∠B= ∠CAO=2y.在△OBD 中,∠B+∠BDO+∠BOD= 180°,∴ 2y+2x=180°①.设AP 交CD 于点E.在△ACE 中,∠C+∠CAP=180°-∠AEC.在△PDE 中,∠P+ ∠PDC=180°- ∠PED.又 ∵ ∠AEC = ∠PED, ∴ ∠C+∠CAP=∠P+∠PDC.∴ x+y=z+ 1 2x②. ∵ ∠C+∠P+∠B=165°,∴ x+z+2y=165°③.联立 ①②③,得 2y+2x=180°, x+y=z+ 1 2x , x+z+2y=165°, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 x=70°, y=20°, z=55°. ∴ ∠C=70°. 17. (1) ∵ ∠AGE = ∠DHF,∠AGE = ∠BGF, ∴ ∠DHF=∠BGF.∴ AB∥CD.(2) 如图,过点K 作 KT∥AB.∵ 由(1)得 AB∥CD,∴ AB∥KT∥CD. ∴ ∠MPG=∠MKT,∠NQH=∠NKT.∵ ∠MPG+ ∠NQH=90°,∴ ∠MKT+∠NKT=90°,即∠MKN= 90°.∴ MK⊥NK.(3) 由(2),可得∠MKN=90°,∵ KH 是 ∠MKN 的 平 分 线,∴ ∠MKH = ∠NKH = 1 2∠MKN=45°.∵ PH 平分∠KPG,∴ ∠KPH = ∠GPH=12∠KPG. 由于∠KHQ=12∠PHK ,可设 ∠KHQ=x,则∠PHK=2x.∵ AB∥CD,∴ ∠QHP= 3x=∠GPH.在△PKH 中,∠PKH=45°,∠KPH= ∠GPH=3x,∠PHK=2x,∵ ∠PKH +∠KPH + ∠PHK=180°,即45°+3x+2x=180°,∴ x=27°. ∴ ∠PHK=2x=54°,∠GPH=3x=81°.∵ ∠MPH= ∠PKH +∠PHK,即∠MPG+∠GPH =∠PKH + ∠PHK,∴ ∠MPG+81°=45°+54°,即∠MPG=18°. 第17题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 44 专题七　用方程思想解决几何问题 方程思想是从分析问题的数量关系入手,适当设未知数,用含未知数的式子表示出未知量, 进而根据已知量和未知量之间的等量关系,建立方程(组)数学模型求解,从而使问题得到解决的 思想方法.有些几何问题看似与方程无关,实际上只要找到几何图形中隐含的等量关系,就可以 利用方程思想,列方程(组)来解决. 类型一 平行线中的方程思想 1. 若两个角的两边两两互相平行,且一个角的 2 5 等于另一个角的1 2 ,则这两个角的度数分 别是 . 2. 如图,直线AB∥CD,NE 平分∠FND,MB 平分∠FME,且2∠E+∠F=174°,则 ∠FME 的度数是 . 第2题 3. 已知直线EF∥MN,A,B 分别为EF,MN 上 的 动 点,点 C 在 EF,MN 之 间,且 ∠ACB=α,BD 平分∠CBN 交EF 于点D. 第3题 (1) 如图①,若∠FDB=105°,α=90°,求 ∠MBC 与∠EAC 的度数. (2) 如图②,延长AC 交直线MN 于点G, GH 平分∠AGB 交DB 于点H,α=80°,则 ∠GHB 是否为定值? 若是,请求出该定值; 若不是,请说明理由. 4. 如图,AB∥CD,直线EF 分别交直线AB, CD 于点G,H,点 M,N 分别在射线GE, HF 上,点P,Q 分别在射线GA,HC 上,连 接MP,NQ,且∠MPG+∠NQH=90°,分 别延长MP,NQ 交于点K,连接KH,KH 恰好平分∠MKN,HE 平分∠KHD.若 ∠DHG=177∠MPG ,求∠KMN 的度数. 第4题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级 拍 照 批 改 45 类型二 多边形中的方程思想 5. ★如果一个三角形三个内角的度数比为1∶ 3∶6,那么这个三角形中最大内角的度数 是 . 6. 如果一个多边形的内角和与外角和之和为 2520°,那么从这个多边形的一个顶点出发 共有 条对角线. 7. 如图,射线BD,AE 分别是△ABC 的外角 ∠ABF,∠CAG 的平分线,射线BD 与直线 AC 交于点D,射线AE 与直线BC 交于点 E.若∠BAC=∠ABC+102°,∠D=∠E+ 27°,则∠ACB 的度数为 . 第7题 第8题 8. 如图,在△ABC 中,D,E,F 分别是BC, AC,AB 上的点,且∠CDE=∠B,FD 把 ∠BFE 分 成2∶3的 两 部 分,∠FDE+ 3∠AFE =180°,则 ∠BFE 的 度 数 是 . 9. 如图,在△ABC 中,BD 是∠ABC 的平分 线,∠A=12∠C= 1 2∠ABC ,求∠A 及 ∠BDC 的度数. 第9题 类型三 平行线综合三角形中的方程思想 10. 如图,∠1∶∠2∶∠3=3∶4∶5,EF∥BC, DF∥AB,则∠A∶∠B∶∠C= . 第10题 第11题 11. 如图,AB∥DE,∠ABC 的平分线BP 和 ∠CDE 的平分线DK 的反向延长线交于 点 P,且 ∠P-2∠C =54°,则 ∠C = °. 12. 如图,直线GH 分别与直线AB,CD 相交 于点G,H,且AB∥CD.点M 在直线AB, CD 之间,连接 GM,HM,射线 GH 是 ∠AGM 的平分线,在 MH 的延长线上取 点N,连接GN.若∠N=∠BGM,∠M= 3 2∠N +∠HGN ,则∠MHG 的度数为 . 第12题 第13题 13. 如图,AB∥CD,ME 是∠AMF 的平分线, NF 是∠CNE 的平分线,EN,MF 交于点 O.若∠E+60°=2∠MFN,则∠AMF 的 度数是 . 答案讲解 14. 在△ABC 中,∠B+∠C=α,将 △ABC 按如图所示的方式折叠, 使B'D∥C'G∥BC,B'E∥FG,则 ∠C'FE 的度数是 (用含α的式子 表示). 第14题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 46 15. 如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,∠B= ∠D,E 为BC 延长线上一点,连接AE,AE 交CD 于点H,∠DCE 的平分线交AE 于 点G. (1) 求证:AD∥BC; (2) 若∠BAC=∠DAE,∠AGC=2∠CAE, 求∠CAE 的度数. 第15题 16. 如图,AB 和 CD 相 交 于 点 O,∠C = ∠COA,∠BDC=∠BOD,AP,DP 分别 平分∠CAO 和∠BDC.若∠C+∠P+ ∠B=165°,求∠C 的度数. 第16题 答案讲解 17. 如图①,直线EF 分别交直线AB, CD 于 点 G,H,且 ∠AGE = ∠DHF. (1) 求证:AB∥CD; (2) 如图②,点M,N 分别在射线GE,HF 上,点P,Q 分别在射线GA,HC 上,延长 MP,NQ 交 于 点 K,且 ∠MPG + ∠NQH=90°,求证:MK⊥NK; (3) 如图③,在(2)的条件下,连接 KH, PH,若 KH 平 分 ∠MKN,PH 平 分 ∠KPG,且 ∠KHQ = 12 ∠PHK ,求 ∠MPG 的度数. 第17题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级