2.2 圆的对称性2-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

23 9. 5 10. 2 8 11. ∵ OC=OB,∴ ∠OCB=∠OBC=40°.∴ ∠BOC= 180°- ∠OBC - ∠OCB =180°-40°-40°=100°. ∴ ∠AOC= ∠AOB + ∠BOC =50°+100°=150°. ∵ OA=OC,∴ ∠OAC=180°-∠AOC2 =15°. 12. 连 接 BD,取 BD 的 中 点 O,连 接 OA、OC. ∵ ∠BAD=∠BCD=90°,O 是BD 的中点,∴ OA= OB=OD=OC.∴ A、B、C、D 四个点在同一个圆上. 13. AC=BD.理由:连接OC、OD.∵ OA=OB,AE= BF,∴ 易 得 OE =OF.∵ CE ⊥AB,DF ⊥AB, ∴ ∠OEC=∠OFD=90°.在Rt△OEC 和Rt△OFD 中, OC=OD, OE=OF, ∴ Rt△OEC ≌Rt△OFD.∴ ∠COE = ∠DOF.在 △OAC 和 △OBD 中, OC=OD, ∠AOC=∠BOD, OA=OB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △OAC≌△OBD.∴ AC=BD. 2.2 圆的对称性1 知识梳理 1. 圆心 2. 相等 相等 3. 圆心角 弧 弦 相等 4. 1°的弧 5. 相等 典例演练 典例1 (1) ∵ CD=AB,∴ CD︵=AB︵,即AC︵+AD︵= BD︵+AD︵.∴ AC︵=BD︵.∴ AC=BD.(2) 连接BC.在 △ABC 和△DCB 中, AC=DB, AB=DC, BC=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DCB. ∴ ∠ABC=∠DCB.∴ BE=CE. 典例2 如图,连接OB、OC.∵ OA=OB=OC=OD, ∴ ∠A=∠OBA=65°,∠OCD=∠D=60°.∴ ∠1= 180°-2×65°=50°,∠3=180°-2×60°=60°.∵ ABD︵ 的 度数为150°,∴ ∠AOD=150°.∴ ∠2=∠AOD-∠1- ∠3=150°-50°-60°=40°.∴ BC︵ 的度数为40°. 典例2图 预学训练 1. B 2. D 3. B 4. B 5. 108° 6. 120° 7. 80° 8. 50° 9. 连接OC.∵ AC︵=BC︵,∴ ∠AOC=∠BOC.∵ CD⊥ OA,CE⊥OB,∴ ∠CDO=∠CEO=90°.在△COD 和 △COE 中, ∠CDO=∠CEO, ∠DOC=∠EOC, OC=OC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △COD ≌ △COE. ∴ OD=OE.∵ AO=BO,∴ AO-OD=BO-OE,即 AD=BE. 10. (1) ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB=CD. ∴ AB︵=CD︵.∵ M 为 AD︵ 的 中 点,∴ AM︵ =DM︵. ∴ AB︵+AM︵ =CD︵ +DM︵,即 BM︵ =CM︵.∴ BM = CM.(2) 连接 OA、OD.∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=BC=CD=DA.∴ AB︵=BC︵=CD︵=AD︵.∴ 易 得∠AOB=∠AOD=90°.∵ M 为AD︵ 的中点,∴ AM︵= DM︵.∴ ∠AOM = ∠DOM = 12 ∠AOD = 45°. ∴ ∠BOM=∠AOB+∠AOM=135°. 11. (1) 连接AF.∵ AB=AF,∴ ∠B=∠AFB.∵ 四边 形ABCD 为平行四边形,∴ AD∥BC.∴ ∠GAD=∠B, ∠AFB=∠DAF.∴ ∠GAD=∠DAF.∴ GE︵=EF︵. (2) ∵ BF︵ 的度数为70°,∴ ∠BAF=70°.∵ AB=AF, ∴ ∠B=∠AFB=12 (180°-∠BAF)=55°.∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,∴ AB∥CD.∴ ∠C=180°- ∠B=125°. 12. C 2.2 圆的对称性2 知识梳理 1. 过圆心的任意一条直线 2. 弦 两条弧 典例演练 典例1 如图,过点 O 作OF⊥CD,垂足为 F,连接 OD.∵ OF⊥CD,∴ ∠OFD=∠OFC=90°,CF= DF.∵ AE=2,EB=6,∴ AB=AE+EB=2+6=8. ∴ OA=4.∴ OE=OA-AE=4-2=2.∵ ∠DEB= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 24 30°,∴ 易得OF=12OE=1. 在Rt△ODF 中,OF=1, OD=4,∴ DF= OD2-OF2 = 42-12 = 15. ∴ CD=2DF=2 15. 典例1图 典例2 (1) 如图①,设OA=xcm,过圆心O 作OC⊥ AB,垂足为C,延长CO 交☉O 于点D,则OC=(80- x)cm,AC=12AB= 1 2×80=40 (cm).在Rt△OAC 中, 由勾股定理,得OA2=AC2+OC2,∴ x2=402+(80- x)2,解得x=50.∴ 油槽的半径OA 的长为50cm. (2) 如图②,设油槽中放出一部分油后的油面为A1B1,连 接OA1,过圆心O 作OM⊥A1B1,垂足为M,延长OM 交 ☉O 于点N,则A1M= 1 2A1B1= 1 2×60=30 (cm).在 Rt△OA1M 中,由勾股定理,得OM= OA21-A1M2= 502-302=40(cm),∴ MN=ON-OM=50-40= 10(cm).∴ 油面下降的高度为80-10=70(cm). 典例2图 预学训练 1. C 2. C 3. D 4. B 5. C 6. C 7. B 8. B 9. 10 3 10. 5 11. 22 12. (-4,-6) 13. 23 14. 2 15. (1) 如图,AB 即为所求作的弦.(2) 4. 第15题 16. (1) 连接AC.∵ AB⊥CD,∴ AC︵=AD︵.∴ AC= AD.∵ CF 经过圆心O,CF⊥AD,∴ AF=DF.∴ CF 是 AD 的垂直平分线.∴ AC=CD.∴ AC=AD=CD. ∴ △ACD 是等边三角形.∴ ∠D=60°.∵ CF⊥AD, ∴ ∠CFD=90°.∴ ∠FCD=90°-60°=30°.∵ OE⊥ CD,∴ ∠OEC=90°.∴ 易得 OE= 12OC.∴ OE= 1 2OB ,即E 是OB 的中点.(2) ∵ AB=6,∴ OB=OC= 3.由(1),知BE=OE,∴ OE=32.∵ ∠OEC=90°,∴ 由 勾股定理,可得CE= OC2-OE2 = 32- 32 2 = 3 23.∵ OE⊥CD,∴ CD=2CE=33. 17. (1) 如图,设拱桥所在圆的圆心为点O,连接OB、 OA、OC、AC、BC,OC交AB 于点D.∵ C为AB︵ 的中点, ∴ AC︵=BC︵.∴ AC=BC.又∵ OA=OB,∴ OC 垂直平 分AB.∴ AD=BD,∠ODA=90°.根据题意,得CD= 4米,AB=12米,∴ AD=12AB=6 米.设这座拱桥所在 圆的半径长为x米,则OA=OC=x米,OD=OC-CD= (x-4)米.∵ 在 Rt△AOD 中,OA2=OD2+AD2, ∴ x2=(x-4)2+62,解得x=6.5.∴ 这座拱桥所在圆 的半径长为6.5米.(2) 货船不能顺利通过这座拱桥.理 由:如图,矩形EFMN 表示货船船舱高出水面的部分,则 MN=5米,MN∥EF,连接ON,MN 交CO 于点 H. ∵ MN ∥EF,∴ ∠NHO = ∠ODA =90°.∴ OC⊥ MN.∴ NH=12MN=2.5 米.又∵ ON=6.5米,∴ 在 Rt△ONH 中,OH = ON2-NH2 =6米.∵ OC= 6.5米,CD=4米,∴ OD=OC-CD=6.5-4= 2.5(米).∴ DH =OH -OD =6-2.5=3.5(米). ∵ 3.5<3.6,∴ 货船不能顺利通过这座拱桥. 第17题 2.3 确定圆的条件 知识梳理 1. 不在同一条直线上 2. 外接圆 内接 3. 外接圆 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 65 2.2　圆的对称性2 1. 圆是轴对称图形, 都 是它的对称轴. 2. 垂径定理:垂直于弦的直径平分 以 及弦所对的 . 􀥈 􀥈 􀥈 典例1图 典例1 如图,☉O 的直径AB 与 弦CD 交于点E,∠DEB=30°, AE=2,EB=6,求CD 的长. 过点O 作OF⊥CD,垂足 为F,连接OD,在Rt△ODF 中利用勾股定理 求解. 解答: 解有所悟:圆中求线段长,常利用垂径定理构造直 角三角形,进而利用勾股定理求解. 典例2 往水平放置的圆柱形油槽内装入一些油 后,截面如图所示.若油面宽AB 和油的最大深 度都为80cm. 典例2图 (1) 求油槽的半径OA 的长; (2) 从油槽中放出一部分油,当剩 下的油面宽度为60cm时,求油面 下降的高度. (1) 过点O 作OC⊥AB,垂足为C,在 Rt△OAC 中利用勾股定理求解;(2) 利用垂径 定理与勾股定理求出油槽中放出一部分油后油 的高度. 解答: 解有所悟:利用垂径定理与勾股定理可得弦的中点 与弦所对弧的中点的距离,即为半径±圆心到弦的 距离. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB 于点E, 连接AC、AD.下列结论中,错误的是 ( ) 第1题 A. CE=DE B. AC=AD C. OE=BE D. BC ︵ =BD ︵ 2. 如图,在☉O 中,半径为10,弦AB=16,P 是 弦AB 上的动点,则线段OP 长的最小值是 ( ) 第2题 A. 10 B. 16 C. 6 D. 8 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 66 3. (安徽中考)已知☉O 的半径为7,AB 是☉O 的弦,点P 在弦AB 上.若PA=4,PB=6, 则OP 的长为 ( ) A. 14 B. 4 C. 23 D. 5 4. 如图,☉O 的直径CD=10,AB 是☉O 的弦, AB⊥CD,垂足为 M,OM∶OC=3∶5,则 AB 的长为 ( ) A. 91 B. 8 C. 6 D. 4 第4题 第6题 5. 已知☉O 的直径CD=10,AB 是☉O 的弦, AB⊥CD,垂足为 M,且AB=8,则AC 的 长为 ( ) A. 25 B. 43 C. 25或45 D. 23或43 6. (泸州中考)如图,AB 是☉O 的直径,OD 垂 直于弦AC 于点D,DO 的延长线交☉O 于 点E,连接BC.若AC=42,DE=4,则BC 的长是 ( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 4 7. 如图,AB、CD 是☉O 的两条平行弦,且 AB=4,CD=6,AB、CD 之间的距离为5, 则☉O 的直径是 ( ) A. 13 B. 213 C. 8 D. 10 第7题 第8题 8. 如图,在☉O 中,弦AB=5,点C 在AB 上移 动,连接OC,过点C 作CD⊥OC,交☉O 于 点D,则CD 长的最大值为 ( ) A. 5 B. 2.5 C. 3 D. 2 9. (青海中考)如图所示为一个隧道的横截面, 它的形状是以点O 为圆心的圆的一部分.若 C 是☉O 中弦AB 的中点,CD 经过圆心O 交☉O 于点D,并且AB=4m,CD=6m,则 ☉O 的半径长为 m. 第9题 第10题 10. 一根水平放置的圆柱形输水管横截面如 图所示,其中有水部分的水面宽8米,最 深处水深2米,则此输水管的半径长是 米. 11. 如图,在☉O 中,AB、AC 为互相垂直且相 等的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分 别为 D、E.若AB=4,则☉O 的半径是 . 第11题 第12题 12. 如图,点M、N 的坐标分别为(0,-3)、(0, -9),半径为5的☉A 经过点M、N,则点 A 的坐标为 . 13. 若过☉O 内一点P 的最长弦的长为8,最短 弦的长为4,则OP 的长为 . 答案讲解 14. 如图,A 为半圆O 上的一个三等分 点,B 是AN ︵ 的中点,P 是直径 MN 上的动点.若半圆O 的半径 为1,则AP+BP 的最小值为 . 第14题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 67 答案讲解 15. 如图,P 是☉O 内一定点. (1) 尺规作图:过点P 作弦AB, 使P 是AB 的中点(不写作法,保 留作图痕迹); (2) 若☉O 的半径为13,OP=5,则过点P 的所有弦中,长为整数的弦有 条. 第15题 16. 如图,AB 是☉O 的直径,AB⊥弦CD 于点 E,连接 CO 并延长,交 AD 于点F,且 CF⊥AD. (1) 求证:E 是OB 的中点; (2) 若AB=6,求CD 的长. 第16题 [综合提升] 答案讲解 17. 如图,某地有一座圆弧形的拱桥, 桥下水面AB 的长为12米,拱顶 点C(AB ︵ 的中点)高出水面4米. (1) 求这座拱桥所在圆的半径长. (2) 现有一艘船舱宽5米、顶部高出水面 3.6米的货船要经过这里,此时货船能顺利 通过这座拱桥吗? 请说明理由. 第17题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备