专题5 反比例函数图像下几何图形的性质-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

46 专题五　反比例函数图像下几何图形的性质 反比例函数y= k x (k≠0)的图像是双曲线,有以下几点需注意:(1) 双曲线上的点关于原点 成中心对称;(2) 双曲线是轴对称图形,对称轴是直线y=x 或y=-x;(3) ① 过双曲线上任意 一点作x轴、y轴的垂线,所得矩形的面积等于|k|;② 过双曲线上任意一点向x 轴(或y 轴)作 垂线,这一点和垂足以及坐标原点构成的三角形的面积等于1 2|k|. 类型一 双曲线的中心对称性 1. 如图,直线l与双曲线交于A、C 两点,将直 线l绕点O 按顺时针方向旋转α(0°<α≤ 45°),与双曲线交于B、D 两点,连接AB、 BC、CD、DA,则四边形ABCD 一定是( ) 第1题 A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 任意四边形 2. (攀枝花中考)如图,正比例函数y=k1x 的 图像与反比例函数y= k2 x 的图像交于A(1, m)、B 两点,当k1x≤ k2 x 时,x的取值范围是 ( ) 第2题 A. -1≤x<0或x≥1 B. x≤-1或0<x≤1 C. x≤-1或x≥1 D. -1≤x<0或0<x≤1 3. 如果一个正比例函数的图像与反比例函数 y= 6 x 的图像交于点A(x1,y1)、B(x2,y2), 那么(x2-x1)(y2-y1)的值为 . 类型二 双曲线的轴对称性 答案讲解 4. 如图,△ABC 的三个顶点分别为 A(1,2)、B(2,5)、C(6,1).若函数 y= k x 在 第 一 象 限 内 的 图 像 与 △ABC 有交点,则k的取值范围是 ( ) A. 2≤k≤494 B. 2≤k≤252 C. 2≤k≤6 D. 6≤k≤10 第4题 第5题 5. 如图,在平面直角坐标系中,正方形的中心 在原点O 处,且正方形的一组对边与x轴平 行,P(2a,a)是反比例函数y= 2 x 的图像与 正方形的一个交点,则图中涂色部分的面积 是 . 类型三 双曲线与三角形 6. (怀化中考)如图,直线AB 交x轴于点C,交 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 拍 照 批 改 47 反比例函数y= a-1 x (a>1)的图像于A、B 两点,过点B 作BD⊥y 轴,垂足为D,连接 CD.若S△BCD=5,则a的值为 ( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 第6题 第7题 7. ★如图,A 是反比例函数y= k x 在第二象限内 的图像上的一点,过点A 作AB⊥x轴,垂足 为B,C 为y 轴上的一点,连接AC、BC.若 △ABC 的面积为4,则k的值是 ( ) A. 4 B. -4 C. 8 D. -8 第8题 8. (玉林中考)如图,△ABC 是等腰 三 角 形,AB 过 原 点 O,底 边 BC∥x轴,双曲线y= k x 过A、B 两点,过点C 作CD∥y 轴,交双 曲线于点D,连接BD.若S△BCD=8,则k的 值是 . 类型四 双曲线与平行四边形 9. (通辽中考)如图,D 是▱OABC 内一点,AD 与x 轴平行,BD 与y 轴平行,BD= 3, ∠BDC=120°,S△BCD= 9 23. 若反比例函数 y= k x (x<0)的图像经过C、D 两点,则k的 值是 ( ) 第9题 A. -63 B. -6 C. -123 D. -12 10. (丹东中考)如图,四边形OABC 是平行四 边形,O 是坐标原点,点C 在y 轴上,点B 在反比例函数y= 3 x (x>0)的图像上,点A 在反比例函数y= k x (k<0,x>0)的图像 上.若 ▱OABC 的 面 积 是 7,则 k = . 第10题 第11题 11. (乐山中考)如图,▱ABCD 的顶点A 在 x轴上,点D在双曲线y= k x (k>0,x>0)上, 且AD⊥x轴,CA 的延长线交y轴于点E, 连接BE.若S△ABE= 3 2 ,则k= . 类型五 双曲线与矩形 12. 如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD 的 顶点A、B 在x轴的正半轴上,反比例函数 y= k x (k>0,x>0)的图像经过顶点D,分别 与对角线AC,边BC交于点E、F,连接EF、 AF.若E 为AC 的中点,△AEF 的面积为 1,则k的值为 ( ) 第12题 A. 12 5 B. 3 2 C. 2 D. 3 13. (株洲中考)如图,矩形ABCD 的顶点A、D 在y轴上,顶点C 在第一象限,x轴为该矩 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 48 形的一条对称轴,且矩形ABCD 的面积为 6.若反比例函数y= k x 的图像经过点C,则 k的值为 . 第13题 第14题 14. (黄石中考)如图,反比例函数y= k x (k>0, x>0)的图像经过矩形ABCD 对角线的交 点E 和顶点A,点B、C 在x 轴上,△OCE 的面积为6,则k= . 类型六 双曲线与菱形 15. 如图,菱形ABCD 的边AD 与x 轴平行, A、B 两点的横坐标分别为1和3,反比例 函数y= 3 x 的图像经过A、B 两点,则菱形 ABCD 的面积是 ( ) 第15题 A. 42 B. 4 C. 22 D. 2 16. (营口中考)如图,在平面直角坐标系中,菱 形ABCD 的边BC 与x轴平行,A、B 两点 的纵坐标分别为4、2,反比例函数y= k x (k<0,x<0)的图像经过A、B 两点.若菱 形ABCD 的面积为8,则k的值为 ( ) 第16题 A. -83 B. -23 C. -8 D. -63 类型七 双曲线与正方形 17. (十堰中考)如图,正方形ABCD 的顶点分 别在反比例函数y= k1 x (k1>0)和y= k2 x (k2>0)的图像上.若BD∥y轴,点D 的横 坐标为3,则k1+k2的值为 ( ) 第17题 A. 36 B. 18 C. 12 D. 9 18. (鄂尔多斯中考)如图,正方形OABC 的顶 点A、C 分别在x 轴、y 轴上,E、F 分别是 边AB、OA 上的点,且∠ECF=45°,将 △ECF 沿着CF 翻折,点E 落在x 轴上的 点D 处,反比例函数y1= k1 x 和y2= k2 x 的图 像分别经过点B、E.若S△COD=5,则k1- k2= . 第18题 19. (威海中考)正方形ABCD 在平面直角坐标 系中的位置如图所示,点A 的坐标为(2, 0),点B 的坐标为(0,4).若反比例函数 y= k x (k≠0)的图像经过点C,则k的值为 . 第19题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 49 类型八 反比例函数与一次函数综合题 20. 如图,一次函数y=kx+b的图像与反比例 函数y= m x 的 图 像 相 交 于 A (2,3)、 B(n,-2)两点. (1) 求一次函数和反比例函数的表达式; (2) 直线AB 交x 轴于点C,点P 在x轴 上,若△ABP 的面积是10,求点P 的坐标. 第20题 答案讲解 21. 如图,一次函数y1=kx+b的图像 与反比例函数y2= 6 x 的图像交于 A(2,m)、B(n,1)两点,连接OA、OB. (1) 求一次函数的表达式. (2) 求△OAB 的面积. (3) 在平面直角坐标系中,是否存在一点 P,使以O、A、B、P 为顶点的四边形是平行 四边形? 若存在,写出点P 的坐标;若不存 在,请说明理由. 第21题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 18 ∴ E(0,-2).∴ BE=4.∵ 直线BQ 将△BDE 的面积分 为1∶2 两 部 分,∴ S△BEQ = 1 3S△BDE 或S△BEQ = 2 3S△BDE. 如图,过点D 作DH⊥y 轴于点H,则DH= 3.∴ S△BDE= 1 2BE ·DH=12×4×3=6.∴ S△BEQ= 1 3×6=2 或S△BEQ= 2 3×6=4. 设Q(t,2t-2),t>0.过 点Q 作QM⊥y轴于点M,则QM=t.∴ 1 2×4×t=2 或 1 2×4×t=4 ,解得t=1或2.当t=1时,2t-2=0;当t= 2时,2t-2=2,∴ 点Q 的坐标为(1,0)或(2,2). 第10题 专题五　反比例函数图像下几何 图形的性质　 1. A 2. A 3. 24 4. A 解析:如图,作双曲线的对称轴l,交BC 于点D,则 直线l对应的函数表达式为y=x.设直线BC 对应的函 数表达式为y=mx+n.把B(2,5)、C(6,1)代入,得 2m+n=5, 6m+n=1, 解得 m=-1 , n=7. ∴ 直线BC 对应的函数表达 式为y=-x+7.联立 y=x, y=-x+7, 得 x=72 , y= 7 2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 点D 的坐标为 7 2 ,7 2 .∴ k的最大值为72× 7 2= 49 4. 当点 A 在函数y= k x 的图像上时,k=2,∴ k 的最小值为 2.∴ 2≤k≤494. 第4题 5. 4 6. D 7. D 利用等积变换构造基本图形 过双曲线y= k x 上的任意一点向x轴(或y轴)作 垂线,则垂线与y轴(或x 轴)平行.以垂线段为底,第 三个顶点在y轴(或x 轴)上的三角形面积都相等,可 将一般位置下的三角形面积转化为双曲线上这一点和 垂足以及坐标原点构成的三角形的面积,即等于1 2|k|. 8. 3 9. C 10. -4 11. 3 12. D 13. 3 14. 8 15. A 16. A 17. B 18. 10 19. 24 20. (1) 由题意,将A(2,3)代入y= m x ,得m=2×3=6, ∴ 反比例函数的表达式为y= 6 x. 当y=-2时,x=-3, ∴ B(-3,-2).将A(2,3)、B(-3,-2)代入y=kx+b, 得 3=2k+b, -2=-3k+b, 解得 k=1 , b=1. ∴ 一次函数的表达式为 y=x+1.(2) 在y=x+1中,当y=0时,x=-1, ∴ C(-1,0).设P(n,0),则PC=|1+n|.∵ S△ABP= 10,∴ 易得1 2×|1+n|× (3+2)=10,解得n=3或n= -5.∴ 点P 的坐标为(3,0)或(-5,0). 21. (1) ∵ 点A(2,m)、B(n,1)在反比例函数y2= 6 x 的 图像上,∴ 2m=6,n=6.∴ m=3.∴ A(2,3)、B(6, 1).∵ 点A(2,3)、B(6,1)在一次函数y1=kx+b的图像 上,∴ 3=2k+b, 1=6k+b, 解得 k=- 1 2 , b=4. ∴ 一次函数的表达式 为y1=- 1 2x+4. (2) 如图①,记一次函数y1=- 1 2x+ 4的图像与x 轴、y 轴的交点为D、C.在y1=- 1 2x+ 4中,当x=0时,y1=4;当y1=0时,x=8,∴ C(0,4)、 D(8,0).∴ OC=4,OD=8.过点A 作AE⊥y轴于点E, 过点 B 作BF⊥x 轴于点F.∵ A(2,3)、B(6,1), ∴ AE=2,BF=1.∴ S△AOB=S△COD-S△AOC-S△BOD= 1 2OC ·OD-12OC ·AE-12OD ·BF=12×4×8- 1 2×4×2- 1 2×8×1=8. (3) 存在.如图②.① 当AB 和 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 19 OB 为邻边时,点B(6,1)先向左平移6个单位长度,再向 下平移1个单位长度到点O(0,0),则点A(2,3)也先向左 平移6个单位长度,再向下平移1个单位长度到点P, ∴ P(-4,2);② 当OA 和OB 为邻边时,点O(0,0)先向 右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度到点 A(2,3),则点B(6,1)也先向右平移2个单位长度,再向 上平移3个单位长度到点P',∴ P'(8,4);③ 当AB 和 OA 为邻边时,点A(2,3)先向右平移4个单位长度,再向 下平移2个单位长度到点B(6,1),则点O(0,0)也先向右 平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度到点P″, ∴ P″(4,-2).综上所述,点 P 的坐标为(-4,2)或 (8,4)或(4,-2). 第21题 专题六　二次根式的性质与计算 1. B 2. D 3. C 4. x>4 5. x≥0且x≠9 6. x≤ 4且x≠±1 7. 由 a2-9,得a2-9≥0①.由 9-a2,得9-a2≥0, ∴ a2-9≤0②.由①②,得a2-9=0,解得a=±3.又 ∵ a+3≠0,即a≠-3,∴ a=3.当a=3时,b=4,∴ a+ b=3+4=7. 被开方数互为相反数的二次根式 当题目中含有多个二次根式,即根号不止一个时, 要注意挖掘隐含条件———被开方数互为相反数的二次 根式,如同时含有 a与 -a,则由二次根式有意义的 条件可知 a≥0, -a≥0, 即 a≥0 , a≤0, 所以a=0,进而将a= 0代入,从而使问题获解.注意看a=0是否符合题意. 8. 由 a+b-2020,得 a+b-2020≥0①.由 2020-a-b,得2020-a-b≥0,∴ a+b-2020≤ 0②.由①②,得a+b-2020=0,∴ a+b=2020.把a+ b=2020 代 入,得 2x+y-3+ x-2y-4=0. ∵ 2x+y-3≥0, x-2y-4≥0,∴ 2x+y-3= 0且 x-2y-4=0.∴ 2x+y-3=0, x-2y-4=0, 解得 x=2, y=-1. ∴ 7x+y2020=7×2+(-1)2020=14+1=15. 9. A 10. B 11. C 12. D 13. A 14. C 15. 该 同 学 的 答 案 不 正 确.理 由:∵ (a)2 + a2-2a+1=a+|a-1|,∴ 当a≥1时,原式=a+a- 1=2a-1≥1;当0≤a<1时,原式=a+1-a=1.∴ 在 满足条件的范围内,无论a取何值,原式的值都是大于等 于1的,不可能为12.∴ 该同学的答案不正确. 16. M= (x-2)2-x+3=|x-2|-x+3.∵ 当x≤ 2时,|x-2|=2-x,∴ M=2-x-x+3=5-2x.∴ 当 x=1时,M=5-2x=3;当x=2时,M=5-2x=1.∵ 当 x>2时,|x-2|=x-2,∴ M=x-2-x+3=1.∴ 当x 分别取1、2、3、…、2025时,所对应的 M 的值的总和为 3+1+1×(2025-2)=2027. 17. (1) 2-2.(2) 5+32-53.(3) -13. 18. 原式=- xy.当x= 6+ 2,y= 6- 2时,原 式=-2. 19. ∵ y= x-2+ 2-x+1,∴ x-2≥0且2-x≥ 0.∴ x=2.当x=2时,y=1.原式=8x-48y- 1 x xy. 当x=2,y=1时,原式=8×2-48×1- 1 22=-32- 1 22. 20. (1) 3+ 7;23. (2) <.(3) ∵ a 2+1 +b 2 =-1+ 22,∴ a(2-1)+ 22b=-1+22.∴ (1-a)+ a+12b-2 2=0.∵ a、b为有理数,∴ 1-a=0,a+ 1 2b-2=0 ,解得a=1,b=2. 专题七　一元二次方程根的判别式 　 　 与根与系数的关系综合 1. 根据题意, 得k-1≠0且b2-4ac=(-4)2-4(k- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈