专题7 一元二次方程根的判别式与根与系数的关系综合-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

19 OB 为邻边时,点B(6,1)先向左平移6个单位长度,再向 下平移1个单位长度到点O(0,0),则点A(2,3)也先向左 平移6个单位长度,再向下平移1个单位长度到点P, ∴ P(-4,2);② 当OA 和OB 为邻边时,点O(0,0)先向 右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度到点 A(2,3),则点B(6,1)也先向右平移2个单位长度,再向 上平移3个单位长度到点P',∴ P'(8,4);③ 当AB 和 OA 为邻边时,点A(2,3)先向右平移4个单位长度,再向 下平移2个单位长度到点B(6,1),则点O(0,0)也先向右 平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度到点P″, ∴ P″(4,-2).综上所述,点 P 的坐标为(-4,2)或 (8,4)或(4,-2). 第21题 专题六　二次根式的性质与计算 1. B 2. D 3. C 4. x>4 5. x≥0且x≠9 6. x≤ 4且x≠±1 7. 由 a2-9,得a2-9≥0①.由 9-a2,得9-a2≥0, ∴ a2-9≤0②.由①②,得a2-9=0,解得a=±3.又 ∵ a+3≠0,即a≠-3,∴ a=3.当a=3时,b=4,∴ a+ b=3+4=7. 被开方数互为相反数的二次根式 当题目中含有多个二次根式,即根号不止一个时, 要注意挖掘隐含条件———被开方数互为相反数的二次 根式,如同时含有 a与 -a,则由二次根式有意义的 条件可知 a≥0, -a≥0, 即 a≥0 , a≤0, 所以a=0,进而将a= 0代入,从而使问题获解.注意看a=0是否符合题意. 8. 由 a+b-2020,得 a+b-2020≥0①.由 2020-a-b,得2020-a-b≥0,∴ a+b-2020≤ 0②.由①②,得a+b-2020=0,∴ a+b=2020.把a+ b=2020 代 入,得 2x+y-3+ x-2y-4=0. ∵ 2x+y-3≥0, x-2y-4≥0,∴ 2x+y-3= 0且 x-2y-4=0.∴ 2x+y-3=0, x-2y-4=0, 解得 x=2, y=-1. ∴ 7x+y2020=7×2+(-1)2020=14+1=15. 9. A 10. B 11. C 12. D 13. A 14. C 15. 该 同 学 的 答 案 不 正 确.理 由:∵ (a)2 + a2-2a+1=a+|a-1|,∴ 当a≥1时,原式=a+a- 1=2a-1≥1;当0≤a<1时,原式=a+1-a=1.∴ 在 满足条件的范围内,无论a取何值,原式的值都是大于等 于1的,不可能为12.∴ 该同学的答案不正确. 16. M= (x-2)2-x+3=|x-2|-x+3.∵ 当x≤ 2时,|x-2|=2-x,∴ M=2-x-x+3=5-2x.∴ 当 x=1时,M=5-2x=3;当x=2时,M=5-2x=1.∵ 当 x>2时,|x-2|=x-2,∴ M=x-2-x+3=1.∴ 当x 分别取1、2、3、…、2025时,所对应的 M 的值的总和为 3+1+1×(2025-2)=2027. 17. (1) 2-2.(2) 5+32-53.(3) -13. 18. 原式=- xy.当x= 6+ 2,y= 6- 2时,原 式=-2. 19. ∵ y= x-2+ 2-x+1,∴ x-2≥0且2-x≥ 0.∴ x=2.当x=2时,y=1.原式=8x-48y- 1 x xy. 当x=2,y=1时,原式=8×2-48×1- 1 22=-32- 1 22. 20. (1) 3+ 7;23. (2) <.(3) ∵ a 2+1 +b 2 =-1+ 22,∴ a(2-1)+ 22b=-1+22.∴ (1-a)+ a+12b-2 2=0.∵ a、b为有理数,∴ 1-a=0,a+ 1 2b-2=0 ,解得a=1,b=2. 专题七　一元二次方程根的判别式 　 　 与根与系数的关系综合 1. 根据题意, 得k-1≠0且b2-4ac=(-4)2-4(k- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 20 1)≥0,解得k≠1且k≤5.∴ k 的最小正整数值为2. ∴ 原方程为x2-4x+1=0.∴ x1+x2=4,x1x2=1. ∴ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=42-4×1=12. 2. (1) 根据题意,得k≠0且b2-4ac=(1-2k)2-4k· (k-2)>0,解得k>-14 且k≠0.(2) ∵ k>-14 且k≠ 0,∴ k的最小整数为1.当k=1时,原方程为x2-x- 1=0,∴ α+β=1,α2-α-1=0,β2-β-1=0.∴ α2=α+ 1,β2=β+1.∴ α3=α(α+1)=α2+α=(α+1)+α=2α+ 1.∴ α3+β2+β+2025=2α+1+β+1+β+2025= 2(α+β)+2027=2×1+2027=2029. 3. ∵ x2=2(1-m)x-m2,∴ x2-2(1-m)x+m2= 0.由题意,得b2-4ac=[-2(1-m)]2-4m2=-8m+ 4≥0,解得 m≤12. 由根与系数的关系,得x1+x2= 2(1-m)=-2m+2,∴ y=x1+x2=-2m+2.∵ -2< 0,∴ y随m 的增大而减小.∴ 当m=12 时,y有最小值, 最小值为1. 4. D 5. D 6. C 7. (1) 根据题意,得b2-4ac=(-6)2-4(2m-1)≥0,解 得m≤5.由根与系数的关系,得x1+x2=6,x1x2=2m- 1.∵ x1=1,∴ 1+x2=6,x2=2m-1.∴ x2=5,m= 3.(2) 存在.∵ (x1-1)(x2-1)= 6 m-5 ,∴ x1x2- (x1+x2)+1= 6 m-5.∵ x1+x2=6,x1x2=2m-1, ∴ 2m-1-6+1= 6m-5. 整理,得m2-8m+12=0.解得 m1=2,m2=6.由题意,得 m≤5且 m≠5,即 m<5, ∴ m=2. 8. 根据题意,得b2-4ac=(-2)2-4(-m+2)>0,解得 m>1.由根与系数的关系,得x1+x2=2.把x1 代入方 程,得x21-2x1-m+2=0,∴ x21=2x1+m-2.∵ x21+ 2x2=m2,∴ 2x1+2x2+m-2=m2.∴ 2×2+m-2= m2,解得m1=-1,m2=2.∵ m>1,∴ m=2. 9. ∵ x1、x2 是方程x2-3x+k=0的两个实数根, ∴ b2-4ac=(-3)2-4k≥0,解得k≤94. 由题意,得 x1+x2=3,x1x2=k,x21-3x1+k=0,x22-3x2+k= 0.∴ x21-3x1=-k,x22-3x2=-k.∵ (x21-2x1)(x22- 2x2)=8,∴ (x21-3x1+x1)(x22-3x2+x2)=8. ∴ (x1-k)(x2-k)=8.∴ x1x2-k(x1+x2)+k2= 8.∴ k-3k+k2=8,即k2-2k-8=0,解得k1=-2, k2=4.∵ k≤94 ,∴ k=-2. 10. 根据题意,得b2-4ac=(2k+1)2-4(k2+2)≥0,解 得k≥74 ,∴ x1+x2=-(2k+1)<0,x1x2=k2+2> 0.∴ x1<0,x2<0.∵ |x1|+|x2|=x1x2-1, ∴ -(x1+x2)=x1x2-1.∴ 2k+1=k2+2-1,解得 k1=0,k2=2.∵ k≥74 ,∴ k=2. 11. ∵ 方程有两个实数根,∴ b2-4ac=42-4(k+4)≥ 0,解得k≤0.由根与系数的关系,得x1+x2=-4, x1x2=k+4.∵ x1x2+2x1+2x2>-7,∴ k+4+2× (-4)>-7.∴ k>-3.∴ k的取值范围是-3<k≤0. 12. 根据题意,得b2-4ac=(-2)2-4×2(m+1)≥0,解 得m≤-12. 由根与系数的关系,得x1+x2=1,x1x2= m+1 2 .∵ 4+4x1x2>x21+x22,∴ 4+6x1x2>(x1+ x2)2.∴ 4+6×m+12 >1 ,解得m>-2.∴ m 的取值范 围是-2<m≤-12. 13. (1) b2-4ac=[-(2k+1)]2-4×1×(4k-3)= 4k2-12k+13=(2k-3)2+4.∵ (2k-3)2≥0,∴ (2k- 3)2+4>0.∴ b2-4ac>0.∴ 无论k取何实数,该方程总 有两个不相等的实数根.(2) 由根与系数的关系,得b+ c=2k+1,bc=4k-3.∵ b>0,c>0,∴ b+c>0,bc> 0.∴ 2k+1>0,4k-3>0.∴ k>34. 由勾股定理,得b2+ c2=a2,∴ (b+c)2-2bc=( 31)2.∴ (2k+1)2- 2(4k-3)=31,解得k1=-2,k2=3.∵ k>34 ,∴ k=3. 14. 设边AB=a,AC=b.由根与系数的关系,得a+b= 2k+3,ab=k2+3k+2.∵ △ABC 是以BC 为斜边的直 角三角形,且BC=5,∴ a2+b2=25,即(a+b)2-2ab= 25.∴ (2k+3)2-2(k2+3k+2)=25,解得k1=-5,k2= 2.当k=-5时,方程为x2+7x+12=0,解得x1=-3 (不合题意,舍去),x2=-4(不合题意,舍去).当k=2 时,方程为x2-7x+12=0,解得x1=3,x2=4.∴ 当k= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 2时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形. 15. 根据题意,得b2-4ac=(-4)2-4(k-1)≥0,解得 k≤5.(1) 不存在.理由:∵ 矩形的面积为10,∴ x1x2= k-1=10,解得k=11.∵ k≤5,∴ 不存在实数k,使得矩 形的面积为10.(2) 存在.由根与系数的关系,得x1+ x2=4,x1x2=k-1.∵ 矩形对角线的长为 10,∴ x21+ x22=(10)2.∴ (x1+x2)2-2x1x2=10.∴ 42-2(k- 1)=10,解得k=4.∵ k≤5,∴ k的值为4. 16. 由题意,得b2-4ac=(2m+1)2-4(m2-4)≥0,解得 m≥-174. 由根与系数的关系,得OA+OB=-(2m+ 1)>0,OA·OB=m2-4>0,∴ m<-2.∴ -174≤ m<-2.∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AC⊥BD.在 Rt△AOB 中,∵ OA2+OB2=AB2,∴ (OA+OB)2- 2OA·OB=25.∴ [-(2m+1)]2-2(m2-4)=25.整 理,得m2+2m-8=0.解得m1=-4,m2=2.∵ -174≤ m<-2,∴ m 的值为-4. 17. (1) 由题意,得 b2-4ac≥0, x1+x2>0, x1x2>0. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ [-(k+2)]2-4 14k 2+1 ≥0, k+2>0, 1 4k 2+1>0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得k≥0.∴ 当 k≥0时,方程的两根x1、x2 都是正数.(2) 由题意,得 x21+x22=(23)2,∴ (x1+x2)2-2x1x2=12.∵ x1+ x2=k+2,x1x2= 1 4k 2+1,∴ (k+2)2-2 14k 2+1 = 12,解得k1=-10,k2=2.由(1),得k≥0,∴ k=2. 确定一元二次方程的根的正、负性 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根 x1、x2,那么利用一元二次方程的根与系数的关系,可 确定x1、x2 的正、负性.(1) 当 x1x2>0, x1+x2>0 时,x1>0, x2>0;(2) 当 x1x2>0, x1+x2<0 时,x1<0,x2<0;(3) 当 x1x2<0时,两根异号. 18. (1) 根据题意,得b2-4ac=(-4)2-4(-2m+5)> 0,解得m>12.∴ 实数m 的取值范围是m>12. (2) 设 x1、x2是方程的两个根.由根与系数的关系,得x1+x2= 4>0,x1x2=-2m+5>0,解得m< 5 2. 又∵ m>12 , ∴ m 的取值范围是12<m< 5 2.∵ m 为整数,∴ m= 1或2.当m=1时,原方程为x2-4x+3=0,解得x1=1, x2=3.当m=2时,原方程为x2-4x+1=0,解得x1= 2+3(不合题意,舍去),x2=2- 3(不合题意,舍去). ∴ 整数m 的值为1. 19. 设方程的两个根为x1、x2.(1) 由题意,得b2-4ac= (-10)2-4(21+a)>0,解得a<4.由根与系数的关系, 得x1x2=21+a<0,∴ a<-21.∴ 当a<-21时,方程 有一正一负两个根.(2) 此方程不可能有两个负根.理由: 由根与系数的关系,得x1+x2=10>0,∴ 易得此方程不 可能有两个负根. 整合提优自主检测 一、 1. C 2. C 3. A 4. D 5. D 6. C 7. C 8. B 二、 9. 答案不唯一,如从中随机摸出1个球是白球 10. 32 11. y>4或y<0 12. 10 3 13. 32 14. 7 15. 2 16. -4或2 三、 17. (1) -43+11.(2) 4 a+2. 18. (1) x1=-2,x2=1.(2) x1= 4 3 ,x2=-2. (3) x=4. 19. (1) 1000;35.(2) 如图所示.(3) 72°.(4) 2000× 280 1000=560 (万人).∴ 对“垃圾分类知识”的知晓程度为 “A. 非常了解”的市民约有560万人. 第19题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 专题七　一元二次方程根的判别式 与根与系数的关系综合 一元二次方程的根与系数的关系是中考的重点和热点之一,主要考查运用根与系数的关系 求解一元二次方程中的字母或求代数式的值(或取值范围),解答时往往要对代数式进行变形,用 含x1+x2和x1x2的式子表示.需要注意的是,运用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程 有两个实数根,即必须满足判别式b2-4ac≥0. 类型一 求代数式的值 1. 关于x 的一元二次方程(k-1)x2-4x+ 1=0有两个实数根x1、x2,当k为满足条件 的最小正整数时,求(x1-x2)2的值. 2. 已知关于x 的一元二次方程kx2+(1- 2k)x+k-2=0. (1) 若方程有两个不相等的实数根,求k的 取值范围; (2) 当k为满足(1)中条件的最小整数时,设 方程的两根为α和β,求代数式α3+β2+β+ 2025的值. 类型二 求代式数的最小值 3. 已知关于x的一元二次方程x2=2(1-m)x- m2的两个实数根为x1、x2.设y=x1+x2, 求y的最小值. 类型三 确定一元二次方程 4. 下列方程中,两个实数根的和为2的是 ( ) A. x2-2x+4=0 B. x2+2x-4=0 C. x2+2x+4=0 D. x2-2x-4=0 5. 下列一元二次方程中,两实数根的积为4 的是 ( ) A. 2x2-5x+4=0 B. 3x2-5x+4=0 C. x2+x+4=0 D. x2-5x+4=0 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 54 类型四 求字母系数的值 6. 若关于x的方程x2+(2-k)x+k2=0的两 根互为倒数,则k的值为 ( ) A. 3 B. 1 C. -1 D. ±1 7. (荆门中考)已知关于x 的一元二次方程 x2-6x+2m-1=0的两个实数根为 x1、x2. (1) 若x1=1,求x2及m 的值. (2) 是否存在实数m,满足(x1-1)(x2-1)= 6 m-5 ? 若存在,请求出实数m 的值;若不存 在,请说明理由. 8. 关于x的一元二次方程x2-2x-m+2=0 的两个不相等的实数根x1、x2 满足x21+ 2x2=m2,求m 的值. 9. 已知关于x的方程x2-3x+k=0的两个实 数根x1、x2满足(x21-2x1)(x22-2x2)=8, 求k的值. 答案讲解 10. 关于x 的方程x2+(2k+1)x+ k2+2=0的两个实数根x1、x2满足 |x1|+|x2|=x1x2-1,求k的值. 类型五 与不等式的综合 11. 已知关于x的一元二次方程x2+4x+k+ 4=0的实数根x1、x2 满足x1x2+2x1+ 2x2>-7,求k的取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 55 12. 已知x1、x2 是一元二次方程2x2-2x+ m+1=0的两个实数根,且x1、x2满足4+ 4x1x2>x21+x22,求m 的取值范围. 类型六 与几何图形的综合 13. 已知关于x 的一元二次方程x2-(2k+ 1)x+4k-3=0. (1) 求证:无论k取何实数,该方程总有两 个不相等的实数根; (2) 当Rt△ABC 的斜边长a= 31,且两 条直角边的长b和c恰好是这个方程的两 个根时,求k的值. 14. 已知△ABC 的两边AB、AC 的长是关于x 的方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的 两个实数根,第三边BC 的长为5,则当k 取何值时,△ABC 是以BC 为斜边的直角 三角形? 15. 关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0 的两个实数根x1、x2 是一个矩形的长 和宽. (1) 是否存在实数k,使得矩形的面积为 10? 若存在,请求出k 的值;若不存在,请 说明理由. (2) 是否存在实数k,使得矩形对角线的长 为 10? 若存在,请求出k的值;若不存在, 请说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 56 答案讲解 16. 菱形ABCD 的边长是5,两条对角 线交于点O,且AO、BO 的长分别 是关 于x 的 方 程x2+(2m + 1)x+m2-4=0的两根,求m 的值. 17. ★已知关于x 的一元二次方程x2-(k+ 2)x+14k 2+1=0的两根为x1、x2. (1) 当k取何值时,方程的两根x1、x2都是 正数? (2) 若x1、x2是一个矩形的长和宽,当矩形 对角线的长是23时,求k的值. 类型七 特殊根问题 18. (十堰中考)已知关于x 的一元二次方程 x2-4x-2m+5=0有两个不相等的实 数根. (1) 求实数m 的取值范围; (2) 若该方程的两个根是符号相同的整数, 求整数m 的值. 19. 已知一元二次方程x2-10x+21+a=0. (1) 当a 为何值时,方程有一正一负两 个根? (2) 此方程可能有两个负根吗? 请说明 理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A